2024年北京某中学高三（上）期中数学试题及答案

2024北京五十五中高三（上）期中

数学

本试卷共4页，共150分，调研时长120分钟

第一部分（选择题共40分）

一、选择题.共10小题，每小题4分，共40分，每题4个选项中只有一个选项是符合题目要

求的.

1.已知集合"N={%|-1<%<3},则"DN=（）

A.-4<x<3|B.-1<x<

c.{0,1,2}D.1x|-l<x<4j

2.复数二一的共辗复数是（）

1+z

A」+LB」,C.1-iD.1+z

2222

3.2X2+-的展开式中，一的系数是

A.160B.80C.50D.10

4.设匕为非零向量，贝1]“卜+川=同+叶’是“行与石共线”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.函数〃x）=3sin[0x—彳]（。>0）,=—3,/（x2）=3,且|当一司最小值为2兀，则。的值

为（）

1

A.-B.1C.2D.3

2

6.我国古代数学名著《九章算术》对立体几何问题有着深入的研究，其中谈到的“堑堵”是指底面为直角三

角形且侧棱垂直于底面的三棱柱.现有堑堵如图所示，其中AC_L3C,若明=AC=3C=4,平面

ABC1将堑堵分成了两部分，这两部分体积比值为（）

A.1:1B.1:2C.1:3D.1:4

22

7.点尸在圆C：（x-4）+（y-4）=9±,A（3,0）,B（O,1）,则NPA4最小时，|尸同二（）

A.8B.6C.4D.2

8.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为

世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设xeR,用[司表示不超过》的最大整数，则,=卜]

称为高斯函数，ma：[-3.5]=-4,[2.1]=2,已知函数/（x）=—二—L则函数y=[〃x）]的值域

l+ex2

是（）

A.{-1,0}B.{0}C.{0,1}D.{1}

9.已知某种垃圾的分解率为v,与时间f（月）满足函数关系式v=。加（其中。，匕为非零常数），若经过

12个月，这种垃圾的分解率为10%,经过24个月，这种垃圾的分解率为20%,那么这种垃圾完全分解，

至少需要经过（）（参考数据：1g2合0.3）

A.48个月B.52个月C.64个月D.120个月

11

I。.已知抛物线y=4必9和y=一记f9+5所围成的封闭曲线E如图所示‘点M'N在曲线E上’给定点

A.任意ae（0,5）,都存在点使得|AM|=|AN|

B.任意ae（0,5）,都存在点V,N,满足这对点关于点A对称

C.存在ae（0,5）,当点M,N运动时，使得卜叫+|⑷V|«10

D.任意ae（0,5）,恰有三对不同的点满足每对点M,N关于点A对称

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分

11.若直线y=2x是双曲线f―5=1e>o）的一条渐近线，则6=.

12.在平面直角坐标系中，角。与角夕均以Ox为始边，角1终边经过点A（l,2）,角夕是由角。终

边绕原点。逆时针旋转90°得到的，则cosJ3等于.

13.已知抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，从以下两个条件中任选一个条件，使得抛物线开口向右，

并根据所选条件写出一个抛物线的标准方程.①焦点尸(-2,0)；②经过点A(2,-4).你所选的条件是

,得到的一个抛物线标准方程是.

14.已知等比数列｛a“｝满足：an>0,a4+a6=5,a3a5=1，则公比4=，^a2的最小值为

15.在平面直角坐标系中，若,3(%,%)，定义两点之间的曼哈顿距离

d(A,B)=\x2-xl\+\y2-y1\.

(1)记d(3,/)为点8与直线/上一点的曼哈顿距离的最小值.如果点3(1,1),直线/：4x-y+2=0,则

d(B,l)=.

(2)在空间直角坐标系内，也有类似的结论，若4(%,%，4),3(々,乂，22)，可定义两点之间的曼哈顿距

离d(AB)=四一石|+|%-%|+%-4].已知点4(1』1),动点尸满足d(AP)=l,则动点尸围成的几

何体的表面积是.

三、解答题：共6小题，共85分.

16.在ABC中，a=6,y/3bcosA-asinB-

(1)求/的大小；

(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得，A3C存在且唯一确定，求

ABC的面积.条件①：ZC边上的高BH=3；条件②：cos3=—2也；条件③：b=8.

