2024北京初三一模数学汇编：平行四边形章节综合

2024北京初三一模数学汇编

平行四边形章节综合

一、单选题

1.（2024北京朝阳初三一模）如图，四边形ABCD是正方形，点、E,尸分别在AB,3c的延长线上，且

BE=CF,设AE）=a,AE=b,AF=c.给出下面三个结论：①a+6>c；®2ab<c2;③，片+廿>2口

上述结论中，所有正确结论的序号是（）

2.（2024北京丰台初三一模）如图，在正方形A8CD中，点E,尸分别是AD,AB边上的点，AE=AF,且

Q<AE<ED,过点石作团13。于点H,过点尸作FGLCD于点G,EH,FG交于点D,连接

OB,OD,3ZX设AE=a,ED=b,BD=c,给出下面三个结论：

@a+b>^a2+b2；®2^cr+b2>c；®a+b>^-c.

上述结论中，所有正确结论的序号是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

3.（2024北京平谷初三一模）如图，正方形ABCD中，点E、H、G、产分别为AB、BC、CD、AD边

上的点，点K、M、N为对角线80上的点，四边形及WV和四边形MHCG均为正方形，它们的面积分

别表示为S1和S2,

给出下面三个结论:

9

①¥=邑；②DF=2AF；③S正方扬钻CD=1H+2sz.

上述结论中，所有正确结论的序号是（）

A.②B.①③C.②③D.①②③

4.（2024北京东城初三一模）在平面直角坐标系无Oy中，点A（0,2）,B（-l,0）,C（2,0）为YABCD的顶

点，则顶点。的坐标为（）

A.（-3,2）B.（2,2）C.（3,2）D.（2,3）

二、填空题

5.（2023北京海淀初三一模）如图，菱形ABCD的对角线交于点。，点股为A3的中点，AC=4,

6.（2024北京房山初三一模）如图，在矩形ABCD中，M,N分别为BC,CD的中点，则丁的值

为________

7.（2024北京顺义初三一模）如图，在矩形ABCD中，直线分别交于点E,F,0,只需添

加一个条件即可证明尸白这个条件可以是（写出一个即可）.

8.（2024北京海淀初三一模）如图，在正方形ABCD中.点E,F,G分别在边CD,AD,BC±,

FD<CG.若FG=AE,Zl=a,则N2的度数为（用含。的式子表示）.

FD

三、解答题

9.(2024北京平谷初三一模)如图，在ABC中，ABAC=90°,AB=AC,点。为BC边中点，

DE2AB于E,作N£E>C的平分线交AC于点E过点E作DF的垂线交。产于点G,交BC于点、H.

(1)依题意补全图形；

(2)求证：DH=BE；

(3)判断线段产。、HC与BE之间的数量关系，并证明.

10.(2024北京门头沟初三一模)如图，在四边形ABC。中，AD//BC,ZA=9O°,BD=BC,点、E为

。中点，射线BE交AD的延长线于点R连接CP.

(1)求证：四边形BCFD是菱形；

⑵若AD=1,CF=2,求8尸的长.

11.(2024北京平谷初三一模)如图，Rt^ABC中，ZACB=90°,点。、E分别是BC、AB边的中点，连

接DE并延长，使EF=2DE,连接AF、CE.

(1)求证：四边形ACEF是平行四边形；

⑵若々=30。，求证：四边形ACEP是菱形.

12.（2024北京通州初三一模）如图，将线段A3绕点A逆时针旋转。度（0°＜。＜180°）得到线段AC,

连结BC,点N是BC的中点，点。，E分别在线段AC,2c的延长线上，且CE=DE.

（1）ZEDC=（用含a的代数式表示）；

（2）连结3£）,点尸为的中点，连接"，EF,NF.

①依题意补全图形；

②若AFLEF,用等式表示线段N5与CE的数量关系，并证明.

13.（2024北京东城初三一模）如图，四边形ABCD是菱形.延长54到点E,使得AE=AB,延长ZM到点

F,使得AF=AD,连接BO,DE,EF,FB.

（1）求证：四边形BZ9尸是矩形；

⑵若/ADC=120。，EF=2,求跳'的长.

14.（2024北京顺义初三一模）如图，在正方形ABCD中，点E,尸分别在DC,CB的延长线上，且

BF=CE,£B的延长线交转于点G.

⑴求ZAGE的度数；

（2）在线段EG上取点X,使得GH=AG,连接AH,CH.

①依题意补全图形；

②用等式表示线段CH与GB的数量关系，并证明.

