2024北京重点校初二（下）期中数学汇编：平行四边形章节综合4（解答题）

2024北京重点校初二（下）期中数学汇编

平行四边形章节综合（解答题）4

一、解答题

1.（2024北京中关村中学初二下期中）如图，在四边形ABCD中，AB//CD,AB=BD=2CD,E为钻的

中点，请你用无刻度的直尺在图中画的边AO上的高线，小蕊的画法如下.请你按照小蕊的画法完

成画图，并填写证明的依据.

画法：

①连接ED,

②连接CE,交BD于点、F,

③连接钻,交DE于点P

④作射线3尸，交AD于点

即为所求的边AD上的高线

证明：

,：AB^ICD,E为A3的中点，

BE=CD.

•/AB//CD,

四边形是平行四边

形..

二点E是8D中点..

AF.DE是的中线

/.3H是的中线

'/AB=BD

’8”是AO边上的高线._______________________________

2.（2024北京第十二中学初二下期中）如图，每个小正方形的边长都是1,A,B,C,。均在网格的格

点上.

（1）判断ZBCZ）是否为直角：.（填写“是”或“不是‘）

（2）直接写出四边形ABC。的面积为.

（3）找到格点E,并画出四边形至即（一个即可），使得其面积与四边形ABC。面积相等.

3.（2024北京北师大附属实验中学初二下期中）下面是小张同学设计的“利用等腰三角形作菱形”的作图过

程.

已知：等腰△ABD,AB=AD.

求作：点C,使得四边形ABC。为菱形.

作法：①作—54。的角平分线A。，交线段于点O；

②以点。为圆心，49长为半径圆弧，交AO的延长线于点C；

③连接3C,DC,所以四边形A3CD为菱形，点C即为所求.

根据小张同学设计的作图过程.

（1）使用直尺和圆规补全图形；（保留作图痕迹）

（2）完成下面的证明.

证明：VAB=AD,AO平分/AD,

BO=DO,AOLBD,（_）（填推理的依据）

VBO=DO,AO=CO,

；•四边形A5CD为平行四边形（_）（填推理的依据）

ACJ.BD,

四边形ABC。为菱形（_）（填推理的依据）

4.（2024北京陈经纶中学初二下期中）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1,网格的中心

标记为点。按要求画四边形，使它的四个顶点均落在格点上，且点。为其对角线交点：

n二匚三二彩Q二匚1

图3

(1)在图1中画一个两边长分别为6和4的矩形；

(2)在图2中画一个平行四边形，使它有且只有一条对角线与(1)中矩形的对角线相等；

(3)在图3中画一个正方形，使它的对角线与(1)中所画矩形的对角线相等.

5.(2024北京第十二中学初二下期中)在MAABC中，ABAC=90°,。是2C的中点，E是AD的中点,

过点A作AF||BC交BE的延长线于点F.证明四边形ADb是菱形

6.(2024北京第一六六中学初二下期中)如图，矩形A3CZ)中，点。是对角线AC的中点，过点。作

EFJ_AC分别交3C,于点E,F,连接AE和CF.

(1)求证：四边形AEC尸为菱形；

⑵若A8=3,BC=5,求AE的长.

7.(2024北京东城二中初二下期中)如图，在矩形ABC。中，AC,8。相交于点O,AE//BD,

BE//AC.

⑴求证：四边形是菱形；

(2)若AB=OB=4,求四边形AEB。的面积.

8.(2024北京中关村中学初二下期中)如图是由边长为1的小正方形构成的6x4的网格，点A,B均在格

点上.

图1图2

(1)在图1中画出以A8为边且周长为8+2石的平行四边形ABC。，且点C和点。均在格点上(画出一个即

可)；

(2)在图2中画出以48为对角线的正方形AEBF,且点E和点尸均在格点上.

9.(2024北京中关村中学初二下期中)如图，在VA2C中，D是AB上一点，AD=DC,DEADC

交AC于点E,DF平分/BDC交BC于点F,ZDFC=90。.

(1)求证：四边形CEO尸是矩形；

⑵若/B=30。，AD^2,连接BE,求BE的长.

10.(2024北京北师大附属实验中学初二下期中)如图，在口ABC£＞中，DEIAB,点尸在AB的延长线

上，且CF_LAB.

求证：四边形CD所是矩形.

11.(2024北京H^一实验中学初二下期中)如图，在口ABCD中，AC,BD交于点、0,点E,P在AC上,

AE=CF.

(1)求证：四边形EBFD是平行四边形；

(2)若NBAC=ZDAC,求证：四边形EB即是菱形.

12.(2024北京交大附中初二下期中)已知：VA3C为锐角三角形，AB=AC.

求作：菱形ABAC.

作法：如图，

cc

①以点A为圆心，适当长为半径作弧，交AC于点交AB于点、N；

②分别以点N为圆心，大于;MN的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点E,作射线AE与

BC交于点O；

③以点。为圆心，以A0长为半径作弧，与射线AE交于点。，连接CD,BD-,

四边形A5DC就是所求作的菱形.

