2024年高考数学考前20天终极冲刺攻略（二）（新高考新题型专用）含答案解析

2024年高考数学考前20天终极冲刺攻略（新高考新题型专用）含答案解析

三角恒等变换（选填题）

情分析

年份题号知识点考点

2021年I卷6三角恒等变换已知条件求值问题

2021年II

无

卷

2022年I卷无

①三角函数和差、半角正余弦公式

2022年II②三角函数和差、半角正切公式

6三角函数化简

卷③三角函数辅助角公式

④三角函数万能公式

①三角函数和差、半角正余弦公式

2023年新②三角函数和差、半角正切公式

8三角恒等变换

高考1③三角函数辅助角公式

④三角函数万能公式

①三角函数和差、半角正余弦公式

2023年新

②三角函数和差、半角正切公式

高考27三角函数的诱导公式

③三角函数辅助角公式

④三角函数万能公式

近三年，三角恒等变换在选填中占据一个位置，考查的考点一般来说是：

1、已知条件求值问题（①“给角求值”②“给值求值”③“给值求角”）

2、求非特殊角三角函数值运算（①整体换元利用恒等变形公式计算其结果②对偶式处理③记住一些特殊角

的三角函数值）

3、正余弦三角函数值加减问题（①三角函数和差、半角正余弦公式②三角函数和差、半角正切公式③三

角函数辅助角公式④三角函数三剑客）

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4、tana与齐次式互换（掌握五类变形的标准）

题干的设置一般来说在上述的四项考点中选其一项。三角恒等变换需要认真分类，熟练掌握各类题的

技巧，即目测题后瞬间就能想到对应的做题方案，便可轻松搞定。

高考预测

三角恒等变换在2024新高考新题型中的考查形式依然以选择或者填空为主，以考查齐次化和已知条件

求值问题为主，三角恒等变换在选填中难度中等，考生可适当留意常见的变换并分类，每一类总结出一个

固定模板，以便此类题在高考出现时考生能做到心中有数，快速解答.

/应试必备

一、已知条件求值问题

I诱导公式的秒记

奇变偶不变，符号看象限

①奇变偶不变n关键要看所加弧度是工的奇数倍还是偶数倍

2

若是奇数倍则sinocos互变，若是偶数倍,则sinocos不变

例如：sin（a+网］•包是工的3倍，3属于奇数，故先变为cosa

I2J22

②符号看象限n首先将a永远看成30°,其次利用sin看上下，cos看左右进行秒杀

上个例题中变成cosa后，然后判断符号，270°+30°=300°,所以位于第四象限，利用sin看上下,

所以原式为负，化简结果为-cosa

例如：cos（a+乃）n是看的2倍,2属于偶数，故先变为cosa,然后判断符号,180°+30°=210°,

所以位于第三象限，利用cos看左右，所以原式为负，化简结果为-cosa.

II诱导公式的延伸

结论I：sin(〃%+a)=sina(〃GZ)

