2024北京初三一模数学汇编：直线和圆

2024北京初三一模数学汇编

直线和圆

一、单选题

1.（2024北京海淀初三一模）如图.A8经过圆心O,8是。。的一条弦，CD1AB,8C是。。的切

线.再从条件①，条件②，条件③中选择一个作为已知，便得AD=3C.

条件①：8平分A3

条你②：OB=&A

条件③：AD2=AOAB

则所有可以添加的条件序号是（）

A.①B.①③C.②③D.①②③

2.（2024北京人大附中初三一模）如图，正方形边长为°,点E是正方形ABCD内一点，满足

ZAEB=90°,连接CE.给出下面四个结论：①AE+CEN垃a;②CEW贬二!③/BCE的度数最大

2

值为60。；④当CE=a时，tanZABE=^.上述结论中，所有正确结论的序号为（）

A.①②B.①③C.①④D.①③④

二、填空题

3.（2024北京石景山初三一模）如图，AB是。。的直径，尸是AB延长线上一点，PC与相切于点

4.（2024北京燕山初三一模）如图，是OO的直径，点C在。。上，过点8作OO的切线与直线AC交

于点O.若NO=50。，贝ijNBOC=°.

三、解答题

5.（2024北京燕山初三一模）在平面直角坐标系xQy中，对于。G和线段给出如下定义：如果线段

上存在点P,Q,使得点尸在。G内，且点。在。G外，则称线段4B为。G的“交割线段”.

（1）如图，O。的半径为2,点A（0,2）,8（2,2）,C（-l,0）.

①在AABC的三条边AB,BC,AC中，的“交割线段”是二

②点M是直线上的一个动点，过点M作MNLx轴，垂足为N,若线段MN是O。的“交割线段”，求点

M的横坐标m的取值范围；

（2）已知三条直线y=3,y=-x,y=-2x+3分另I］相交于点。，E,F,eT的圆心为（0,。，半径为2,若

△DEF的三条边中有且只有两条是eT的“交割线段”，直接写出r的取值范围.

6.（2024北京大兴初三一模）如图，过OO外一点A作OO的切线，切点为点B,BC为的直径，点

。为。。上一点，且连接CO,AD,线段AO交直径BC于点E,交。。于点尸，连接3人

(1)求证：EF=BF-,

(2)若sinA=g,6>E=|,求O。半径的长.

7.（2024北京陈经纶中学初三一模）如图，A8是OO的直径，C是上一点，连接AC,BC.

cD

(1)使用直尺和圆规，在图中过点A作。。的切线AP,补全图形(点P在AB上方，保留作图痕迹)；

4

(2)点。是弧BC的中点，连接。。并延长，分别交BC,融于点E,F,若BC=8,cosZPAC=-,求线

段。尸的长.

8.(2024北京门头沟初三一模)如图，在"LBC中，ZC=90°,/C43的平分线交CB于点。，过点。作

。。，。交川于点。.

(1)求证：直线CD是以点。为圆心，为半径的。。的切线；

3

(2)如果：sinZCAB=-,BC=3,求。O的半径.

9.(2024北京丰台初三一模)如图，四边形ABCD是。。的内接四边形，是直径，C是8£)的中点，过

点C作。。的切线CE交4)的延长线于点E.

(1)求证：CELAE；

(2)连接50,若3c=6,AC=8,求8。的长.

10.(2024北京平谷初三一模)平面直角坐标系xOy中，已知O。和平面上一点尸，若切O。于点4

P3切。。于点8,且90o〈NAPB<180。，则称点P为。。的伴随双切点.

（1）如果。。的半径为2

①下列各点耳（-1,0）,6（-2,2）,8（3,3）,尺（-1,-2）是。。的伴随双切点的是；

②直线y=x+b上存在点尸为。。的伴随双切点，则6的取值范围______；

（2）已知点E（l,2）、F（0,-2）,过点尸作y轴的垂线/，点C（〃?,0）是x轴上一点，若直线/上存在以CE为直

径的圆的伴随双切点，直接写出m的取值范围.

11.（2024北京丰台初三一模）在平面直角坐标系宜刀中，的半径为1,对于O。的弦和OO外一

点C,给出如下定义：若直线C4,CB都是。O的切线，则称点C是弦的“关联点”.

（1）已知点A（T。）.

①如图1,若OO的弦=在点。卜1,6），C2（-l,l）,C3卜1,一百）中，弦A3的“关联点”是

②如图2,若点2-半，点C是。。的弦A8的“关联点”，直接写出0c长；

I22J

（2）已知点。（3,0）,线段E尸是以点。为圆心，以1为半径的。。的直径，对于线段跖上任意一点S,存

在。。的弦AB,使得点S是弦A3的“关联点”.当点S在线段EF上运动时，将其对应的弦长度的最大

值与最小值的差记为f,直接写出才的取值范围.