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）：

（2）完成下面的证明：

证明：A3=AC,AE平分^CAB,

：.C0=.

AO=DO,

四边形A2ZJC是平行四边形（）（填推理的依据）.

AB=AC,

四边形A2DC是菱形（）（填推理的依据）.

13.（2024北京第十四中学初二下期中）下面是小明设计的作矩形A8C。的尺规作图过程.

已知：RfAABC中，ZABC=90°.

求作：矩形A8CD

作法：如图，

1、以点A为圆心，BC长为半径作弧；

2、以点C为圆心，AB长为半径作弧，两弧交于点。（点。与点B在直线AC异侧）；

3、连接AD,CD.

所以四边形ABCD就是所求作的矩形.

根据小明设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）;

（2）完成下面的证明（括号里填推理的依据）.

证明：-：AB=,BC=,

.,•四边形ABC。是平行四边形（）.

又：ZABC=90°,

二四边形A3CD是矩形（）.

14.（2024北京陈经纶中学初二下期中）如图，在平行四边形A3CD中，AC_LAD,作/EC4=/ACD,

CE交A8于点O,交ZM的延长线于点E,连接BE.

（1）求证：四边形ACBE是矩形；

（2）连接。D.若AB=4,ZACD=60°,求。。的长.

15.（2024北京汇文中学初二下期中）尺规作图：如图，已知线段a,b.

求作：菱形ABCD,使其一条对角线的长等于线段。的长，边长等于线段b的长.

作法：①作直线机，在加上截取线段AC=a；

②作线段AC的垂直平分线EF,交线段AC于点O；

③以点A为圆心，线段6的长为半径画弧，交直线E尸于点8,D-,

④分别连接AB，BC,CD,DA；

则四边形ABCD就是所求作的菱形.

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

m

（2）完成下面的证明.

证明：垂直平分AC,

.'.AB=_,（_）

,/AB=AD,

：.AB=AD=BC=BD,

四边形ABC。是菱形.（_）

16.（2024北京丰台第二中学初二下期中）如图，在平行四边形ABC。中，点E,点尸在直线80上，且

BE=DF,连接AF,CE,求证AF=CE.

A

D

17.(2024北京H^一实验中学初二下期中)如图，在VABC中，AB=AC,。是BC的中点，点E,尸在射

线AD上，且DE=DF.

(1)求证：四边形BEC尸是菱形；

(2)若AD=3C=6,AE=BE,求菱形2EC尸的面积.

18.(2024北京广渠门中学初二下期中)己知：AABC,CD平分/AC3.

求作：菱形DFCE,使点尸在8c边上，点E在AC边上，下面是尺规作图过程.

作法：①分别以C、。为圆心，大于;CO为半径作弧，两弧分别交于点M、N；

②作直线MN分别与AC、BC交于点E、F；

③连接DF,0c与跖的交点记为点G；

四边形。尸CE为所求作的菱形.

(1)利用直尺和圆规依做法补全图形(保留作图痕迹);

(2)完成下面的证明.

证明：:DE=EC,DF=FC,

为。C的垂直平分线.

"：DE=EC,

：.ZEDC=ZECD.

•.•(7£)平分乙4。8,

：.ZECD=ZDCB.

：.ZEDC=ZDCB,

：._//_()(填推理依据)

同理可证。/〃CE,

.,•四边形DFCE为平行四边形.

又；_，

四边形DFCE为菱形.

19.(2024北京交大附中初二下期中)已知正方形ABCZ),点E,尸分别在射线BC,射线上,

BE=CF,AE与BF交于点、H.

图2

(D如图1,当点E,尸分别在线段8C,CD上时，求证：AE=BF,且/场_LM；

(2)如图2,当点E在线段BC延长线上时，将线段8E沿8尸平移至FG,连接AG.

①依题意将图2补全；

②用等式表示线段AG,FG和AD之间的数量关系，并证明.

20.(2024北京第一七一中学初二下期中)学习完四边形的知识后，小明想出了“作三角形一边中线”的另

一种尺规作图的作法，下面是具体过程.

已知：VABC.

求作：边上的中线AD.

作法：如图，

①分别以点3,C为圆心，AC,AB长为半径作弧，两弧相交于P点；

②作直线AP,AP与交于。点，所以线段就是所求作的中线.

根据小明设计的尺规作图过程，

(1)使用直尺和圆规，补全图形；(保留作图痕迹)

（2）完成下面的证明.

证明：连接PB,PC.

•：PC=AB,,

二四边形ABPC是平行四边形（）（填推理的依据）.

:.DB=DC（）（填推理的依据）.

是2C边上的中线.

21.（2024北京和平街第一中学初二下期中）如图，在△ABC中，点。，£分别是AC,AB的中点，点、F

是CB延长线上的一点，且CP=32F,连接。3,EF.

（1）求证：四边形。是平行四边形；

（2）若/ACB=90。，AC=12cm,DE=4cm,求四边形DEFB的周长.