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推导如下①当〃=2左（左£Z）时，

由诱导公式有sin（2左％+a）=sina二（-1）2Asina（keZ）

②当〃=2左+1（左cZ）时，由诱导公式有

sin[（2左+1）TT+a]=sin（2左乃+乃+a）=sin（%+a）=-sina=（—1广+1.sin。（左GZ）

结论II：cos（〃7r+a）=（-l）〃cosa（〃GZ）

推导如下①当〃=2左（左£2）时，

由诱导公式有cos（2左»+a）=cosa=（一1广cosa（kGZ）

②当〃=2左+1（左EZ）时，由诱导公式有

cos[（2左+l）7r+a]=cos（22万+乃+a）=COS（TT+a）=-cosa=（-1）2A+1-cosa（kGZ）

结论HI：sin（〃万一a）=（-1）"一sina（〃eZ）

①当n=2k（kcZ）时，

由诱导公式有sin（2左%一a）=-sina=（-1）""sina（左eZ）

②当〃=2左+1（左EZ）时，由诱导公式有

sin[（2A:+l）;r-cr]=sin（2^+TT-cr）=sin（^-a）=sina=（-l）2^.sina（左eZ）

结论IV:cos（〃万一a）=（-1）〃cosa（nGZ）

推导如下①当〃=2左（丘Z）时，

由诱导公式有cos（2左乃-a）=cosa=（-l）2icosa（keZ）

②当〃=2上+l-eZ）时，由诱导公式有

cos[（24+1）乃一（z]=cos（24乃+"一a）=cos（乃一a）=-cosa=（-1）2A+1-cosa（A;eZ）

IH诱导公式的妙用

技巧总结

题中出现同名三角函数相加且首尾互余或互补时，则采用倒序相加的思想处理此类问题

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模型：cos—+COS—+.......+cos—~^-+cos—~为大于2的奇数）…①

nnnn

cos—~—+cos—~+........+cos—+cos—（〃为大于2的奇数）...②

nnnn

由①+②得（cos—~—+cos—fcos—~^-+cos—+.......（〃为大于2的奇数）

InnJnn）

由诱导公式可得每一组都为0

IV诱导公式的超级应用

技巧总结

针对已知条件求值问题，则遵循以下步骤（万能）

第一步：将目标角和已知角全拿出来

第二步：通过加减乘消去a或x

第三步：用已知角代替目标角

第四步：利用诱导公式或三角恒等变换处理

二、求非特殊角三角函数值运算问题

I三角函数非特殊角选择问题

技巧总结

记住常见数据:sin6°»0.1,sin12°»0.2,sin18°»0.3,sin24°»0.4,sin30°=0.5

sin37°=0.6,sin44°工0.7,sin53°x0,8,sin64°工0.9,sin90°=1.0

sin75°=0.96,sin45°®0.71

H三角函数非特殊角填空问题

技巧总结

一些非特殊角的三角恒等变形求值填空题，由于最后得出的是一个具体的数值，故将其设为一个元/,再利

用恒等变形公式计算其结果

IH针对非特殊角三角函数值运算有两种思路

思路1：采用对偶式处理

步骤如下：

第一步：令原式为X,对偶式为y

第二步：两式相加x+y=?,两式相减x-y=?

第三步：解二元一次方程组，求解x

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思路2：若原式拥有两个角的运算，可借助三角形处理

步骤如下：

第：一步：构造△ABC,//=?、NB=?、/。=?外接圆直径2火=1

第二步：应用正弦定理求出a=?、b=?、c=?

第三步：应用余弦定理表示求出答案

三、正余弦三角函数值加减问题

I三角函数三剑客

技巧总结

三角函数sina+cosa、sina-cosa、sinacosa称为《三剑客》，《三剑客》中《知一求二》

理由如下：

(sintz+cosa)2=sin2a+2sincosa+cos2a=l+2sin(zcos(z

(sina-cosa)2=sin2a—2sinacosa+cos2a=1—2sinacosa

如果已知5苗&©05戊求5苗&±©05&必须会判断sina土cosa的正负

判断如下：

①关于sina—cosa的符号判断

当角a的终边在区域2、3、4、5则有sina-cosa>0

当角a的终边在区域1、6、7、8则有sina—costz<0

当角a的终边在直线y=x上时，则有sina-cosa=0

②关于sina+cosa的符号判断

当角tz的终边在区域8、1、2、3贝|］有sina+cosa>0

当角a的终边在区域4、5、6、7则有sintz+cosa<0

当角a的终边在直线y=-x上时，则有sina+cosa=0

③关于sina±tana的符号判断

当角a的终边在区域1、2、5,6则有sina+tana>0,sin(z—tan(z<0

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当角a的终边在区域3、4、7、8则有sina+tanaV0,sina-tana>0

当角a的终边在x轴上时，则有sina土tan。=0

结论：④若/(a)=sina+cosa=41sinfa+?J则

I当角a在终边在区域1、2内时，/(a)e(l,V2)

