2024北京重点校初二（下）期中数学汇编：特殊的平行四边形4（解答题）

2024北京重点校初二（下）期中数学汇编

特殊的平行四边形（解答题）4

一、解答题

1.（2024北京陈经纶中学初二下期中）在数学课上，老师说统计学中常用的平均数不是只有算术平均数一

种，好学的小聪通过网络搜索，又得到了两种平均数的定义，他把三种平均数的定义整理如下：

对于两个数。，b,

知=小称为a,b这两个数的算术平均数，

N=称为a,b这两个数的几何平均数，

「二产丁称为a,b这两个数的平方平均数.

小聪根据上述定义，探究了一些问题，下面是他的探究过程，请你补充完整：

（1）若a=-l,b=-2,则Af=_,N=_,P=_；

（2）小聪发现当a,6两数异号时，在实数范围内N没有意义，所以决定只研究当a,6都是正数时这三

种平均数的大小关系.结合乘法公式和勾股定理的学习经验，他选择构造几何图形，用面积法解决问题：

如图，画出边长为a+b的正方形和它的两条对角线，则图1中阴影部分的面积可以表示

②借助图形可知当。，》都是正数时，M,N,尸的大小关系是：_（把N,尸从小到大排列，并用

或，W，号连接）.

2.（2024北京第十八中学初二下期中）已知，点E在正方形ABC。的AB边上（不与点A,B重合），BD

是对角线，延长AB到点孔使过点E作8。的垂线，垂足为连接AM,CF.

（2）①用等式表示线段AM与C尸的数量关系，并证明；

②直接用等式表示线段AM,BM,之间的数量关系.

3.（2024北京丰台第二中学初二下期中）如图，正方形ABC。的对角线交于点。，点E、P分别在A3、

BC上(AE<BE),且/£。尸=90。，OE、D4的延长线交于点M,OF、AB的延长线交于点N,连接

4.(2024北京第一六六中学初二下期中)在正方形ABCD外侧作直线AP,点B关于直线AP的对称点为

E,连接BE,DE,其中DE交直线AP于点F.

(2)若/PAB=20。，求NADF的度数;

(3)如图2,若45o<NPAB<90。，用等式表示线段AB,FE,FD之间的数量关系，并证明.

5.(2024北京丰台第八中学初二下期中)正方形A8C。中，点M是直线上的一个动点(不与点8,C

重合)，作射线过点8作BNLDM于点N,连接CN.

(1)如图1,当点M在上时，如果NCQM=25。，那么的度数是

(2)如图2,当点M在的延长线上时,

①依题意补全图2；

②用等式表示线段N8,NC和之间的数量关系，并证明.

图1

6.(2024北京第六十六中学初二下期中)四边形A8CD是正方形，AC是对角线，E是平面内一点，且

CE<BC,过点C作尸CLCE,且CF=CE.连接AE、AF,M是AF的中点，作射线DM交AE于点N.

(1)如图1,若点E,尸分别在2C,边上.

求证：①ZBAE=ZDAF；

②DN1.AE；

(2)如图2,若点£在四边形ABC。内，点尸在直线BC的上方，求/EAC与"W的和的度数.

7.(2024北京H^一实验中学初二下期中)如图，经过正方形ABCD的顶点A在其外侧作直线AP,点B

关于直线AP的对称点为E,连接BE、DE,其中DE交直线AP于点F.

(1)依题意补全图L

(2)若/PAB=30。，求/ADF的度数.

(3)如图，若45o<NPAB<90。，用等式表示线段AB,FE,FD之间的数量关系，并证明.

8.(2024北京H^一实验中学初二下期中)如图，在AABC中，AB=AC,。为BC中点.四边形A2OE是

平行四边形.

求证：四边形AOCE是矩形

9.(2024北京日坛中学初二下期中)如图，在菱形ABC。中，CELAB交AB延长线于点E,点尸为点8

关于CE的对称点，连接CF,分别延长。C,CF至点G,H,使FH=CG,连接AG,。”交于点P.

(1)依题意补全图1；

(2)猜想AG和。”的数量关系并证明；

(3)若ND48=70。，是否存在点G,使得△AOP为等边三角形？若存在，求出CG的长；若不存在，说明

理由.