22.（2018•江苏扬州・二模）如图，在平行四边形A8CD中，过点。作。ELA8于点E,点尸在边CZ）上,

DF=BE,连接AP,BF.

（1）求证：四边形2FDE是矩形；

（2）若AF平分NZM3,CF=3,BF=4,求。厂长.

23.（2024北京第六十六中学初二下期中）下面是小明设计的“作菱形”的尺规作图过程：

求作：菱形ABC。作法：

①作线段AC；

②作线段AC的垂直平分线I,交AC于点O-,

③在直线/上取点8,以。为圆心，。8长为半径画弧，交直线/于点。（点8与点。不重合）;

④连接AB、BC、CD、DA,所以四边形ABC。为所求作的菱形.

根据小明设计的尺规作图过程：

（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

（2）完成下面的证明：

证明：：OA=OC,OB=OD,

四边形ABC。为菱形（填推理的依据）.

B

AOC

24.（2024北京第十三中学初二下期中）下面是小阳设计的作矩形的尺规作图过程.

8b--------------

已知：RtAABC,ZABC=90°.

求作：矩形ABCD.

作法：

①以A为圆心，3C的长为半径画弧，再以C为圆心，

A8的长为半径画弧，两弧交于点。

②连接D4,DC.

所以四边形ABC。即为所求作的矩形.

根据小阳设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明.

证明：'：AD=BC,CD=AB,

四边形ABCD是（）.

ZABC=90°,

四边形ABC。是矩形（）.

25.（2024北京第十三中学初二下期中）已知：如图，在等腰△ABC中，AB=BC,80平分NABC交AC

于点。，延长80至点。，使00=80,连接ADCD,过点。作。交8C的延长线于点E.

（1）求证：四边形A8C。是菱形；

（2）如果AB=2,ZBAD=60°,求。E的长.

26.（2024北京陈经纶中学初二下期中）在数学课上，老师说统计学中常用的平均数不是只有算术平均数

一种，好学的小聪通过网络搜索，又得到了两种平均数的定义，他把三种平均数的定义整理如下：

对于两个数。，b,

彳称为a,b这两个数的算术平均数，

N=&京称为a,b这两个数的几何平均数，

p=称为a,b这两个数的平方平均数.

小聪根据上述定义，探究了一些问题，下面是他的探究过程，请你补充完整：

（1）若a=-l,b=-2,则Af=_,N=_,P=_；

（2）小聪发现当a,b两数异号时，在实数范围内N没有意义，所以决定只研究当。，6都是正数时这三

种平均数的大小关系.结合乘法公式和勾股定理的学习经验，他选择构造几何图形，用面积法解决问题:

如图，画出边长为a+b的正方形和它的两条对角线，则图1中阴影部分的面积可以表示

②借助图形可知当a,b都是正数时，M,N,尸的大小关系是：_（把M,N,P从小到大排列，并用

或，W，号连接）.

27.（2024北京第十八中学初二下期中）已知，点E在正方形A8CD的AB边上（不与点A,8重合），BD

是对角线，延长A3到点「使8尸=4区过点E作8。的垂线，垂足为M,连接AM,CF.

（1）根据题意补全图形，并证明

（2）①用等式表示线段AM与CF的数量关系，并证明；

②直接用等式表示线段AM,BM,DW之间的数量关系.

28.（2024北京丰台第二中学初二下期中）如图，正方形A8CC的对角线交于点。，点E、尸分别在AB、

8C上（AEVBE）,且NE。尸=90。，OE、D4的延长线交于点OF、A8的延长线交于点N,连接

M

29.(2024北京第一六六中学初二下期中)在正方形ABCD外侧作直线AP,点B关于直线AP的对称点

为E,连接BE,DE,其中DE交直线AP于点F.

图1图2

(1)依题意补全图1；

(2)若/PAB=20。，求NADF的度数；

(3)如图2,若45o</PAB<90。，用等式表示线段AB,FE,FD之间的数量关系，并证明.

30.(2024北京丰台第八中学初二下期中)正方形ABC。中，点M是直线上的一个动点(不与点2,

重合)，作射线。过点8作BAaDM于点N,连接CN.

(1)如图1,当点M在3c上时，如果/CDM=25。，那么的度数是

(2)如图2,当点M在BC的延长线上时，

①依题意补全图2；

②用等式表示线段N8,NC和ND之间的数量关系，并证明.

参考答案

1.见解析

【分析】先根据题意画图，然后根据已知条件填写依据即可.

【详解】

VAB=2CD,E为AB的中点，

BE=CD.

•/AB//CD,

.••四边形£BCD是平行四边形.（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），

，点下是8。中点.（平行四边形对角线互相平分），

AF.DE是的中线，

/.是的中线，

AB=BD,

/.3”是4）边上的高线.（等腰三角形底边上的中线也是底边上的高）.

【点睛】此题考查平行四边形的性质与判断和等腰三角形的性质，解题关键是根据已知条件灵活使用平行

四边形的性质和判定.

