2024年北京某中学高一（上）期中数学试题与答案

2024北京北师大二附中高一(上)期中

数学

本试卷共4页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.

考试结束后，只收答题纸，不收试卷.

一、单选题

1.下列说法不正确的是()

A.OeN*B,OeNC.0.1gZD.2eQ

2.设集合A={0,1,2},则集合5={x—y|xeA,yeA}中元素的个数是

A.1B.3C.5D.9

3.玉溪某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产X件，则平均仓储时间为言

天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批

应生产产品

A.60件B.80件C.100件D.120件

4.“运动改造大脑”，为了增强身体素质，某班学生积极参加学校组织的体育特色课堂，课堂分为球类项目

4径赛项目及其他健身项目C该班有25名同学选择球类项目20名同学选择径赛项目2,18名同学选

择其他健身项目C;其中有6名同学同时选择/和3,4名同学同时选择/和C,3名同学同时选择2和C.

若全班同学每人至少选择一类项目且没有同学同时选择三类项目，则这个班同学人数是()

A.51B.50C.49D.48

5.用二分法求函数的零点，经过若干次运算后函数的零点在区间力)内，当k-(£为精确度)

时，函数零点的近似值％=三与真实零点的误差的取值范围为()

A.0,—B.0,—C.[0,£)D.[0,2e)

6.已知关于x的不等式加炉+加九一1>0的解集为。，则实数加的取值范围是()

A.(—",—4)u(0,+")B.[-4,0)C.(―*―4][0,+s)D.[-4,0]

7.设/(x)是定义在尺上的函数，若存在两个不等实数为，X2ER,使得

XX

=/(1)+/(2)；则称函数“X)具有性质P,那么下列函数：①/(耳=<?”"°；②

I2J2[o,x=O

/(x)=x2；③/⑺卡―[；具有性质尸的函数的个数为()

A.0B.1C.2D.3

8.已知“非空集合新的元素都是集合尸的元素”是假命题，给出下列四个命题:

①M的元素不都是尸的元素；②M的元素都不是尸的元素；

③存在xeP且xeM；④存在xeM且xgP；

这四个命题中，真命题的个数为().

A.1个B.2个C.3个D.4个

+’的定义域为

9.已知函数/(%)二，2%-1，贝(Jg(x)=f(2x-l)

x—2

3、3

A.[r万,+oo)B.[-,2)u(2,+a))

3

C.匕,2)。(2,+8)D.(-2)U(2,+°°)

4

10.已知函数〃x)=«ZT+根，若存在区间可使得函数“X)在[应可上的值域为

[2a,20,则实数机的取值范围是()

17

A.m>----B.0<m<—

82

17〜

C.m<-2D,----<m<-2

8

二、填空题

11.下列集合：①网；@M={x|X=H2+1,X<0,HGR}；③{0}；@0；⑤{(0,0)}；⑥方程

炉+1=0的实数解组成的集合.其中，是空集的所有序号为.

12.如果集合A={x|ax2+2x+l=0}中只有一个元素，贝打的值是.

13.若二次函数y=/(x)图象关于x=2对称，且/(。)</(0)</(1),则实数。的取值范围是

14.若关于X的不等式1W近2+》+k42的解集中只有一个元素，则实数k的取值集合为.

15.若关于机的方程加2-2a/〃+a+6=0的两个实数根是x,y,贝!I：(x-1)?+(y-1)?的最小值是

三、解答题

16.设集合A中的三个元素分别为a,0,-1,集合8中的三个元素分别为c+.己知A=B,求

a+b

a,4c的值.

17.已知集合/={x|N+4ax-4a+3=0},B—{x\x2+(a-1)x+a2=0},C={x\x2+2ax-2a=0},其中至少有

一个集合不为空集，求实数。的取值范围.

18.已知关于x的不等式x2-2x-l〉a(aeR).

(1)若a=l,求不等式的解集；

(2)若不等式的解集为R,求实数。的范围.

19.已知函数〃x)=2x—上,且/⑵=—.

x2

(1)求实数。的值；

(2)判断函数/(x)在(1,+8)上的单调性，并证明；

(3)求函数在［2,3］上的最值.

20.定义在区间［0』上的函数/(x)满足〃0)=/⑴=0,且对任意的石,％e［0』都有

号*(玉)+/(口

(1)证明：对任意的都有

(2)求的值；

21.已知函数/(x)=x|x-4+2x(aeR).