II当角a在终边在区域3、8内时,/(a)e(O,l)

HI当角a在终边在区域4、7内时，/(cr)e(-l,O)

IV当角a在终边在区域5、6内时，/((z)e(-V2-1)

⑤若/(a)=sina-cosa

I当角a在终边在区域3、4内时，/(a)e(l,V2)

H当角a在终边在区域2、5内时，/((Z)G(O,1)

III当角a在终边在区域1、6内时,f(a)e(-1,0)

IV当角a在终边在区域7、8内时，/(tz)e(-72-1)

结论1：出现asina+bcosa=/形式则采用对偶式处理

asina+bcosa-A...(1)

acosa-bsina=B...(2)

(l)2+(2)2n(asina+bcosa)2+(acosa-bsina1=A?+B2

/f+§2n§2={+,2_/2

然后利用二元一次方程组快速求解sina、cosa

特殊情况：asina+bcosa=J/+/则tana=2

b

结论2：速记一些常见的勾股数，然后利用直角三角形处理

(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25),(8,15,17),(1,1,&)(1,后2)(1,2,⑸(1,3,师)

(1,7,5收)

n三角函数和差、半角正余弦公式

技巧总结

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①两角和与差的正弦公式口诀：正余余正，符号相同

sin(a+/?)=sinacos/?+cosasin

sin(cif-p)=sinacos—cosasin£

sin(cr+or)=sincrcosa+coscrsincr=2sinacosa故：sin2a=2sinacosa

②两角和与差的余弦公式口诀：余余正正，符号相反

cos(cr+p)=cosacos一sinasinB

cos(a-/?)=cosacos/3+sinasinD

cos(a+a)=cosacosa-sinasina=cos2a-sin2a=2cos2a-l=l-2sin2a

III三角函数和差、半角正切公式

技巧总结

①tan(a+0=tana+tan夕②tan(0-0=空"吧邑

1-tanatan/?1+tanatan0

③tana+tan0=tan(a+^)(1-tanatan/?)

④tana—tan。=tan(a—/?)(l+tanatan/?)

…1ctana+tan£八tana-tan/3

⑤l一tanatan[3-----彳-------?@l+tanatan/?=-----彳----?

tan(a+/3)tan(a-(3)

⑦tana+tan0+tanortan0tan(cr+/3)=tan(cr+/?)

只要a+，=左+都有tana+tan，+君tanatan，=△

只要a+尸=左"+工，左wZ都有J^(tana+tanP)+tanatan/?二l

6

■IJ

只要a+£=左九+彳，左wZ都有tana+tan，+tanatan，=I

⑧△45。中，tan^+tan5+tanC=tan^4tanStanC(正切恒等式)

IV三角函数辅助角公式

技巧总结

形如：asina+bcosa

第一步：asma+bcosa=y/a2+b2sin(a+0)=+〃cos(a-。)

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第二步：等号左侧若是加号，则等号右侧也为加号，等号左侧若是减号，等号右侧也为减号.

第三步：。的求算，只需在第一象限标明点《4网）寻找夹角即可达到秒杀的境界.

