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文档简介
专题08数列
题型一:数列求最值问题e易错点:混淆数列与函数的区别
题型二:等比数列利用中项求其它生、易错点:忽视两个“中项"的区别
题型三:等比数列求和0、易错点:忽略等b啜列求和时对q的讨论
题型四:求通项公式0.易错点:由公求a”时忽略对"=1"的检验
题型五:数列求和已易错点:裂项求和留项出错
易错点一:混淆数列与函数的区别(数列求最值问题)
1、等差数列的定义
(1)文字语言:一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数;
(2)符号语言:a“+「an=d("wN*,"为常数).
2、等差中项:若三个数a,A,6组成等差数列,则/叫做a,b的等差中项.
3、通项公式与前〃项和公式
(1)通项公式:a„=%+(〃-l)d.
(2)前〃项和公式:邑=〃%+若幽产.
(3)等差数列与函数的关系
①通项公式:当公差dwO时,等差数列的通项公式%=%+("-1皿=而+是关于〃的一次函数,
且一次项系数为公差若公差d>0,则为递增数列,若公差d<0,则为递减数列.
②前〃项和:当公差"*0时,邑=〃%+器辿〃=;|〃2+(%一;|)77是关于〃的二次函数且常数项为。
已知数列{%}是等差数列,S,是其前“项和.
1、等差数列通项公式的性质:
(1)通项公式的推广:an=am+(n-m)d(n,m^N*).
(2)若k+l=m+n(k,rn,neN*),则w+q=〃“+%.
(3)若{%}的公差为d,贝!|{出"}也是等差数列,公差为2d.
(4)若也}是等差数列,则{0%+处}也是等差数列.
2、等差数列前〃项和的性质
(1)邑,="(%+。2,)=--="(%+%+1);
(2)=Q"T)%;
(3)两个等差数列{%},也}的前n项和S”,1之间的关系为沁=9.
,2巩-1
(4)数列s“,S2m-sm,s3m-…构成等差数列.
3、关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质
(1)若项数为2〃,贝IJS偶一5奇=加7,=
'偶an+\
S有n
⑵若项数为2〃-1,贝”(禺=(〃-1)%,,5奇="。„,S奇一S偈=《,-^=--
6偶"T
最值问题:解决此类问题有两种思路:
一是利用等差数列的前"项和公式,可用配方法求最值,也可用顶点坐标法求最值;
二是依据等差数列的通项公式%=q+(〃-1”=办+(%-d),当d>0时,数列一定为递增数列,当d<0时,
数列一定为递减数列.所以当为>0,且d<0时,无穷等差数列的前”项和有最大值,其最大值是所有非
负项的和;当为<0,且">0时,无穷等差数列的前"项和有最小值,其最小值是所有非正项的和,求解
非负项是哪一项时,只要令%20即可
易错提醒:数列是一种特殊的函数,在求解数列问题时有时可以利用函数的性质,但是在利用函数单调性
求解数列问题,要注意"的取值不是连续实数,忽略这一点很容易出错.
三
例.已知等差数列{%}的前〃项和为S",且%=1,S5=10,求S,取得最大值时对应的"值.
【详解】在等差数列{%}中,&=幺爱x5=^x5=10,贝1]%=2,而。4=1,
于是公差6?=%—%=-1,因此=%+(〃—3)d——九+5,
由与NO,得“V5,显然数列{%}是递减等差数列,前5项都是非负数,从第6项起为负数,所以s“的最
大值为凡=风=%;&x4=10,此时”=4或"=5.
变式1.数列{%}是等差数列,q=50,"=-0.6.
⑴从第几项开始有%<0?
(2)求此数列的前〃项和的最大值.
【详解】(1)因为%=50,d=-0.6,所以%=50-0.6(〃-1)=-.06〃+50.6
令一0.6〃+50.6«0,贝I」〃2p84.3.由于〃wN*,故当〃>85时,%<0,
0.6
即从第85项开始各项均小于0;
(2)方法1:5“=50〃+(-0.6)=-0.3/+50.3〃=-0.3、一半]十嗡.