3

17.如图，在四棱锥P—ABC。中，直线A3〃平面PCD./A5C=90°,ZDAB=^PCB=60°,

CD=1,A8=3,PC=PB,平面PC5L平面ABC。，尸为线段BC的中点，£为线段P尸上一点.

(1)证明：AB//CD；

(2)证明：PF1AD；

是否存在点E,使得点£到平面PAD的距离是工，若存在求出FE\

(3)的值，若不存在请说明理由.

2EP\

18.某企业为了解职工A款NPP和B款/尸尸的用户量情况，对本单位职工进行简单随机抽样，获得数据如

下表：

男职工女职工

使用不使用使用不使用

A款4Pp72人48人40人80人

B款APP60人60人84人36人

假设所有职工对两款APP是否使用相互独立.

(1)分别估计该企业男职工使用A款APP的概率、该企业女职工使用A款APP的概率；

(2)从该企业男，女职工中各随机抽取1人，记这2人中使用A款/尸尸的人数为X,求X的分布列及数

学期望；

(3)据电商行业发布的市场分析报告显示，A款加7的用户中男性占52.04%、女性占47.96%；8款

NP尸的用户中男性占38.92%、女性占61.08%.试分析该企业职工使用A款/P尸的男、女用户占比情况和使

用B款/%的男、女用户占比情况哪一个与市场分析报告中的男、女用户占比情况更相符.

19.已知椭圆后:=+与=1(4>>>0)的左、右顶点分别为A，4，|A4|=4,椭圆£的离心率为走.

ab~2

(1)求椭圆£的标准方程；

(2)过。(L0)作直线/与椭圆£交于不同的两点N,其中/与x轴不重合，直线4〃与直线x=3交

2

于点尸，判断直线&N与。P的位置关系，并说明理由.

20.已知函数7•(x)=W，直线/为曲线y=/(x)在点。,/(项处的切线.

e

(1)当/=0时，求出直线/的方程；

(2)若g(x)=r(x),讨论g(x)的单调性，并求出g(x)的最值；

(3)若直线/与曲线y=/(x)相交于点["⑸)，且s<L求实数/的取值范围.

21.给定正整数N>3,已知项数为m且无重复项的数对序列A：(玉,%),(%，%)，…，(4,%)满足如下

三个性质：①无“％e{l,2,…,N},且％.H%[=1,2,…,m)；②%+i=%(，=1,2/一,加一1)；③(p,q)与

(%P)不同时在数对序列A中.

(1)当N=3,加=3时，写出所有满足芯=1的数对序列A；

(2)当N=6时，证明：m<13；

(3)当N为奇数时，记机的最大值为T(N),求T(N).

参考答案

第一部分（选择题共40分）

一、选择题.共10小题，每小题4分，共40分，每题4个选项中只有一个选项是符合题目要

求的.

1.【答案】A

【分析】直接根据并集含义即可得到答案.

【详解】因为集合V={x|—4<x<l},N={x[—l<x<3},

所以MuN=(x|-4<x<3},

故选：A.

2.【答案】A

【分析】利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共软复数，化简复数二一，进而可得结果.

1+Z

1_1-Z_11.

【详解】因为T+7-(1+Z)(1-Z)-22Z)

所以」一的共朝复数是《+

1+z22

故选：A.

【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算.要注意对实部、虚部的理解，掌

握纯虚数、共辗复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复

数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.

3.【答案】B

【分析】

由二项式定理公式<+1即可得到结果.

【详解】依题（2/+工

的展开式的通项为:

255ri0-3r

Tr+l=C^2x)-\-y=C；2-x

X

当10—3厂=4时，r=2,止匕时G?"'=C；23=80,

所以的展开式中，/的系数是80.

故选：B

【点睛】本题考查二项式定理，属于基础题.

4.【答案】A

【分析】

由,+可=同+W化简得出e=o,从而得出&与b共线，当济与"共线时,由+1|=|1+喇,

匕1+叫=(囚+1婀，,+4同+忖不一定相等，最后由充分条件和必要条件的定义作出判断.

【详解】当卜+4=同+W时，同2+24力+好=时+2同似+同，化简得。力=诽|,即

cose=而1|=i,0=0,即。与b共线

当“与6共线时，则存在唯一实数/，使得a=25

\a+b\=\L+A\\b\,|a|+|〃|=(囚+1)瓦囚+1与|1+川不一定相等，即卜+斗同+忖不一定相等

故“1+.=同+忖”是“d与方共线”的充分不必要条件

故选：A

【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于熟练掌握向量的数乘、数量积运算以及向量共线定理.