注意：若果则需提负号，继续遵循以上步骤

三角函数万能公式

技巧总结

万能公式如下

aaa

2sin—cos—2tan—

八.八.aa777

①sina=2sin—cos—=------------------------------

22si.n2—,+cos2—a…1+tan2—a

222

2ct.2a-12a

cos------sin—1-tan—

②cosa=cos----sm一二-------------—=--------

22si.n2——,Feos2—al1+「tan2—。

222

2tan—

-7asincr1-cosa

③tana二-------@tan—二--------二--------

1-t-an2—a21+coscrsina

2

Of

记忆方法：令/=tan巴

2

对

一

邻

对

一

斜

邻

一

斜

a

之所以称之为万能公式是因为只要明确tan丝的值，则可以秒求sina、cosa、tana

2

四、tana与齐次式互换

技巧总结

形式如下：

上asina+bcosa,,七八》八

①形如---------------的分式，可将分子分母同时除以cosa

csina+dcosa

asinabcosa

atana+

得:cosacosa

csinadcosa

——十——ctana+d

cosacosa

asin2a+bsinacosa+ccos2a

②形如的分式，可将分子分母同时除以cos2a

dsin2a+esinacos<z+fcos2a

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asin2asinacosaccos2a

得.-sina+lsinacosa+ccosa=cos2acos2acos2a

dsin2cif+esincifcosof+fcos2adsin2aesinacosafcos2a

cos2acos2acos2a

atan2a+btana+c

n------------5-------------------------------T

dtana+etana+f

③形如asin2a+Z?sinacosa+ccos2a的式子，可将其看成分母为1的分式

2222

anasma+bsinacosa+ccosaasina+6sinacosa+ccosa

即：-------------------------------=------------2-----------------2-------------------------

1sina+cosa

可将分子分母同时除以cos2a

2

asmabsinacosaccos2a

asnrc+bsinecose+ccos-十—s2acos2acos2c

国：•22—•22

sina+cosasinacosa

212

cosacosa

atan2a+btana+c

n--------------------2------------------------

tana+1

④形如asina±Z?cosa=4=^>(tzsincr±Z?cosaf=A2

na1sin2a±Zabsinacosa+b2cos2a=A2

222a

na?sina+2absinacosa+bcos_^2

1

a2sin2a±labsinacosa+b2cos2a

=A2

si.n2a+cos2a

a2tan2a±labtana+b2

=M求tana即可

tan2a+1

⑤形如acos2a+力sin2anacos2a+26sinacosa转化为形式③

它真题回眸

典例112023新高考1卷】已知sin(a—/?)=Lcosasin/?=’，贝!Jcos(2a+2月)=().

36

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7117

A.一B.-D.

9999

【答案】B

【解析】因为sin(a-尸)=sinacos尸-coscifsin/3=—,而cosasin/?，因此sinacos£二!，

362

2

则sin(a+,)=sinacos°+cosasm］3=—,

所以cos(2a+2/?)=cos2(a+/?)=1-2sin?(a+/?)=1-2x(1-)2=g.

故选：B

典例212023新高考全国H卷】已知a为锐角，cosa=S5,贝心也q=().

42

3—^5—1+A/53—y/~5—l+Vs

.-----jj.------•-----\-j•-------

8844

【答案】D

【解析】因为cosa=l—25苗24=匕且，而戊为锐角,

24

解得：sin4=/3-V5_“一1）_卡-1.

故选：D.

典例312022新高考全国II卷】若sin(a+/?)+cos(a+/?)=2Ccos孙2则()

A.tan(a-0=lB.tan(a+0=l

C.tan(a一尸)=-1D.tan(a+尸)=一1

【答案】c

【解析】［方法一］:直接法

由已知得：sinacos/3+cosasin/+cosacos/一sinasin4=2(cosa—sina)sin/,

即：sinacos/3-cosasin/3+cosacos/3+sinasinp=0,

即：sin(a—尸)+cos(a—尸)=0

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所以tan(a_/)=_l

故选：C

［方法二］:特殊值排除法

解法一:设(3=0则sina+cosa=0,取a=~~，排除A,B；

71

再取a=0则sinP+cosp=2sin0,取「=一，排除D；选C.

4

［方法三］:三角恒等变换

sin(a+/?)+cos(a+,)=拒sin(a+/+?”A/5"sin[(a+?)+0

二力sin(a+?)cos尸+拒cos(a+^-)sin0=2也cos(a+^-)sin,

所以0sin(a+3)cos/?=V2cos(cr+^-)sin/?