当〃取最接近于受503的自然数,即〃=84时,S,取到最大值54=2108.4.
6
方法2:因为d=—0.6<0,q=50>0,由(1),知%>0,。85<0,
所以$<$2<•••<$84,且$84>§85>$86>….
04乂QO
所以(S.)mx=%=50X84+-^—X(-0.6)=2108.4.
变式2.记S“为等差数列{%}的前〃项和,已知为=-7,S3=-15.
⑴求{%}的通项公式;
(2)求S”的最小值.
【详解】(1)设公差为d,4=-7,
3x(1)
Z.S3=3x(-7)+^~t/=-21+36/=-15,解得d=2,
=4+(〃—1)d=2〃—9.
(2),:a、=-7,d=2,
n2
Sn="%+("2—d=n-8/2=(〃-4)~-16,
.•.当〃=4时,S“最小,最小值为-16.
变式3.等差数列{%},Sn=-ll,公差d=-3.
(1)求通项公式和前"项和公式;
(2)当〃取何值时,前〃项和最大,最大值是多少.
【详解】(1)由S,为等差数列{%}的前〃项和,则耳|=上竽£=@卢=11&=T1,解得G=T,
=Qe+(〃-6)d=-1+(〃-6)x(-3)=17-3〃,贝(j4—17—3=14,
n(%+。〃)〃(14+17-3〃)331
S“二n2H-----n
2222
(2)由。“=17-3〃,则数列{%}为递减数列,
由&=T<0,%=2>。,则当〃=5时,5.取得最大值,即最大值为1=5.(;+2)=40.
1.已知数列{叫是等差数列,若%+初<0,4。4<0,且数列{叫的前〃项和九有最大值,当S〃>0
时,”的最大值为()
A.20B.17C.19D.21
【答案】C
【分析】可判断数列{%}是递减的等差数列,利用前〃项和公式和等差数列的性质可得%>0,%,<0,进而
可得”的最大值.
【详解】因为即1%1<0,所以和%1异号,
又等差数列{«„}的前«项和E,有最大值,
所以数列{%}是递减的等差数列,
所以q0>0,<0,
所以
S20=%x20=10(0(+a20)=10(a9+a12)<0,
所以当S0>0时,〃的最大值为19.
故选:c.
2.已知等差数列{%}的前"项和为S.,7a5+5%=0,且。9>%,则A取得最小值时〃的值为()
A.5B.6C.7D.8
【答案】B
【分析】由等差数列{%}的通项公式,求得&<0,%>0,进而得到当当lW〃W6,〃eN*时,«„<0,当
7/6N*时,%>0,即可求解.
【详解】由等差数列{%}的通项公式7%+5%=0,得
7(q+4d)+5(%+8d)—0,12%+68d=0,%=-----d,--=------,又,%>%,
3d3
以%<0,d>0,*.*%+d=0,「.4+5d+5d=0「./+5d=%<°,%+d+—d=>0,
则等差数列{。/中满足4<0,%>0,且d〉0,
数列{%}为递增数列,且当1w加W6,〃EN*时,。〃<°,当"27,〃GN*时,«„>0,
所以当S“取得最小值时,〃的值为6.
故选:B.
3.已知数列{〃“}中,。1=25,4%+1=4%一7,若其前〃项和为反,贝1J8几的最大值为()
,八一765705
A.15B.750C.——D.——
42
【答案】C
7
【分析】由题意可得数列{%}是以首项为25,公差4=-^的等差数列,结合等差数列的通项公式以及前〃
项和的性质分析运算.
7
【详解】由4。用=44一7,可得%+产%—a,
7
所以数列{%}是以首项为25,公差1=的等差数列,且{%}为单调递减数列,
,7、7107
其通项公式为%=25+(〃-叫_/=7+/
71077100
当%=—:〃■1—>0且〃用二—•-n-\•—<0时,Sn最大,
“4444
M«>—,贝ij"=i5,
77
即数列{an}的前15项均为非负值,第16项开始为负值,
4。-15x14/7、765
故S/5取大,S]5=15X25H--xI--1=.
