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文档简介

专题08数列

题型一:数列求最值问题e易错点:混淆数列与函数的区别

题型二:等比数列利用中项求其它生、易错点:忽视两个“中项"的区别

题型三:等比数列求和0、易错点:忽略等b啜列求和时对q的讨论

题型四:求通项公式0.易错点:由公求a”时忽略对"=1"的检验

题型五:数列求和已易错点:裂项求和留项出错

易错点一:混淆数列与函数的区别(数列求最值问题)

1、等差数列的定义

(1)文字语言:一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数;

(2)符号语言:a“+「an=d("wN*,"为常数).

2、等差中项:若三个数a,A,6组成等差数列,则/叫做a,b的等差中项.

3、通项公式与前〃项和公式

(1)通项公式:a„=%+(〃-l)d.

(2)前〃项和公式:邑=〃%+若幽产.

(3)等差数列与函数的关系

①通项公式:当公差dwO时,等差数列的通项公式%=%+("-1皿=而+是关于〃的一次函数,

且一次项系数为公差若公差d>0,则为递增数列,若公差d<0,则为递减数列.

②前〃项和:当公差"*0时,邑=〃%+器辿〃=;|〃2+(%一;|)77是关于〃的二次函数且常数项为。

已知数列{%}是等差数列,S,是其前“项和.

1、等差数列通项公式的性质:

(1)通项公式的推广:an=am+(n-m)d(n,m^N*).

(2)若k+l=m+n(k,rn,neN*),则w+q=〃“+%.

(3)若{%}的公差为d,贝!|{出"}也是等差数列,公差为2d.

(4)若也}是等差数列,则{0%+处}也是等差数列.

2、等差数列前〃项和的性质

(1)邑,="(%+。2,)=--="(%+%+1);

(2)=Q"T)%;

(3)两个等差数列{%},也}的前n项和S”,1之间的关系为沁=9.

,2巩-1

(4)数列s“,S2m-sm,s3m-…构成等差数列.

3、关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质

(1)若项数为2〃,贝IJS偶一5奇=加7,=

'偶an+\

S有n

⑵若项数为2〃-1,贝”(禺=(〃-1)%,,5奇="。„,S奇一S偈=《,-^=--

6偶"T

最值问题:解决此类问题有两种思路:

一是利用等差数列的前"项和公式,可用配方法求最值,也可用顶点坐标法求最值;

二是依据等差数列的通项公式%=q+(〃-1”=办+(%-d),当d>0时,数列一定为递增数列,当d<0时,

数列一定为递减数列.所以当为>0,且d<0时,无穷等差数列的前”项和有最大值,其最大值是所有非

负项的和;当为<0,且">0时,无穷等差数列的前"项和有最小值,其最小值是所有非正项的和,求解

非负项是哪一项时,只要令%20即可

易错提醒:数列是一种特殊的函数,在求解数列问题时有时可以利用函数的性质,但是在利用函数单调性

求解数列问题,要注意"的取值不是连续实数,忽略这一点很容易出错.

例.已知等差数列{%}的前〃项和为S",且%=1,S5=10,求S,取得最大值时对应的"值.

【详解】在等差数列{%}中,&=幺爱x5=^x5=10,贝1]%=2,而。4=1,

于是公差6?=%—%=-1,因此=%+(〃—3)d——九+5,

由与NO,得“V5,显然数列{%}是递减等差数列,前5项都是非负数,从第6项起为负数,所以s“的最

大值为凡=风=%;&x4=10,此时”=4或"=5.

变式1.数列{%}是等差数列,q=50,"=-0.6.

⑴从第几项开始有%<0?

(2)求此数列的前〃项和的最大值.

【详解】(1)因为%=50,d=-0.6,所以%=50-0.6(〃-1)=-.06〃+50.6

令一0.6〃+50.6«0,贝I」〃2p84.3.由于〃wN*,故当〃>85时,%<0,

0.6

即从第85项开始各项均小于0;

(2)方法1:5“=50〃+(-0.6)=-0.3/+50.3〃=-0.3、一半]十嗡.