2.⑴不是

⑵14

（3）见解析（答案不唯一）

【分析】（1）先利用勾股定理分别求出BC'CZABLP的长，再利用勾股定理的逆定理进行判断即可得；

（2）利用分割法求解即可得；

（3）先利用平行四边形的性质找到格点E,再利用等高模型画出图形即可.

【详解】（1）解：•jBC?=2?+52=29,

CD2=『+2?=5,

802=42+42=32,

22

：.BC+CD丰BD°,

NBCD不是直角，

故答案为：不是.

(2)解：四边形ABC£＞的面积为5x5—』x2x5-'x2xl-lxl—，*1X3-LX1X5=14,

-2222

故答案为：14.

(3)解：如图，点E和四边形ASED即为所求.

【点睛】本题考查了勾股定理与网格问题、勾股定理的逆定理、平行四边形的性质，解题的关键是灵活运

用所学知识解决问题，属于常考题型.

3.⑴见解析

(2)三线合一定理；对角线互相平分的四边形是平行四边形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形

【分析】(1)按照题意进行作图即可；

(2)先由三线合一定理得到30=OO,AOLBD,再根据平行四边形和菱形的判定定理证明即可.

【详解】(1)解：如图所示，即为所求；

(2)证明：：AB=AD,A0平分44£),

/.BO=DO,AO1BD,(三线合一定理)

VBO=DO,AO=CO,

...四边形4?。为平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)

ACJ.BD,

四边形ABC。为菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形)

故答案为：三线合一定理；对角线互相平分的四边形是平行四边形；对角线互相垂直的平行四边形是菱

形.

【点睛】本题主要考查了角平分线的尺规作图，三线合一定理，菱形的判定，平行四边形的判定等等，灵

活运用所学知识是解题的关键.

4.(1)见解析

(2)见解析

(3)见解析

【分析】（1）根据网格的特点，矩形的性质即可得到结论；

（2）根据（1）的结论，固定。点，根据平行四边形的性质，作出点AC,顺次连接即可得到结论;

（3）固定。点，根据网格的特点，勾股定理正方形的性质即可得到结论.

【详解】（1）解：如图1,矩形ASCD即为所求；

BD=742+62=2-J13

图1

（2）解：如图2,平行四边形A3。即为所求;

图2

（3）解：如图3,正方形ABCD即为所求.

AB=BC=CD=>/26,S.BC2+CD2=BD2

则正方形4?。即为所求.

【点睛】本题考查了勾股定理与网格问题，矩形的性质，平行四边形的性质，正方形的性质，正确的作出

图形是解题的关键.

5.见解析

【分析】根据E是AD的中点，AF\\BC,易证得AV留三△DBE,即可得=又由在RMABC

中，NB4c=90。，。是2c的中点，o!^AD=BD=CD=AF,证得四边形APC厂是平行四边形，继而判

定四边形ADb是菱形。

【详解】证明：如图，

:.ZAFE=ZDBE,

•.•E是AD的中点，是BC边上的中线,

:.AE=DE,BD=CD,

在ZVIFE和中，

ZAFE=ZDBE

<NFEA=ABED,

AE=DE

:.^AFE=J)BE(A4S),

AF=DB,

QDB=DC,

AF=CD,

...四边形ADCF是平行四边形，

Q/B4D=90。，。是BC的中点，

AD=DC^-BC,

2

二四边形AZXT是菱形.

【点睛】本题考查了菱形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质.根据图形求解是关键.

6.(1)见解析

(2)3.4

【分析】(1)根据线段垂直平分线的性质，可得AP=C尸，AE=CE,OA=OC,然后由四边形ABC。是矩

形，易证得小。歹义^。。£,则可得A斤CE,继而证得结论；

(2)设AE=CE=尤，贝|BE=5-x,由勾股定理得32+(5-x)2=/,求解即可.

【详解】(1)证明：：点。是AC的中点，EFLAC,

是AC的垂直平分线，

：.FA=FC,EA=EC,OA=OC.

:四边形ABC。是矩形，

J.AD//BC,

：.ZFAO^ZECO.

在AAOP和ACOE中，

'NFAO=NECO

•：\OA=OC,

ZAOF=ZCOE^90°

：.△AO金△COE(ASA),

：.FA=EC,

；.AE=EC=CF=M

.••四边形AECP为菱形.

(2)解：设AE=CE=x,则BE=5—无，

:四边形ABC。是矩形，

.\ZB=90°.

在RA43E中，由勾股定理得，AB2+BE2=AE2,

即32+(5-x)2=%2,

解得，x=3.4,

即AE=3.4.

【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，证得△AOPg/XCOE是解题的

关键.

7.(1)见解析

(2)873

【分析】(1)根据AE//3D,BEIIAC,得出四边形岫。是平行四边形，再由矩形的性质得出

AO=BO,从而可证明四边形AEB。是菱形；

(2)连接EO交48于点尸，由菱形的性质得出40=30,AB±EO,EO=2OF,由帅=。3=4,证明

AAB。是等边三角形，求出AF=2,再由勾股定理求出。歹=2百，进而EO=46,即可得出答案.