DCDC

点，AC为对角线，AC±BC.

（1）求证：四边形AECD是菱形.

（2）若/D4E=60。，AE=2,求菱形AEC。的面积.

11.（2024北京第三十五中学初二下期中）如图，菱形ABCD的边长为48cm,ZA=60°,动点尸从点A出

发，沿着线路AB-3D做匀速运动，动点。从点。同时出发，沿着线路DC-CB-区4做匀速运动.

（1）求8。的长；

（2）已知动点尸、。运动的速度分别为8cm/s、10cm/s.经过12秒后，P、。分别到达“、N两点，试判断

△4WN的形状，并说明理由，同时求出AAMN的面积；

（3）设问题（2）中的动点P、。分别从V、N同时沿原路返回，动点P的速度不变，动点。的速度改变

为acm/s,经过3秒后，P、。分别到达及尸两点，若尸为直角三角形，试求。的值.

参考答案

1.(1)夜,巫；(2)①见解析；②NMMWP.

22

【分析】（1）将。=-1*=-2分别代入M,N,尸求值即可得;

（2）①分别求出加2,尸，再根据正方形的性质、矩形和直角三角形的面积公式即可得;

②根据（2）①中的所画的图形可得N2VM24产，由此即可得出结论.

【详解】解：（1）当”=-1涉=一2时,

a+b—1—2

M=----=-----=——

22

N=\[ab=^—1x(—2)=A/2，

(2)①犷/包丫=(a+■=(”■+4仍=("bf+就,

\2)444

则用阴影标出一个面积为知2的图形如下所示:

(a-b)2+2ab(a-Z?)2+而

2―2-0

则用阴影标出一个面积为尸的图形如下所示:

②由（2）①可知，N2<M2<P2,当且仅当。一匕=0,即a=b时，等号成立,

•・・〃,匕都是正数,

都是正数,

:.N<M<P,

故答案为：N<M<P.

【点睛】本题考查了二次根式的应用、完全平方公式、正方形的性质等知识点，较难的是题（2）①，正

确利用完全平方公式进行变形运算是解题关键.

2.（1）见解析；⑵①6AM=FC,证明见解析；②。犷+浏/2=241/2

【分析】（1）证AfiEM是等腰直角三角形即可得；

（2）①先证AAEW=AFBAf得AM=FM,由AE=3尸知EF=3C=AB,证AMEF三AMBC得

ZEMF=ZBMC,FM=MC,由NFMC=90。知AFCN是等腰直角三角形，从而得尸C="服•=拒,；②

连接DE,证四边形COM是平行四边形得DE=8,由==知=结合

BM=EM,从而得出答案.

【详解】解：（1）如图所示,

四边形ABC。是正方形,8。是对角线,

:.ZABD=A5°,

■：BMLBD,

.•.AfiEM是等腰直角三角形,

ZAEM=NFBM=135°,

又,；AE=FB,

:.AAEM=AFBM(SAS),

:.AM=FM,

•・・AE=BF,

..EF=AB=BCf

,/ZMBC=ZBEM=45°

:.\MEF=\MBC{SAS),

:.ZEMF=ZBMC,FM=MC,

ZFMC=90°,

是等腰直角三角形，

FC=-J1MF=®AM,

即近AM=FC;

@DM2+BM2=2AM2»理由如下：

如图，连接。E,

■：AE=BF,

:.AE+BE=BF+BE=EF,

又♦jOC/MB且£>C=AB,

:.DC=EF,DC//EF,

，四边形CD所是平行四边形，

.'.DE=CF,

■.■CF=y/2MF,MF=AM,

DE=-JlAM,

又BM=EM,NDME=90。,

:.DM2+EM2=DE2，

贝1.

【点睛】本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握正方形的性质、全等三角形与等腰直角三角形及平

行四边形的判定与性质、勾股定理等知识点.

3.见解析

【分析】此题找出三角形全等的条件：ZOAM=ZOBN=135°,ZAOM=ZBON,OA=OB判定

△OAM^AOBN即可证明.

