2024北京重点校初二（下）期中数学汇编：平行四边形章节综合3（填空题）

2024北京重点校初二（下）期中数学汇编

平行四边形章节综合（填空题）3

一、填空题

1.（2024北京陈经纶中学初二下期中）如图，菱形ABC。的对角线AC,3。相交于点O,尸为AB边上一

动点（不与点A,B重合），理_1。4于点E,PFLOB于点F,若AB=4,ZBAD=6O°,则斯的最小值

2.（2024北京汇文中学初二下期中）如图，点A是y轴正半轴上的动点，点8在x轴的正半轴上,

AB=6,以AB为边在第一象限作正方形A58,连接OC,则OC的最大值为.

3.（2024北京第六十六中学初二下期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形Q4BC的顶点A,C的坐

标分别是（4,-2）,（1,2）,点8在x轴上，则点8的坐标是—.

4.（2024北京中关村中学初二下期中）如图，在菱形AB8中，4=45。，E、/分别是边CD8C上的动

点，连接AE、EF,G、反分别为AE、跖的中点，连接G".若GH的最小值为3,则的长

为.

5.（2024北京第六十六中学初二下期中）如图，正方形ABCD中，点E是对角线3。上的一点，且

6.（2024北京汇文中学初二下期中）如图，在ABCD中，ZB=73°,则/A=°,ND=

7.（2024北京第一t一中学初二下期中）如图，在VA3C中，AB=3,AC=4,BC=5,P为边BC上一动

点，PELAB于E,PFLAC于凡M为跖中点，则AM的最小值为.

8.（2024北京交大附中初二下期中）如图，在VABC中，点。，点E分别是AB,AC的中点，点厂是

DE上一点,且NAFC=90。，若8C=12,AC=8,则£＞尸的长为.

9.（2024北京大兴初二下期中）在平面直角坐标系x0y中，已知点A。/），请确定点C的坐

标，使得以4B,C,。为顶点的四边形是平行四边形，则满足条件的所有点C的坐标是.

10.（18-19八年级下•云南昆明•期末）如图，。是矩形ABC。的对角线的交点，M是的中点.若

11.（2024北京陈经纶中学初二下期中）平行四边形A2C。中，ZA+ZC=200°,则48=.

12.（2024北京中关村中学初二下期中）如图，两段公路AC,BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被

湖隔开，若测得AB的长为2km,则C两点间的距离为km.

13.（2024北京房山初二下期中）如图，在ABCD中，AEL8C于点E,点尸在BC边的延长线上，只需

再添加一个条件即可证明四边形AEFO是矩形，这个条件可以是（写出一个即可）.

14.（2024北京中关村中学初二下期中）如图，把正方形纸片沿对边中点所在的直线对折后展开，

折痕为再过点8折叠纸片，使点A落在上的点尸处，折痕为8E.若FN=3,则正方形纸片的边

15.（2024北京第十三中学初二下期中）菱形ABC。的面积为24cm2,对角线BD的长为6cm,则AC的长

为cm.

16.（2024北京丰台第八中学初二下期中）如图，菱形A3CD的面积为12,其中对角线AC长为4,则对

角线2D的长为.

17.（2024北京第一六六中学初二下期中）菱形的两条对角线的长分别为4和6,则它的面积

为.

18.（2024北京丰台第八中学初二下期中）如图，把矩形ABCD沿直线8。向上折叠，使点C落在点C，的

位置上，BC咬AD于点、E,若AB=3,BC=6,则。E的长为.

BC

19.（2024北京第三十五中学初二下期中）如图.将正方形纸片ABC。折叠，使边AB、CB均落在对角线

BD±,得折痕BE、BF,则NEB尸的大小为.

20.（2024北京大兴初二下期中）如图，已知菱形ABCZ）的一个内角NR4D=8O,对角线AC,80相交

于点。，点E在A8上，且BE=BO,则ZE（M=°.

C

21.（2024北京交大附中初二下期中）如图，将矩形A8C。沿对角线8。所在直线折叠，点C落在同一平

面内，落点记为CLBC与交于点E,若A8=4,8c=8,则BE的长为

22.（2024北京第十二中学初二下期中）在平行四边形ABCD中，ZA+ZC=100°,则/A=_.

23.（2024北京丰台第八中学初二下期中）如图，在平行四边形ABC。中，ZA=70°,DB=DC,

C£L5D于E,则/BCE=.

