2024-2025学年浙教版九年级数学上学期专项复习：圆（考点清单）解析版

清单04圆的基本概念（考点梳理+题型解读+提升训练）

考点侪单

【清单01］圆的定义

1.在一个平面内，线段。4绕它固定的一个端点。旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫圆.这个固

定的端点。叫做圆心，线段。I叫做半径.以O点为圆心的圆记作。0,读作圆0.

注意：（1）圆指的是“圆周”，即一条封闭的曲残，而不是“圆面”。

（2）“圆上的点”指的是圆周上的点，圆心不在圆周上。

（3）确定一个圆需要两个要素:一是定点，即圆心；二是定长，即半径。圆心确定圆的位置，半径确

定圆的大小。只有圆心和半径都确定了，圆才能被唯一确定。

【清单02】点和圆的位置关系

点和圆的点到圆心的距离与半径的关系

图示

位置关系文字语言符号语言

圆内各点到圆心的距离都小于半径，

点在圆内点P在圆内<r

到圆心的距离小于半径的点都在圆内@

圆内各点到圆心的距离都等于半径，@F

点在圆上点尸在圆上od=r

到圆心的距离等于半径的点都在圆上

圆内各点到圆心的距离都大于半径，&

点在圆外点P在圆外od>r

到圆心的距离大于半径的点都在圆外

注意：（1）利用d与厂的数量关系可以判断点和圆的位置关系；同时，知道了点和圆的位置善长，也可以确

定d与厂的数量关系。

（2）符号“O”读作“等价于”，它表示从符号的左端可以推出右端，从右端也可以推出左端。

（3）弦、弧、圆心角

1.连结圆上任意两点的线段叫做弦.经过圆心的弦叫做直径，直径是同一圆中最长的弦，直径等于半径的

2倍.

2.圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、3为端点的弧记作前，读作弧AB.在同圆或等圆中，

能够重合的弧叫做等弧.

3.圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆.在一个圆中大于半圆的弧叫做优

弧，小于半圆的弧叫做劣弧.

4.从圆心到弦的距离叫做弦心距.

5.由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形.

6.顶点在圆心的角叫做圆心角.

【清单03］定理：不在同一直线上的三点确定一个圆.

注意：⑴“不在同一直线上”这个条件不可忽视，换句话说，在同一直线上的三点不能作圆；

⑵“确定”一词的含义是“有且只有"，即“唯一存在”.

【清单04】三角形的外接圆

⑴经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三

角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形.

⑵三角形外心的性质：

①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等；

②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数

个，这些三角形的外心重合.

⑶锐角三角形外接圆的圆心在它的内部（如图1）；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处（即直角三角形

外接圆半径等于斜边的一半，如图2）；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部（如图3）.

【清单04】旋转的概念

一般地，一个图形变为另一个图形，在运动的过程中，原图形上的所有点都绕一个固定的点，按同

一个方向，转动同一个角度，这样的图形运动叫做图形的旋转.这个固定的定点叫做旋转中心，转过的

角叫做旋转角.如下图，点0为旋转中心，/AOA，（或NB0B，或/COC，）是旋转角.

注意：

（1）旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度.

（2）如上图，如果图形上的点A经过旋转变为点A',那么这两个点叫做这个图形旋转的对应点.点

B与点B，,点C与点均是对应点，线段AB与A'B，、线段AC与A，C'、线段BC与B'。均是

对应线段.

【清单05］旋转的性质

一般地，图形的旋转有下面的性质：

(1)图形经过旋转所得的图形和原图形全等；

(2)对应点到旋转中心的距离相等；

(3)任意一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度.

要点：图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转.

【清单06】旋转的作图

在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转

指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形.

注意：作图的步骤：

(1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心；

(2)把连线按要求(顺时针或逆时针)绕旋转中心旋转一定的角度(旋转角)；

(3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；

(4)连接所得到的各对应点.

【清单07】垂径定理

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分

弦所对的两条弧；

如图，几何语言为:

AE=BE

要点：是直径'

CD{AC=BC

CDXAB,

AD=BD

2.推论定理1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦

所对的弧.

定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.

要点：

(1)分一条弧成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点.

(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.

【清单08】垂径定理的拓展

根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：

（1）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.

（3）圆的两条平行弦所夹的弧相等.

注意：

在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这

五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不

能是直径）

【清单09】圆心角与弧的定义

1.圆心角定义：顶点在圆心的角叫做圆心角.如图所示，NAOB就是一个圆心角.