【详解】证明：：四边形ABCD是正方形，

.,.OA=OB,ZDAO=45°,ZOBA=45°,

ZOAM=ZOBN=135°,

VZEOF=90°,ZAOB=90°,

/.ZAOM=ZBON,

在小OBN中，

ZOAM=ZOBN

<OA=OB

ZAOM=Z.BON

/.△OAM^AOBN(ASA),

.*.OM=ON；

【点睛】本题主要考查正方形的性质，解题的关键是掌握正方形的四条边都相等，正方形的每条对角线平

分一组对角及全等三角形的判定与性质.

4.(1)见解析；(2)25°；(3)EF2+FD2=2AB2,见解析

【分析】(1)根据题意直接画出图形得出即可；

(2)利用对称的性质以及等角对等边进而得出答案；

(3)由轴对称的性质可得：EF=BF,AE=AB=AD,/ABF=NAEFZADF,进而利用勾股定理得出

答案.

(2)如图2,连接AE,

则/PAB=/PAE=20°,AE=AB=AD,

•••四边形ABCD是正方形，

二/BAD=90°,

又；NEAP=/BAP=20°,

；.NEAD=130°,

图3

(3)数量关系是;EF2+FD2=2AB?

如图3,连接AE、BF、BD,

由轴对称的性质和正方形的性质可得：

EF=BF,AE=AB=AD,

ZABF=ZAEF=ZADF,

/.ZBFD=ZBAD=90°,

.,.BF2+FD2=BD2,

:在R3ABD中AD2+AB2=BD2

.\EF2+FD2=2AB2.

【点睛】本题考查的是正方形、等腰三角形以及直角三角形的相关知识,是一道综合题，能够充分调动所

学知识是解题的关键.

5.(1)25°;(2)①见解析；②母NC+ND=NB,见解析.

【分析】(1)由正方形的性质和对顶角相等、三角形内角和定理得出NMBN=NCDM=25。即可；

(2)①由题意补全图形即可；

②当N在。M上时，在NB上截取B£=N。，证明△CONg/\CBE得出NC=EC,ZDCN=ZBCE,证出

ZNCE=ZBCD=90°,得出△NCE是等腰直角三角形，得出NE=^NC,即可得出结论；

当N在MZ)延长线上时，延长A®至E,使BE=ND,同理得：ACDN沿ACBE,得出NC=EC,

ZDCN=ZBCE,证出/NCE=/8C_D=90。，得出△NCE是等腰直角三角形，证出NE=&NC,即可得出结

论.

【详解】解：(1)二•四边形A8C。是正方形，

：.BC=CD,ZDCM=ZBCD=90°,

'：BN.LDM,

：.ZDNB=90°=ZBCD,

'：ZBMN=ZDMC,

：.ZMBN=ZCDM=2.5°；

故答案为250；

(2)①由题意补全图形如图2、图4所示；

②线段NB,NC和A©之间的数量关系为：NB=ND+板NC,或亚NC=NB+ND.

理由如下：

当N在。/上时，在N8上截取BE=N£),

ZDMC+ZCDN=ZDMC+ZCBE=90°,

ZCDN=ZCBE,

在△。£>27和4CBE中，

ND=BE

，ZCDN=ZCBE,

CD=CB

:ACDN妾ACBE(SAS),

：.NC=EC,ZDCN=ZBCE,

：.ZNCE=ZDCN+ZDCE=ZBCE+ZDCE=ZBCD=90°,

△NCE是等腰直角三角形，

：.NE=4iNC,

：.NB=BE+NE=ND+收NC；

当N在MD延长线上时，延长A®至E,使.BE=ND,

同理得：△CDN”ACBE,

：.NC=EC,ZDCN=ZBCE,

：.ZNCE=ZDCN+ZDCE=ZBCE+ZDCE=ZBCD=90°,

ANCE是等腰直角三角形，

：.NE=y/2NC,

'：NE=NB+BE,

：.V2NC=NB+ND.

【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、

等腰直角三角形的判定与性质等知识，本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解题的关键.