当〃取最接近于受503的自然数,即〃=84时,S,取到最大值54=2108.4.

6

方法2:因为d=—0.6<0,q=50>0,由(1),知%>0,。85<0,

所以$<$2<•••<$84,且$84>§85>$86>….

04乂QO

所以(S.)mx=%=50X84+-^—X(-0.6)=2108.4.

变式2.记S“为等差数列{%}的前〃项和,已知为=-7,S3=-15.

⑴求{%}的通项公式;

(2)求S”的最小值.

【详解】(1)设公差为d,4=-7,

3x(1)

Z.S3=3x(-7)+^~t/=-21+36/=-15,解得d=2,

=4+(〃—1)d=2〃—9.

(2),:a、=-7,d=2,

n2

Sn="%+("2—d=n-8/2=(〃-4)~-16,

.•.当〃=4时,S“最小,最小值为-16.

变式3.等差数列{%},Sn=-ll,公差d=-3.

(1)求通项公式和前"项和公式;

(2)当〃取何值时,前〃项和最大,最大值是多少.

【详解】(1)由S,为等差数列{%}的前〃项和,则耳|=上竽£=@卢=11&=T1,解得G=T,

=Qe+(〃-6)d=-1+(〃-6)x(-3)=17-3〃,贝(j4—17—3=14,

n(%+。〃)〃(14+17-3〃)331

S“二n2H-----n

2222

(2)由。“=17-3〃,则数列{%}为递减数列,

由&=T<0,%=2>。,则当〃=5时,5.取得最大值,即最大值为1=5.(;+2)=40.

1.已知数列{叫是等差数列,若%+初<0,4。4<0,且数列{叫的前〃项和九有最大值,当S〃>0

时,”的最大值为()

A.20B.17C.19D.21

【答案】C

【分析】可判断数列{%}是递减的等差数列,利用前〃项和公式和等差数列的性质可得%>0,%,<0,进而

可得”的最大值.

【详解】因为即1%1<0,所以和%1异号,

又等差数列{«„}的前«项和E,有最大值,

所以数列{%}是递减的等差数列,

所以q0>0,<0,

所以

S20=%x20=10(0(+a20)=10(a9+a12)<0,

所以当S0>0时,〃的最大值为19.

故选:c.

2.已知等差数列{%}的前"项和为S.,7a5+5%=0,且。9>%,则A取得最小值时〃的值为()

A.5B.6C.7D.8

【答案】B

【分析】由等差数列{%}的通项公式,求得&<0,%>0,进而得到当当lW〃W6,〃eN*时,«„<0,当

7/6N*时,%>0,即可求解.

【详解】由等差数列{%}的通项公式7%+5%=0,得

7(q+4d)+5(%+8d)—0,12%+68d=0,%=-----d,--=------,又,%>%,

3d3

以%<0,d>0,*.*%+d=0,「.4+5d+5d=0「./+5d=%<°,%+d+—d=>0,

则等差数列{。/中满足4<0,%>0,且d〉0,

数列{%}为递增数列,且当1w加W6,〃EN*时,。〃<°,当"27,〃GN*时,«„>0,

所以当S“取得最小值时,〃的值为6.

故选:B.

3.已知数列{〃“}中,。1=25,4%+1=4%一7,若其前〃项和为反,贝1J8几的最大值为()

,八一765705

A.15B.750C.——D.——

42

【答案】C

7

【分析】由题意可得数列{%}是以首项为25,公差4=-^的等差数列,结合等差数列的通项公式以及前〃

项和的性质分析运算.

7

【详解】由4。用=44一7,可得%+产%—a,

7

所以数列{%}是以首项为25,公差1=的等差数列,且{%}为单调递减数列,

,7、7107

其通项公式为%=25+(〃-叫_/=7+/

71077100

当%=—:〃■1—>0且〃用二—•-n-\•—<0时,Sn最大,

“4444

M«>—,贝ij"=i5,

77

即数列{an}的前15项均为非负值,第16项开始为负值,

4。-15x14/7、765

故S/5取大,S]5=15X25H--xI--1=.