故选:C.
4.若{6}是等差数列,首项%>0,a2O2l+a2Q22>0,a2021.a2022<0,则使前“项和邑>0成立的最大自然数
“是()
A.2021B.2022C.4042D.4043
【答案】C
【分析】根据题意得。2021>°,02022<0»再结合$4043=4。43。2022<。,54042=2021(«2021+«2022)>0>求解即可.
【详解】根据%>得所以5=4043(;+
o,«2021•«2022<0a2021>0,«2022<0,4043喙)=4043$<0,
因为。2。21+«2022>0,所以品>42=竺"78=2021(g⑼+«2022)>0,
所以使前“项和S">0成立的最大自然数"是4042.
故选:C
5.设{0}是等差数列,,是其前〃项和,且&<久,S—,则下列结论正确的是().
A.d>0B.%=0
C.S9>s5D.凡与与均为邑的最大值
【答案】BD
【分析】对于B:根据题意结合前〃项和分析可得R>0,。7=0,g<。;对于A:根据等差数列的定义分析
判断;对于C:根据等差数列的性质分析可得%+%+%+为<0,进而可得结果;对于D:根据等差数列
的正负性结合前n项和的性质分析判断.
【详解】因为&<$6,S6=S7>Ss,
贝I]a6=S6-S5>0,a1=S1-S6=0,as=Ss-Sy<0,故B正确;
设等差数列{%}的公差为d,则1=%-。6<0,故A错误;
可知数列{%}为递减数列,可得外>出>•,,>%=0>6>…,
可得R+%+网+%=2(%+%)=2as<0,
所以$9=$5+。6+%+4+%<$5,故C错误;
因为Q为最后一项正数,根据加法的性质可知:$6为S”的最大值,
又因为其=品,所以$6与M均为s“的最大值,故D正确;
故选:BD.
6.设等差数列{氏}的前〃项和为5“,公差为d.已知。4=12,514>0,S15<0,则下列结论正确的是()
A.a7<0B.——<d<-3
C.$7=84D.设的前〃项和为北,则%>。时,〃的最大值为27
【答案】BC
【分析】由已知求得。8<0,%>0,解公差为d的取值范围,利用等差数列的通项公式求和公式及其性质
逐个选项判断正误即可.
【详解】S15<0,14”%4)=7(%+/)>0,15"/5)=]5%<0,
+6Z8>0,678<0,6Z7>0,A选项错误;
又,.•〃4=12,即%=12—3d,
%+1—%+3d+。4+4d—24+7d〉0
,解得一亍</<一3B选项正确;
=&+4d=12+4d<0
...$=7(%;%)=7%=84,故C选项正确;
因为等差数列{。“}的前”项和为,所以与d,
S“S“="%+DBP—=+---d,
n2
数列用为等差数列,设或个=%+—",
因为当〃414时,S〃>0,当〃>15时,Sn<0,
所以当〃414时,b及>0,当〃>15时,<0,
所以=^^乂27=2744>0,38=^^*28=14(2«[+多]=14(24+;
24
因为-万</<-3,所以盘可能为正数,也可能为负数,所以D选项不正确.
故选:BC.
7.已知数列{%}的前〃项和S”满足S,=的2+ll"+6(a,6eR,〃eN*),则下列说法正确的是()
A.6=0是{%}为等差数列的充要条件
B.{0}可能为等比数列
C.若a>0,beR,则{%}为递增数列
D.若。=一1,则凡中,/,A最大
【答案】ABD
【分析】计算q=。+6+11,当〃22时,an=2an+11-a,验证知A正确,当〃二6二0时是等比数列,B
正确,举反例知C错误,计算。6=0得到D正确,得到答案.
