2024-2025学年重庆市某中学高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年重庆市田家炳中学高二（上）月考数学试卷（10月

份）

1.已知4（12-3）,则点A关于久Oy平面的对称点的坐标是（)

A.(—1,2,-3)B.(1,2,3)C.(一1,2,3)D.(—1,—2,3)

2.若直线经过4（1,0）,8（2,避）两点，则直线的倾斜角为（)

A.30°B.45°C.60°D.120°

3.已知a=(1,2,—y),6=(久,1,2),且(a+2b)〃(2a-b),则)

A1«11

A.%=§,y=1Btx=-,y=-4C,x=2,D.x=1,y=-1

4.。为空间任意一点，若而=一抄+髀+t瓦，若4B,C,P四点共面，贝8=（）

111

A.1B-C-D-

Zo4

5.如图，空间四边形。4BC中，OA=a,OB=b,瓦=乙点M在。4上，且加=河，点N为BC中点，则

丽等于()

AA.-1a—+I-故D--1一C

2-1717

B-3a+2b+2C

C.2~.Cl+2^—D—1-—C

C2.2^1-

D.—a+——C

6.过点P（0,-1）作直线/,若直线呜连接4（-2,1）,B（28,1）两点的线段总有公共点，则直线I的倾斜角范围

为（）

B.'用

C」。用U尊兀）D.（用U器兀）

7.下列命题中，正确的命题有（）

A.|a|+|h|=|a-S|Ma,B共线的充要条件

B.若何/丸则存在唯一的实数人使得五

C.对空间中任意一点。和不共线的三点4B,C,若而=2m—4而+3方，贝!]P,A,B,C四点共面

D,若｛a,b,c｝为空间的一个基底，则｛之+b,b+2c,c+3a｝构成空间的另个基底

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8.菱形力BCD的边长为4,ZX=60°,E为的中点（如图1）,将△4DE沿直线OE翻折至△ADE处（如图

2）,连接AB,A'C,若A—EBCD的体积为4避，点尸为4D的中点，贝汗到直线BC的距离为（）

A晅B通C通D通

2244

9已知荏=(—2,1,4),就=(4,2,0),而=(1,—2,1),而=(0,4,4),则下列说法正确的是().

A.而是平面ABC的一个法向量B.4BCQ四点共面

C.PQ//BCD.BC=博

10.已知直线h：x+(a—l)y+1=0,直线%：ax+2y+2=0,则下列结论正确的是（）

A」i在x轴上的截距为-1B.%恒过定点（。，-1）

C.若人〃％，则a=—1或a=2D.若八！％，贝1k

11.如图，在多面体A8CDES中，S41平面ABCD,四边形ABCD是正方形，且DE〃S4

SA=AB=2DE=2,M,N分别是线段BC,SB的中点，Q是线段DC上的一个动点（含端点D,C）,则下列

说法正确的是（）

A.存在点Q,使得NQ1SB

B.存在点Q,使得异面直线NQ与S4所成的角为60°

C.三棱锥Q-力MN体积的最大值是

D.当点Q自。向C处运动时，直线DC与平面QMN所成的角逐渐增大

12.已知平面a的一个法向量为Z=（1,2,2）,平面0的一个法向量为刃=（-1,2,0）,则两平面的夹角的余弦值

为.

13.在空间直角坐标系中，点M（0,0,1）为平面力BC外一点，其中4（1,0,0）、8（0,2,1）,若平面4BC的一个法向

量为（1,处,-1），则点M到平面2BC的距离为.

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14.如图，在圆锥S。中，力B是底面圆的直径，SO=AB=4,AC=BC,E为SC的中点，点D在S。上，若

AD1BE,则。。=

—>>—>>—>>

15.已知点P(—2,0,2),<2(-1,1,2),R(—3,0,4),^a=PQ,b=PR,c=QR.

(1)若实数k使k2+刃与工垂直，求k值.

(2)求2在加上的投影向量.

16.已知△ABC的三个顶点为4(4,0),5(0,2),C(2,6).

(1)求AC边上的高BD所在直线的方程;

(2)求BC边上的中线4E所在直线的方程.

17.已知平行六面体ABCD—ZiBiCiDi，底面是正方形，AD=AB=2,=1,^AB=^DAA1

=60°,=3宿，~D^B=2MB,设方=a,AD=b,AAi=c.

(1)试用a、b、c表示AN；

(2)求MN的长度.

18.如图，在多面体4BCDEF中，梯形4DEF与平行四边形2BCD所在平面互相垂直，AF//DE,DE1AD,

AD1BE,AF=AD=去DE=1,AB=显

(I)求证：BF〃平面COE；

(E)求二面角B-EF-D的余弦值；

(皿)判断线段BE上是否存在点Q,使得平面CDQ1平面8EF?若存在，求出器的值，若不存在，说明理

DC

由.