故选:C.

4.若{6}是等差数列,首项%>0,a2O2l+a2Q22>0,a2021.a2022<0,则使前“项和邑>0成立的最大自然数

“是()

A.2021B.2022C.4042D.4043

【答案】C

【分析】根据题意得。2021>°,02022<0»再结合$4043=4。43。2022<。,54042=2021(«2021+«2022)>0>求解即可.

【详解】根据%>得所以5=4043(;+

o,«2021•«2022<0a2021>0,«2022<0,4043喙)=4043$<0,

因为。2。21+«2022>0,所以品>42=竺"78=2021(g⑼+«2022)>0,

所以使前“项和S">0成立的最大自然数"是4042.

故选:C

5.设{0}是等差数列,,是其前〃项和,且&<久,S—,则下列结论正确的是().

A.d>0B.%=0

C.S9>s5D.凡与与均为邑的最大值

【答案】BD

【分析】对于B:根据题意结合前〃项和分析可得R>0,。7=0,g<。;对于A:根据等差数列的定义分析

判断;对于C:根据等差数列的性质分析可得%+%+%+为<0,进而可得结果;对于D:根据等差数列

的正负性结合前n项和的性质分析判断.

【详解】因为&<$6,S6=S7>Ss,

贝I]a6=S6-S5>0,a1=S1-S6=0,as=Ss-Sy<0,故B正确;

设等差数列{%}的公差为d,则1=%-。6<0,故A错误;

可知数列{%}为递减数列,可得外>出>•,,>%=0>6>…,

可得R+%+网+%=2(%+%)=2as<0,

所以$9=$5+。6+%+4+%<$5,故C错误;

因为Q为最后一项正数,根据加法的性质可知:$6为S”的最大值,

又因为其=品,所以$6与M均为s“的最大值,故D正确;

故选:BD.

6.设等差数列{氏}的前〃项和为5“,公差为d.已知。4=12,514>0,S15<0,则下列结论正确的是()

A.a7<0B.——<d<-3

C.$7=84D.设的前〃项和为北,则%>。时,〃的最大值为27

【答案】BC

【分析】由已知求得。8<0,%>0,解公差为d的取值范围,利用等差数列的通项公式求和公式及其性质

逐个选项判断正误即可.

【详解】S15<0,14”%4)=7(%+/)>0,15"/5)=]5%<0,

+6Z8>0,678<0,6Z7>0,A选项错误;

又,.•〃4=12,即%=12—3d,

%+1—%+3d+。4+4d—24+7d〉0

,解得一亍</<一3B选项正确;

=&+4d=12+4d<0

...$=7(%;%)=7%=84,故C选项正确;

因为等差数列{。“}的前”项和为,所以与d,

S“S“="%+DBP—=+---d,

n2

数列用为等差数列,设或个=%+—",

因为当〃414时,S〃>0,当〃>15时,Sn<0,

所以当〃414时,b及>0,当〃>15时,<0,

所以=^^乂27=2744>0,38=^^*28=14(2«[+多]=14(24+;

24

因为-万</<-3,所以盘可能为正数,也可能为负数,所以D选项不正确.

故选:BC.

7.已知数列{%}的前〃项和S”满足S,=的2+ll"+6(a,6eR,〃eN*),则下列说法正确的是()

A.6=0是{%}为等差数列的充要条件

B.{0}可能为等比数列

C.若a>0,beR,则{%}为递增数列

D.若。=一1,则凡中,/,A最大

【答案】ABD

【分析】计算q=。+6+11,当〃22时,an=2an+11-a,验证知A正确,当〃二6二0时是等比数列,B

正确,举反例知C错误,计算。6=0得到D正确,得到答案.