2
【详解】Sn=an+lln+b,ax=Sx=a+b+11;
2
当〃22时,an=S〃-S-i=an+lln+b--11(〃一/-b=2anv11-6,
当6=0时,4=。+11,满足通项公式%=2曲+11-。,数列为等差数列;
当{%}为等差数列时,4=2"+ll-"=11+"+6,b=0,故A正确;
当a=6=0时,%=11,是等比数列,B正确;
%=3。+11,取6=24,则4=4,C错误;
当。=-1时,从第二项开始,数列递减,且%=-2〃+12,故4=0,故工,S6最大,D正确.
故选:ABD
8.已知数列{%}的前〃项和S"=-/+9〃HeN*),则下列结论正确的是()
A.{为}是等差数列B.&+。6=。
81
c.g<%0D.s”有最大值二
【答案】AB
【分析】由%与S”的关系求出数列{4}的通项,从而可判断AB,根据数列性质可判断C,根据前〃项和5
的函数性质可判断D.
【详解】当72=1时,。[=5[=8,
当时,
22
a„=Sn-S,i=-n+9n-[-(«-1)+9(«-1)]=10-2n,符合%=8,
故4=10-2/z,(«eN*),
所以a“+i=10-2(n+l)=8-2〃,an+x-an=-2,
所以数列{见}是等差数列,首项为%=8,公差〃=-2,A正确;
%+。6=2。5=。,B正确;
因为公差”=-2<0,所以数列{4}是递减数列,所以。9>%。,C错误;
s=-n2+9n=-(n--)2+—,
24
易知当〃=4或5时,S.有最大值邑=1=20,D错误.
故选:AB
9.数列{%}的前”项和为S",已知y=-/+7",则下列说法正确的是(
A.{%}是递增数列B.=-14
C.当〃>4时,an<0D.当〃=3或4时,S”取得最大值
【答案】CD
【分析】根据邑表达式及2时,a“=S“-ST的关系,算出数列{%}通项公式,即可判断A、B、C选项
的正误.S,=-n1+7n的最值可视为定义域为正整数的二次函数来求得.
【详解】当"22时,an=Sn-Sn_x=-2n+^,又%=品=6=-2x1+8,所以%=-2"+8,则{4}是递减数
列,故A错误;
%。=72,故B错误;
当〃>4时,。“=8-2〃<0,故C正确;
7
因为S.=-/+7〃的对称轴为"=5,开口向下,而〃是正整数,且〃=3或4距离对称轴一样远,所以当〃=3
或4时,5“取得最大值,故D正确.
故选:CD.
10.等比数列{4}中%=16,。6=2,则数列{log?%}的前〃项和的最大值为.
【答案】21
【分析】先求得数列{%}的通项公式,由此求得数列{log?%}的通项公式,可知数列{log?。”}是等差数列,
然后根据通项公式的特征求得前n项和的最大值.
【详解】由于等比数列{。“}中,«3=16,。6=2,
所以卜“5:6,解得q=64,q=:,
[axq=22
=2'-",所以log?%=7-〃,
所以数列{log?«„}是首项为6,公差为-1的等差数列,
当时,log2a„>0;当〃=7时,log2a„=0;当〃>7时,log2a„<0,
则当"=6或〃=7时,数列{log?%}的前"项和取得最大值,最大值为6+5+4+3+2+1=21.
故答案为:21.
11.记等差数列{%}的前〃项和为S”,若为>0,出+电。23=0,则当S”取得最大值时,n=
【答案】1012
【分析】由出+出。23=0求出生和d的关系,结合等差数列前〃项和公式即可求解.
【详解】设等差数列{4}的公差为",由。2+。2。23=0可得:a,=-^~d,
ll…cn(n-l)2023〃dn(n-V)d,……、
所以》='2'dr=------+'2dr=—(n2~2024〃),
因为%>0,所以d<0,则S”是关于〃的二次函数,开口向下,对称轴”=1012,
由二次函数的图象和性质可得:当”=1012时,S.取最大值,
故答案为:1012.