要点：（1）一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征;

（2）圆心角/AOB所对的弦为线段AB,所对的弧为弧AB.

2.1°的弧的定义

1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧.如下图，

要点:

（1）圆心角的度数和它所对的弧的度数相等.注意不是角与弧相等.即不能写成圆心角NA0B=0.

（2）在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧.等弧的长度相等，所含度数相等（即弯曲程度相等）.

【清单10］圆心角定理及推论

1.圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.

要点：（1）圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距。（2）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对两条弦的弦心距

相等。（3）注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.

2.圆心角定理的推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等,

那么它们所对应的其余各对应量都相等.

要点：在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相

等，（例如圆心角相等），那么其它各组量也分别相等（即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等）.

*如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等

【清单11】圆周角

圆周角定义：

像图中/AEB、/ADB、NACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.

【清单12】圆周角定理：

内容：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.

要点：（1）圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.（2）圆周角定理成立的前提条

件是在同圆或等圆中.（3）圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；

圆心在圆周角的外部.（如下图）

第一种情况第二种情况第三种情况

1.圆周角定理的推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.

2.圆周角定理的推论2：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等.

【清单13】圆内接四边形

如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的

外接圆.

【清单14】圆内接四边形性质定理

圆内接四边形的对角互补.

圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）.

要点：圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起

来.在应用时要注意是对角，而不是邻角互补.

【清单15】正多边形的概念

各边相等，各角也相等的多边形是正多边形.

要点：判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱

形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形).

【清单16】正多边形的重要元素

1.正多边形的外接圆和圆的内接正多边形

正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边

形，这个圆就是这个正多边形的外接圆.

2.正多边形的有关概念

⑴一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心.

(2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径.

⑶正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角.

(4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.

3.正多边形的有关计算

⑴正n边形每一个内角的度数是""；

⑵正n边形每个中心角的度数是把；

(3)正n边形每个外角的度数是把.

n

要点：要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形.

【清单17】正多边形的性质

1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形.

2.正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形.

3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当

边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心.

4.边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相

似比的平方.

5.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆

要点：（1）各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形；（2）各角相等的圆的外切多边形是圆的外

切正多边形.

【清单18】弧长公式

半径为R的圆中360。的圆心角所对的弧长（圆的周长）公式：C=

n°的圆心角所对的圆的弧长公式：/=昼三（弧是圆的一部分）

180

要点：（1）对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的一，即」二”R=型；

360360180

（2）公式中的n表示1。圆心角的倍数，故n和180都不带单位，R为弧所在圆的半径；

（3）弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第

三个量.

【清单19】扇形面积公式

1.扇形的定义

由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.

2.扇形面积公式

半径为R的圆中360°的圆心角所对的扇形面积（圆面积）公式：5=开五2

n°的圆心角所对的扇形面积公式：%=空H=LR

**3602

[2

要点：（1）对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的—即J_x成2=至上

360360360

（2）在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两

个量就可以求出第三个量.

（3）扇形面积公式S扇形=；/R,可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式S=有点类

似，可类比记忆；

（4）扇形两个面积公式之间的联系：S扇形=幽_=工㈣~XR=LR.

扇形36021802

盛型侪单

【考点题型一】圆的基本概念

【例1】以下命题：（1）等弧所对的弦相等；（2）相等的圆心角所对的弧相等；（3）三点确定一个圆;

（4）圆的对称轴是直径；（5）三角形的内心到三角形三边距离相等.其中正确的命题的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【分析】利用圆的有关定义及性质分别判断后即可确定正确的选项.

本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解圆的有关定义及性质.

【详解】解：(1)等弧所对的弦相等，正确，符合题意；

(2)同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故原命题错误，不符合题意;

(3)不在同一直线上的三点确定一个圆，故原命题错误，不符合题意；

(4)圆的对称轴是直径所在的直线，故原命题错误，不符合题意；

(5)三角形的内心到三角形三边距离相等，正确，符合题意；

正确的命题有2个，

故选：B..

【变式1-1］下面说法错误的是()

A.圆有无数条半径和直径B.直径是半径的2倍

C.圆有无数条对称轴D.圆的大小与半径有关

【答案】B

【分析】本题主要考查了圆的相关概念，明确在同一个圆和等圆内、所有的半径都相等、所有的直径都相

等、所有直径是半径的2倍成为解题的关键.

根据圆的特征逐项分析即可解答.