2

【详解】Sn=an+lln+b,ax=Sx=a+b+11;

2

当〃22时,an=S〃-S-i=an+lln+b--11(〃一/-b=2anv11-6,

当6=0时,4=。+11,满足通项公式%=2曲+11-。,数列为等差数列;

当{%}为等差数列时,4=2"+ll-"=11+"+6,b=0,故A正确;

当a=6=0时,%=11,是等比数列,B正确;

%=3。+11,取6=24,则4=4,C错误;

当。=-1时,从第二项开始,数列递减,且%=-2〃+12,故4=0,故工,S6最大,D正确.

故选:ABD

8.已知数列{%}的前〃项和S"=-/+9〃HeN*),则下列结论正确的是()

A.{为}是等差数列B.&+。6=。

81

c.g<%0D.s”有最大值二

【答案】AB

【分析】由%与S”的关系求出数列{4}的通项,从而可判断AB,根据数列性质可判断C,根据前〃项和5

的函数性质可判断D.

【详解】当72=1时,。[=5[=8,

当时,

22

a„=Sn-S,i=-n+9n-[-(«-1)+9(«-1)]=10-2n,符合%=8,

故4=10-2/z,(«eN*),

所以a“+i=10-2(n+l)=8-2〃,an+x-an=-2,

所以数列{见}是等差数列,首项为%=8,公差〃=-2,A正确;

%+。6=2。5=。,B正确;

因为公差”=-2<0,所以数列{4}是递减数列,所以。9>%。,C错误;

s=-n2+9n=-(n--)2+—,

24

易知当〃=4或5时,S.有最大值邑=1=20,D错误.

故选:AB

9.数列{%}的前”项和为S",已知y=-/+7",则下列说法正确的是(

A.{%}是递增数列B.=-14

C.当〃>4时,an<0D.当〃=3或4时,S”取得最大值

【答案】CD

【分析】根据邑表达式及2时,a“=S“-ST的关系,算出数列{%}通项公式,即可判断A、B、C选项

的正误.S,=-n1+7n的最值可视为定义域为正整数的二次函数来求得.

【详解】当"22时,an=Sn-Sn_x=-2n+^,又%=品=6=-2x1+8,所以%=-2"+8,则{4}是递减数

列,故A错误;

%。=72,故B错误;

当〃>4时,。“=8-2〃<0,故C正确;

7

因为S.=-/+7〃的对称轴为"=5,开口向下,而〃是正整数,且〃=3或4距离对称轴一样远,所以当〃=3

或4时,5“取得最大值,故D正确.

故选:CD.

10.等比数列{4}中%=16,。6=2,则数列{log?%}的前〃项和的最大值为.

【答案】21

【分析】先求得数列{%}的通项公式,由此求得数列{log?%}的通项公式,可知数列{log?。”}是等差数列,

然后根据通项公式的特征求得前n项和的最大值.

【详解】由于等比数列{。“}中,«3=16,。6=2,

所以卜“5:6,解得q=64,q=:,

[axq=22

=2'-",所以log?%=7-〃,

所以数列{log?«„}是首项为6,公差为-1的等差数列,

当时,log2a„>0;当〃=7时,log2a„=0;当〃>7时,log2a„<0,

则当"=6或〃=7时,数列{log?%}的前"项和取得最大值,最大值为6+5+4+3+2+1=21.

故答案为:21.

11.记等差数列{%}的前〃项和为S”,若为>0,出+电。23=0,则当S”取得最大值时,n=

【答案】1012

【分析】由出+出。23=0求出生和d的关系,结合等差数列前〃项和公式即可求解.

【详解】设等差数列{4}的公差为",由。2+。2。23=0可得:a,=-^~d,

ll…cn(n-l)2023〃dn(n-V)d,……、

所以》='2'dr=------+'2dr=—(n2~2024〃),

因为%>0,所以d<0,则S”是关于〃的二次函数,开口向下,对称轴”=1012,

由二次函数的图象和性质可得:当”=1012时,S.取最大值,

故答案为:1012.