12.（2024北京平谷初三一模）如图，AABC内接于OO,ZACB=45°,连接Q4,过B作。。的切线交

AC的延长线于点D.

O

A

BD

⑴求证：ZD=ZOAD；

3

（2）若BC=4a,tan£）=-,求G>O半径的长.

4

13.（2024北京房山初三一模）在平面直角坐标系xQy中，将中心为M的等边三角形记作等边三角形

M,对于等边三角形〃和点尸（不与。重合）给出如下定义：若等边三角形M的边上存在点N,使得直

（1）如图，等边三角形M的顶点分别为点0（0,0）,A（3,君），B（3,-V3）.

①在点心（，¥],1|，一事]，以2,2）中，等边三角形/的“相关切点”是」

②若直线y=x+b上存在等边三角形”的“相关切点”，求b的取值范围；

（2）已知点〃（相，根-2）,等边三角形M的边长为2石.若存在等边三角形M的两个“相关切点”E,F,使

得△OEF为等边三角形，直接写出机的取值范围.

14.（2024北京东城初三一模）如图，AB为。。的直径，点C在。。上，ZEACZCAB,直线CDLAE

于点。，交A8的延长线于点?

（1）求证：直线8为。。的切线;

（2）当tanF=g,CD=4时，求5F的长.

15.（2024北京燕山初三一模）如图，A8为。。的直径，弦过点A作。。的切线交BC的延长

线于点E.

⑴求证：ZE4D=ZE；

（2）若OO的半径为5,AD=6,求CE的长.

16.（2024北京通州初三一模）如图，A3为。。的直径，过点A作。O的切线AAf,C是半圆A3上一点

（不与点48重合），连结AC,过点。作81.钻于点E,连接8。并延长交40于点E

⑴求证：NCAB=ZAFB；

⑵若。。的半径为5,AC=8,求DF的长.

17.（2024北京房山初三一模）如图，是。。的直径，点C是。。上一点，过点C作。。的切线8与

A3的延长线交于点D,过点、B作BE〃CD,BE与。。交于点E,连接AE,CE.

3

⑵若tanNACE="AE=3,求CE的长.

18.（2024北京大兴初三一模）在平面直角坐标系xQy中，已知点T«,0）,eT的半径为1,过eT外一点

尸作两条射线，一条是eT的切线，另一条经过点T,若这两条射线的夹角大于或等于45。，则称点尸为

eT的“伴随点”.

⑴当7=0时，

①在4（1,0）,6（血,0）,鸟（-1,1）,8（1,-2）中，eT的“伴随点”是.

②若直线丫=^彳+。上有且只有一个eT的“伴随点”，求6的值；

⑵已知正方形£FG〃的对角线的交点”（0,。，点+若正方形上存在eT的“伴随点”，直接写

出r的取值范围.

19.（2024北京顺义初三一模）如图，是。。的直径，AC=AD，8与A3交于点£，。。的切线砥

交AD的延长线于点尸.

⑴求证：CD\\BF;

（2）连接尸。并延长，交。C的延长线于点G.若E为AO的中点，。。的半径为4,求CG的长.

20.（2024北京朝阳初三一模）如图，AB是。。的直径，点C在。。上，。是8c的中点，AO的延长线

与过点8的切线交于点E,AO与BC的交点为尸.

⑵若0。的半径是2,BE=3,求AF的长.

21.（2024北京西城初三一模）如图，为。。的直径，弦。0,45于点”，。。的切线CE与BA

的延长线交于点E,AF//CE,A户与。。的交点为F.

C

⑵若0。的半径为6,AH=2OH,求AE的长.

22.（2024北京海淀初三一模）如图，AB.均为的直径.点E在80上，连接AE,交CO于点

F,连OE,NEDB+NE4D=45。，点G在的延长线上，AB=AG.

cA

E

⑴求证：AG与O。相切；

(2)若BG=4A后，tanZEr>B=1,求所的长.

23.(2024北京人大附中初三一模)在平面直角坐标系宜万中，对已知的点A,B,给出如下定义：若点A

恰好在以3尸为直径的圆上，则称点P为点A关于点B的“联络点”

(1)点A的坐标为(2，-1),则在点片。，2),-1J,鸟(-2,1)中，。关于点A的“联络点”是一(填字

母)；

(2)直线y=-gx+l与x轴，y轴分别交于点C,D,若点C关于点。的“联络点”尸满足tan/CPD=g,求

点P的坐标；

(3)eT的圆心在y轴上，半径为0,点M为y轴上的动点，点N的坐标为(4,0),在eT上存在点M关于

点N的“联络点”P,且APMN为等腰三角形，直接写出T的纵坐标t的取值范围.