24.（2024北京丰台第八中学初二下期中）如图，请给矩形ABC。添加一个条件，使它成为正方形，则此

条件可以为.

AD

BC

25.（2024北京第一六六中学初二下期中）如图，点C在线段A8上，ArHC是等边三角形，四边形

CAM是正方形.

(1)ZDAE

（2）点P是线段AE上的一个动点，连接尸2,PC.若AC=2,BC=3,则PB+PC的最小值为

26.（2024北京第一六六中学初二下期中）如图，在矩形ABC。中，点E在边上，EF平分/AEC交

BC于点F.若AO=7,AE=CD=3,则的长为—.

27.（2024北京汇文中学初二下期中）如图，在矩形ABC。中，点瓦厂分别在SCAD上，AF=EC.只需

添加一个条件即可证明四边形AEC厂是菱形，这个条件可以是（写出一个即可）.

28.（2024北京汇文中学初二下期中）如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,若OA=

2,则BD的长为

29.（2024北京人大附中初二下期中）小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动

学具成为图1所示的菱形，并测得/3=60。，对角线AC的长为30a〃，接着活动学具成为图2所示的正方

形，则图2中对角线AC的长为cm.

图1图2

30.（2024北京人大附中初二下期中）如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点2落在边的点尸处，折痕

为CE,若/。=80。，则/ECF的度数是

31.（2024北京广渠门中学初二下期中）在。ABC。中，对角线AC、相交于点O,E是边AB上的一个

动点（不与A、8重合），连接£。并延长，交CD于点F,连接AF,CE,有下列四个结论：

①对于动点£,四边形AECP始终是平行四边形；

②若/A8C>90。，则至少存在一个点E,使得四边形AECT是矩形；

③若则至少存在一个点E,使得四边形AEb是菱形；

④若/3AC=45。，则至少存在一个点E,使得四边形AECT是正方形.

以上所有错误说法的序号是—.

32.（2024北京日坛中学初二下期中）如图，在R3ABC中，点。分别是边A8的中点，若A8=4,贝|

CD=

A

33.（2024北京清华附中初二下期中）正方形9CD的边长为4,点M,N在对角线AC上（可与点AC重

合），MV=2,点P,Q在正方形的边上.下面四个结论中,

①存在无数个四边形PMQN是平行四边形;

②存在无数个四边形PMQN是菱形;

③存在无数个四边形尸MQN是矩形;

④至少存在一个四边形PMQN是正方形.

所有正确结论的序号是.

34.（2024北京八一学校初二下期中）如图，平行四边形ABCZ）的周长为20cm,AC与交于点0,

于。，EO交AD于点E,则.ABE的周长为cm

35.（2024北京首师大附中初二下期中）如图，在矩形ABC。，BE平分/ABC,交AD于点E,F是BE

的中点，G是2C的中点，连按EC,若AB=8,3c=14,则BG的长为.

参考答案

1.A/3

【分析】连接OP,根据菱形的性质得到ACS9,NCA8=；ND4B=30。，根据矩形的判定定理得到四

边形OE尸尸是矩形，求得EF=OP,当。尸1.AB时，OP最小，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股

定理求解即可.

【详解】解：连接。尸，如图所示，

•••四边形ABC。是菱形，

/.ACJ.BD,ZCAB=-ZDAB=30°,,

2

；PELOA于点E,于点尸，

NEOF=ZOEP=Z.OFP=90°,

四边形OE母'是矩形，

EF=OP,

:当0尸取最小值时，所的值最小，

...当时，OP最小，即E尸的值最小，

,/AB=4,

/.OB=-AB=2,

2

OA=《AB?-OB?=2-J3，

OP=—OA=5/3,

2

E尸的最小值为G，

故答案为：出.

【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，垂线段最短，菱形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形

的性质，熟练掌握垂线段最短是解题的关键.

2.375+3/3+375

【分析】由直角三角形的性质可求。居3,由勾股定理可求C8的长，由三角形的三边关系可求解.

【详解】解：如图，取的中点”，连接OH,HC,

四边形ABCD是正方形，

AZABC^ZAOB^90°,AB=BC=6,

,点H是AB的中点，

OH=BH=-AB=3,

2

CH=S/BH2+BC2=V32+62=3百，

在△OCH中，OC<OH+HC,

二当点”在OC上时，OC有最大值，最大值为36+3,

故答案为：3石+3.