5.【答案】A

【分析】根据已知条件判断出/(x)的最小正周期，从而求得。.

【详解】依题意，/(%!)=-3,/(X2)=3,且国-目的最小值为2兀，

所以T=—=2nx2=4K,a)=—.

co2

故选：A

6.【答案】B

【分析】利用棱柱与棱锥的体积公式求解.

S

［详解］由题意匕=AABC.M,%―A禺G二:SABC-,

、_2

所以/_ACGA=匕%_451G1G=§匕BC-A4G，

v

VB&BG

所以1

vV2

ABCCIAI

故选：B.

7.【答案】C

【分析】根据圆的几何性质，运用数形结合思想进行求解即可.

y.

【详解】

B

OAx

如图所示，由题意圆C：(x—4『+(y—4)2=9的圆心C(4,4),半径厂=3,

当直线P8与圆C相切时，即尸为切点时，NPA4最小,

此时PB与％轴平行，P(4,l),|PB|=4.

故选：C

8.【答案】A

ex+l-l111

【分析】利用分离常数法可得〃x)=,求得/(x)的值域，由国表示不超过工

l+ex22l+ex

的最大整数，即可求得函数v=［/(x)］的值域.

ex+l-l111

【详解】/(%)=,由于1+">1

l+ex2~2l+ex

1111

---<----------<一

22l+ex2

/(X)的值域为:14

根据［x］表示不超过X的最大整数

・•・函数y=[/(x)]的值域是{-1,0}.

故选：A

【点睛】本题主要考查新定义函数的理解和运用，考查分离常数法求函数的值域，考查化归与转化的数学

思想方法，解题关键是在解答时要先充分理解印的含义，是中档题.

9【答案】B

【分析】根据已知条件，利用待定系数法求出函数关系式，然后再代入数值计算即可.

1

abn=0.1(1=---

【详解】由题意可得《%,解得〈20

加4=o.2i

b=2^

1L

所以v=---212,

20

1±

这种垃圾完全分解，即当v=l时，有1=-L.212,即2'=20",

20

12

解得t=log,20=121og220=24+121og25=24+12x=52.

-lg2

故选：B

10.【答案】D

【分析】由曲线E的对称性判断AB；取。值计算判断CD.

【详解】抛物线y=—工2和丁=——必+5的对称轴都为y,因此封闭曲线E关于y轴对称，

416

对于A,任意ae(0,5),在曲线E上取关于丁轴对称的两点M,N,而点A(0,a)在y轴上，有

\AM\=\AN\,A正确：

对于B,对每个。值，过点A垂直于y轴的直线与曲线E的交点M,N关于点A对称，B正确；

11fx=-4fx=4

对于C,联立y=—/与9丁=——必9+5解得<或<,取a=l,即A(o,l),

'416"=4[y=4

抛物线丁=；必，即父=4'的焦点为(0,1),准线方程为y=-1,

点M(7,s)在y=；苫2(0<y<4)上运动时，0Ws<4,|M4|=5+le[l,5],

抛物线y=-工必+5可由抛物线v=-J尤2向上平移5个单位而得，

1616

抛物线丫=-4尤2,即f=—16y的焦点为Q-4),准线为y=4,

16

则抛物线y=-^-x2+5的焦点为(0,1),准线方程为y=9,

16

点M95)在丁=—工/+5(4〈丁<5)上运动时，4WsW5,|K4|=9—se[4,5],

因此当点M,N运动时，1W|MA|W5,1W|N4|W5,恒有3M+|AN归10,C正确；

对于D,取a=l,即A(0,l),直线y=l与抛物线丁=；必的两个交点关于点A对称，

1

在此抛物线上关于点A对称的两点就只有一对，在抛物线丁=—-X9,+5上不存在两点关于点A对称,

16

另外关于点A对称的两点则分别在y=-x2^y=--x2+5±,不妨令，

'416,4

此点关于点A对称的点(―w,2—M-)必在y=---%2+5上，而方程2—u~=----+5，

416416

3,

即/=-3无解，则此时不存在关于点A对称的两点分别在两条抛物线上，D错误.

16

故选：D

【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：

①几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；

②代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最

值或范围.

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分

11.【答案】2

【分析】先根据双曲线方程判断焦点位置，写出其渐近线方程，比较即得.

2

【详解】因双曲线久2一色=l（b>0）的焦点在X轴上，且。=1,

故其渐近线方程为y=±bx,依题意，易得b=2.