易错点二:忽视两个“中项”的区别(等比数列利用中项求其它)
1、等比数列的定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数,那么这个
数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q表示。
a-
数学语言表达式:=q(〃之2,4为非零常数).
an-\
2、等比中项性质:如果三个数a,G,6成等比数列,那么G叫做。与6的等比中项,其中G=±J拓,
注意:同号的两个数才有等比中项。
3、通项公式及前〃项和公式
(1)通项公式:若等比数列{%,}的首项为%,公比是0,则其通项公式为=/0i;
nm
通项公式的推广:an=amq-.
(2)等比数列的前〃项和公式:当q=l时,Sn=««1;当qwl时,s“二%(l——')二%—%、
\-q\-q
已知{4}是等比数列,S〃是数列{4}的前〃项和.(等比中项)
1、等比数列的基本性质
(1)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列,即,,ak+m,勾+2加,…仍是等比数列,公比为小".
⑵若{%},同(项数相同)是等比数列,则{血JCO),片,{硝,畀仍是等比数
列.
(3)若k+1=m+n(k,l,m,nGN*),则有%
口诀:角标和相等,项的积也相等推广:片=《一/%+及(〃,左eN*,且"—左21)
(4)若{%}是等比数列,且%〉0,贝!!{log/“}(。>0且。21)是以108“%为首项,1。8,4为公差的等
差数列。
2
(5)若{%,}是等比数列,Tk=axa^...ak,则,,多工‘乎‘…伏仁"*)构成公比为/的等比数列。
Ik12k
易错提醒:若“c成等比数列,则6为。和c的等比中项。只有同号的两数才有等比中项,“b2=ac”
仅是“b为a和c的等比中项”的必要不充分条件,在解题时务必要注意此点。
三声
例.已知各项均为正数的等比数列{%}中,a2a4+2。3a5+%%=25,则%+%等于()
A.5B.10C.15D.20
【详解】解:由等比数列的性质可得念。4=田2,a4a6=。5?,
(*.a2Ci44_2asci5H-U4Ci6=ct32H_2asci5+as2=(的+。5)2=25,
又等比数列{g}各项均为正数,...%+。5=5,选项A正确
变式1.已知等差数列{七}的公差4*0,且%,4,生成等比数列,则=()
13101115
A.B.—C.—D.—
16131316
【详解】由题意可知,另=的9得(%+2d『=%(q+8d),解得d=0或4=d,
因为d。0,故q=d,
一%+%+。9_34+10d_13〃_13
出+为+阳刈+1M16(i16,
故选:A.
变式2.已知见仇ceR,如果-1,a,b,。,-9成等比数列,那么()
A.b=3,ac=9B.b=—3,ac=9
C.b=3,ac=—9D.b=—3,ac=—9
【详解】因为b是T和-9的等比中项,所以〃=(-l)x(-9)=9,设公比为/贝1]6=_«2,
所以6与首项-1同号,所以6=-3.又°,。必同号,所以ac=//=9.
故选:B
变式3.已知等比数列{%}中,a2+a6=5,a3-as=4,贝Ijtan[学]=()
向
A.也B.-V3C.g或-6D.-y-
【详解】解:由等比数列性质可知。2q=。3,%=4=a:,所以为=2或%=-2,
但4+4>0,可知%>0,所以&=2,
故选:B
I.已知等差数列{%}的前〃项和为S“,公差不为0,若满足%、%、%成等比数列,则学W的值为()
»5-»3
A.2B.3C.1D.不存在
【答案】A
【分析】根据题意,利用等比中项公式列出方程求得%=-4d,结合妥言=」^,即可求解.
a
S5-S3%+5
【详解】由等差数列{%}的前〃项和为S〃,公差不为0,若满足4,%,%成等比数列,
可得〃;=4%,即(%+2d)4=%(%+3"),整理得(4+4d).d=0,
因为dwO,所以q=—4d,
—S-y4a,+2d—2d.