24.(2024北京朝阳初三一模)如图，是。。的一条弦，E是AB的中点，过点8作OO的切线交CE的

延长线于点D.

(1)求证：DB=DE；

⑵若AB=12,BD=5,求OO的半径.

25.(2024北京东城初三一模)在平面直角坐标系xQy中，O。的半径为L对于线段PQ给出如下定义:

若线段尸。与。。有两个交点M,N,且,PM=MN=NQ,则称线段PQ是O。的“倍弦线”.

⑴如图，点AB,C,。的横、纵坐标都是整数，在线段AB,CB,C。中，的“倍弦线”是；

⑵GO的“倍弦线”PQ与直线x=2交于点E,求点E纵坐标力的取值范围；

(3)若。。的“倍弦线”尸Q过点(1,0),直线y=x+8与线段尸。有公共点，直接写出6的取值范围.

26.(2024北京东城初三一模)如图，A3是。。的直径，C为圆上一点，。是劣弧BC的中点，DEJ.AB

于E,过点。作BC的平行线DM,连接AC并延长与ZW相交于点G,连接AD与交于点打.

⑴求证：GD是。。的切线；

(2)若C£>=6,4£>=8,求A”的值.

27.(2024北京东城初三一模)对于平面内的点K和点L,给出如下定义：

若点Q是点L绕点K旋转所得到的点，则称点。是点L关于点K的旋转点；若旋转角小于90。，则称点。

是点L关于点K的锐角旋转点.如图1,点。是点L关于点K的锐角旋转点.

(1)已知点4(4,0),在点Q(0,4),(2,26),0卜2,26),Q(20,-2行)中，是点A关于点0的锐角旋转点

的是.

⑵已知点3(5,0),点C在直线>=2尤+6上，若点C是点8关于点。的锐角旋转点，求实数b的取值范

围；

(3)点。是x轴上的动点，0,0),E(/3,0),点网利〃)是以。为圆心，3为半径的圆上一个动点，且满足

n>0.若直线y=2x+6上存在点尸关于点E的锐角旋转点，请直接写出r的取值范围.

参考答案

1.B

【分析】连接AC,OC,令AB,CD交于点E,由垂径定理可知，CE=BE,ZAED=ZBEC=90。,则

AC=AD,若选条件①，可是=证△血）丝A5EC（SAS）,可得AD=3C,若选条件②，可知

OB=y/3OC,得COSNCOE=曳=3,设OA=OC=r,则02=6厂，OE=OCcosZCOE=—r'^^

OB33

BE=^r,AE=r+^r,则AEwBE,可得ADxBC,若选条件③，可知察=*，即可证

33OAAC

△C4Os△朋c,进而可证/。4c=/8,得AC=BC,可知AO=3C,即可判断答案.

【详解】解：连接AC,0C,令AB,C。交于点E,

「AB经过圆心。，8是。。的一条弦，CD1AB,

：.CE=BE,ZAED=ZBEC=90°,

则AC=AD,

若选条件①，：8平分AB,

，AE=BE,

：.AAEg力EC（SAS）,

/.AD=BC,故①符合题意；

若选条件②，,••Q4=0C，

ZOAC=ZOCA,

•••BC是。。的切线，

OCA.BC,

•：OB=/OA,则OB=6OC,

••cos——,

OB3

设OA=OC=r,贝1]08=后，OE=OC-cosZCOE=^-r

：.BE=OB-OE=4ir--r=^-r,AE=OA+OE=r+—r,

333

则AEwBE,

AAC^BC,即ADwBC,故②不符合题意；

若选条件③，VAD2=AOAB,即：AC2=AOAB

.ACAB

"OA~AC，

又：ACAO=Z.BAC

：.△CAOsABAC,

：.ZB=ZOCA,

又：ZOAC=ZOCA,

：.Z.OAC^ZB,

：.AC=BC,

：.AD=BC,故③符合题意；

综上，所有可以添加的条件序号是①③，

故选：B.

【点睛】本题属于几何综合题，考查了垂径定理，切线的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的

判定及性质，解直角三角形等知识点，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键.

2.C

【分析】如图所示，连接AC交于"，取AB中点。，连接OC,先证明点E在以点。为圆心，AB为

直径的圆上运动，当AE、C三点共线，即点E运动到点H时AB+CE=AC,当C、O、E三点共线

时，CE有最小值，据此可判断①②；如下图所示，当CE与OO相切时/BCE有最大值，证明

OE1

RtAOBC^RtAOEC,得至（JCE=3C=a,ZOCE=ZOCB,贝!|tan/OCE=——=-,再证明

CE2

/ABE=ZBCO=ZOCE,得到tanZABE=tanZOCE=-,即可判断③④.