(1)若函数/(x)在R上单调递增，求实数。的取值范围；

(2)若存在实数ae［0,4］使得关于％的方程/(x)-"(a)=0恰有三个不相等的实数根，求实数t的取值

范围.

参考答案

本试卷共4页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.

考试结束后，只收答题纸，不收试卷.

一、单选题

1.【答案】A

【分析】

根据元素与集合的关系以及常见数集的符号表示即可得出选项.

【详解】N*为正整数集，贝heN*,故A不正确；

N为自然数集，则OeN,故B正确；

Z为整数集，则O.leZ,故C正确；

Q为有理数集，则2eQ,故D正确；

故选：A

【点睛】本题考查了常见数集的符号表示，需熟记符号所表示的数集，属于基础题.

2.【答案】C

【详解】VA={0,1,2},B={x-y|xeA,yGA},

...当x=0,y分别取0,1,2时，x-y的值分别为0,-1,-2；

当x=l,y分别取0,1,2时，x-y的值分别为1,0,-1；

当x=2,y分别取0,1,2时，x-y的值分别为2,1,0；

；.B={-2,-1,0,1,2},

.•.集合B={x-y|xGA,yGA}中元素的个数是5个.

故选C.

3.【答案】B

【分析】

确定生产X件产品的生产准备费用与仓储费用之和，可得平均每件的生产准备费用与仓储费用之和，利用

基本不等式，即可求得最值.

【详解】解：根据题意，该生产X件产品的生产准备费用与仓储费用之和是800+X[=800+3X2

OO

12

这样平均每件的生产准备费用与仓储费用之和为800+

._8^800x（X为正整数）

J一=-----------1-----

x8

由基本不等式，得出+±2

x8x8

当且仅当”=—,即x=80时，/（X）取得最小值,

x8

.•”=80时，每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小

故选：B

【点睛】本题考查函数的构建，考查基本不等式的运用，属于中档题，运用基本不等式时应该注意取等号

的条件，才能准确给出答案，属于基础题.

4.【答案】B

【分析】根据题意，结合venn图，列式运算得解.

由题意，card(A)=25,card(B)=20,card(C)=18,card(AcB)=6,

card(AnC)=4,card(BnC)=3,

因为全班同学每人至少选择一类项目且没有同学同时选择三类项目，

所以这个班同学人数是

card(AoBuC)=card(A)+card(B)+card(C)-card(AnB)-card(AnC)-card(BnC)

=25+20+18-6-4-3=50.

故选：B.

5.【答案】B

【分析】理解二分法求零点的原理，二分法是不断将区间一分为二，根据函数值的正负来确定零点所在的

子区间.然后根据已知条件I。一切＜£,分析近似值％=+与真实零点的误差范围.

【详解】因为函数的零点在区间(。,勿内，设真实零点为％,那么。

.a-b,b-a

已知xo=2，那么a~xo=2，x「b=2

由于所以—号，\xQ-b\=

所以近似值工。与真实零点的误差的取值范围是0,1^.

故选：B.

6.【答案】D

【分析】分机=0与冽#0,结合根的判别式列出不等式，求出实数加的取值范围.

【详解】当7〃=0时，-1〉0,解集为0,满足要求，

m<0

当机N0时，需要满足Sc,解得：—4W相<0,

A=w2+4m<0

综上：实数加的取值范围是[-4,0].

故选：D

7.【答案】C

【分析】

根据题意，找出存在的点，如果找不出则需证明：不存在为，使得

+々、_/(可)+/(々)

/2)-2'

【详解】①因为函数是奇函数，可找关于原点对称的点，比如/(81)=/(0)=幽耍2D=—=o,

存在；

②假设存在不相等A,々6氏，使得/(七三)=也等史2,即(与三y=书立，得%=々，

矛盾，故不存在；

③函数为偶函数，/(0)=1,令/(x)=|彳2-11=0,%=±啦，

贝IJ/(夜；1)=/(0)=1=于居+J-拒),存在.

故选：C.

【点睛】本题考查函数新定义，考查函数的解析式以及函数的单调性，同时学生的理解能力，以及反证法

的应用，属于中档题.

8.【答案】B

【分析】根据题意，由子集的定义分析M、P元素的关系分析4个命题是否正确，综合即可得答案.