【点睛】本题考查了正方形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，三角形的三边关系，灵活运用这些性

质解决问题是解题的关键.

3.(5,0)

【分析】先根据两点距离公式可求AC的长，再根据矩形的性质求得03=AC=5,再根据点3在x轴上，

即可求解.

【详解】

解:连接AC,

•.•点4(4,一2),,点C(l,2),

/.AC=^(4-1)2+(-2-2)2=5

.四边形Q4BC是矩形，

OB=AC=5,

•.•点8在x轴上，

点8的坐标为(5,0)

故答案为：(5,0).

【点睛】本题考查了矩形的性质，坐标与图形的性质，掌握矩形的对角线相等是解题的关键.

4.60

【分析】连接"，利用中位线的性质,要使G//最小，只要AF最小，当AFIBC时，AF最

小为6,由/3=45。确定△钻尸为等腰直角三角形，得出A尸=3尸=6,由勾股定理得：AB2=BF2+AF2

求出2c即可.

【详解】解:连接AF,

VG,//分别为E尸的中点,

：.GH//AF,且G8」AF,

2

要使最小，只要AF最小，

当A尸」BC时，AF最小，

的最小值为3,

?.AF=6,

4=45。，

Z&4F=45°,

BF=AF=6,

,,AB=yjAF2+BF~=6^/2，

•••四边形ABC。是菱形，

BC=AB=6五.

故答案为：6x/2.

【点睛】本题考查动点图形中的中位线，菱形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理应用问题，掌握

中位线的性质，菱形性质，等腰直角三角形的性质是解题关键.

5.135°/135度

【分析】根据正方形的性质，得到理=AB=8C,进而得到乙钻3=/54£/38=/8。口利用三角形

的内角和定理，进行求解即可.

【详解】解：：正方形中，点E是对角线80上的一点，且

：.BE=AB=BC,ZABE=NEBC=45。,

：.ZBEA=1(180°-ZABE)=67.5°,ZBEC=1(180°-ZCBE)=67.5°,

ZAEC=ZBEA+ZBEC=135°；

故答案为：135。.

【点睛】本题考查正方形的性质，等腰三角形的判定和性质.熟练掌握等边对等角，是解题的关键.

6.10773

【分析】根据平行四边形的邻角互补，对角相等求解即可.

【详解】解：：四边形钻8是平行四边形，4=73。，

ZA=180°-/B=107°,ZD=ZB=73°,

故答案为：107,73.

【点睛】本题考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的内角之间的关系是解答的关键.

7.1.2

【分析】根据已知得当AP，3c时，AP最短，同样4〃也最短，从而不难根据三角形的面积求得其值.

【详解】解：连接AP,如图：

在VABC中，AB=3,AC=4,BC=5,

AB2+AC2=BC2,

；.VABC是直角三角形，且/A4c=90。，

VPEI.AB,PFLAC,

.••四边形AFPE是矩形，

EF=AP.

是砂的中点，

AM=-AP,

2

根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，即3c时，AP最短，同样AM也最短，

11ARxAC

S=-ABxAC=-BCxAP,即AP=-----------=2.4,

"ARr22BC

AM=-AP=l.2.

2

故答案为：1.2.

【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，矩形的判定及性质、直角三角形的性质，解题的关键是能够把

要求的线段的最小值转换为便于分析其最小值的线段.

8.2

【分析】根据三角形中线定理求出OE,再根据直角三角形的性质求出所，再进行计算即可.

【详解】解：,点。、E分别是AB、AC的中点，

,DE是VABC的中线，

:.DE=-BC,

2

Bc=n,

DE=6,

在必AFC中，ZAFC=90°,点E是AC的中点，AC=8,

:.EF=-AC=4,

2

DF=DE-EF=6-4=2,

故答案为：2.

【点睛】本题考查了三角形中线定理和直角三角形的性质，熟练掌握三角形的中线平行于第三边，且等于

第三边的一半是解题的关键.

9.（—2,0）或（2,0）或（0,2）

【分析】分两种情况：①当43为平行四边形的边时，②当A3为平行四边形的对角线时，讨论可得点C的

坐标.

【详解】解：①当AB为平行四边形的边时，AB^OC,

VA（l,l）,0（0,0）,

点C坐标为（-2,0）或（2,0）；

②当A3为平行四边形的对角线时，C（0,2）,

故答案为：（-2,0）或（2,0）或（0,2）.