2

【详解】解：如图所示，连接AC交8。于“，取42中点O,连接OC,

•••四边形A3CD是正方形，

ZAfffi=90°；

,/ZAEB=90°,

...点E在以点。为圆心，A3为直径的圆上运动,

ZAHB=90°,

...点H在圆。上，

AE+CE>AC=yflAB=-Jia-

...当A、E、C三点共线，即点E运动到点》时，AE+CE=AC,故①正确;

:点E在以点。为圆心，48为直径的圆上运动，

...当C、0、E三点共线时，CE有最小值，

在RtZ^93C中，由勾股定理得"^+叱=止〃,

2

・・・然的最小值为立4-！〃=叵14,故②错误；

222

如下图所示，当CE与O。相切时/BCE有最大值，

'：OB=OE,OC=OC,

：.RtAOBC^RtAO£C（HL）,

ACE=BC=a,ZOCE=ZOCB,

：.tanZOCE=—

CE2

・•・NOC£w30。，

NBCEw60。,

・・・/BCE的度数最大值不是60。，故③错误;

VBC=EC,OB=OE9

OC垂直平分

J/ABE+ZBOC=ZBOC+ZBCO,

JZABE=ZBCO=ZOCE,

tan/ABE=tanZOCE=—,故④正确；

2

故选：C.

【点睛】本题主要考查了圆与正方形综合，解直角三角形，勾股定理等等，根据题意得到点E的运动轨迹

是解题的关键.

3.25

【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，切线的性质，如图，连接OC,求解

NCOP=90。-40。=50。，再根据圆周角定理即可得答案.

【详解】解：如图，连接OC,

，NOCP=90°,ZCOP=90°-40°=50°,

：.ZA=-ZCOP=25°,

2

故答案为：25

4.80

【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关

键.先根据圆的切线垂直于经过切点的半径得到？河90?,根据直角三角形两个锐角互余计算出

ZA=40°,然后根据圆周角定理即可求解.

【详解】解：：A3是的直径，8。为。。的切线，

/.AB_LBD,

：.?ABD90?,

ZD=50。，

ZA=40°,

/.ZBOC=2ZA=80°.

故答案为：80.

5.⑴①BC；②当母或立<m<2

(2)3-2右<*1或2血4/<5

【分析】(1)先根据点A和点2的坐标得到。。与相切，则线段上没有点在。。外；再证明线段

AC上没有点在。O外，线段上有点在。。内，也有点在。O内，即可得到结论；

(2)设直线03在x轴上方与。。交于7,过点T和点8分别作无轴的垂线，垂足分别为G、H,设

T(t、0,利用勾股定理求出，=0,由函数图象可知，当点M在5T之间(不包括端点)，即0<〃?<2

时，线段跖V是。。的“交割线段”；由对称性可得当_2<m<_0时，线段初V是O。的“交割线段”；

(3)分图2-1,图2-2,图2-3,图2-4四种临界情况，求出此时f的值，再结合图形以及“交割线段''的定

义即可得到答案.

【详解】(1)解：：4(0,2),3(2,2),

AOA=2,OA±AB,

二点A在。。上，

，。0与48相切，

•*.线段AB上没有点在QO外，

二线段AB不是OO的“交割线段”，

,*■OC=1＜2,OB=V22+22=2丘＞2,

•••点C在。。内，点B在。O外，

线段AC上没有点在。O外，线段BC上有点在。。内，也有点在。。内,

；•线段AC不是©O的“交割线段”，线段BC^QO的“交割线段”，

故答案为：BC；

②如图所示，设直线OB在x轴上方与。。交于T,过点T和点8分别作x轴的垂线，垂足分别为G、H,

设7”、。，

/.OH=BH=2,OG=TG=t,

：.此时点H刚好在。。上，且此时BH与。。相切；

,/QO的半径为2,

OT=2,

・"+/=22,

解得/•=应或/=-夜（舍去），

由函数图象可知，当点M在2T之间（不包括端点），即&＜根＜2时，线段是。。的“交割线段”；

由对称性可得当-2〈-&时，线段是。。的“交割线段”；

综上所述，当-2＜加＜-应或虚＜〃?＜2时，线段是。。的“交割线段”；

£（-3,3）,

同理可得0（0,3）,*3,-3）；

如图2-1所示，当eT恰好经过点。时,

/.TD=2,

r=2+3=5；

如图2-2所示，当eT恰好与所相切于H时，连接7W,

­/£(-3,3),0(0,3),

DE=OD=3,DEI.OD,

?./DOE=45°,

由切线的性质可得N7HO=90。，

ATOH是等腰直角三角形，

/.t=OT=y/2TH=242,

•••当2夜Vf<5时，DE,。尸是eT的“交割线段”，所不是eT的“交割线段”;