又由」——1=——」=」-----=----=2
S5-S3%+%2%+7d-d
故选:A.
2.已知公差不为零的等差数列{%}中,%+%=14,且%,%,%成等比数列,则数列{%}的前9项的和
为()
A.1B.2C.81D.80
【答案】C
【分析】由题知为=7,〃;=%4,进而根据等差数列通项公式解得1=2,再求和即可.
【详解】因为%+%=14,所以2a4=14,解得。4=7.
又4,%,%成等比数列,所以蝙=%“5.设数列{4,}的公差为",
则(。4-2d)=(。4-32)(%+d),即(7-22)=(7—3d)(7+d),整理得储-2d=0.
因为dwO,所以d=2.
所以9x(%+%)=9x(l+⑺/I.
922
故选:C.
3.已知〃=5+2指,c=5-2直,则使得。也。成等比数列的充要条件的6值为()
A.1B.±1C.5D.±2^/6
【答案】B
【分析】根据等比中项的性质求解即可.
【详解】若。也c成等比数列,则62=ac,即6=土4^=±J(5+2#)(5-2#)=±1,
当6=±1时,满足。,4c成等比数列,
故使得。,“。成等比数列的充要条件的6值为士1.
故选:B
4.已知等差数列{%}的公差不为0,%=1且。2,%,W成等比数列,则错误的是()
at+a9aAa5S口"+10、
A.---=2B.—>—C.=——D.Sn>an
“2+。3。344〃+12
【答案】c
【分析】设出公差,根据题干条件列出方程,求出公差,求出通项公式%=”,再利用通项公式和前〃项和
公式对四个选项一一计算,进行判断.
【详解】设等差数列{%}的公差为d(4/0).
因为%=1且%,%,%成等比数歹U,所以(l+3d)2=(l+d)(l+7〃).
解得:d=l,所以。“=%+(/7-l)d=l+("-l)xl=〃.
ci,+etc,1+9.
对于入京点=而=2.故A正确;
24451ca.a.
对于B:因为------=T-J=—>0,所以一>一.故B正确;
。3。43412%。4
S”+1=(〃+l)(〃+2)="+2〃+1
对于c:片亍.故c错误;
n+\~2(w+l)-2
对于D:因为S"-%=攻上。一〃=攻上力,所以当“21时,5<!Izl)>0,即”.故D正确.
222
故选:C
5.正项等比数列{%}中,4%是%与-2%的等差中项,若出=g,则。3%=()
A.4B.8C.32D.64
【答案】D
【分析】依题意4%是%与-2%的等差中项,可求出公比夕,进而由■求出&,根据等比中项求出4出
的值.
【详解】由题意可知,4%是应与-2a4的等差中项,
所以。5一2。4=8%,即-2%0=8%,
所以/_2q_8=0,q=4或0=_2(舍),
所以。4=砧2=8,
a3a5=4;=64,
故选:D.
Y2
6.已知实数4,m,9构成一个等比数列,则圆锥曲线上+产=1的离心率为()
m
A.—B.V7C.叵或eD.|■或7
666
【答案】C
【分析】根据等比中项可求机=±6,然后代入曲线方程分别得到曲线为椭圆和双曲线,根据离心率的公式
即可求解.
【详解】实数4,m,9构成一个等比数列,可得加=±6,
当机=6时,圆锥曲线二+/=1为椭圆,则其离心率为:与二叵.
m766
当〃?=-6时,圆锥曲线二+/=1为双曲线,其离心率为:"=疗.
m1
故选:C.
7.数列{%}为等比数列,q=1,%=4,命题p:4=2,命题夕:的是%、%的等比中项,贝I夕是^的()
条件
A.充要B.充分不必要C.必要不充分D.既不充分也不必要
【答案】A
【分析】根据等比中项的定义结合等比数列的定义判断可得出结论.