6.（1）①见解析；②见解析；（2）45°

【分析】（1）根据已知及正方形的性质，全等三角形的判定，全等三角形的性质的计算，可知①/BAE=

/DAF是否成立；可知②DN_LAE是否成立；

（2）根据已知及正方形的性质，全等三角形的判定，全等三角形的性质的计算，求出NEAC与NADN的

和的度数.

【详解】（1）证明：①在正方形ABC。中，

；•ZABE=NADF=90°,AB=BC=CD=AD.

,:CE=CF,

:.BE=DF.

AA4BE=AADF.

・•・ZBAE=ZDAF.

②是A尸的中点，

/.ZDAF=ZADN,

由①可知NS4£=ND4尸.

・.•ZBAE=ZADN.

:ZBAE^-ZEAD=90°

ZAND+ZEAD=9()

：.AN1DN

(2)解：延长AO至H,使得ZW=AD,连结/H,CH.

■:ADVCD,

:.CA=CH.

在正方形ABC。中，AC是对角线，

・•・ZAC。=45°.

ZACH=ZACD=45°.

ZACH=ZECF=90°.

：.ZACE=ZHCF

XVCE=CF,

:.\ACE=\HCF.

：.ZEAC=ZFHC

・・・M是A尸的中点，。是AH的中点，

:.DM//FH.

/.ZADN=ZAHF

ZADN+ZEAC=ZAHF+ZFHC=ZAHC=45°

【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定，全等三角形的性质的应用，解题的关键是熟

练掌握正方形的性质，全等三角形的判定，全等三角形的性质的计算.

7.(1)见解析；(2)ZADF=15°；(3)EF2+FD2=2AB2,见解析.

【分析】(1)过B作AP的垂线段，并延长至E,使B、E到AP的垂线段相等，得出B的对称点E,连接

BE、DE即可；

(2)连接AE,由轴对称的性质得出/PAB=NPAE=30。，AE=AB=AD,得出NAED=/ADF,求出

ZEAD=150°,即可求出/ADF的度数；

(3)连接AE、BF、BD,由轴对称的性质得出EF=BF,AE=AB=AD,得出/ABF=/AEF=/ADF,求出

ZBFD=ZBAD=90°,根据勾股定理得出BF2+FD2=BD2,即可得出结论.

【详解】解：(1)如图1、图2所示：

图1图2

图3

:点B关于直线AP的对称点为E,

则/PAB=/PAE=30°,AE=AB=AD,

.\ZAED=ZADF,

四边形ABCD是正方形，

.,.ZBAD=90°,

NEAD=90°+30°+30°=150°,

/.ZADF=-(180°-ZEAD)=15°；

2

(3)连接AE、BF、BD,如图4所示:

图4

贝l|EF=BF,AE=AB=AD,

ZEBF=ZBEF,ZABE=ZAEB

/ABF=NAEF=ZADF,

ZBFD=ZBAD=90°,

.•.BF2+FD2=BD2,

VAB2+AD2=2AB2,EF=BF,

EF2+FD2=AB2+AD2=2AB2,

即EF2+FD2=2AB2.

【点睛】本题考查了正方形的性质、轴对称的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质以及垂直平分线

的性质；熟练掌握正方形和轴对称的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键.

8.见解析

【详解】证明：•••四边形ABOE是平行四边形，

J.AE//BC,AB=DE,AE=BD.

•.•。为BC的中点，

CD=DB.

J.CD//AECD=AE,

四边形AOCE是平行四边形.

"：AB=AC,

J.AC=DE.

.,.平行四边形AOCE是矩形.

9.(1)见解析;(2)AG=DH,理由见解析;(3)不存在.理由见解析.

【详解】【分析】(1)依题意画图；

(2)根据菱形性质得AD=CD=CB,AB//DC,ZADC^ZABC；由点歹为点B关于CE的对称点，得

CE垂直平分BE,故CB=CF,NCBF=/CFB,所以CD=CF,再证

由NABC+NCB/=180°,ZDCF+ZCFB=180°,得ZADC=NDCF.可证

(3)由(2)可知，NDAG=/CDH,NG=/GAB,

证得/。必=/PZ)G+/G=/D4G+/GAB=70o>60。，故4ADP不可能是等边三角形.