易错点二:忽视两个“中项”的区别(等比数列利用中项求其它)

1、等比数列的定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数,那么这个

数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q表示。

a-

数学语言表达式:­=q(〃之2,4为非零常数).

an-\

2、等比中项性质:如果三个数a,G,6成等比数列,那么G叫做。与6的等比中项,其中G=±J拓,

注意:同号的两个数才有等比中项。

3、通项公式及前〃项和公式

(1)通项公式:若等比数列{%,}的首项为%,公比是0,则其通项公式为=/0i;

nm

通项公式的推广:an=amq-.

(2)等比数列的前〃项和公式:当q=l时,Sn=««1;当qwl时,s“二%(l——')二%—%、

\-q\-q

已知{4}是等比数列,S〃是数列{4}的前〃项和.(等比中项)

1、等比数列的基本性质

(1)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列,即,,ak+m,勾+2加,…仍是等比数列,公比为小".

⑵若{%},同(项数相同)是等比数列,则{血JCO),片,{硝,畀仍是等比数

列.

(3)若k+1=m+n(k,l,m,nGN*),则有%

口诀:角标和相等,项的积也相等推广:片=《一/%+及(〃,左eN*,且"—左21)

(4)若{%}是等比数列,且%〉0,贝!!{log/“}(。>0且。21)是以108“%为首项,1。8,4为公差的等

差数列。

2

(5)若{%,}是等比数列,Tk=axa^...ak,则,,多工‘乎‘…伏仁"*)构成公比为/的等比数列。

Ik12k

易错提醒:若“c成等比数列,则6为。和c的等比中项。只有同号的两数才有等比中项,“b2=ac”

仅是“b为a和c的等比中项”的必要不充分条件,在解题时务必要注意此点。

三声

例.已知各项均为正数的等比数列{%}中,a2a4+2。3a5+%%=25,则%+%等于()

A.5B.10C.15D.20

【详解】解:由等比数列的性质可得念。4=田2,a4a6=。5?,

(*.a2Ci44_2asci5H-U4Ci6=ct32H_2asci5+as2=(的+。5)2=25,

又等比数列{g}各项均为正数,...%+。5=5,选项A正确

变式1.已知等差数列{七}的公差4*0,且%,4,生成等比数列,则=()

13101115

A.B.—C.—D.—

16131316

【详解】由题意可知,另=的9得(%+2d『=%(q+8d),解得d=0或4=d,

因为d。0,故q=d,

一%+%+。9_34+10d_13〃_13

出+为+阳刈+1M16(i16,

故选:A.

变式2.已知见仇ceR,如果-1,a,b,。,-9成等比数列,那么()

A.b=3,ac=9B.b=—3,ac=9

C.b=3,ac=—9D.b=—3,ac=—9

【详解】因为b是T和-9的等比中项,所以〃=(-l)x(-9)=9,设公比为/贝1]6=_«2,

所以6与首项-1同号,所以6=-3.又°,。必同号,所以ac=//=9.

故选:B

变式3.已知等比数列{%}中,a2+a6=5,a3-as=4,贝Ijtan[学]=()

A.也B.-V3C.g或-6D.-y-

【详解】解:由等比数列性质可知。2q=。3,%=4=a:,所以为=2或%=-2,

但4+4>0,可知%>0,所以&=2,

故选:B

I.已知等差数列{%}的前〃项和为S“,公差不为0,若满足%、%、%成等比数列,则学W的值为()

»5-»3

A.2B.3C.1D.不存在

【答案】A

【分析】根据题意,利用等比中项公式列出方程求得%=-4d,结合妥言=」^,即可求解.

a

S5-S3%+5

【详解】由等差数列{%}的前〃项和为S〃,公差不为0,若满足4,%,%成等比数列,

可得〃;=4%,即(%+2d)4=%(%+3"),整理得(4+4d).d=0,

因为dwO,所以q=—4d,

—S-y4a,+2d—2d.