15.（2024北京海淀初三一模）如图，在YABCD中，。为AC的中点，点E,E分别在BC,AD上，EF

经过点。，AE=AF.

(2)若E为BC的中点，AE=3,AC=4.求A3的长.

16.(2024北京东城初三一模)如图，在正方形A5CD中，将边AD所在直线绕点。逆时针旋转a度得到

直线DM,作点A关于直线DAf的对称点尸，连接C尸、DP.

(1)依题意补全图形;

⑵求/DPC的度数;

⑶延长OP、CP分别交直线AS、AD于点区F,试探究：线段。E、3E和AF之间的数量关系，并证明.

17.(2024北京东城初三一模)如图，在等腰_ABC中，AB=3C,30平分/ABC,过点A作隹)〃交

3。的延长线于。，连接8,过点。作DEL3D交BC的延长线于E.

(1)判断四边形ABC。的形状，并说明理由;

(2)若AB=4,NABE=120。，求OE的长.

参考答案

1.A

【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，证明△DAE1四△BAF，结合三角

形的三边关系判断①；完全平方公式结合勾股定理判定②；勾股定理判断③.

【详解】解：：正方形ABC。，

/.AD=AB=BC,ZDAB=ZABC=90°,

BE=CF,

：.AE=BF,

ADAE^ABAF，

AF=DE=c,

AD+AE>DE,

a+b>c；故①正确；

VAD2+AE2=DE2>即：a2+b2=c2,

**•(b—a)=a~—2ab+b2=c~—2ab>0,

2ab<c2;故②正确；

v且E,尸为动点，

无法确定C和2“的关系，故③错误；

故选A.

2.A

【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理、三角形的三边关系等知识点，①根据

BD=JAB°+AD。即可判断;②根据题意可推出四边形A/OE是正方形，结合即可

判断；③证△£>£1/△屏结合30+00>班>即可判断；

【详解】解：：四边形MCD是正方形，

AB=AD,BD=yjAB2+AD2=拒AD

/.AD=AE+ED=—BD

2

即：a+b=-^-c,故③错误；

2

•••EHIBC,FG±CD,

：.四边形AEHB,AFGD,AFOE均是矩形

*/AE=AF,

四边形AR9E是正方形

AE=AF=OE=OF=a

•*-OD=>JDE2+OE2=yjcr+b2

OE+DE>DO

•二a+bNa2+及，故①正确；

•.・AD=AB,AE=AF^

：.DE=BF

・.,/DEO=ZBFO=90°,OE=OF,

:.△DEgABFO

•*-OD=BO=^a1+b1

;BO+DO>BD

工2，片+/>0,故②正确；

故选：A

3.C

【分析】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是掌握正方形的性质.根据正方

形的性质和等腰直角三角形的性质可得==BK=EK=KN,DN=KN,进而得到

EK=-BD=—BC,根据正方形的面积公式即可判断①；根据。尸=血硒，EF=^2AF,FN=EF,

33

2211

即可判断②；由5=§叱=§品—邑有叱=,方形"8,可判断③。

【详解】解:①，四边形A5CD是正方形，

/ABD=/CBD=45。,

四边形EKNF和四边形MHCG均为正方形，

ZBHM=NCHM=90°,NBKE=ZNKE=90°,

△3EK和V附因都是等腰直角三角形，

BH=CH=MH=-BC,BK=EK=KN,

2

同理可得£W=X7V,

EK=-BD=—BC,

33

2222

St=EK=^^BC=|fiC,S2=MH=^BC^=^BC,

•••S^S2,故①错误；

②：万和△"N都是等腰直角三角形，

DF=-J1FN，EF=V2AF,

四边形EKN/为正方形，

AFN=EF,

DF^IAF,故②正确；

2911

③由①知：，=§5正方形"CD,邑=73C?=1S正方形4g8,

9921

.・+2S2=7X3$正方形Ms+2X^5正方形=5正方形会⑺，故③正确;

故选：C.

4.C

【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，坐标与图形，勾股定理，设点。的坐标为（W〃），由平行四

0+2_-1+m

边形对角线中点坐标相同可得。八八，解方程即可得到答案.

2+00+n

【详解】解：设点。的坐标为（加,〃），

0+2_-1+m

由平行四边形对角线中点坐标相同可得\八八，

2+00+〃

F二F

；.点。的坐标为（3,2）,

故选：C.

5.75

【分析】本题考查菱形的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，由菱形的性

质得AC人BD,OA=OC=^AC=2,OB=OD=；BD=4,由勾股定理得.=旧转而7=2石，再

根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”即可得解.根据勾股定理求出AB的长是解题的关键.