故答案为：2.

12.【答案】一2叵

5

【分析】根据给定条件，利用三角函数定义，结合诱导公式计算即得.

.22^/5

【详解】由角】终边经过点A（l,2）,得|。4|=JF+22=百,sina——-j=-----,

V55

而/?=a+90°,所以cos0-cos（a+90°）=-sina=——•

故答案：-拽

5

13.【答案】①.②②.>2=8%

【分析】根据给定条件，判断选择的条件，再设出标准方程，利用待定系数法求出方程即可.

【详解】顶点在原点，坐标轴为对称轴，开口向右的抛物线焦点在％轴的正半轴上，因此条件①不可选,

选择条件②，

设抛物线方程为>2=阳,加〉0,由抛物线经过点A（2,-4）,得16=2加，解得冽=8,

所以所求抛物线标准方程是/=8%.

故答案为：②；/=8%

14.【答案】①.2②/

【分析】由%%=1，可得。4=1，再代入%+4=5，即可得第一空答案；求得％=2"T,从而得

n(n-7)n(n-ly

aaa_2~-求出以的最小值,即可得第二空答案.

【详解】由a3a5=1，可得。：=1，

又因为a〃〉0，所以的=1，

又因为%+%>=5，

即l+d=5,解得q2；

因为&=1，q2,

所以4=2"-4,

n(n-7)

所以a„=2-3-2-2-.-2n-4=2~，

因为当“=3或〃=4时，〃(〃―7)取3、值_6,

2

所以2曲产取最小值2-6=工，

乙64

a

即6%n的最小值为---

64

故答案为：2；——

64

15.【答案】①.—；②.4-\/3-

【分析】(1)设直线4%-丁+2=0上任意一点坐标为尸(%,%),然后表示出d(民P),分类讨论求

d(SP)的最小值即得d(昆/)；

(2)不妨将A平移到A(0,0,0)处，利用曼哈顿距离定义求得尸围成的图形为八面体，即可求其表面积.

【详解】(1)设直线/上一点为尸(%,%),则为=4%+2,贝|

d(B,P)=|1—x0|+11—y01=|1—x0|+14x0+11,

①当天0«—工时，d(_B,P)=1——4%—1=—5%02a,此时=

②当——<XQ«1时,d(B,尸)=1-«XQ+4%0+1=3%0+2£(―,5］；

③当%>1时，d(B,P)=x0-1+4x0+1=5x0>5.

综上，J(B,/)=J(B,P)min=1.

(2)动点P围成的几何体为八面体，每个面均为边长为近的正三角形，其表面积为

5=8x—x(V2)2=473.

4

理由如下：

不妨将点A平移到40,0,0)处，设P(x,y,z),由d(A,P)=l,可得|九|+|y|+|z|=1,

当x,y,zN0时，即x+y+z=l,则0Vx,y,z<l,

设%（1,0,0）,“2（0』，0），"3（0,0,1），，则此监=（T1，0），%“3=（T，0/），

由跖户=（x—1,y,z）=（―y-z,y,z）=yM1M2+zM1M3,可得P,M,此，以四点共面，

因IMXM'21=|M2M31=|M3M；|=0,故当x,y,z20时，点p在边长为V2的正三角形的内部

（含边界）.

易知正三角形MXM2M3内部任一点。（7,弘z'）均满足x'+V+z'=1.

故满足方程x+y+z=l,0<x,y,z<l的点尸构成的图形是边长为&的正三角形的内部（含边界）.

由对称性可知，点尸围成的图形为八面体，每个面均为边长为正的等边三角形.

故该几何体表面积为S=8x1x（0）2=46.

4

故答案为：一;

4

【点睛】思路点睛：本题考查了新概念问题，解决新概念问题首先要读懂新概念的定义或公式，将其当做

一种规则和要求按照新概念的定义要求探究，再结合所学知识处理即可.

三、解答题：共6小题，共85分.

TT

16.【答案】（1）A=—；

3

（2）答案见解析.

【分析】（1）利用正弦定理边化角即可求解.

（2）选①，由直角三角形边角关系求出c,再由余弦定理求出匕并求出三角形面积；选②，利用正弦定理

求出6,再利用大角大边确定三角形无解；选③，由余弦定理建立方程无解.