如图2-3所示，当eT恰好经过点D时,

TD=2,

t=3—2=1；

如图2-4所示，当eT恰好与。尸相切于尸时，连接7P,设直线。方与x轴交于

/.DQ=ylOD2+OQ2=乎,

OQ

sinNODQ二=:B

~DQ~~T

由切线的性质可得N7PD=90。，TP=2,

TPs/5

sinZTDP=

DT~5

：.DT=2出,

/.OT=DT-OD=2垂-3,

:.t=3-2后，

.•.当3-2君＜/41时，EF,Db是eT的“交割线段”，DK不是eT的“交割线段”;

综上所述，当3-2不<fVI或2后Vf<5时，ADEF的三条边中有且只有两条是eT的“交割线段”.

【点睛】本题主要考查了切线的性质与判定，坐标与图形，勾股定理，一次函数与几何综合，等腰直角三

角形的性质与判定等等，解题的关键在于正确理解“交割线段”的定义，以及求出临界情况下的临界值.

6.(1)证明见解析

【分析】(1)由切线的定义可得出ZA+ZA£B=90。，由直径所对的圆周角等于90。得出

/CDE+/BDE=90。,由等边对等角得出N3D4=N4,等量代换得出NCDE=NA£B,由同弧所对的圆周

角相等得出NQ应=NW,进而可得出=,由等角对等边得出斯=3/.

(2)连接CP,先证明诙=3尸=竹，设BF=EF=AF=x,则A£=2x,解直角三角形RbABE得出

21

BE=-x,再证明4CF=NA,得出sinA=sinZBCT=§,进一步得出5C=2O3=2(OE+BE),即

3x=2g+|xJ,解出x即可求解.

【详解】(1)证明：・.・"为。。的切线，

・•.ZOBA=90°.

ZA+ZAEB=90°.

BC为的直径,

ZCDB=90°.

，ZCDE-^-ZBDE=90°.

BD=BA9

ZBDA=ZA.

，ZCDE=ZAEB.

又"CDE=4CBF,

:.ZAEB=ZCBF.

：.EF=BF.

(2)连接C/.

vAB为。。的切线，

・•.NONA=90。.

ZAEB+ZA=90°,NEBF+NFBA=90。.

..ZAEB=ZCBFf

ZFBA=ZA.

AF=BF.

AF=BF=EF.

设■二防=AF=x,贝ljAE=2x.

在RMABE中，

・A1

,/smA=-,AE=2x,

3

BE=­x.

3

•••5C为直径，

ZCFB=9Q°.

•••Z.BCF=NBDA,ZBDA=ZA,

NBCF=ZA.

sinA=sinNBCF=—.

3

在RfABFC中,

,/BF=x,

BC=3x.

BC=2OB=2(OE+BE),

解得x=3.

9

。。半径的长为5.

【点睛】本题主要考查了切线的定义，直径所对的圆周角等于90。，同弧所对的圆周角相等，解直角三角

形的相关计算，等角对等边等知识，掌握这些性质是解题的关键.

7.⑴见解析

⑵”

3

【分析】本题主要考查作垂线，切线的性质，相似三角形的判定与性质：

（1）以点A为圆心，任意长为半径画弧交A3和54的延长线玩点为M,N,分别以N为圆心，大于

为半径画弧，将于两点，过两点作直线，则为OO的切线；

（2）由切线的性质得NABC=NR4C,求出AB=10,由垂径定理和勾股定理可求出OE=3,再证明

25

,可求出。/=5_,从而可求出DF的长

【详解】（1）解：如图，出为。。的切线：

(2)解：:AB是的直径,

^ACB=90°,

：.ZC4B+ZCBA=90°,

*/E4为。。的切线，

BALPA,即NBAP=90°,

ABAC+APAC=90°,

.・.ZABC=ZPAC,

4

cosZABC=cosAPAC=—,

5

.BC4

,,南一仁，

又5c=8,

AAB=10,

:.OD=OA=OB=5,

ID是5c的中点，

，ODABC,

BE=LBC=4,

2

・，・0E=y/0B2-BE2=V52-32=4

/OAF=ZOEB=90°,ZAO尸=/EOB,

QEBS^OAF,

OEOB

~OA~~OF

3__5_

5-OF5

Z)F=OD+OF=5+—=——

33

8.(1)见详解

20

(2)—

9

【分析】(1)根据“平行线+角平分线”得等腰三角形即可证明；

(2)先由锐角三角函数求出AB=5,由sinNC4B=sin/BOD=畀=],设&)=34,08=5%,则

OB5

OD=4x,则得到9%=5,即可求解.