【详解】根据题意，“非空集合M的元素都是集合P的元素”是假命题.则其否定为真，

则非空集合M的元素不都是集合P的元素，

据此分析4个命题：

①M的元素不都是尸的元素，正确，

②〃的部分元素可以为P的元素，不正确，

③可能M的元素都不是P的元素，故存在xeP且xeM,不正确，

④存在xeM且xgP,正确，

其中正确的命题有2个，

故选：B.

9.【答案】C

【分析】先求出F(x)的定义域，然后再求g(x)的定义域

【详解】由2%—120可得工

2

则函数F(x)的定义域为p+co)

要使函数g(x)=〃2x-1)+」有意义

x—2

2x—12—3

则2,解得九之一且xw2

%-2w0'

・二函数g(%)=的定义域为1,2|u(2,+a))

故选C

【点睛】本题主要考查的知识点是函数的定义域及其求法，较为基础.

10.【答案】D

【分析】根据函数单调性，建立方程组，等价转化为二次方程求根，建立不等式组，可得答案.

【详解】由函数"x)=4ZT+m,显然该函数在［应可上单调递增，

/(a)=Ja+1+m=2a

由函数］(力在可上的值域为［2a,26］,则<

f(Z?)=Yb+1+m=2b

等价于4x2一(4m+1)x+小2_i=o存在两个不相等且大于等于-1的实数根，且2x-冽20在xe［—1,0)

A=(4m+1)~-4x4x(m2—1)〉0

4+(4m+l)+m2-l>0

上恒成立,则

-------------x>-1

2x4

m<-2

解得----<mW—2.

8

故选：D.

二、填空题

11.【答案】②④⑥

【分析】根据空集的定义逐项判断即可.

【详解】①集合｛0｝中含有一个元素0,故不是空集;

②因为x=/+l〉o，"eR,故M是空集；

③集合｛0｝中含有一个元素0,故不是空集；

④。是空集；

⑤集合｛（0,0）｝中含有一个元素（0,0），故不是空集；

⑥因为方程f+1=0没有实数解，故是空集；

故答案为：②④⑥.

12.【答案】0或1

【分析】当。=0,%=满足条件，当awO,由A=0,求得a=l.综合可得a的值.

2

【详解】当。=0,%=满足条件；

2

当由A=22—4〃=0,则得〃=1,

所以当〃=0或[=1时，集合A中只有一个元素.

故答案为：0或1

13.【答案】（一8,0）。（4,+8）

【分析】根据题意可判断二次函数的单调性，再结合对称性可解得。的取值范围.

【详解】由题意得二次函数y=/（x）的对称轴为X=2,

因为〃。）<7⑴，所以函数y=/（X）在（—8,2）上单调递增，

因此函数y=/（x）开口向下，在（一*2）上单调递增，在（2,+00）上单调递减；

22

因为〃a）</（o），所以|a—2|〉|0-2],即卜―2|>2,（«-2）>4,a-4a>0,解得a<0或

4>4,

故答案为：（-OO,0）D（4,+OO）.

【分析】分左=0、k>0、左<0三种情况讨论，当%>0时42=1—4左（左一2）=0即可求出左的值，同理

求出女<0时参数的值，即可得解.

【详解】解：对于不等式1W近2+x+Z<2,

当上=0时lVx<2,解集为｛x[l<x<2｝显然不合题意，

kx"+尤+左一2<0

当%>0时，不等式等价于，因为不等式组的解集中只有一个元素,

fct2+x+^-l>0

则kx2+x+左一120恒成立且方程西之+x+k-2=0有两个相等的实数根，

即仁:2一4左（"1）<0且妹仕—2）

=0,显然42=0时4<0,

由公2=1—4k（女一2）=0,解得上=21X5,

所以T

丫_|_"_0＜0

当左＜0时，不等式等价于《小+­。’因为不等式组的解集中只有一个元素'

则&2+x+Z-2W0恒成立且方程kx2+x+k-l=0有两个相等的实数根,

［二一山-2)＜。且4M1)=。，显然-。时&＜。，

即《

由44=1—4左(左一1)=0,解得k=当2

所以左=匕交

15.【答案】8

【分析】由方程的根与系数的关系得％+y与孙值，将欲求的(x-iy+(y-1?的式子用含尤+丁与孙的

式子来表示，即化为含。的函数，最后求此函数的最小值即可.

【详解】解：因为关于冽的方程加2一2〃加+〃+6=0的两个实数根是工,歹,

所以x+y=2a,xy=a+6,

且△=(—2a)~—4(a+6)0,得a—2或a3.

则有(x—1了+(y—I)?

