2024年北京某中学初三（上）期中数学试题与答案

2024北京八十中初三(上)期中

2024.11

班级：姓名：考号：总成绩

一、选择题(每题3分，共24分)

下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的.

1.下列各曲线是在平面直角坐标系xOy中根据不同的方程绘制而成的，其中是中心对称图形的是

。斗斗、

iiiii1iiiiii一人小：

::人!……一")十一厂「L十行、十片十「「iKt一才一

1产

3

(A)(B)(C)(D)

2.将抛物线>=必向上平移1个单位，得到的抛物线的解析式为()

A._y=x2+1B.y=x2-1C.丁=(%+1]D.y=(x-l『

3.在△48C中，CA=CB,点。为中点.以点C为圆心，CO长为半径作。C,则。。与48的位置关

系是

C

A.相交B.相切

C.相离D.不确定AB

0

4.用配方法解方程必—2%-3=0时，配方后得到的方程为()

A.(%-1)2=4B.(%-1)2=-4C.(X+1)2=4D.(X+1)2=-4

5.如图，AB是。。的直径，CD是。0的弦，ZABD=59°,则/C等于

()

A.29°B.31°C.59°Da

6.已知二次函数＞=%2一41+机(机为常数)的图象与x轴的一个交点为,

(1,0),则关于x的一元二次方程――4x+〃2=。的两个实数根是()

A.石=1,%2=-1B.%]二—1,%2=2

C.xx=-1,x2=0D.Xj=1,x2=3

,若在/C中点。处建一个5G基夕'、

7.如图，A,B,。是某社区的三栋楼

站，其覆盖半径为300m,则这三栋楼中在该5G基站覆盖范围内的

是

(B)只有5-------5°*m

(A)A,B,C都不在

(C)只有/,c(D)A,B,C

8.二次函数y=2尤2-8x+加满足以下条件：当-2。<-1时，它的图象位于x轴的下方；当6Vx<7时，它

的图象位于无轴的上方，则加的值为

B.-10C.-42D.-24

、填空题（本题共16分，每小题2分）

9.如图，PA,尸8分别与。。相切于点A,B,连接AA

ZAPB=60°,

A3=5,则PA的长是,

10.若关于了的一元二次方程——4x+左=0有两个相等的实数根，

则左的值为.

11.已知点4>1力+2）与2（-2,4）关于原点对称，则.=,b=.

12.已知。为△ABC的外接圆圆心，若。在△ABC外，则△ABC是（填“锐角三角形”或“直角

三角形”或“钝角三角形”）.

13.石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一，它的主桥拱是圆弧形.如第

图，已知某公园石拱桥的跨度/8=16米，拱高CD=4米，那么桥拱所在圆式\:—7"

的半径。4=米.'、>'

O

14.已知二次函数的图象经过点（0,1）,且顶点坐标为（2,5）,则此

二次函数的解析式为.

15.如图，直线yfcc+a与抛物线2硒序交于点/,B,且点N在/\\

y轴上，点2在x轴上，则不等式2x淤8>区+。的解集为/,

16.当x>0时，均有[（a+l）x—1][7—a乂―1]20,则实数a的所有可能值

为•

三、解答题（17—18题每题4分，19—26题每题5分，27—28题每题6分）

17.解方程：x2+3x—1=0.

18.解方程：一x油?

2

19.如图，在等腰直角△4BC中，ZBAC=90°,。是2c边上任意一点（不与2,C重合），将线段绕点

/逆时针旋转90。得到线段连接CE,DE.

（1）求/ECO的度数；

(2)若N3=4,BD=y/2,求DE的长.

20.已知二次函数

（1）求二次函数x句理图象的顶点坐标;

BD

（2）在平面直角坐标系x（方中，画出二次函数尤对笔的图象；

（3）结合图象直接写出自变量0ScW3时，函数的最大值和最小值.

21.用长为6米的铝合金条制成如图所示的窗框，若窗框的高为x米，窗户的透光面积为y平方米（铝合

金条的宽度不计）.

（1）y与x之间的函数关系式为（不要求写自变量的取值范围）；

（2）如何安排窗框的高和宽，才能使窗户的透光面积最大？并求出此时的最大面积.

22.如图，AB是的直径，CD是O。的一条弦，ABLCD,连接AC,

OD.x米

(1)求证：NBOD=2/A；

（2）连接。8,过点C作交。8的延长线于点£,延长。O,交

NC于点尸.若尸为NC的中点，求证：直线CE为。。的切线.

23.已知关于x的一元二次方程/+（2-m）x+1-m=0.

（1）求证：方程总有两个实数根;

（2）若加＜0,且此方程的两个实数根的差为3,求机的值.