【详解】(1)证明：・.・OD，3C,

・•・ZODB=90°,

:.ZODB=ZC=90°,

.\OD\\ACf

:.ZCAD=ZADO,

•.・AD平分/C4B,

:.ZCAD=ZBAD,

:.ZDAO=ZADO,

OA=OD,

•・,点0到直线CD的距离为d=OD,半径为R=OA,

・••直线8是以点。为圆心，为半径的的切线;

(2)解：-.-OD//AC,

:.ZBOD=ZCAB,

.,一nBC3

ZC=90°,sinZCAB=——=-,

AB5

•/BC=3,

AB=5,

sinZCAB=sinZBOD=-=

OB5

.・设BO=3x,0B=5x,

在RtZXBDO中，DO=y/OB2-BD2=4x>

AO=OD=4x,

AB=9%=5,

5

:.x=—

9

A°=V

，。。的半径为衣.

【点睛】本题考查了切线的判定和性质，三角函数的定义，勾股定理，等腰三角形的判定，熟练掌握切线

的判定定理是解题的关键.

9.(1)见解析

(2)80=9.6

【分析】(1)连接0C,由切线的性质推出OCLCE,由圆周角定理得到N£AC=NC4O,由等腰三角形

的性质推出C4O=/4CO,得到/E4C=/ACO,推出C0//AE,即可证明CELAE；

(2)由圆周角定理得到NACB=NADB=90。，由勾股定理求出AB=10,证明AACESAABC可求出

CE=4.8,证明四边形EZ>C是矩形得=EC=4.8,OCLBD,从而。尸〃AD,然后利用平行线分线

段成比例定理即可求解.

【详解】(1)连接0C,

：CE为。。的切线，

OC1CE.

：.ZOCE=90°.

,rc是2。的中点,

•*-CB=CD，

：.ZEAC=ZCAO.

OA=OC,

:.CAO=ZACO,

：.ZEAC=ZACO.

C.COHAE,

・•・ZE+ZOCE=180°,

・•・/£=90。，

：.CE±AE.

VBC=6,AC=8,

：.AB=10.

VZEAC=ZCAO,ZE=ZACB,

；・^ACEs小ABC.

.CEAC

**BC-AB*

ACE=4.8.

,?NE=NBDE=NECO=90。,

・・・四边形£。尸。是矩形.

：.DF=EC=4.8fOC±BD,

：.OF//AD,

.BDAB

..--=--=z,

DFAO

：.BD=2DF=9.6.

【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的性质，矩形的判定与性质，关键是

掌握圆周角定理.

10.（1）①与，8；②T46W4

（2）m>A/14+1或相V1-V14

【分析】（1）求出点尸为。。的伴随双切线的条件，①根据求出的条件进行判断即可；②根据得出的条

件，判断原点到直线的距离的关系，从而得出解；

（2）根据（1）得出点尸存在的条件，判断以CE为直径的圆的圆心和半径的数量关系，从而得解.

【详解】（1）解：①根据定义，由R4,抬是。。的切线，

NOAP=/OBP=90°,

VOA=OB,OP=OP,

：.AAOP^ABOP,

・•・ZAPO=ZBPO.

90°<ZAPS<180°,

A450<ZAPO<90°,

A—<sinZAPO<l.

2

：.2<OPM2近.

•.•点6(-1,0),鸟(-2,2),舄(3,3),舄(-1,-2),

；.OR=1,OP,=2V2,O£=30,OP4=y/5,

•：2<OPM2五,

二点修巴是。。的伴随双切点.

故答案为：与舄；

②：直线y=x+。上存在点p为。。的伴随双切点.

圆心O到直线y=的距离不大于20.

设直线y=x+b与X轴，y的交点为C,D,过点。作OE1.CD于点E,如图.

令x=0,贝1Jy=b,令y=o,贝!Jx=-%,

.•.点C(-6,0),0(0,6),

/.OC=OD=\^,

△(%)£)为等腰直角三角形，

/•OE=^OC=^\b\,

：.丰网42友，

/.-4<Z?<4.

故答案为：-4<fe<4；

（2）设CE的中点为忆

•••/”轴,尸过直线/,

直线/的表达式为产-2,

二圆心F到直线/的距离为1一（―2）=3,

由（1）可知3W&EF，

EF>-j2,

2

CE>3A/2）

BPy］（m-I）2+22>3>/2.

m>A/14+1或加41—A/14.

【点睛】本题是一道圆的综合问题，考查了切线的性质，锐角三角函数，勾股定理等，准确的理解新定义

是解题的关键.