TTTTTT

sin(cif+—)cos/?-cos(cr+—)sin/?=0即sin(a+]—£)=0

•/cR、、/八、71/2.71V2.c、6,小八

/.sm(a—/?+­)=sm(a—6)cos—+cos(a—£)sm—=——smz(a—/?)+——cos(a—/?)=0

44422

，sin(a-p)=-cos(a-万)即tan(a-尸)=-1,

故选：C.

71

典例412021新高考全国I卷】下列区间中，函数/（x）=7sinX--单调递增的区间是（）

n3兀

1,2万

A.B.2^D.

【答案】A

（TCTC

【解析】因为函数》=$也%的单调递增区间为2左〃一万,2左〃十万(左eZ),

71

对于函数/(x)=7sinX--，由2k兀一三<x一三<2k7i+三｛keZ),

262

2024年高考数学考前20天终极冲刺攻略（新高考新题型专用）含答案解析

TC

解得2k兀-----<x<2左"

3

取％=0,可得函数/（X）的一个单调递增区间为。

则A选项满足条件，B不满足条件;

取左=1,可得函数/（X）的一个单调递增区间为

CD选项均不满足条件.

故选：A.

名校预测

sina(1—sin2a)

预测1（2024咛夏银川•模拟预测）若tan（a+J=-2,则

cosa-sina

儿一|3D.”

B.一c

5-15

预测2(2024•浙江•模拟预测)已知cos(a+/7)cosy-cosacos(〃+y)=；,则

sinasin('+/)—sin(a+〃)sin/=()

11

A.——B.——cD

63-I-1

兀兀

预测3（2024•山西•模拟预测）已知sinasinla+-=coscrsinaj,贝！Jtan12a-；

6

A.V3B.—c.2-V3D.2+6

3

预测4（2024・贵州遵义模拟预测）已知向量5=（4,2）,彼=（235/25吊0）,当五.6取得最大值时1@11。=（）

11

BC.一D.-

-I45

预测5(2024•青海西宁•模拟预测)已知tana+tan月=5,cosacos/?=—,IJj!jsin(cr+>0)=()

6

114

A.-B.一D.-

65C15

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‘赶名师押题

贝！jsin[<9+gj=

押题1已知)

A3—V6口3+^60yl'6

6633

押题2已知XE0,：,sinx+cosx=h，，则tan[x—?)=(

)

A.3B.-3C.-V5D.2

押题3已知COSXu-qXE]兀,,贝ljcos[x+；j=()

A672-1D672+1c-672+1

A•------JJ.--------C•-----------------2#+G

101010io

押题4若兀且5cos2a=V2贝!Jtana=

431

A.B.C.D.1

343

押题5已知戊,，满足1@119+5)=3/211(3一2)=:，则tan(a+2/7)=()

6122

・

参考答案与解析

名校预测

预测1：答案A

■、乂■/兀、tana+1A力,口_

【详解】tan(of+—)=--------=-2,解得tana=3,

41-tana

sina(1-sin2(7)sina(cosa-sina)2sina?osa-sina)

所以

cosa-sin。cosa-smacos2a+sin2a

tana(1-tana)3X(1-3)=3

1+tan2a1+9一一M

故选：A.

预测2：答案B

2024年高考数学考前20天终极冲刺攻略（新高考新题型专用）含答案解析

【详解】因为cos(a+，+/)=cos(a+，)cos7—sin(a+，)sin7,

又cos(a+P+y^=cosacos+y)-sinorsin(y0+y),

所以cos(a+')cosy-sin(a+/?)sin/=cosacos—sinasin(/?+7),

()(△+/)=；，

|3^JCOS6Z+^COS/-COS6ZCOS

则sin«sin(^+/)-sm(a+/?)sin/=cosacos(/7+/)-cos(a+^)cos/=

故选：B.

预测3：答案C

得V3.21-V~321-

2sma+—smacosa=——cosa—smacosa，

0222

即2cos2a-sin2a)=sinacosa，所以^^cos2a='sin2a,

/。。

所以tan2a=内,

所以tan(2a-^-\="厂】=2-e.

I4j1+V3xl

故选：C.