【点睛】此题考查了平行四边形的性质和坐标与图形性质，解答本题的关键是要注意分两种情况进行求

解.

10.3

【分析】首先由。是矩形A8CD对角线AC的中点，可求得AC的长，然后由勾股定理求得的长，即

C。的长，又由M是AD的中点，可得OM是△AC。的中位线，进而求得答案.

【详解】解：：。是矩形ABC。对角线AC的中点，OB=5,

：.AC=2OB=1Q,

CD=AB=VAC2-BC2=V102-82=6，

是A。的中点，

：.0M=-CD=3.

2

故答案为：3.

【点睛】此题考查了矩形的性质、直角三角形的性质以及三角形中位线的性质.注意利用直角三角形斜边

上的中线等于斜边的一半，求得AC的长是关键.

11.80。/80度

【分析】根据平行四边形的性质（平行四边形的对角相等，对边平行）可得NA=NC,ZA+ZB=180°,

又由NA+/C=200。，可得/A.

【详解】解：四边形A8C。是平行四边形，

ZA=ZC,AB//CD,

ZA+ZC=200,

:.ZA=100,

AB//CD,

：.ZA+ZB=180°,

：.ZB=180°-100°=80°.

故答案为：80°.

【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质：平行四边形的对角相等，对边平行.熟练掌握平行四边形的

性质是解题的关键.

12.1

【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得MC=；A2=lkm.

【详解】解：；在RtAABC中，ZACB=90°,Af为A8的中点，

MC=^AB=l（km）,

故答案为：L

【点睛】本题考查直角三角形的性质，解题关键点是熟练掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的

一半，理解题意，将实际问题转化为数学问题是解题的关键.

13.ZDFE=9。。（答案不唯一）

【分析】先证明？A匹?DAE90?,再根据有三个角是直角的四边形是矩形进行补充即可.

【详解】解：••,AEL8C,

?AEC90?,

ABCD,

AD//BC,

：.?DAE180?90?90?,

补充：/£＞巫=90。或？ADb90?或止_L3C,

.••四边形AEED是矩形，

故答案为：/DEE=90。或？ADR90?或。尸，3c（任写一个即可）

【点睛】本题考查的是矩形的判定，掌握“有三个角是直角的四边形是矩形”是解本题的关键.

14.2也

【分析】设正方形的边长为a,根据折叠得出8N=《a,BF=AB=a,根据勾股定理列出关于。的方程，

2

解方程即可.

【详解】解：设正方形的边长为。，则根据折叠可知，BN=；a,BF=AB=a,

在RtABFN中，根据勾股定理可知，BF2=FN2+BN2,

即：«2=32+M2,

解得：。=2\/^或〃=-2月（舍去）.

故答案为：2G.

【点睛】本题主要考查了正方形的折叠问题，勾股定理的应用，设出正方形的边长，根据勾股定理列出关

于〃的方程，是解题的关键.

15.8

【分析】由菱形面积公式即可得出结论.

【详解】解：・.•四边形A5CD是菱形，

二・菱形ABCD的面积=—AC・BQ=24cm2,

2

即AC-B£>=6AC=48,

AAC=8,

即AC的长为8cm,

故答案为：8.

【点睛】本题考查了菱形的性质，熟记菱形面积等于两条对角线长的乘积的一半是解题的关键.

16.6

【分析】利用菱形面积等于对角线乘积的一半进行求解.

【详解】解：：菱形的面积为S=1xACxB。，

2

12=—x4xBD,

2

BD=6.

故答案为：6.

【点睛】本题考查了菱形面积的计算公式，熟记菱形面积计算公式是解题的关键.

17.12

【分析】菱形的面积等于对角线乘积的一半.

【详解】解：・・•菱形的面积等于对角线乘积的一半，

—x4x6=12.

2

故答案为：12.

【点睛】此题考查菱形的面积计算方法，属基础题.菱形的面积=底'高=对角线乘积的一半.

18.

4

【分析】先根据折叠的性质得到再由得到则

NBDE,可判断设AE=x,贝1J。E=8E=6r,然后在放△A8E中利用勾股定理得到

2

%2+32=(6-X),再解方程即可得出AE以及。E的长.