【详解】解：A.圆有无数条半径和直径，说法正确；

B.由直径的定义可知，同一个圆的直径是半径的2倍，选项缺少在同一个圆中，故说法错误；

C.因为圆是轴对称图形，且它的直径所在的直线就是其对称轴，而圆有无数条直径，所以圆就有无数条

对称轴；

D.圆的大小和圆的半径有关，说法正确.

故选：B.

【变式1-2］如图，在。。中，AB是直径，BC是弦，点尸是劣弧BC上任意一点.若4B=4,NB=30。，则

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【分析】本题主要考查直径是最长的弦，由AB是。0直径得AB是。0中最长的弦，且AB=4,故有AP<

AB,所以可得结论.

【详解】解：AB是O0直径，

；.AB是O0中最长的弦，

AAP<AB,

VAB=4,

AAP<4,

.••只有选项D符合题意，

故选：D.

【考点题型二】点与圆的位置关系

【例2】如图，已知。。及其所在平面内的4个点.如果。。半径为5,那么到圆心。距离为7的点可能

是（）

•M

Q

A.P点B.。点C.M点D.N点

【答案】C

【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，根据点在圆上，则d=r；点在圆外，d>r；点在圆内，d<r

（d即点到圆心的距离，r即圆的半径）.

【详解】解：:。。半径为5,

.,.0P<5,0Q<5,ON=5,0M>5,

•••到圆心O距离为7的点为M点，

故选：C.

【变式2-1］如图，在RtaABC中，AACB=90°,AC=6,BC=8,CP,CM分别是4B上的高线和中

线.如果04是以点4为圆心，4为半径的圆，那么下列判断中，正确的是（）

c

C.点P在。4内，点M在。4外D.以上选项都不正确

【答案】c

【分析】本题考查了勾股定理的应用，点与圆的位置关系的判定，掌握根据点与圆心之间的距离和圆的半

径的大小关系作出判断是解题的关键.先利用勾股定理求得AB的长，再根据面积公式求出CP的长，根据勾

股定理求出AP的长，根据中线的定义求出AM的长，然后由点P、M到A点的距离判断点P、M与圆A的位置

关系即可.

【详解】解：在RtAABC中，ZACB=90°,AC=6,BC=8,

AB=VAC2+BC2=io,

•••CP、CM分别是AB上的高和中线，

•••工AB-CP=工AC•BC,AM=iAB=5,

222

即±xlOCP=±x6x8,

22

CP=4.8,

AP=VAC2-CP2=3.6,

•••AP=3.6<4,AM=5>4,

二点P在OA内、点M在OA外，

故选：C.

【变式2-2］如图，正方形4BCD的边长为4,点尸是以ZB为直径的半圆O上一点，贝UCP的最小值

【答案】2V5-2/-2+2V5

【分析】本题考查的是圆外一点与圆的距离的最小值，勾股定理的应用，如图，连接OP,OC,0C交半圆

。于点P',利用勾股定理求解0C=VOB?+BC?=2小,再进一步可得答案.

【详解】解：如图，连接OP,OC,0C交半圆0于点P,

在RtAOBC中，0C=VOB2+BC2=2V5,CP>0C-OP,

.,.CP>2V5-2,

当点P与点P'重合时，CP取得最小值2遍-2.

故答案为：2西-2

【变式2-3］在平面直角坐标系中，圆心为坐标原点O,。。的半径为5,则点P(-3,4)与。。的位置关系

是.

【答案】点P在。。上

【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的三种位置关系是解题的关键.根据勾股定理

求出0P的长，再与。0的半径比较即可.

【详解】解：•.•点P(-3,4),

•••OP=J(-3)2+42=5

。0的半径为5,

.••点P(-3,4)在圆上，

故答案为：点P在O0上.

【考点题型三】三角形的外接圆

【例3】如图，A、。在网格中小正方形的顶点处，每个小方格的边长为1,在此网格中找两个格点(即小

正方形的顶点)B、C,使。为△48C的外心，则BC的长度是()

A.3V2B.2V5C.4D.V17

【答案】A

【分析】本题考查外心的定义：外心是三角形外接圆的圆心，外心到三角形三个顶点的距离相等，也考查

了勾股定理.根据题意作出图形，得到点B和点C的位置，根据勾股定理求解即可.

【详解】解：如图所示，

•.•点O为AABC的外心，

...OA=OB=OC,点B和点C的位置如图所示，

/.BC=V32+32=3V2,

故选：A.

【变式3-1】若点。是等腰△48C的外心，且/8。。=60。，底边BC=2,则AABC的面积

为.