24.装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以A8为直径的半圆。，AB=50cm.如图①和图②所

示，为水面截线，GH为台面截线，MN//GH.

计算在图①中，已知MN=48cm,作OC_LMN于点C.

（1）求0c的长.

操作将图①中的水槽沿G8向右作无滑动的滚动，使水流出一部分，当NANM=30。时停止滚动，如图

②.其中，半圆的中点为。，GH与半圆的切点为E,连接OE交于点。.

探究在图②中.

（2）操作后水面高度下降了多少？

（3）连接。。并延长交GH于点尸，求线段EF的长度.

25.如图，在RtA42C中，ZACB=90°,。为NC上一点，以点。为圆心,

。。为半径的圆恰好与相切，切点为。，。。与NC的另一个交点为区

(1)求证：2。平分N/5C；

(2)若N/=30。，AE=l,求3。的长.

26.在平面直角坐标系xOy中，抛物线了=办2+法+。(a>0)的对称轴

为％=二，点A(；f,R7),B(2t,n),CO。,%)在抛物线上.

(1)当f=2时，直接写出山与〃的大小关系;

(2)若对于6</<7,都有〃?<%<〃，求f的取值范围.

27.如图，在△N8C中，ZABC=90°,BA=BC.将线段绕点/逆时针旋转90。得到线段E是边BC

上的一动点，连接。£交/C于点尸，连接

(1)求证：FB=FD；

(2)点H在边BC上,且BH=CE,连接AH交BF于点、N.

①判断4ff与2尸的位置关系，并证明你的结论；

②连接CN.若48=4,请直接写出线段CN长度的最小值.

28.对于平面直角坐标系xOy中的线段和点尸，给出如下定义：点/是线段上一个动点，过点/

作线段儿加的垂线/,点P是垂线/上的另外一个动点.如果以点P为旋转中心，将垂线/沿逆时针方

向旋转60。后与线段有公共点，我们就称点P是线段"N的“关联点”.

如图，M(1,2),N(4,2).

(1)在点马(1,3),P2(4,0),P3(3,2)中，线段的“关联点”有；

(2)如果点P在直线y=x+l上，且点P是线段的“关联点”，求点P的横坐标x的取值范围；

(3)如果点P在以。(1,-1)为圆心，厂为半径的。。上，且点尸是线段的“关联点”，直接写出

。。半径r的取值范围.

Ay

5-

4-

3-

MN

2------------------•

1-

-3-2-1O12345

-1-

-2-

-3-

备用图

北京市第八十中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷参考答案

一.选择题

1.C

2.A

3.B

4.A

5.B

6.D

7.D

8.D

二.填空题

9.5

10.4

11.3-6

12.钝角三角形

13.10

14y~4-4x4-1.

151。<大<3.

三..解答题

17.。=1,6=3,£・一1.

^=3,-4XlX(-l)=13>0.

方程有两个不相等的实数根.工=

-—±_一3士

la2.

un_-3+/13--3-/13-

即Xri--------2'工：-----2•

18.

—z2-3工=4工+7,

2

/—141=14,

z2-14x4-49=144-49,

(±-7)2=63,

±-7=±3"

的=7+3V斤，X2=7-3Vz7.

19.

(1)r.HtaABC中，ZBAC=90,AB=AC,

£ABC=£ACB=45°,

由旋转可知：AD=AE,LDAE=90\

LBAD+LDAC=Z.CAE+^DAC=90;

^BAD=Z.CAE,

在△1L4O与△C4E中，

AB=AC

</.BAD=Z.CAE,

kAD=AE

^BAD^/\CAE(SAS),

ZACE=Z.ABD=45,

ZECD=45°4-45°=90\

(2)/LBAC=90\AB=AC=4,

BC=x/ABi+AC2=46,

由(1)得,

BD=CE=y/2,

CD=BC-BD=3v/2,

乙DCE=90。.

CE2+CD2=ED2,

DE=/e用+储户=2限

,该函数的顶点坐标为(1,-4);

(2),/y=x2—2x—3=(x—I)2—4=(x—3)

(工+1)

该函数的顶点坐标为(1,-4),与工轴的交点为(3,0)

.(-1,0),与,/轴交于点(0,—3),过点(2,-3),

函数图象如图所示；

(3)由图象可得，

当自变・0WzW3时，函数的最大值是0,最小伍值

是一4.

21.

(1)根据题意，得

窗框的高为工米，则长为](6-3工)，

所以y=/(6-3工)♦x=+3工，

因为c>0,6-3x>0,

所以0<工V2.

故答案为y=-尚/+3](0<a,<2).