预测4：答案A

【详解】3•=4sin+8cosa=475sin(cif+(p),其中sin°=^^,cas(p=^~，

故当a+0=2左"+万(左£Z)时，五.6取得最大值4百，

,sin2k"-----cp

,,,smaI2)cos。1

此时tana=-------=—>----------------7~^=一

cosac771IsinG72

COSI2^4---^)1，

故选：A.

预测5：答案C

sinacos,+cosasin,

【详解】因为tana+tan/?==5

coscrcos/?

又cosacos/?=一,

6

2024年高考数学考前20天终极冲刺攻略（新高考新题型专用）含答案解析

所以sinacos/7+cosasin/?=sin(a+/)=5cosacos夕=—,

6

故选C.

名师押题

押题1:答案B

【详解】由-可得一建0+9],又sin"A=，L则cos"印"，

332626J3[6)3

故sinje+4]=sin[e+'+工]=sinje』[co止+cos]©J]si:=^-?+灰故选:B.

(3)(661(6)6(61632326

押题2：答案A

【详解】因为shrr+cosxn迷,所以收sin[x+巴]=述，所以sin[x+^]=巫，

5I4J5I4)10

又xe0,[,所以x+：e,所以cos，+工]=Jl—si/jx+e]=巫^

4J4142」{4J10

所以tan|x+：J=3

故选：A

押题3:答案A

（兀17171112遥'V3_6V2-1

I3J3厂人［一丁J~T~10

故选：A.

押题4：答案A

【详解】由5cos2a=瓜:a得5(cos2a-sin2a)=A/5"|^-cosa-拳sina

即5(cosa-sina)(cosa+sina)=cosa-sina,

因为兀所以cosa-sinaw0,

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所以cosa+sina=《，结合cos?a+sin2a=1,且cosa<0,sina>0,

,3.4sina4

Z得Fcosa=——,sma=—,所以tani=-------=——.

55cosa3

故选：A.

押题5:答案B

v

兀1兀兀1o4

【详解】由tan(=—夕)=彳，得1@口(工一2月)=1@112(不一万)二------岭——=-

1226122

i-tan(^-^)3

tan(cu+—)-tan(--2/3)3--

所以tan(a+2£)=tan[(a+$-(/_2£)]=----------------------三----=---,

1+tan(<7+—)tan(——2/7)l+3x—

663

故选：B

平面向量（选填题）

,考情分析

年份题号知识点考点

2021年I卷10坐标向量坐标向量与三角函数的综合

2021年II

15平面向量平面向量数量积

卷

2022年I卷3平面向量用基底表示某向量

2022年II平面向量数量积

4坐标向量

卷

2023年新3坐标向量平面向量数量积

高考116平面向量平面向量与双曲线综合

2023年新

13平面向量平面向量数量积

高考2

2024年高考数学考前20天终极冲刺攻略（新高考新题型专用）含答案解析

近三年，平面向量在选填中占据一个位置，考查的考点一般来说是：

1、平面向量的基础知识及共线定理（①平面向量的四则运算②平面向量共线定理）

2、平面向量极化恒等式及等和线（①极化恒等式②等和线定理）

3、平面向量建系法及对角线向量定理（①平面向量建系法.②对角线向量定理③平面向量奔驰定理及向量四

心④平面向量的基本运算及基底）

题干的设置一般来说在上述的三项考点中选其一项。平面向量题目中若表示向量则最好采用建系的思

想，平面向量题目中若表示求向量积最值问题则最好采用极化恒等的思想，另外考生们要想灵活应用小技

巧则需在有限的时间内多推导几遍，考场中便可轻松搞定。

从近三年的全国卷的考查情况来看，本节是高考的热点，其中平面向量数量积定值和向量积最值考查

比较频繁平面向量三类题目比重相当，新高考主要以基向量表示平面向量及向量积最值的形式考查，因小

结论偏多，考生需多推导一遍，试题灵活，下面为考生已总结..