【详解】因为数列{与}为等比数列,且%=1,%=4,若%=2,则生=%,
则的是%、%的等比中项,即pnq;
若的是%、%的等比中项,设{%}的公比为小,则/=%相2>0,
因为。;=%%=4,故%=2,即puq.
因此,P是q的充要条件.
故选:A.
8.在数列{%}中,为=2,a“=2%+i(〃eN*),则为。3+。2。4+…+%o%2=()•
A.1x(410-l)B.1x(4n-l)
【答案】D
【分析】由等比数列定义可知数列{%}为等比数列,结合等比数列性质可知数列{d}是以4为首项,;为公
比的等比数列,结合等比数列求和公式可求得结果.
【详解】••,4=2,4即a“+i=;a“
•••数列{4}是以2为首项,y为公比的等比数列,
又数列{•;}是以4为首项,:为公比的等比数列,
/2222\2
%%+〃204+,,,+〃10。12=1%+%++,,•+41)=
16(.1)4414(
=Txr#4=rr^=rrU・
故选:D.
9.已知{4}是等差数列,公差d<0,前〃项和为S〃,若〃3,%,4成等比数列,则()
A.>0,S4>0B.4<0,54<0C.4>0,54<0D.4<0,S4>0
【答案】A
【分析】首先由。3,%,网成等比数列可得然后计算得出%=-1",再由d<0可得%>0,最
后由等差数列的前〃项和公式即可得出邑的表达式,进而得出所求的答案.
【详解】因为的,。4,。8成等比数列,所以为之二生心,
o5
即(为+3d)—(%+2d)(%+7d),即q——~d,
因为d<0,所以%>0;
4x352
而Sq=4qH———d=4%+6d=4x+6d=—-17>0,
故选:A.
10.数1与4的等差中项,等比中项分别是()
,55-5.5
A.±—,+2B.—,+2C.—,2D.±-,2
2222
【答案】B
【分析】利用等差、等比中项的性质求对应中项即可.
【详解】若等差中项为加,贝112%=1+4=5,可得%=:;
2
若等比中项为",则〃2=ix4=4,可得〃=右;
故选:B
11.已知数列{%}是等差数列,%=2,其中公差dwO,若应是。3和。8的等比中项,则几=()
A.398B.388
C.189D.199
【答案】C
【分析】数列缶“}是等差数列,%=2,其中公差d/O,由%是附和。8的等比中项,可得
(2+4")2=(2+2d)(2+7d),解得d即可得出.
【详解】解:数列{%}是等差数列,6=2,其中公差•••%是。3和%的等比中项,
,(2+4dy=(2+2d)(2+7d),
化为d(d-l)=O,dwO.
所以d=1,
贝I]S[8=18X2+穹卫xl=189.
故选:C.
易错点三:忽略等比数列求和时对q讨论(等比数列求和)
等比数列前〃项和的性质
(1)在公比qw—1或q=-l且〃为奇数时,s“,S2n-Sn,S3n-S2n,……仍成等比数列,其公比为/;
(2)对Vm,peM,有鼠+〃=S„,+q"Sp;
s
(3)若等比数列{%}共有2〃项,则”=夕,其中S偶,s奇分别是数列{%}的偶数项和与奇数项和;
J奇
(4)等比数列的前〃项和J=#一—,令左=卢_,贝iJS“=左—左p"(人为常数,且qwO,l)
1-q\-q1-q
n%,q=1
易错提醒:注意等比数列的求和公式是分段表示的:s“=,所以在利用等比数列求和公式
—:----
Ii-q
求和时要先判断公比是否可能为1,,若公比未知,则要注意分两种情况4=1和g力1讨论..
例•设等比数列{%}的前〃项和为S”.已知S用=2S“+g,〃eN*,贝IJA=.
【详解】当{%}的公比为1时,由S用=2S“+;可知显然不成立,故公比不为1,
由S“+i=2S“+g得S〃+]-S“=S“+gna„+i=Sn+-1)
所以〃22时,a=Sn_x+1,相减可得%+1-。“=5"-5._|=。"=>。"+1=2%,故公比q=2,又
1一——_1
a、—u+—P2cli—a1+—Pa,--,
21}222
故v3(1一叫63,故答案为:与
3A=---------二—2
61-22
变式1.记s“为等比数列{%}的前〃项和,若邑=-5,5=21邑,则$8=.