=—+J—2(x+y)+2

=(x+»-2xy-2(x+y)+2

=(2a)2—2(a+6)—4a+2=4a"—6a—10

4/3+49

=4(”?：

由此可知，当a=3时，(x—I)?+(y—I)?取得最小值8.

故答案为：8.

三.解答题

16.【答案】a,b,c的值分别为1,-2,2

【分析】根据A=B,'wO,求出c+6、一一和。，求出a,4c的值.

a+ba+b

【详解】因为A=B,」一#0,所以。+。=0,」=—

a+ba+b

解得a==-2,c=2,所以。也C的值分别为1,-2,2.

3

17.【答案】壮-1或QW.

2

【分析】关于“至少“至多”“不存在”等问题可考虑反面，本题的反面是/、B、。都是空集，由此能求出。

的取值范围.

【详解】假设集合4B、。都是空集，

对于4,元素是x,A=0,表示不存在x使得式子/+4ax-4a+3=0成立，

31

A=16/—4（-4〃+3）<0,解得-5<Q<5；

91

对于5,B=0,同理A=（Q—1）-4a2<0,解得。或者。<一1；

对于集合C,C=0,同理A=（2a）2+8。<0,解得—2<a<0；

3

三者交集为一一<。<一1；

2

取反面即可得4、仄。三个集合至少有一个集合不为空集，

3

・・.a的取值范围是。2-1或。<一一；

2

3

综上，u>—1或—.

2

18.【答案】（1）{x[x<l-百或x>l+G}

（2）[a\a<-2}

【分析】（1）利用一元二次不等式的解法求解；

（2）根据不等式解集为R,利用判别式法求解.

【小问1详解】

解：〃=1时，原不等式为—

整理，得%2一2%—2>0,

对于方程2%—2=0，

因为A=12>0,

所以它有两个不等的实数根，

解得％=1—^3,%=1+V3，

所以不等式的解集为{引x<l-6或%>1+6}.

【小问2详解】

原不等式可化为f—2x—l—a>0，

因为不等式解集为R,

所以方程V—2x-1-a=0无实数根，

所以A=4+4（l+a）=8+4a<0,

所以。的范围是｛Ha<-2].

19.【答案】（1）a=—1

（2）/（x）在（1,+8）上单调递增，证明见解析

（3）最小值为'9，最大值为1二9

23

9

【分析】（1）由题意得方程/（2）=e，求解即可；

（2）利用函数单调性的定义证明即可；

（3）根据单调性可得最值.

【小问1详解】

Z7QZ7Q

因为"x）=2x—三，且"2）=；,所以4—5=不所以a=—1.

【小问2详解】

函数“X）在（L+⑹上单调递增.证明如下：

由（1）可得，f（x^=2.XH—,

X

任取药,％2e（L+s），不妨设王<々，

I（1、

则/（%2）-/（』）=2尤2T------------2玉H

%2I

（]]'

—2（%2—%）+------

=2（4—国）+%一九2

玉工2

（%2一%）（2%%2—1）

因为玉，工2£。,+8）且再<X2,

>

所以犬2-%〉0,2项入2—1>。,%入20，

所以“%2）一/（西）＞°，即“％2）〉”玉），

所以/（x）在（L+s）上单调递增.

【小问3详解】

由⑵知，函数“X）在[2,3]上单调递增，

则当x=2时，“X）有最小值〃2）=，

当x=3时，/（x）有最大值八3）=g.

20.【答案】（1）证明见解析

（2）0（3）0

【分析】（1）取石=%=xe[0/]，即可求解,

（2）根据一）＜/（0）+/（1）=0+0=0,结合可得=

同理可得了0,

（3）根据dJrg）

,2024,即可求解.

【小问1详解】

任取芯=xe[0,1],则有々万产“无）+/（%），

gp/(x)<2/(x),于是*x"0,

所以，对任意的xe[0,1]都有〃x）20.

【小问2详解】

由/（0）=/（1）=0,得/[―）＜/（0）+/（1）=0+0=0,于是/

但由（1）的结果知/所以=

/'J

由/[；）=0,/。）=0,贝IJ/三＜/Q^+/（i）=o+o=o,于是/

I）

由（1）的结果知所以/=

【小问3详解】

(

0+-

2</(0)+/(1]=0+0=0,于是

由"0)=0"0,得了

2

I)

但由(1)的结果知

所以==继续求下去，可得;•[!)=0次=1,2,3,,2024,

因此，吗)+，[