【详解】(1)补全的图形，如图所示.

DCG

(2)AG=DH.

证明：•・,四边形ABC。是菱形，

；・AD=CD=CB,AB//DC,ZADC=ZABC.

点F为点3关于CE的对称点，

・•・CE垂直平分3尸.

：.CB=CF,ZCBF=ZCFB.

：.CD=CF.

又*：FH=CG,

：.DG=CH.

VZABC+ZCBF=180°,ZDCF+ZCFB=180°,

:.ZADC=ZDCF.

:•△ADG之△DC”.

・•・AG=DH.

(3)不存在.

理由如下：

由(2)可知，NDAG=NCDH,/G=NGAB,

・•・ZDR\=ZPDG+ZG=ZDAG^-ZGAB=70°>60°.

・・・AADP不可能是等边三角形.

【点睛】本题考核知识点：菱形，轴对称，等边三角形.解题关键点：此题比较综合，要熟记菱形性质，全

等三角形的判定和性质，轴对称性质，等边三角形判定.

10.(1)见解析；(2)2A/3

【分析】(1)先证AE=C£>,AE//CD,得四边形AEC。是平行四边形，MffiCE=AE,得平行四边形

AEC。是菱形；

(2)过点C作C尸，班交EB于点f先求ER再根据勾股定理求C尸，再根据平行四边形面积公式可求

出四边形面积.

【详解】(1)证明：为A8的中点

：.AB^2AE,

9：AB=2CD,

：.AE=CD,

又・・,AB〃CD,

：.AE//CDf

・・・四边形AECD是平行四边形，

VACXBC,

JZACB=90°,

又•・・£为A3的中点，

CE=-AB,AE=-AB

22f

CE=AE,

所以平行四边形AECD是菱形；

(2)解：过点。作CTLEB交£5于点E

・・•四边形AECD是菱形,

：.AD//ECfAE=CE,

：.ZDAE=Z1,

VZDAE=60°,AE=2,

AZ1=60°,CE=2,

VCFXEB,

JZCFE=90°,

.,.Zl+Z2=90°,

：.Z2=30°,

：.EF=-CE=1,

2

2222

在R”CEF中，ZCFE=90°fCF=y/CE-EF=72-1^73，

S菱形血：。=AECF=2x^3=2G.

【点睛】本题考核知识点：菱形.解题关键点：熟记菱形的判定方法.

11.(1)48cm；(2)288限n?；(3)若△5石尸为直角三角形，。的值为4或12或24

【分析】(1)根据菱形的性质得AB=3C=CD=AD=48,力口上NA=60。，于是可判断△ABD是等边三角

形，所以BD=AB=48；

(2)如图1,根据速度公式得到12秒后点尸走过的路程为96cm,则点尸到达点。，即点M与。点重合，

12秒后点0走过的路程为120cm,而3C+CD=96,易得点。到达AB的中点，即点N为的中点，根

据等边三角形的性质得MN1AB,即AAW为直角三角形，然后根据等边三角形面积可计算出

2

SVAMV=28873cm；

(3)由为等边三角形得/ABD=60。，根据速度公式得经过3秒后点P运动的路程为24cm、点。

运动的路程为34cm,所以然后分类讨论：当点。运动到尸点，且点尸在NB上，如图

1,则NF=3a,BF=BN-NF=24-3a,由于△班下为直角三角形，而NFBE=60。，只能得到

ZEFB=90°,所以NFEB=30。，根据含30度的直角三角形三边的关系得24-3a=；x24,解得。=4；当

点。运动到R点，且点尸在2C上，如图2,典\NF=3a,BF=BN-NF=3a-24,由于△BEF为直角三角

形，而4BE=60。，若NEFB=9Q°,则NEEB=30。，根据含30度的直角三角形三边的关系得

3a-24=1x24,解得。=12；若NEFB=90°,易得此时点/在点C处，贝|3。=24+48,解得a=24.

【详解】解：(1):四边形是菱形，

.-.AB=BC=CD=AD=48,

•.­ZA=60°,

/XABD是等边三角形，

.-.BD=AB=