宅应试丝备

一、平面向量的基础知识及共线定理

平面向量的四则运算

技巧总结

①向量加法与减法的法则：

平行四边形法则：以同一点。为起点的两个已知向量”，8为邻边作口3。瓦则以。为起点的对角线历

就是a与b的和.

图形表示:

字母表示：OA+OB=OCOA-OB=BA

坐标表不：记OA=（X],乂），OB=（x2,%）则Q4+O8=（玉+乂,x2+y2）

OB-OA={x2-xl,y2-yt）

三角形法则：如果把两个向量的起点放在一起，那么这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量

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的终点为终点的向量.

图形表示:

字母表示：OA+^B=OB

坐标表示：记OA=(%,乂)，OB=(x2,%)贝UOA+OB=(XA+yx,x2+%)

OB-OA={X2,y2-jj)

②向量数乘的定义

实数力与向量方的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作位

图形表示：

A'~

字母表示：AB=ma(meR)

坐标表示：记Q=(1,>),则ma-(mx,my)

③两个向量的数量积

图形表示：/

字母表示：用•口COS(Q,弓

坐标表示:记〃=(须，必),b=(x2,y2),贝!]q加=+必％

注意：

1、向量B与非零回重5共线的充要条件是有且只有一个实数X,使得彼=25.

2、设5=(再,%)石二(、2，%),5〃3，=>西必—工2%二0，

a-Lb=0=xxx2+为乃=0.

3、两个向量a,B的夹角公式：cos0=.X^+.V2---.

击+小值+/2

平面向量共线定理

技巧总结

定理1：定知玩=2莎+〃而，若4+4=1,则/、B、。三点共线；反之亦然

平面向量共线定理证明

若点/、B、。互不重合，尸是/、B、。三点所在平面上的任意一点，且满足正=xA?+y丽，则

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4、B、C三点共线=x+y=l.

证明：(1)由x+y=ln4、B、C三点共线.由x+y=1得

PC=xR4yPB=xR4-l-(1-x)~PB^PC-PB=x(R4-PB)^BC=xBA.

—►—*

即8C,A4共线，故/、B、。三点共线.

(2)由4、B、。三点共线nx+y=l.

---»---►---►---►

由/、5、。三点共线得8C,A4共线，即存在实数x使得5C=XA4.

故加+正=2麻+应)n正=2或+(1—2)丽.令x=X,y=l—；l,则有x+y=l.

推广1：分点恒等式

①当M为5C中点时;②当BM=2MC；

AM=-AB+-ACAM=-AB+-AC

③当药〃=3MC时;④当3/=时,

AM=-AB+-AC

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31—■

AM=-AB—AC

22

结论：分点恒等式：在AX5C中，M为直线上一等分点，当=时,

->1—>-A—►

有=——AB+——AC

1+21+2

AT-----------------B

分点恒等式变形：

---*777---*n

在A4BC中，。是上的点，如果忸。|:|。。|=加：〃，则/£>=-----AC+AB

m+nm+n

二、平面向量极化恒等式及等和线

向量方法证明:平行四边形的对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍.

证明：不妨说刀=a7万=3则就=1+B,DB=a-b

2------>2(——\2|—|2——I-12

AC=AC-\a-\-bj-\a\+2a.Z?+b(1)

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—»2—>2

DB=DB=

--*2»2

(1)（2）两式相加得:AC+DB

结论：定理：平行四边形对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍.

将上面（1）（2）两式相减,a-b=^R+极化恒等式

即：a-b=^\AC\]-\DB^（平行四边形模式）

在三角形45c中（/为的中点），恒等式：

因为3c=23N,所以方.芯=|/朋f一忸必2（三角形模式）

极化恒等式的作用主要在于，它可以将两个向量的数量积转化为这两个向量的“和向量”与“差向量”，因此，

当两个向量的“和向量'’或"差向量”为定向量时，常常可以考虑利用极化恒等式进行转化.

常