11.⑴①G，G；②”.

3

巫一晅M叵<

532

【分析】（1）①已知A3线段长，求出0C的长度，根据平面直角坐标系中两点间的距离公式求出。G，

0C2,0c3,再看与OC是否相等即可作出判断;

②由A,8的坐标求出AB,再求出。到的距离QD,进而求出0C；

（2）首先确定线段0S与AB长度间的关系，线段0S长度越长，线段A8长度越长；然后举例线段所，

确定线段。S最大值和最小值取值情况；改变线段所的位置，确定线段0S最大值和最小值的变换情况;

当线段所是水平线段时，，取最大值；当线段所是竖直线段时，r取最小值，由此可解决问题.

【详解】（1）解：先探究A3长度确定时，0C的长度，如图,

CB是。。的切线，切点分别为A,B,

・•.由切线长定理，得。4LAC,OB1BC,AB1OC,

:.^OAC^Z^ODA,

OCOAOCr

-----=------，即nn——二——，

OAODr0D

®vAB=y[3,r=l

2

OC]=JF+(6)2=2,

22

OCX—A/1+1=w2,

2

OC3=/+(用=2,

・•.弦AB的“关联点”是G，G，

故答案为：G和。3；

@OC=-y/3.

3

(17

理由：由A(—1,O),B

2

.10C越大，越大；0C越小，A3越小;

以线段石尸为例，如图：

当48最小时，0smin=。尸，

当。Smax由0E变为。4,

OE<OEX,

451m以，

..ABmax<1

当OSmin由。尸变为。耳，

OF>OF{,

..ABmin>A与min，

.・"=ABmax-ABmjn,4=A5lmax一Alimin，

=OF=2fOSmax=OE=4f

而.瓜

改变线段所的位置到当巴，如图:

0E>0E2,

A^max>A^max,

当。由o尸变为0G时，

\'OF<OG,

,e,in2in，

A5m<45m

-

•."=A5111ax-A5min，％2=A^2maxA与min

OS^n=OD=3,OSm^=OE^OF=^0,

亚

。吃X5

._3A/104A/2

.t■—--------------------------------

m,n53

综上，巫一这q叵一B

532

【点睛】本题是一道圆的综合题，考查对新定义的理解，切线长定理，相似三角形，勾股定理，准确理解

“关联点”，能灵活运用线段AB与0C的等量关系是解题的关键.

12.⑴见解析

(2)20

【分析】(1)连接。3,根据圆周角定理可得NAO3=90。，然后利用平行线的性质即可解答；

(2)过点B作于点H,直角三角形的性质以及勾股定理，得BH=HC=4,再证明

/MB”=NQ4M="即可.

【详解】(1)证明：连接。3,

BO是。。的切线,

.-.ZOBD=90°,

ZACB=45°,

:.ZAOB=NOBD=90。,

:.OA//BD,

：.ZD^ZOAD；

(2)解：过点8作于点H,

：ZACB=45°,5c=4夜，

:.ZACB=ZHBC,

..BH=HC,BH2+HC2^BC2,

:.BH=HC=4,

・.・ZHBM+ZBMH=90°,

ZOAM+ZAMO=90°,ZBMH=ZAMO,

:.ZMBH=ZOAM=ZD,

3

,/tanD=—,

4

3

4

:.MH=3,BM=5,

设。。的半径为X,

:.OM-x—5,

/cOMx-5八3

/.tanAOAM----=------=tanD=—,

OAx4

解得x=20,

半径的长20.

【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理，三角函数，掌握切线的判定方法和性质，圆周角定理正确解

答的关键.

13.⑴①《，P2；②一旦一。WbW啦—k

一22

⑵2WmW1+V7或1-V7W/W0.

【分析】（1）①根据新定义即可求解；

②找到关键点先求出此时6的值，然后即可求解；

（2）由加（根加-2）可知，点在y=x-2直线上，再根据新定义分四种情况画出图即可；

本题考查了圆的切线，勾股定理和等边三角形的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键.

【详解】（1）①如图，

根据题意，直线。尸与以为半径的0"相切，

由图可知，等边三角形M的“相关切点”是小鸟,

故答案为：6、6;

②根据题意，满足题意的P点是以(1,0),半径为1的弧上，如图,

若直线y=X+6上存在等边三角形M的“相关切点”，如图,

••KI=-\/2，

OK=OS=42-1,即b=^/^二T，

.Ml力

：.PL=—,KL=J

22

2

此时

的取值范围为6<&<^-i；

22

(2)如图，此时aOE腹中/EOM=30°,ZOEM=90°,

解得：m=1+V7（负值舍去）,

如图，此时△困/中NEOM=30。，ZOEA/=90°,,

5~^c

此时OM=4,m2+（m-2）2=42,

解得：m=l-币（正值舍去），

如图，

解得：〃7=2或相=0（舍去）,

此时OM=2,m2+（m-2）2=22,

解得：m=2（舍去）或加=0,

综上可知：2WmWl+S或l-V7WmW0.