【详解】解：・.•四边形A5CZ)是矩形，

：.AD=BC=6,ZA=90°,

•・・Z\BDC是由△BDC折叠得到,

：.ZDBC=ZDBEf

'：AD//BC,

：.ZDBC=ZBDE,

：.ZDBE=ZBDE,

：.BE=DE,

设AE=x,则£>E=A£H4E=6-x,BE—6-x,

9

在MAABE中，AE2+AB2^BE2,BPx2+32=(6-x)9\解得尤="

故答案为：—.

4

【点睛】本题考查了矩形的性质、折叠变换的性质、等腰三角形的判定以及勾股定理；熟练掌握折叠变换

的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键.

19.450/45度

【分析】首先根据正方形的性质可得/l+/2+N3+/4=/ABC=90。，再根据折叠可得N1=/2=5

2

ZABD,Z3=Z4=-ZDBC,进而可得/2+/3=45°,即/EBE=45°.

2

【详解】解：：四边形ABC。是正方形，

ZABC=90°,

根据折叠可得/1=/2=L/A8Q,Z3=Z4=—ZZ)BC,

22

VZ1+Z2+Z3+Z4=ZABC=9O°,

；./2+/3=45°,

即/E8b=45°,

故答案为：45。.

【点睛】此题主要考查了图形的翻折变换和正方形的性质，关键是找准图形翻折后，哪些角是相等的.

20.25

【分析】根据菱形的性质求得ZAB。的度数，再根据5E=3O,求得/BOE的度数，即可求解.

【详解】解：在菱形A2CD中，ZBAD=S0

：.ZCBA=100°,ZOBA=-ZCBA=50°,=90°

2

又：BE=BO

：.ZBOE=ZBEO=1(180°-ZABO)=65°

•*.ZAOE=ZAOB-NBOE=25°

故答案为25.

【点睛】此题考查了菱形的性质，涉及了等腰三角形的性质，熟练掌握相关基本性质是解题的关键.

21.5

【分析】首先证明然后根据勾股定理得到关于线段A3、AE、8E的方程，解方程即可解决问

题.

【详解】解：：四边形48CD为矩形，

J.AD//BC,AD=BC=8,ZA=90°,

:./EDB=/DBC；

由题意得：NEBD=NDBC,

:.NEDB=/EBD,

，BE=DE,

设EZ)=x,贝!jAE=8-x；

:.EB=ED=x；

在RtABE中，由勾股定理得：

BE2=AB2+AE2,

即尤2=42+(8-尤)2,

解得：x=5,

；.BE=5.

故答案为：5.

【点睛】本题考查矩形与翻折变换及其应用问题，解题的关键是根据翻折变换的性质，结合等腰三角形的

判定及其性质、勾股定理等几何知识，灵活进行判断、分析、推理或解答.

22.50°.

【分析】根据平行四边形的性质即可求解.

【详解】解：：四边形是平行四边形，

，ZA=ZC,

ZA+ZC=100°,

NA=50。，

故答案为:50°.

【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握平行四边形的性质.

23.20°

【分析】由平行四边形的性质可得N8Cr>=NA=70。，又由于所以再根据

CELBD,最后根据三角形内角和即可解答.

【详解】解：：四边形ABC。是平行四边形

ZBCD=ZA=10°

,:DB=DC,

ZDBC=ZDCB=10°

'：CE±BD

：.ZCEB=90°

：.ZBCE=90°-ZDBC=20°.

故填20°.

【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解答本

题的关键.

24.AB=BC

【分析】根据正方形的判定添加条件即可.

【详解】解：添加的条件是：AB=BC.

理由如下：

:四边形ABC。是矩形，AB=BC,

四边形ABCO是正方形.

故答案为：AB=BC.

【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的判定的应用，能熟记正方形的判定定理是解此题的关键.

25.15729

【分析】(1)根据正方形和等边三角形的性质，可得AD=CD=DE,ZADC=60°,ZCDE=90°,进而即可求

解；

(2)作点C关于AE的对称点C',连接C'B交AE于点P,连接CA,CP,可得尸B+PC的最小值=PB+

PC'=BC',结合勾股定理，即可求解.

【详解】解：(1)•••△□4c是等边三角形，四边形COEF是正方形，

：.AD=CD=DE,ZADC=6Q0,/CDE=90。,

：.ZAZ)£=90°+60°=150°,

ZDAE=(180°-150°)+2=15°,

故答案是：15,

(2)作点C关于AE的对称点C',连接交AE于点P,连接CA,CP,

VZDAE=15°,ZDAC=6Q°,

：.ZCAE=60°-15o=45°,

丁点C关于AE的对称点C"

/.ZCAE=ZC'AE=45°,C'A=CA=2,CP=CP,

：.ZC'AC=90°,

•*.PB+PC的最小值=PB+PC=BC'=^IAC2+AB2=商+(2+3)2=晒.