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E

19.如图，在四棱锥P—4BCD中，底面力BCD为直角梯形，^ADC=KBCD=90°,BC=1,CD=4，

PD=2,^PDA=60°,4PAD=30°,且平面PAD1平面4BCD,在平面ABC。内过8作B。1AD,交4。

于。，连接PO.

A----------

(1)求证：PO1平面4BCD；

(2)求二面角力-PB-C的正弦值；

(3)在线段PA上存在一点M,使直线BM与平面P4D所成的角的正弦值为斗，求PM的长.

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参考答案

1.5

2.C

3.5

4.C

5.B

6.B

7.CD

8.A

9.AD

XQ.ABD

11.ACD

13等

14.2

15.解：(1)依题意，a==(-l,0,2),c=(-2-1,2),

ku+b=(k,k,O)+(—1,0,2)=(k-

由而+b与工垂直,得(ka+b)-c=-2(k—l)—k+2x2=0,解得々=2,

所以k=2.

(2)由(1)知,a-b=-lf\b\=V5,

所以日在办上的投影向量为需=—至=

16.1?：由题，如图

(1)「A4BC的三个顶点为4(4,0),B(0,2),C(2,6),

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.­.直线AC的斜率为右c=泞=-3，

---AC_LBD,k，BD=§，

•・・直线BD的方程为y—2=1x,

化为一般式为：x-3y+6=0；

(2)vB(0,2),C(2,6),

BC的中点为E(l,4),又力(4,0),

・••直线AE的斜率为k=-p

直线4E的点斜式方程为y-0=-1(x-4),

化为一般式为：4%+3y—16=0.

17.1?：(1)4N=4C+CCi+JN=AB+AD+A4i—多

122

=AB+AD+痂--(AB+AD)=-AB+-AD+痂

=|之+图+之；

(2)、•瓦石=2丽，.•.M是线段D道的中点，

•••力、M、Ci三点共线，且M是线段AC1的中点，

AM—=|-(a+b+"),

___»_______>2_2TT1—7—

MN=AN—AM—(—a+—b+c)——(a+b+c)

,ir.1-

=铲+6+/

.—».—>—>—>―*―

|a|=2,\b\=2,|c|=1,a-5=0,a-c=2x1xcos60°=1,h-c=2x1xcos600=1,

1-lr1-9_1-21r21-21--lr-1-丁

(6a+6b+2C)—标。+36b+4C+-c+-c+—a•b

FFF号

即MN的长度为年.

o

18.解:(I)由底面力BCD为平行四边形，^AAB//CD,

又因为力BC平面CDE,CDu平面CDE,

所以4B〃平面CDE,

同理力F〃平面COE,

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又因为4Br\AF=2,AB,AFu平面4BF,

所以平面ABF〃平面CDE；

又因为BFu平面2BF,

所以BF〃平面CDE；

(11)连接8。，因为平面ADEF1平面力BCD,平面4DEFC平面4BCD=AD,DEAD,

又DEc平面力DEF,

所以DE_L平面力BCD,

又BDu平面ABCD,则!)!(,

又因为OE1AD,AD1BE,DEClBE=E,DE,BEu平面BDE,

所以4。1平面BOE,

又BDu平面BDE,

贝！1BD,

故£M,DB,DE两两垂直，

所以以DE所在的直线分别为x轴、y轴和z轴，如图建立空间直角坐标系，

贝⑺(0,0,0),4(1,0,0),B(0,l,0),C(-1,1,0),E(0,0,2),F(l,0,l),

所以前=(0,—1,2),£T=(1,0-1),亢=(0,1,0)为平面DEF的一个法向量,

设平面BEF的一个法向量为访=(x,y,z),

由m-BE=0,m-EF=0,得°，

令z=1,得m=(1,2,1).

uLr、।~m•n/6

所以cos<m,n>=一一=A工,

|m||n|3

如图可得二面角B-EF-D为锐角,

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所以二面角B—EF-D的余弦值为孚.

(皿)结论：线段BE上存在点Q,使得平面CDQ，平面BEF,

证明如下：

设的=4族=(0,-尢2；1)(/1e[0,1]),所以丽=丽+丽=(0,1—4,24),

设平面CDQ的法向量为(a,6,c),又因为沆=(—1,1,0),

所以大加=0,u-DC=0,即｛已]?々士彩=0,

若平面CDQ1平面BEF,则帚•£=(),即a+2b+c=0,解得2=1G[0,1].

所以线段BE上存在点Q,使得平面CDQ1平面BEF,且此时黑=摄

19.证明：(1)因为N2DC=ABCD=90°,BO1AD

所以，四边形B。。。为矩形，

在APD。中，PD=2,DO=BC=1,APDA=60°,

贝|JP0=yJPD2+OD2-2PD-0Dcos60°=8

PO2+D02=PD2,

PO1AD,

且平面PAD1平面ABC。，POu平面PAD,

平面PADC平面ABC。=AD,

•••PO_L平面力BCD；

(2)以。为原点，。4所在直线为