【详解】解：：四边形ABCD是菱形，AC=4,BD=8,

：.AC1BD,OA=OC=-AC=-x4=2,OB=OD=-BD=-x8=4

2222

ZAOB=90°,

,,AB=VCM2+OB1=+4?=2^/5，

・・,点M为AB的中点，

OM=-AB=-x245=45.

22

故答案为：V5.

6.—/0.5

2

MN1

【分析】此题考查矩形的性质，三角形中位线定理.连接见利用三角形中位线定理得出而二，进而

利用矩形的性质解答即可.

【详解】解：连接80,

四边形ABCD是矩形,

:.AC=BD,

M,N分别为2C,。的中点，

MN是△CDB是中位线，

.MN1

,,—―,

BD2

.MN_1

,•=—，

AC2

故答案为：■

7.OE=OF（答案不唯一）

【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键.

根据矩形的性质得出4）〃3C,确定/DE0=/BF0,再由全等三角形的判定即可证明.

【详解】解：添加条件为：OE=OF,

证明：•.•矩形ABCD,

AD//BC,

：2DEO=4BFO,

ZDOE=ZBOF,OE=OF,

ABOF合△DOE（ASA）,

故答案为：OE=OF（答案不唯一）.

8.180°-a/-6Z+180°

【分析】本题主要考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，过点G作

GH_LAD于点X,证明RtG/7F（HL）,得出NZME=NHGF,求出NEO尸=90。，根据

ZDE4+Z2+Z£>+Z.EOF=360°,即可求出结果.

【详解】解：过点G作GHLAD于点H,如图所示：

BG

.四边形A5CD为正方形，

AB=BC=CD=AD,ZC=ZD=90°,AB//CD,

"：ZGHD=ZD=ZC=90°,

四边形CD”G为矩形，

GH=CD,

：.GH=AD,

FG=AE,

：.RtADE^RtGHF(HL),

ZDAE=ZHGF,

'：ZHGF+ZHFG=90°,

ZDAE+ZHFG=90°,

：.NAO尸=90。，

ZEOF=90°,

'：AB//CD,

：.ZDEA=Z1,

,?ZDEA+Z2+ZD+ZEOF=360°,

Z2=360°-Z1-90°-90°=180°-a.

故答案为：180。-a.

9.(1)见解析

(2)见解析

BE2+HC2=DF2,见解析

【分析】(1)根据题意补全图形即可；

(2)通过ASA证明EDG丝HDG,得至"DE=DH,根据题意易得/3=45。，由DE工A3,可得

为等腰直角三角形，于是BE=DE=DH；

(3)过点/作LCD于点N,得DE为ABC的中位线，则如=CD,根据三角形内角和定理求得

ZCDF=ZCFD=67.5°,于是CD=CF=BD,进而CN=FN=BE=DE=DH,以此得出

CD-DH=CD-CN,即C"=DN,在RtDFN中,利用勾股定理即可得到结论.

【详解】(1)解：补全图形如图所示.

:.ZEDG=ZHDG,

EH1.DF,

・•./EGD=/HGD=90。,

在ZXEDG和/\HDG中，

/EGD=ZHGD,DG=DG,/EDG=/HDG,

二矶)G四二印)G(ASA),

在,ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,

二.ABC为等腰直角三角形，

/.ZB=45°,

又即NDE5=90。，

・•..BZ汨为等腰直角三角形，

:.BE=DE=DH.

(3)解：HC2+BE2=FD\证明如下:

如图，过点尸作RVLC。于点N,

则,CRV为等腰直角三角形，

NDEB=NCAB=90。,

DE//AC,

又E为的中点，

:.DE为ABC的中位线，

:.BD=CD,

ZBDE=45°,

.\ZCDE=135°,

DF平分/EDC,

:./EDF=/CDF=675°,

ZC=45°,

ZCFD=180。一/CDF-ZC=67.5°,即ZCDF=ZCFD,

:.CD=CF=BD,

,\CN=FN=BE=DE=DH,

:.CD—DH=CD—CN,即CH=DN,

在RtDFN中,由勾股定理得ON'尸解=。尸2,

HC2+BE2=FD2.

【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定于性质、三角形中位线定理、角平分

线的定义、勾股定理，解题关键是利用等腰直角三角形的性质将目标线段转化到直角三角形中，再根据勾

股定理解决问题.

10.(1)见解析

(2)273

【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，平行四边形、菱形的判定与性质.关键是掌握

有一组邻边相等的平行四边形是菱形，以及直角三角形两直角边平方和等于斜边平方.