【详解】(1)证明：如图1,

二四边形A£B。是平行四边形，

V四边形ABCD是矩形，

AO=-AC,BO=-BD,AC=BD,

22

/.AO=BO,

四边形AEB。是菱形；

(2)解：如图2,连接E0交A3于点尸,

：.AO=BO,ABLEO,EO=2OF,

-,AB=OB=4f

,-.AB=BO=AO=4,

A4BO是等边二角形,

AF=—AB=—x4=2,

22

:.OF=ylAO2-AF2=V42-22=2也，

£0=2x26=45

S

-'-*»AEBO=-AB-£O=-X4X4A/3=8^/3.

【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，掌握矩形的性质，等边三角形的判定与性质，解题

的关键是掌握菱形的判定与性质，勾股定理，菱形面积公式.

8.(1)见解析

(2)见解析

【分析】(1)根据题意，只要使得AB的邻边的长是无理数百即可；

(2)如图，取格点£、F,连接EF则EF与互相垂直平分且相等，根据正方形的判定方法，则四边

形AEB尸为所作.

【详解】(1)解：如图，四边形即为所作；

(2)解：如图，四边形极/即为所求作的正方形.

【点睛】本题考查了在网格中作特殊四边形，熟练掌握平行四边形和正方形的判定方法是准确作图的关

键.

9.⑴见解析

Q)屈

【分析】(1)证/即F=90。，ZCED=90°,再由/£>PC=90。，即可得出结论；

(2)证△ACD是等边三角形，得/ACZ)=60。，AC=AD=2,则AE=CE=1,再由勾股定理得。E,然后由三

角形中位线定理得BC=2DE=2也,由勾股定理即可得出结论.

【详解】(1)解：证明：平分NAOC,DF平分/BDC,

：.ZADE=ZCDE=-ZADC,ZCDF=-ZBDC,

22

AZCDE+ZCDF=-(ZADC+ZBDC)=-xl80°=90°,

22

BPZEZ)F=90°,

U：AD=DC,

：.ZDCA=ZDACf

：.ZCED=/AED=-X180°=90°,

2

又：ZDFC=90°,

四边形CEZ＞是矩形；

(2)解：由(1)可知，四边形CEOE是矩形，

ZCED=ZECF=90°,

：.ZA=90°-ZB=90o-30o=60°,DELAC,

'：AD=DC,

：.CE=AE,是等边三角形，

ZACD=60°,AC=AD=2,

；.AE=CE=1,

DE=^AD2-AE2=V3，

ZDCB=ZECF-ZACD=90°-60o=30°,

ZDCB=ZB,

：.DB=DC=AD,

.••■DE是AABC的中位线，

：.BC=2DE=243,

在RfABCE中,由勾股定理得：BEKCELBCZ=屈，

即BE的长为而.

【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线定理以及勾股定理等知

识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键.

10.见详解

【分析】由平行四边形的性质，得到AB〃CD,结合OE//CF,DE±AB,即可得到结论成立.

【详解】解：在DABCD中，有ABIICD,

VDE.LAB,CF1AB,

：.DE//CF,

；•四边形DEFC是平行四边形，

,/DEJ.AB,

四边形CD历是矩形.

【点睛】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定和性质，解题的关键是掌握平行四边形的判定和性质

进行证明.

H.(1)见解析

(2)见解析

【分析】(1)先根据四边形A8C。为平行四边形，得出AO=CO,BO=DO,再根据=得出

EO=FO,即可证明结论；

(2)先证明"C4=NA4C,得出八4=OC,证明四边形ABCD为菱形，得出ACSBD,即可证明结

论.

【详解】(1)证明：二•四边形A8C。为平行四边形，

AO=CO,BO=DO,

,/AE=CF,

：.AO-AE^CO-CF,

即EO=FO,

•••四边形EBFD是平行四边形.

(2):四边形ABC。为平行四边形，

AB//CD,

：.ZDCA^ZBAC,

•/ABAC=ADAC,

：.ZDCA=ZDAC,

：.DA=DC,

四边形ABC。为菱形，

ACJ.BD,

即EF_L5D,

•••四边形是平行四边形，

二四边形旗ED是菱形.

【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握菱形和

平行四边形的判定方法，是解题的关键.

12.(1)图见解析

(2)08,对角线互相平分的四边形是平行四边形，一组邻边相等的平行四边形是菱形

【分析】(1)根据所给几何语言画出对应的图形即可；

(2)先根据等腰三角形的性质得到CO=OB,再根据平行四边形和菱形的判定解答即可.

【详解】(1)解：如图，菱形A8DC即为所求作；

(2)证明：VAB=AC,AE平分3CAB,

CO=OB.

AO^DO,

.•.四边形ABAC是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）.

AB=AC,

.••四边形是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）.