故答案是：咽.

【点睛】本题主要考查勾股定理，轴对称一线段和最小值问题以及等边三角形和正方形的性质，添加辅助

线，构造直角三角形和轴对称图形，是解题的关键.

26.2

【分析】由已知易得NAEF=/FEC=NEFC,进而可得EC=FC,再由勾股定理求出EC即可解答.

【详解】解：：在矩形48C。中，AD//BC,AD=BC=1,ZADC=90°；

ZAEF=ZEFC,

又：ZAEF=ZFEC

：.ZFEC=ZEFC,

：.EC=FC,

：4。=7,AE=C£>=3,

：.ED=AD-AE=4,

ECnyjElf+CD。=5,

：.BF=BC-FC=l-5=2,

故答案为2.

【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握矩形的性质，并能利用

勾股定理进行推理计算是解决问题的关键.

27.AF=AE（答案不唯一）

【分析】由题意易得四边形MC厂是平行四边形，然后根据菱形的判定定理可进行求解.

【详解】解：：四边形AB。是矩形，

AD//BC,

AF=EC,

，四边形AECF是平行四边形，

若要添加一个条件使其为菱形，则可添加AF=AE或AE=CE或CE=C尸或理由：一组邻边相等

的平行四边形是菱形；

故答案为AF=AE（答案不唯一）.

【点睛】本题主要考查菱形的判定定理、矩形的性质及平行四边形的判定，熟练掌握菱形的判定定理、矩

形的性质及平行四边形的判定是解题的关键.

28.4

【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分的性质计算，得BD=AC=20A,即可得到答案.

【详解】YABCD是矩形

.*.OC=OA,BD=AC

又：OA=2,

AC=OA+OC=2OA=4

；.BD=AC=4

故答案为:4.

【点睛】本题考查了矩形的知识；解题的关键是熟练掌握矩形对角线的性质，从而完成求解.

29.30五

【分析】如图1，2中，连接AC.在图2中，利用勾股定理求出BC,在图1中，只要证明△ABC是等边

三角形即可解决问题.

【详解】解:如图1,2中，连接AC.

图1图2

如图1中，\'AB^BC,NB=60。，

.♦.△ABC是等边三角形，

：.AB=BC^AC^30,

在图2中，：四边形A3。是正方形，

：.AB=BC,ZB=90°,

'：AB=BC=30cm,

".AC—30^2cm,

故答案为：30

【点睛】本题考查菱形的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问

题，属于中考常考题型.

30.40°

【分析】根据题意由折叠的性质可得BC=CF,由菱形的性质可得2C〃A。，BC=CD,可

求/3C4/。即=80。，即可求解.

【详解】解：：将菱形纸片ABC。折叠，使点2落在边的点尸处，

/.ZBCE=ZFCE,BC=CF,

:四边形ABC。是菱形，

J.BC//AD,BC=CD,

：.CF=CD,

：.ZCFD=ZD=8Q°,

'：BC//AD,

：.ZBCF=ZCFD=80°,

：.ZECF=4Q°.

故答案为：40°.

【点睛】本题考查翻折变换以及菱形的性质，熟练掌握并运用折叠的性质是解答本题的关键.

31.②④.

【分析】由于EF经过平行四边形ABCD的中心O,故四边形AECF一定也是平行四边形，这可以通过证

明BE与CF相等来说明.然后只要让平行四边形AECF再满足适当的特殊条件就可以变成对应的特殊平

行四边形.

【详解】解：①如图1，

:四边形ABC。为平行四边形，对角线AC与3。交于点O,

：.AB//DC,AB=DC,OA=OC,OB=OD,

；./OAE=NOCF,

ZAOE^ZCOF,

：.AAOE^ACOF(ASA),

：.AE=CF,

y.'-'AE//CF,

四边形AECF为平行四边形，

即E在AB上任意位置(不与A、8重合)时，四边形AECT恒为平行四边形,

故选项①正确；

②如图2,

四边形AEb不是矩形，故选项②错误.

③如图3,

当EfUAC时，四边形AECF为菱形，故选项③正确.

④如图4,

如果AB<AD,