(1)先证明.OEF四二CEB(AAS),则=得出四边形8CKD是平行四边形，结合血=3。即可求

证四边形BCTO是菱形；

(2)根据菱形的性质得出应＞=。尸=。尸=2,进而得出AF=AD+b=3,AB=JQ-AZ)'=5最后

根据勾股定理即可得出BF=VAB2+AF2=2A/3-

【详解】(1)证明：：AD〃BC,

DF//BC,

：.ZDFE=ZCBE,NFDE=NBCE,

:点E为8中点，

CE=DE,

在，DEF和CEB中，

ZDFE=NCBE

-NFDE=NBCE,

CE=DE

.DEF-CEB(AAS),

：.DF=BC,

：.四边形BCFD是平行四边形，

BD=BC,

四边形BCTO是菱形；

(2)解：：四边形8CFD是菱形，CF=2,

：.BD=DF=CF=2,

'：AD=1,ZA=90°,

AF=AD+CF=3,AB=^BD2-AD2=A/3-

•*-BF=y]AB2+AF2=2A/3.

11.(D见解析

(2)见解析

【分析】(1)由点。、E分别是3C、AB边的中点，可得庞〃力C,且r>E=1AC,则EF=AC,进而可证

2

四边形ACE尸是平行四边形；

(2)由E为中点，可得CE=；A3=AE,由NB=30。，可得ZBAC=60。，证明△AEC是等边三角

形，则AC=EC,进而可证四边形AC所是菱形.

【详解】(1)证明：,•,点。、E分别是3C、边的中点，

DE//AC,^.DE=-AC,

2

,/EF=2DE,

：.EF=AC,

•••四边形ACEF是平行四边形；

(2)证明：Rt^ABC中，ZACB=90°,E为A3中点，

CE=-AB^AE,

2

,?ZB=30°,

ZBAC=60°,

：.△AEC是等边三角形，

AC=EC,

；•四边形ACE/是菱形.

【点睛】本题考查了中位线，平行四边形的判定，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，等边三角形的

判定与性质，菱形的判定等知识.熟练掌握中位线，平行四边形的判定，直角三角形斜边的中线等于斜边

的一半，等边三角形的判定与性质，菱形的判定是解题的关键.

12.(1)90°-1«

(2)①见解析；②CE=y[iNF，证明见解析

【分析】本题考查了根据条件画图，平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，解直角三角形

等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形.

(1)根据旋转和题意即可得出NC£>E=NDCE=/ACB=90O-La；

2

(2)①根据题意画出图形即可；

②延长"至点使放=AF,连接证明四边形为平行四边形，证明

VACE^VMDE,算出。=90。，/ECD=NEDC=45。,结合三角形中位线定理即可求解；

【详解】(1)VZA=£Z,

由旋转得AB=AC,

iQAOi

ZABC=ZACB=----------=90。——a,

22

CE=DE,

ZCDE=ZDCE=ZACB=90°--a.

(2)①补全图形如图:

②延长转至点M,使9=AF,连接四％。

・・・四边形为平行四边形，

:.AB//DM,AB=DM,

/.ABAC+AADM=180°,

:.ZADM=18Q0-a,

AFLEF,

:.AE=ME,

又QAB=AC,£C=£，

:.AC=DM,

：..ACE^MDE(SSS),

ZMDE=NACE=180。-ZACB=90°+-a

2f

/./ADM=ZMDE-ZCDE=90°+-a-\900--a\=a

2I2)f

..180°-a=a,

:.a=90°,

：.ZECD=ZEDC=45°f

•*-CD=V2CE，

为BC中点，F为8。中点，

/.NF是一8DC中位线，

:.CD=2NF,

CE=yf2NF.

13.⑴见解析

⑵

【分析】(1)先证明四边形3DEF为平行四边形，再由菱形的性质得=则=D尸，然后由矩形

的判定即可得出结论；

(2)由矩形的性质得/£>3尸=90。，BD=EF=2,再由菱形的性质得ZADB=60。，AB=AD,进而证明

△ABD是等边三角形，得AB=AD=BD=2,贝UOF=2AD=4,然后由勾股定理求出加■的长即可.

【详解】(1)证明：QAE^AB,AF^AD,

四边形3。瓦为平行四边形，

，四边形ABCO为菱形，

AB=AD，

：.AE=AB=AF=AD,

:.BE=DF,

，平行四边形BDEF是矩形；

(2)解：由(1)可知，AB=AD,四边形是矩形，

/.ZDBF=90°,BD=EF=2,

四边形ABC。是菱形，

:.ZADB=-ZADC=60°,AB=AD,

2

ABD是等边三角形，

,.AB=AD=BD=2,

.•.DF=2AD=4,

BF=sjDF2-BD2=A/42-22=，

即班■的长为2道.