14.⑴见解析

⑵10-2有

【分析】（1）连接。C,根据等腰三角形的性质得到/C4O=/ACO,求得ND4c=NACO,根据平行线

的性质得到OCLO尸，根据切线的判定定理得到结论；

（2）设OC=x,则Cb=2x,AO=OB=x,根据勾股定理得到yl0C2+CF2=y[5x＞根据相似三角

形的性质即可得到结论.

【详解】（1）证明：连接。C,BC

E

•：OA=OC,

:.ZCAO=ZACO,

•/ZEAC=ZCAB,

.\ZDAC=ZACO,

•・•OC\\AD,

,:CDAD,

:.OC±DF,

・・•OC是。o的半径，

・••直线8为oo的切线；

(2)解：tanb=，,

2

oc1

,••二_一,

CF2

设OC=x,贝!JC尸=2%,AO=OB=x,

:.OF=^OC1+CF2=45x^

•，•OC\\AD,

:.AAFD^AOFC,

.CF_OF

,DF-AF?

.2x_V5x

2x+4小x+x

x=2^/5，

.・.BF=OF-OB=U)-2逐.

【点睛】本题考查了切线的判定和性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，勾股定理，平行线的

判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键.

15.⑴见详解

9

(2)_

2

【分析】本题考查了圆的切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握知识

点是解题的.

(1)先证明A石〃C。，则NBCD=NE,由50=50，得至！JNBA。=NBCD,继而求证；

(2)连接AC,A3为。。的直径，CD1AB,贝!JAC=AT)=6,ZACB=ZACE=90°f先求

BC=7AB2-AC2=8，再证明△E4CS&4BC即可.

【详解】（1）证明：•・•AE1是。。的切线，为。。的直径,

E

D

：.ZEAB=90°,

VCD1AB,

・・・N1=NE4B=9O。，

:、AE//CD,

:.ZBCD=ZE,

,•*BD=BD，

：・/BAD=/BCD,

:.ZBAD=ZE.

(2)解：如图，连接AC,

・・・43为。0的直径，CDYAB,

：.AC=AD=6,ZACB=ZACE=9Q°f

I半径为5

・•・AB=1Q,

・•・BC=y/AB2-AC2=8,

•・•ZACE=ZEAB=90°,

：.ZE+ZEAC=ZE4C+ZC4B=90°,

：.NE=/CAB,

在RtAE4C和RtAACB中，

ZACE=ZBCA=90°,/E=/CAB,

:.^,EAC^^ABC,

.ECAC

**AC-BC?

.“AC2369

・・EC-----=——=—.

BC82

16.（1）证明见解析

32

Q）DF=3

【分析】本题考查切线的判定和性质，垂径定理，圆周角定理以及勾股定理，掌握切线的性质和判断方

法，垂径定理，圆周角定理以及勾股定理是正确解答的关键.

（1）根据切线的性质，平行线的判定和性质以及圆周角定理即可得出结论；

（2）根据相似三角形的判定和性质以及垂径定理进行计算即可.

【详解】（1）证明：〈AM是的切线，

/.ZBAM=90°,

•・・8_1至于点石，

/.ZCEA=90°,

:.CD//AF,

:.ZCDB=ZAFB,

•//CDB=/CAB,

:.ZCAB=ZAFB.

（2）解：连结A。，

:.AC=AD=S,

・・・。。的半径为5,

.-.AS=10,

:.BD=6,

・・•川是。。的直径，

/.ZBDA=90°,

:.ZBAD=ZAFB,

.,.tan/BAD=tanZAFB,

ADBD

一而一法’

.-.AD2=DFBD,

17.(1)见解析

(2)C£=V5

【分析】(1)根据M=得出NACE=NABE,根据班〃CD,得出NABE=NO,即可证明结

论；

(2)连接0C,交BE于点F,根据切线的性质得出90。，证明O9为△/1£»的中位线，得出

OF=^AE,解直角三角形得出BE=4,AB=5.最后根据勾股定理求出匿=户币=内.

【详解】⑴证明：:淞=淞，

；.ZACE=ZABEf

又,：BE〃CD,

ZABE=ZD.

：.NACE=ND.

(2)解：连接OC,交BE于点、F,如图所示：

A

•••8是OO的切线，切点为C,

：.ZOCD=90°,

BE//CD,

：.ZOFB=ZOCD=90°,

：.BELOC,

/为班