故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形，一组邻边相等的平行四边形是菱形.

【点睛】本题考查基本尺规作图-作角平分线、等腰三角形的性质、平行四边形的判定、菱形的判定，熟练

掌握基本尺规作图的方法步骤，熟知平行四边形的判定和菱形的判定是解答的关键.

13.（1）见解析

（2）CD,AD,两组对边分别相等的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形.

【分析】（1）根据要求作出图形即可.

（2）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可.

【详解】（1）解：如图，四边形ABC。即为所求.

（2）证明："：AB=CD,AD=BC,

四边形ABC。是平行四边形（两组对分别相等的四边形是平行四边形），

,/ZABC=90°,

四边形ABC。是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）.

故答案为：C。，AD,两组对边分别相等的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形.

【点睛】本题考查作图-复杂作图，平行四边形的判定和性质，矩形的判定等知识，解题的关键是熟练掌

握基本知识，属于中考常考题型.

14.（1）见解析；

（2）277

【分析】（1）先证明四边形AC3E是平行四边形，然后根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可证

明；

（2）先证明AAOC为等边三角形，由各角之间的关系得出/阴。=90。-60。=30。，根据含有30。角的直角三

角形的性质及勾股定理进行求解即可得出结果.

【详解】（1）证明：\•四边形A3。是平行四边形，

：.AD//BC,AD=BC,

'：AC±AD,

：.ZEAC=ZDAC=90°,

'：ZECA=ZACD,

：.ZAEC=ZADC,

・•・CE=CD,

：.AE=AD=BC9

9

\AE//BCf

・・・四边形ACBE是平行四边形，

ZEAC=90°,

・•・四边形ACBE为矩形；

（2）如图，过点。作。尸，。石于凡

由（1）可知，四边形AC8E为矩形，

・・・对角线48与CE相等且互相平分，A0=;AB=2,

：.OA=OC,

*：ZACD=ZACO=60°,

・・・AAOC为等边三角形，

ZOAC=60°,

•・・ZEAC=90°,

・•・ZMO=90°-60°=30°,

在放AAR?中，

1厂

OF=—AO=1,AF=A/3,

在R/AAEB中，BE=-AB=2,

2

AD=AE=742-22=2A/3>

•*.DF=AF+AD=73+2m=3A/3,

-'-OD=yjDF2+OF2=2不■

【点睛】题目主要考查矩形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，含

有30。角的直角三角形的性质等，理解题意，熟练掌握运用这些知识点是解题关键.

15.（1）作图见解析；

（2）BC；AD；CD；线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；四条边都相等的四边形是菱形

【分析】（1）根据题干中提示的步骤，逐步作图即可；

（2）根据垂直平分线的性质及菱形的判定定理进行证明即可.

【详解】（1）解：按照步骤，作图如图所示：

(2)证明：垂直平分AC,

：.AB=BC,AD=CD,(线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等)

'：AB=AD,

：.AB=BC=AD=CD,

四边形48CD是菱形(四条边都相等的四边形是菱形).

故答案为：BC；AD；CD；线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；四条边都相等的四边形是

菱形

【点睛】本题考查尺规作图-作菱形，以及理论证明，掌握基本作图的方法，以及菱形的判定定理是解题关

键.

16.见详解

【分析】先根据平行四边形性质得出再利用等角的补角相等得出然后

利用SAS判定△ADF空ACBE即可解决问题；

【详解】解：：四边形ABC。是平行四边形，

：.AD//BC,AD=BC,

：.ZADB=ZDBC,

'：ZADF^1SQ°-ZADB,NCBE=1800-NDBC,

：.NADF=/CBE,

在△4。尸和小C8E中，

AD=CB

<NADF=NCBE,

DF=BE

：.^ADF^ACBE(SAS),

：.AF^CE.

【点睛】本题考查平行四边形的性质、等角的补角性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是

正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型.

17.(1)见解析

【分析】(1)先由等腰三角形“三线合一”的性质得到=再结合己知即可证明结论；

(2)设DE=x,根据题意，求出砥=6-x,BD=3,再根据勾股定理列出方程求解，最后计算菱形的

面积即可.

【详解】(1)AB=AC,。是8c的中点，

BD=CD,AD±BC,

■.DE=DF,

四边形BECF是菱形;

(2)设=

VAD=BC=6,AE=BE,BD=CD,

AE-BE—6—x,BD-3,

■.■AD1BC,

:.ZBDE=90°,

在RABDE中,BD1+DE-=BE1，

即32+x2=(x-6)2,

9

解得x=，

4

9

DE=~,

4

1927

菱形BEb的面积=—・BC-OE-2=6x—=—.

242

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、菱形的判定定理和性质定理，勾股定理，菱形的面积，熟练掌握

知识点是解题的关键.

18.⑴见解析

(2)DECF内错角相等，两直线平行DC1EF

【分析】(1)根据给定做法，画出图形即可；

(2)先证这个四边形是平行四边形，再根据对角线互相垂直，即可证得该四边形是菱形.