【小问1详解】

在，中，由A=asin及正弦定理，V3sinBcosA=sinAsinB,

ffl!sinB>0,则tanA=G，

IT

又0<A<7T,所以A=—.

3

【小问2详解】

BH_3_

若选①，AC边上的高3H=3,在中，一sinA-.兀—‘，

sin—

3

即c=273，

在ABC中，由余弦定理/=。2+02—2"CCOSA，得62=/+（26）2-4麻xg,

整理得/-26。-24=0，而〃>0,解得6=46，

ABC的三边已知，由三角形全等的判定知，ABC存在且唯一，

所以ABC的面积为S=^bcsinA=-X4V3X2A/3X

ADC22

若选②，cos3=—名旦，则8>A,

3

在ABC中，sin5=71-cos2B=-

3

6X|4G

ab,asinB

由正弦定理,得匹品了..-=---<n

sinAsinBV33，

T

根据三角形中大角对大边可知，ABC不存在;

若选③，6=8,由余弦定理/=6?+02-2Z?ccosA，得6=8?+。2-16。」,

2

则。2一8C+28=0，显然A=82—4X28<0，即方程无解,

因此ABC不存，③不可选.

17.【答案】(1)证明见解析

FE\

2

(2)证明见解析(3)存在,―EP\=.

【分析】(1)由直线A3〃平面PCD,结合线面平行的性质可证得结论;

(2)由题意可得尸再由平面尸。3,平面A3CD,结合面面垂直的性质定理可证得尸产，平面

ABCD,再利用线面垂直的性质可证得结论;

(3)由题意可证得FG,5cpF两两垂直，则以FG,5cpE所在的直线分别为x,二z轴建立空间直角坐

标系，利用空间向量求解即可.

【小问1详解】

证明：因为A3〃平面PC。，ABu平面ABC。，平面ABCDpi平面PCD=CD,

所以A3〃CD；

【小问2详解】

因为PC=PB,产为线段的中点，

所以PRLBC,

因平面PC3_1_平面ABCD,平面PC81平面ABCD=BC,PEu平面PC8,

所以平面ABC。，

因为ADu平面A5CD,所以PELA。；

【小问3详解】

取A。的中点G,连接尸G,过。作。H//BC,交A8于H,

因为尸为线段BC的中点，AB//CD,所以尸GHAB,

因为/ABC=90。，所以所以FGL3C,

由(2)可知PF_L平面ABCD,FGu平面A3CD,

所以PRLRG,

所以RG,3cpp两两垂直，所以以PG,5cpp所在的直线分别为x,%z轴建立空间直角坐标系，如图

所示，

因为。HHBC,AB//CD,ZABC=90°,

所以四边形BCD”为矩形，

所以CD=BH=1,DH=BC,ZDHB=90°,

因为A8=3,所以AH=2,

因为/DAB=60°，所以A。=2AH=4,DH=742-22=2百，

所以BC=2出，

因为NPC5=60。，PC=PB,所以△PBC为等边三角形，

所以23=尸0=50=2石，PF=J(2石『一(省『=3，

设EF=〃(0V〃V3),则E(0,0,Q),

因为A(3,V3,0),D(l,-V3,0),P(0,0,3),

所以AD=(-2,-273,0),PA=(3,石,—3),PE=(0,0,a-3),

设平面PAD的法向量为m=(x,y,z)，则

m-AD=-2x—2\f3y=0

令x=V3，

mPA=3x+V3y-3z=0

1Im-PE,

若点E到平面尸A。的距离是一，则「।

2m

所以述(3—必二!*述，解得。=2,

323

所以EF=2,PE=3—2=1,

所以冏=2.

\EP\

八2

114

18.【答案】(1)-；(2)分布列答案见解析，数学期望：—；(3)该企业职工使用8/PP的情况与官方

315

发布的男、女用户情况更相符

【分析】

(1)根据题中数据，用频率估计概率，即可求出；

(2)先确定X的取值，再计算出对应的概率，即求出X的分布列及数学期望；

(3)分别计算出A款，8款/PP的男、女用户总人数，再计算对应的男用户，女用户的概率，再根据题

意判断即可.