【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性

质以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键.

14.⑴/AGE=90°

(2)CH=J2GB，证明见解析

【分析】本题考查了正方形的性质，平行线的性质，三角形的全等判定，等腰直角三角形的性质，熟练的

掌握它们的性质和判定，作出合理的辅助线是解决问题的关键.

(1)根据题意可得，AB=BC,BF=CE,ZABF=ZBCE=90°,由此可证。45尸四一3CE,得到

ZF=ZE,再根据/E+/CBE=90。，NCBE=NGBF,即可得到/AGE=90。.

(2)依据题意补充图形后，过点8作3/〃交■于/点，根据G〃=AG,BI//AH,可得到GAH、

GH为等腰直角三角形，再证AIB会BHC,即可得到线段C"与G5的数量关系.

【详解】（1）解：如图所示,

ABCD为正方形,

AB=BC,ZABC=ZDCB=9Q°,

ZABF=ZBCE=9Q°,

AB=BC

<ZABF=ZBCE=90°,

BF=CE

ABF-BCE,

ZF=ZE,

ZE+ZCBE=90°,ZCBE=ZGBF,

ZF+ZGBF=90°,

ZFGB=90°,

・•.ZAGE=1800-ZFGB=90°.

ZAGE=9Q°.

（2）解：①如图所示，在线段EG上取点“，使得G"=AG,连接AH,CH,

②过点5作双〃A”交”于/点，如图所示,

ZAGE=90°,GH=AG,

GA"为等腰直角三角形,

/GAH=/GHA=45°,

BI//AH,

..NGIB=NGAH=45。,NG3/=NGH4=45°,

GB/为等腰直角三角形，

GB=GI,

AAG-GI=GH-GB,即4=HB,

ABF^BCE(第一问已证)，

NFAB=NEBC,

又AB=BC,

AIB^BHC,

：.CH=BI,

G3/为等腰直角三角形，

Bl=42GB，

CH=41GB-

15.(1)证明见解析；

(2)2A/5.

【分析】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，正确

掌握相关性质内容是解题的关键.

(1)先得出/AFO=/CEO,NFAO=NECO.结合线段中点，得出AO=CO,得证，AOF丝1coE,根

据一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可作答.

(2)先得出OA《AC=2,结合菱形性质，在RtZXAOE中，由勾股定理得0E=5^2—32,代入数值进

行计算，即可作答.

【详解】(1)证明：四边形ABCD为平行四边形，

:.AD//BC.

:.ZAFO=ZCEO,ZFAO=ZECO.

。为AC的中点，

/.AO=CO.

.二AOF-COE.

AF=EC.

AFEC,

二•四边形AEC厂为平行四边形.

AE=AFf

二•四边形AEC方为菱形.

(2)解：O为AC的中点，AC=4,

:.OA=-AC=2.

2

四边形AECV为菱形,

.-.AC±EF.

ZAOE=90.

•••在RtAAOE中，由勾股定理得OE=ylAE2-OA?=庄万=书.

E为3c的中点，

AB=2OE=2百.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，正确

掌握相关性质内容是解题的关键.

16.⑴见解析

(2)ZDPC=45°+cr

(3)点E在线段AB上时，DEnBE+AF；点E在线段A2延长线上时，酢=。£+9；点E在线段54延

长线上时，BE=DE+AF,见解析

【分析】本题考查四边形综合题，熟知轴对称作图及性质，根据题意分类讨论是解题的关键.

(1)作点A关于直线DM的对称点P,连接CP、DP即可；

(2)连接AP,根据轴对称性质可得AD=PD,ZADM=NPDM=a,可求出NCDP=90。-2a,根据等

腰三角形的性质，利用三角形内角和可求出NDPC=1(180°-90°+2a)=45°+a；

(3)分三种情况，当DP交线段AB、线段AB延长线上、线段及1延长线上于点E时，分别可证

△CDFdDAK,进而可得£/=取，即可求证.

【详解】(1)解：如图，作点A关于直线D必的对称点P,连接CP、DP；

(2)连接AP,

(3)①当0P交线段A5于点E时,

延长AB至K,使BK=AF,连接OK,

AD=AB,BK=AF,

:.DF=AK,

又，CD=AD,ZCDA=ZDAK=90°,

在.CD方和-DAK中

DC=AD

/CDF=ADAK

DF=AK

:.△CDFHDAK,

.\ZF=ZK,

.•・由（2）可知，/DCP=/DPC