【详解】(1)解：如图，四边形。PCE即为所求，

(2)证明：:DE=EC,DF=FC,

为。C的垂直平分线.

,:DE=EC,

：./EDC=/ECD.

：C£)平分NAC8,

:./ECD=/DCB.

:./EDC=/DCB,

：.DE//CF(内错角相等，两直线平行)

同理可证DF//CE,

四边形。尸CE为平行四边形.

又：DC1EF,

四边形DFCE为菱形.

故答案为：DE-CF-内错角相等，两直线平行；DCLEF.

【点睛】本题主要考查了平行四边形和菱形的判定方法，灵活运用平行四边形和菱形的判定方法进行判定

是解题的关键.

19.⑴见解析

(2)①见解析；②AG2=2A£>2+2FG2,证明见解析

【分析】(1)根据正方形性质可得A5=3C,ZABE^ZBCF^90°,进而可证明=ABCF(SAS),依据

全等三角形性质即可证得结论；

(2)①按题目要求补全图形即可；

②连接EG,根据平移性质即可得出四边形3EG/是平行四边形，根据平行四边形性质得EG=B产，

EG//BF,再由AABEMABC尸(SAS),可得AE=BF,ZBFC=ZAEB,进而可得出EG=AE,

ZAEG=90°,由勾股定理即可得出结论.

【详解】⑴解:如图1,

四边形ABCD是正方形，

:.AB=BC,ZABE=ZBCF=90°,

在AABE和ABCF中，

BE=CF

-NABE=NBCF,

AB=BC

:./\ABE^tsBCF{SAS),

:.AE=BF,NBAE=NCBF,

ZCBF+ZABH=90°,

/.ZBAE+ZABH=90°,

.\ZAHB=90°,

:.AE±BF,

故AE=BF,且尸；

(2)解：①补全图如图2所示;

②AG2=2AD2+2FG2.理由如下:

如图3,连接石G,

・・・线段BE沿BF平移至FG,

二.四边形5EG厂是平行四边形,

..EG=BF,EG//BF,

在AABE和ABCF中，

BE=CF

<ZABE=ZBCF,

AB=BC

:.AABE=/^BCF(SAS),

:.AE=BF,NBFC=ZAEB,

,\EG=BF=AE,

・•ZBFC+NCBF=90。，

ZAEB+ZCBF=90°f

:.ZBHE=90°,

■.■EG//BF,

ZAEG=ZBHE=9Q°,

AG2=AE2+EG2=2AE2,

AE2=AB2+BE2=AD2+FG2,

AG2=2AD2+2FG2.

【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、平移的性质、勾股定理的应用，解题的关

键是掌握全等三角形的判定定理和性质定理、正方形的性质定理.

20.(1)见解析

(2)AB=PB,两组对边分别相等的四边形是平行四边形，平行四边形的对角线互相平分

【分析】(1)根据要求作出图形即可.

(2)利用平行四边形的判定和性质解决问题即可.

【详解】(1)解：如图，图形如图所示：

(2)解：连接PB,PC.

PC=AB,AC=PB,

四边形ABPC是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形).

:.DB=DC(平行四边形的对角线互相平分).

故答案为：AB=PB,两组对边分别相等的四边形是平行四边形，平行四边形的对角线互相平分.

【点睛】本题考查作图-基本作图平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所

学知识解决问题.

21.(1)见解析；(2)平行四边形。EFB的周长=28(cm)

【分析】(1)证OE是AABC的中位线，得DE〃BC,BC=2DE,再证QE=8R即可得出四边形。EEB

是平行四边形；

(2)由(1)得：BC=2DE=8(cm),BF=DE=4cm,四边形是平行四边形，得BD=EF,再由勾

股定理求出BD=10(cm),即可求解.

【详解】(1)证明：：点。，E分别是AC,AB的中点，

是AABC的中位线，

：.DE//BC,BC=2DE,

・：CF=3BF,

：.BC=2BF,

:・DE=BF,

・•・四边形DEFB是平行四边形；

(2)解：由(1)得：BC=2DE=8(cm),BF=DE=4cm,四边形。瓦5是平行四边形，

:・BD=EF,

・・•。是AC的中点，AC=12cm,

CD=—AC=6(cm),

2

ZACB=90°,

BD=7C»2+BC2=A/62+82=10(cm),

二平行四边形QEFB的周长=2(DE+BD)=2(4+10)=28(cm).

【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、勾股定理等知识；熟练掌握三角形中

位线定理，证明四边形。EFB为平行四边形是解题的关键.

22.(1)见详解；(2)5

【分析】(1)先求出四边形8mE是平行四边形，再根据矩形的判定推出即可；

(2)根据勾股定理求出8C长，求出即可得出答案.