【详解】等比数列{%}中,邑=5,5=21邑,显然公比
设首项为%,则*Ql=_5①,华山=智匕©②,
\-q1-q1-q
化简②得/+如一20=0,解得[2=4或/=_5(不合题意,舍去),
代入①得=4,
\-q3
所以S8=^1^=4(1-/)(1+/)=;X(T5)X(1+16)=-85.
\-ql-q3
故答案为:-85
变式2.在等比数列{%}中,%=;,砌=-4,令求数列也}的前"项和S”.
【详解】设等比数列{%}的公比为,%=g,硝=-4,
所以%=%•/=-4,解得:q=-2,
所以%?(-2广,
又2=⑷=((一2-=2一,所以$=M1Z£)=2"->.1.
2"1-22
3
变式3.数列{叫前〃项和S“满足=2S“+3,4=3,数列也}满足”=3点.
⑴求数列{%}和也}的通项公式;
(2)对任意机eN*,将数列抄“}中落入区间(M4+J内项的个数记为%,求数列{c“}前m项和Tm.
【详解】(1)4=3,%+i=2S〃+3①,当〃=1时,。2=2岳+3=9,
当〃>2时,=2sl+3②,
两式①-②得an+\~an=2。〃,即。〃+1=3%,
其中々2=9=3%,也满足上式,
故{%}是以3为首项,3为公比的等比数列,
故.“=%.3"T=3";
6"=喝系=噫。=3〃-2;
(2)(i,向)=(3H),
9?
令3m<3〃-2<3",my"-1+-<n<y+-,又〃eN*,
33
故〃=3"i+1,3叫7+2,…,3"',则c,“=3™-3叫一=2-S^1,
故汕=叁g=3,所以匕}为等比数列,首项为。=2,公比为3,
%2.3
所以T=2(1-3匚"1—].
m1-3
1.已知{%}为等比数列,其公比4=2,前7项的和为1016,则bg2(%%)的值为()
A.8B.10C.12D.16
【答案】C
【分析】根据等比数列的前〃项和公式求出首项为,进而可得%,再结合对数运算即可得答案.
【详解】依题意,$位%=[0]6,127^=1016,解得%=8,因此%=2川,
71-2
5712
所以噫(a3a5)=log2(2X2)=log22=12.
故选:C
2.已知正项等比数列{%}的前〃项和为S“,若%=1,9邑-1052=0,则工=()
134012180
A.—B.—C.--D.—
9278127
【答案】c
【分析】由等比数列的前〃项和公式直接计算即可.
【详解】设等比数列{%}的公比为q,
当9=1时,9s「IOS2=36%-20%=16%w0,不符合题意,(注意对q=1情况的讨论),
所以qwl,由9邑一10S2=0得9x%°一力=10x%(>"),得q=;,(注意等比数列{4}为正项数列,故
\-q\-q3
>0),
故选:c.
3.已知。|=1,电=1,an=an-\+2fl„-2+1(«>3,"€N*),g,为其前〃项和,则$60=()
A.230-31B.430-31C.2"-30D.430-30
【答案】B
【分析】利用递推关系构造得{%+a,i+l}是一个以3为首项,2为公比的等比数列,再赋值,结合等比数
列的前“项和公式求答案.
【详解】由%=%_]+2%_2+1(〃?3,〃eN*)可得+1=2。,_]+2aL2+2=2(a._]+%_2+1),
已知q=l,a2=1,所以%+%+1=3,
即{%+%7+1}是一个以3为首项,2为公比的等比数列,
n2
所以6+%+1=3x21,即4+an_x=3x2--1(«>2,»eN*),
%+%=3x2°—1,%+。4=3*2-
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