又由」——1=——」=」-----=----=2

S5-S3%+%2%+7d-d

故选:A.

2.已知公差不为零的等差数列{%}中,%+%=14,且%,%,%成等比数列,则数列{%}的前9项的和

为()

A.1B.2C.81D.80

【答案】C

【分析】由题知为=7,〃;=%4,进而根据等差数列通项公式解得1=2,再求和即可.

【详解】因为%+%=14,所以2a4=14,解得。4=7.

又4,%,%成等比数列,所以蝙=%“5.设数列{4,}的公差为",

则(。4-2d)=(。4-32)(%+d),即(7-22)=(7—3d)(7+d),整理得储-2d=0.

因为dwO,所以d=2.

所以9x(%+%)=9x(l+⑺/I.

922

故选:C.

3.已知〃=5+2指,c=5-2直,则使得。也。成等比数列的充要条件的6值为()

A.1B.±1C.5D.±2^/6

【答案】B

【分析】根据等比中项的性质求解即可.

【详解】若。也c成等比数列,则62=ac,即6=土4^=±J(5+2#)(5-2#)=±1,

当6=±1时,满足。,4c成等比数列,

故使得。,“。成等比数列的充要条件的6值为士1.

故选:B

4.已知等差数列{%}的公差不为0,%=1且。2,%,W成等比数列,则错误的是()

at+a9aAa5S口"+10、

A.---=2B.—>—C.=——D.Sn>an

“2+。3。344〃+12

【答案】c

【分析】设出公差,根据题干条件列出方程,求出公差,求出通项公式%=”,再利用通项公式和前〃项和

公式对四个选项一一计算,进行判断.

【详解】设等差数列{%}的公差为d(4/0).

因为%=1且%,%,%成等比数歹U,所以(l+3d)2=(l+d)(l+7〃).

解得:d=l,所以。“=%+(/7-l)d=l+("-l)xl=〃.

ci,+etc,1+9.

对于入京点=而=2.故A正确;

24451ca.a.

对于B:因为------=T-J=—>0,所以一>一.故B正确;

。3。43412%。4

S”+1=(〃+l)(〃+2)="+2〃+1

对于c:片亍.故c错误;

n+\~2(w+l)-2

对于D:因为S"-%=攻上。一〃=攻上力,所以当“21时,5<!Izl)>0,即”.故D正确.

222

故选:C

5.正项等比数列{%}中,4%是%与-2%的等差中项,若出=g,则。3%=()

A.4B.8C.32D.64

【答案】D

【分析】依题意4%是%与-2%的等差中项,可求出公比夕,进而由■求出&,根据等比中项求出4出

的值.

【详解】由题意可知,4%是应与-2a4的等差中项,

所以。5一2。4=8%,即-2%0=8%,

所以/_2q_8=0,q=4或0=_2(舍),

所以。4=砧2=8,

a3a5=4;=64,

故选:D.

Y2

6.已知实数4,m,9构成一个等比数列,则圆锥曲线上+产=1的离心率为()

m

A.—B.V7C.叵或eD.|■或7

666

【答案】C

【分析】根据等比中项可求机=±6,然后代入曲线方程分别得到曲线为椭圆和双曲线,根据离心率的公式

即可求解.

【详解】实数4,m,9构成一个等比数列,可得加=±6,

当机=6时,圆锥曲线二+/=1为椭圆,则其离心率为:与二叵.

m766

当〃?=-6时,圆锥曲线二+/=1为双曲线,其离心率为:"=疗.

m1

故选:C.

7.数列{%}为等比数列,q=1,%=4,命题p:4=2,命题夕:的是%、%的等比中项,贝I夕是^的()

条件

A.充要B.充分不必要C.必要不充分D.既不充分也不必要

【答案】A

【分析】根据等比中项的定义结合等比数列的定义判断可得出结论.