【详解】(1)证明：•••四边形ABC。是平行四边形，

J.AB//DC,

•：DF=BE,

，四边形8式。£是平行四边形，

'：DE±AB,

DEB=90°,

，四边形8FDE是矩形；

(2)解：•••四边形是矩形，

；./BFD=90°,

：.ZBFC^90°,

在必中，CF=3,BF=4,

:.BC=5,

平分NZMB,

：.ZDAF=ZBAF,

'：AB//DC,

：.ZDFA=ZBAF,

：.ZDAF=ZDFA,

：.AD=DF,

"：AD=BC,

:.DF=BC,

:.DF=5.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质和判定，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，能综

合运用定理进行推理是解此题的关键.

23.（1）见解析；（2）对角线互相垂直的平行四边形为菱形

【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形；

（2）先证明四边形ABCD为平行四边形，然后利用对角线垂直可判断四边形ABC。为菱形.

【详解】（1）如图，四边形A8CO为所作；

（2）证明：：OA=OC,OB=OD,

:.四边形ABCD为平行四边形，

'JBDLAC,

二四边形为菱形（对角线互相垂直的平行四边形为菱形）.

故答案为:对角线互相垂直的平行四边形为菱形.

【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何

图形的性质和基本作图方法.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质

把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.也考查了菱形的判定.

24.（1）见解析；（2）平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四

边形是矩形

【分析】（1）利用直尺和圆规作图即可；

（2）根据平行四边形的判定定理及矩形的判定定理证明即可.

【详解】解：（1）使用直尺和圆规，补全图形如图所示：

（2）证明："：AD=BC,CD=AB,

.•.四边形ABC。是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）.

,/90°,

四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）

故答案为：平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

有一个角是直角的平行四边形是矩形.

【点睛】此题考查尺规作图，平行四边形的判定定理，矩形的判定定理，熟记各定理是正确解答此题的关

键.

25.（1）见详解；（2）DE=243

【分析】（1）由题意易得=然后根据菱形的判定条件可进行求证；

（2）由（1）可得/&4。=30。，贝情。3=1,。4=6，然后易证四边形ACED是平行四边形，进而问题可

求解.

【详解】（1）证明：8。平分NABC,

BO±AC,AO=OC,

•：OD=BO,

.••四边形ABC。是平行四边形，

,?BD1AC,

二四边形ABC。是菱形；

（2）由（1）可得四边形48。是菱形，

AD//CE,

,：ZBAD=6Q°,

：.ABAC=-/BAD=30°,

2

"：AB=2,

：.OB=-AB=1,

2

,,OA=AB2—OB2=-\/3,

/•AC=2道,

\'DE±BD,BDLAC,

：.AC//DE,

：.四边形ACED是平行四边形，

/.DE=AC=2«.

【点睛】本题主要考查菱形的性质与判定、平行四边形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握菱形的性质与

判定、平行四边形的性质与判定及勾股定理是解题的关键.

26.（1）五,巫；（2）①见解析；②NWM&P.

22

【分析】（1）将。=-1，。=-2分别代入M,N,P求值即可得；

（2）①分别求出AT,尸，再根据正方形的性质、矩形和直角三角形的面积公式即可得；

②根据（2）①中的所画的图形可得N24M2w产，由此即可得出结论.

【详解】解：(1)当〃=—1/=—2时,

“，a+b-1-23

M=----

222

N=y[ab=^—1x(—2)=A/2，

⑵①“｛用=*=匕±旦亨+",

则用阴影标出一个面积为的图形如下所示：

ci~+b~(a—b)~+2ab(a-b)2

+ab,

222

则用阴影标出一个面积为尸2的图形如下所示:

2<P2,当且仅当。-6=0,即。=6时，等号成立,

：。力都是正数,

.•.M,N,P都是正数,

:.N<M<P,

故答案为：N<M<P.

【点睛】本题考查了二次根式的应用、完全平方公式、正方形的性质等知识点，较难的是题(2)①，正

确利用完全平方公式进行变形运算是解题关键.

27.(1)见解析；⑵①①AM=FC,证明见解析；②。犷+现心=241/2

【分析】(1)证AfiEM是等腰直角三角形即可得；

(2)①先证=得AM=FM,由AE=知EF=8C=AB,证AMEF=AMBC得

ZEMF=ZBMC,FM=MC,由NFMC=90。知AFCN是等腰直角三角形，从而得==;②

连接DE,证四边形COM是平行四边形得DE=6,由==AM知=,结合

BM=EM,ZDME=90°DM2+EM2=DE2,从而得出答案.

【详解】解：(1)如图所示，

1.'四边形ABC£＞是正方形,8。是对角线,

ZABD=45°,

■.BMLBD,

.•.ABEM是等腰直角三角形，

(2)①如图所示，连接CM、FM,

ZAEM=Z.FBM=135°,

又•：AE=FB,

\AEM=AFBM(SAS),

:.AM=FM,

-：AE=BF,

..EF=AB=BC,

'：ZMBC=ZBEM=45°

:.\MEF=AMBC(SAS),

:.ZEMF=ZBMC,FM=MC,

:.ZFMC=90°,

.•.AFCM是等腰直角三