【详解】解：(1)由所给数据可知，男职工使用/款/尸尸的人数为72,

723

用频率估计概率，可得男职工使用京东APP的概率约为——=

1205

401

同理，女职工使用4款ZPP的概率约为一=-；

1203

(2)X的可能取值为0,1,2,

{-OU2

X的分布列为:

X012

48]_

P

15155

48iid

X的数学期望E（X）=Ox—+1义一+2义—=一；

'/1515515

（3）样本中，A款4Pp的男、女用户为72+40=112（人），

7240

其中男用户占——«64.3%；女用户占——土35.7%,

112112

样本中，8款/PP的男、女用户为60+84=144（人），

其中男用户占幽土41.7%；女用户占里士58.3%,

144144

该企业职工使用BAPP的情况与官方发布的男、女用户情况更相符.

【点睛】思路点睛:

求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤:

（1）根据题中条件确定随机变量的可能取值;

（2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列;

（3）根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望（在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布,

如超几何分布或二项分布等，可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算）.

19.【答案】（1）椭圆E的标准方程为三+J=1；

4

（2）平行，理由见解析.

【分析】（1）由条件列关于仇c的方程，解方程求d仇c。可得椭圆方程;

（2）根据题意设直线及M、N点坐标，结合题意求点P的坐标，结合韦达定理证明左4/=左加即可.

【小问1详解】

y2

设椭圆「+=1的半焦距为C,

ab2

由已知点A，4的坐标分别为（—a,0）,（a,0）,

因为|A4|=4,所以2。=4,所以。=2,

又椭圆£的离心率为心，所以£=

2a2

所以c=^3，

所以b=y/a2—c2=1，

y2

所以椭圆E的标准方程为—+/=1；

4

【小问2详解】

因为直线MN与x轴不重合，且过点。（1,0）,

所以可设直线MN的方程为x=my+l,

x=my+l

2

联立方程《X2消去x可得2+4^y+2my-3=0,

——+y2=1

14■

方程（机*+4）+2my-3=0的判别式公=4m2+12（^m2+4）〉0,

设M（Xi，%）,N（%2，y2）

2m3

，%%=一

%+%=—m2+4m2+4

VA(-2,0),A(2,0),则以M=含%=

则直线4M的方程为y=一三(x+2),

x；+2

59%(59Vy1,、

代入x—可得y=」即p--

22a+2)122(x1+2)J

则上_k-为3%—为3%.3(%+%)-2碎为

DP

%2-2%+2my2-1myx+3+3)(my2-1)

(A6Z/7

2

3(x+%)—W1%=3——+2=o,即左A,N_左=0

m+4ym+4

k睦N=kpp，

所以直线&N与DP平行.

【点睛】关键点点睛：

（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x（或月建立一元二次方程，然后借助根与

系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系.

（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为。或不存在等特殊情形.

20.【答案】(1)x-y=0

(2)g(x)最小值为」，无最大值；

e

(3)(2,+oo)

【分析】(1)根据导数的几何意义确定切线斜率，再求出切点坐标，从而可求出切线方程；

(2)对g(x)求导，然后根据其正负求出函数的单调区间，则可求出函数的最小值点，从而可求出函数的

最小值；

2

(3)求出直线/,将“直线/与曲线y=/(x)相交”转化为关于x的方程上Y=-x-上t在(-《V)有解，

eveef

然后通过构造函数，对t进行分类讨论，结合导数可求得结果.

【小问1详解】

由心？得，(力涓

—,%eR

2e、'

i-0

贝ur(o)=丁=i，

e

因为/(0)=0,

所以曲线y=/(X)在点(0,0)处的切线I的方程为y=X,

即%=0；

【小问2详解】

g(x)=/'(x)=W，xeR,贝ijg'(x)=©0/止,xeR,

''eIeJe

由g'(x)>0,得x〉2,由g'(x)<0,得x<2,

所以g(x)在(-*2)上单调递减，在(2,+s)上单调递增，

所以当x=2时，g(x)取得最小值g(2)=」，无最大值；

e

【小问3详解】

yrf/\e—xc1-x

由〃x)=/，得,X€R则/'(%)=一~>

e"e

所以曲线y=/O)在点处的切线/的方程为

..t1-t1-tt2

y7=——(%—z),即,二——XH—-»

eeee

因为直线/与曲线y=八久)相交于点(s,7(s))，且s<f,

X\—t产

所以关于X的方程±+L在(-8,/)有解，

eve'e’

Y1_ff21_Y1_t

令E(X)=王—=X—J(x<。，则歹(0)=0,F'(x)=———二，F'(t)=0,

e"eeee

1—x1—tx—2

令/2(X)=E'(X)=「-----1，贝Ij//(X)=^,

eee

①当f〉2时，由"