(2)y=_•1/+3工=-y(r-1)2+尚，

<°'

，当工=1时，y有最大值,

即窗框的高为1米，宽为L5米，才能使窗户的透光面

积最大，最大面积是1.5平方米，

答：窗框的高为1米，宽为1.5米，才能使窗户的透光

面积最大，最大面积是L5平方米.

22.

证明：(1)设4B交。。于H,连接OC,

由题可知，OCOD,AOHC=Z.OHD90,

又；OH=OH,RtACOH三Rt^DOH(HL)

s

・・・LCOH=NDOH,

・♦.比=彷，

.,・乙COB=乙BOD,

丁ZCOB=2ZA,

.・.NBOO=2乙4;

(2)如图，连接OC,

F为4c的中点，

DFVAC,

：.AD=CD,

：.Z.ADF=NCDF,

：BC=Bb,

Z.CAB=NDAB,

4/OA=ODt

.・.NO4D=NOO4,

・

..ZCDF=ZCABf

•/OC=ODt

.・./CDF=ZOCD,

.・.LOCD=Z.CAB,

\BC=BCt

・•・LCAB=NODE,

・•・LCDE=ZOCD,

*/Z.E=90\

・•.Z.CDE+ADCE=90,

.・.ZOCD4-ZDCE=90°,

即OC_LCE,

•/OC为半径，

直线CE为。O的切线.

23.

(1)证明：•・一元二次方程

/+(2-rn)x+1—m=0,

/.△=(2—m)2—4(1—m)

=m2—4m+4—4+4m=m2.

Vm220,

・•・△20.

・•.该方程总有两个实数根.

(2)\♦一元二次方程工24-(2-m)x+1-m=0,

解方程，得口=-1,X2=m—1.

・；m<0,

-1>m—1.

•.该方程的两个实数根的差为3,

/,-1—(m—1)=3.

/.m=-3.

24.

(1)连接OAf,如图,

由题意得：04=OB=OM=25cm,

•/OC1MN,

：.CM=CN=^MN=24cm,

/.OC=\/OM2-CM2=V252-242=7(cm),

故答案为：7;

(2)由题意得：OQ=OE=OB=ON=25cm,

B(N)

•.•GH与半圆的切点为E,

..OE1.GH,

■：MN//GH,

OD±MN,

DN=DM=1A/JV,

•/Z.ANM=30”,

.-.OD=^ON=^-(cm),

..25_llz、

..操作后水面高度下降了竽cm.

故答案为：号;

(3),.•半圆的中点为Q,

/.乙BOQ=90°,

*/OB=OQ=25cm,

B(N)

BQ=v/205=25依⑹.

故答案为：25/i

25.

(1)证明：连接oo,

B

•••43与圆O相切，

・•・LODB=90\

在和底△BCO中，

(DO=CO

{OB=OB'

・•・RtABDO^RtABCO(HL),

・・.ZDBO=Z.CBO,

・•.BO平分N4BC;

(2)设圆。的半径为应则OD=OE=OC=i,

VZA=30°,AE-lt

.・.2x=1+

/.AC=1+1+1=3,

在RiZXACB中，tan4=袈，

A\-/

BC=AC-tan30°=3x=\/3

«5

BO=y/co2+BC2=“2+(e)2=2.

26.

(1),.抛物线y=ax2+bi+c中，a>0,

抛物线开口向上，

・・•点B(4,n)在抛物线

y=ax2+fcr+C(Q>0)上，对称轴为直线工=2,

.•.点4(1,m)到对称轴的距离小于点3(4,n)到对称轴

的距离，

.・.m<n]

(2)由题意可知，点m)在对称轴的左侧，点

B(2t,n),在对称轴的右侧，

:对于都有

6<x0<7,m<yo<n,

C(x„,物)到对称轴的距离大于点4到对称轴的距

离,小于点8到对称轴的距鹿，

(\x0-t\>t-

|10—t]v2t—t

••/一力<»,

Q

当了o>»时,则(<知<20

•:6<工。<7,

<6

.・.(2-,解得3.5w£於4;

⑸27

当与<t时，则0<小<^t.

•・'6<小<7,

・・.>7,

A014,

・•.t的取值范围是3.5&t(4或2214.

27.

(1)证明：如图1中,

图I

；

•/BA=BCtZ,ABC=90

/.ZBAC=Z4CB=45\

•.线段工6统点A逆时针旋转90得到线段40,

/.Z.BAD=90",BA=DAt

.・.LFAD=LFAB=45°,

・・,AF=AF,

・•.AFADwAFAB(SAS),

・•.BF=DF.

(2)

OAH±BFO

o证明：因为=乙48。=90°,

BH=CE,所以△4BH会ABCE(