【详解】因为数列{与}为等比数列,且%=1,%=4,若%=2,则生=%,

则的是%、%的等比中项,即pnq;

若的是%、%的等比中项,设{%}的公比为小,则/=%相2>0,

因为。;=%%=4,故%=2,即puq.

因此,P是q的充要条件.

故选:A.

8.在数列{%}中,为=2,a“=2%+i(〃eN*),则为。3+。2。4+…+%o%2=()•

A.1x(410-l)B.1x(4n-l)

【答案】D

【分析】由等比数列定义可知数列{%}为等比数列,结合等比数列性质可知数列{d}是以4为首项,;为公

比的等比数列,结合等比数列求和公式可求得结果.

【详解】••,4=2,4即a“+i=;a“

•••数列{4}是以2为首项,y为公比的等比数列,

又数列{•;}是以4为首项,:为公比的等比数列,

/2222\2

%%+〃204+,,,+〃10。12=1%+%++,,•+41)=

16(.1)4414(

=Txr#4=rr^=rrU・

故选:D.

9.已知{4}是等差数列,公差d<0,前〃项和为S〃,若〃3,%,4成等比数列,则()

A.>0,S4>0B.4<0,54<0C.4>0,54<0D.4<0,S4>0

【答案】A

【分析】首先由。3,%,网成等比数列可得然后计算得出%=-1",再由d<0可得%>0,最

后由等差数列的前〃项和公式即可得出邑的表达式,进而得出所求的答案.

【详解】因为的,。4,。8成等比数列,所以为之二生心,

o5

即(为+3d)—(%+2d)(%+7d),即q——~d,

因为d<0,所以%>0;

4x352

而Sq=4qH———d=4%+6d=4x+6d=—-17>0,

故选:A.

10.数1与4的等差中项,等比中项分别是()

,55-5.5

A.±—,+2B.—,+2C.—,2D.±-,2

2222

【答案】B

【分析】利用等差、等比中项的性质求对应中项即可.

【详解】若等差中项为加,贝112%=1+4=5,可得%=:;

2

若等比中项为",则〃2=ix4=4,可得〃=右;

故选:B

11.已知数列{%}是等差数列,%=2,其中公差dwO,若应是。3和。8的等比中项,则几=()

A.398B.388

C.189D.199

【答案】C

【分析】数列缶“}是等差数列,%=2,其中公差d/O,由%是附和。8的等比中项,可得

(2+4")2=(2+2d)(2+7d),解得d即可得出.

【详解】解:数列{%}是等差数列,6=2,其中公差•••%是。3和%的等比中项,

,(2+4dy=(2+2d)(2+7d),

化为d(d-l)=O,dwO.

所以d=1,

贝I]S[8=18X2+穹卫xl=189.

故选:C.

易错点三:忽略等比数列求和时对q讨论(等比数列求和)

等比数列前〃项和的性质

(1)在公比qw—1或q=-l且〃为奇数时,s“,S2n-Sn,S3n-S2n,……仍成等比数列,其公比为/;

(2)对Vm,peM,有鼠+〃=S„,+q"Sp;

s

(3)若等比数列{%}共有2〃项,则”=夕,其中S偶,s奇分别是数列{%}的偶数项和与奇数项和;

J奇

(4)等比数列的前〃项和J=#一—,令左=卢_,贝iJS“=左—左p"(人为常数,且qwO,l)

1-q\-q1-q

n%,q=1

易错提醒:注意等比数列的求和公式是分段表示的:s“=,所以在利用等比数列求和公式

—:----

Ii-q

求和时要先判断公比是否可能为1,,若公比未知,则要注意分两种情况4=1和g力1讨论..

例•设等比数列{%}的前〃项和为S”.已知S用=2S“+g,〃eN*,贝IJA=.

【详解】当{%}的公比为1时,由S用=2S“+;可知显然不成立,故公比不为1,

由S“+i=2S“+g得S〃+]-S“=S“+gna„+i=Sn+-1)

所以〃22时,a=Sn_x+1,相减可得%+1-。“=5"-5._|=。"=>。"+1=2%,故公比q=2,又

1一——_1

a、—u+—P2cli—a1+—Pa,--,

21}222

故v3(1一叫63,故答案为:与

3A=---------二—2

61-22

变式1.记s“为等比数列{%}的前〃项和,若邑=-5,5=21邑,则$8=.

【详解】等比数列{%}中,邑=5,5=21邑,显然公比

设首项为%,则*Ql=_5①,华山=智匕©②,

\-q1-q1-q

化简②得/+如一20=0,解得[2=4或/=_5(不合题意,舍去),

代入①得=4,

\-q3

所以S8=^1^=4(1-/)(1+/)=;X(T5)X(1+16)=-85.

\-ql-q3

故答案为:-85

变式2.在等比数列{%}中,%=;,砌=-4,令求数列也}的前"项和S”.

【详解】设等比数列{%}的公比为,%=g,硝=-4,

所以%=%•/=-4,解得:q=-2,

所以%?(-2广,

又2=⑷=((一2-=2一,所以$=M1Z£)=2"->.1.

2"1-22

3

变式3.数列{叫前〃项和S“满足­=2S“+3,4=3,数列也}满足”=3点.

⑴求数列{%}和也}的通项公式;

(2)对任意机eN*,将数列抄“}中落入区间(M4+J内项的个数记为%,求数列{c“}前m项和Tm.

【详解】(1)4=3,%+i=2S〃+3①,当〃=1时,。2=2岳+3=9,

当〃>2时,=2sl+3②,

两式①-②得an+\~an=2。〃,即。〃+1=3%,

其中々2=9=3%,也满足上式,

故{%}是以3为首项,3为公比的等比数列,

故.“=%.3"T=3";

6"=喝系=噫。=3〃-2;

(2)(i,向)=(3H),

9?

令3m<3〃-2<3",my"-1+-<n<y+-,又〃eN*,

33

故〃=3"i+1,3叫7+2,…,3"',则c,“=3™-3叫一=2-S^1,

故汕=叁g=3,所以匕}为等比数列,首项为。=2,公比为3,

%2.3

所以T=2(1-3匚"1—].

m1-3

1.已知{%}为等比数列,其公比4=2,前7项的和为1016,则bg2(%%)的值为()

A.8B.10C.12D.16

【答案】C

【分析】根据等比数列的前〃项和公式求出首项为,进而可得%,再结合对数运算即可得答案.

【详解】依题意,$位%=[0]6,127^=1016,解得%=8,因此%=2川,

71-2

5712

所以噫(a3a5)=log2(2X2)=log22=12.

故选:C

2.已知正项等比数列{%}的前〃项和为S“,若%=1,9邑-1052=0,则工=()

134012180

A.—B.—C.--D.—

9278127

【答案】c

【分析】由等比数列的前〃项和公式直接计算即可.

【详解】设等比数列{%}的公比为q,

当9=1时,9s「IOS2=36%-20%=16%w0,不符合题意,(注意对q=1情况的讨论),

所以qwl,由9邑一10S2=0得9x%°一力=10x%(>"),得q=;,(注意等比数列{4}为正项数列,故

\-q\-q3

>0),

故选:c.

3.已知。|=1,电=1,an=an-\+2fl„-2+1(«>3,"€N*),g,为其前〃项和,则$60=()

A.230-31B.430-31C.2"-30D.430-30

【答案】B

【分析】利用递推关系构造得{%+a,i+l}是一个以3为首项,2为公比的等比数列,再赋值,结合等比数

列的前“项和公式求答案.

【详解】由%=%_]+2%_2+1(〃?3,〃eN*)可得+1=2。,_]+2aL2+2=2(a._]+%_2+1),

已知q=l,a2=1,所以%+%+1=3,

即{%+%7+1}是一个以3为首项,2为公比的等比数列,

n2

所以6+%+1=3x21,即4+an_x=3x2--1(«>2,»eN*),

%+%=3x2°—1,%+。4=3*2-

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