【答案】2+b或2-b

【分析】分两种情形讨论：①当圆心O在AABC内部时.②当点O在AABC外时.分别求解即可.本题考

查三角形的外接圆与外心、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，注

意一题多解，属于中考常考题型.

【详解】解：①当圆心O在AABC内部时，作AE1BC于E.

：OB=OC,NBOC=60°,

.♦.△OBC是等边三角形，

AOB=0C=BC=2,

AAE=0A+0E=2+V3,

ASAABC=jBC-AE^|x2x（2+V3）=2+V3,

②当点O在△ABC外时，连接0A交BC于E.

故答案为：2+8或2—旧

【变式3-2］如图，在AABC中，ABAC=90°,BC边上的高2D=6,则△力BC周长的最小值

为

【答案】12V2+12/12+12V2

【分析】延长CB到E,使得BE=BA,延长BC至IJF,使得CF=CA,连接AE,AF,作△AEF的外接圆。0,

过点O作OJ1EF于点J,交。0于点T.求出EF的最小值，可得结论.

【详解】解：如图，延长CB至IJE,使得BE=BA,延长BC到F,使得CF=CA,连接AE,AF,作AAEF的外

接圆O0,连接OE,OF,过点O作0J1EF于点J,交。。于点T.

0尸0(

VBA=BE,CA=CF,

."BAE=ZBEA,ZCAF=zCFA,

VZ.ABC=ZBAE+ZBEA,Z.ACB=zCAF+zCFA,

/.ZAEF+ZAFE=|(ZABC+ZACB)=45°,

AzEAF=135°,

•"EOF=90°,

VOJ1EF,

AEJ=JF,

i

.*.OJ=-EF,

设OE=OF=r,贝ljEF=V^r,OJ=yr,

VAB+BC+AC=EB+BC+CF=EF,

・・・EF最小时，△ABC的周长最小，

VAD1BC,

AAD+OJ<OT,

/.6+—r<r,

2

.'.r>12+6V2,

；.EF>12V2+12,

AAB+BC+AC>12V2+12,

；.△ABC的周长的最小值为12迎+12,

故答案为：12V2+12.

【点睛】本题考查轴对称最短问题，等腰直角三角形的判定和性质，三角形的外接圆等知识，解题的关键

是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题.

【变式3-3］如图，平面直角坐标系中有一个△2BC.

⑴利用网格，只用不刻度的直尺作出ANBC的外接圆的圆心。，并写出圆心坐标是

⑵判断点E(2,0)与。。的位置关系，说明理由；

(3)A4BC最小覆盖圆的半径为.

【答案】(1)0(1,5),图见解析

⑵点E(2,0)在圆外

(3汨

【分析】(1)分别作AB,BC边的垂直平分线，交点即为圆心0；

(2)用勾股定理分别求出OE,0A,比较即可；

(3)取AC中点P,连接0P,△ABC最小覆盖圆的半径为PC的长，用勾股定理求解即可.

分别作AB,BC边的垂直平分线，相交于点0(1,5)

(2)V0(1,5),E(2,0)

0E=V26

由图可得：A(-l,l)

0A=V20

0E>0A

.•.点E(2,0)在圆外;

(3)取AC中点P,连接0P,

△ABC最小覆盖圆的半径为PC的长，

【点睛】本题考查勾股定理，点与圆的位置关系，三角形的外接圆等，灵活运用所学知识是关键.

【变式3-4］如图，已知点A、B、C不在同一条直线上，请用尺规作图法作经过A、B、C三点的。0.(不

写作法，保留作图痕迹)

A

【答案】见解析

【分析】本题考查了作图一三角形的外接圆，连接AB、BC、AC得至IUABC,分别作线段BC、AB的垂直平

分线交于点O,然后以O点为圆心，0A为半径作圆即可.

【详解】解：如图所示，。0即为所求.

【考点题型四】确定圆的条件

【例4】如图，A,B,C,。是。。上的四个点，已知N4DC=60。，ABDC=40°,贝吐4CB=()

A.60°B.70°C.79°D.80°

【答案】D

【分析】此题考查了圆内接四边形的性质冼求出NADB=NADC+NBDC=100。，再根据圆内接四边形对

角互补即可得到答案.

【详解】解：VzADC=60°,ZBDC=40°,

Z.ADB=ZADC+ZBDC=100°,

:四边形ABCD是。。的内接四边形，

Z.ZACB=180°-ZADB=80°,

故选：D

【变式4-1］如图，点A,B,C均在直线/上，点P在直线/外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆

的个数为()

P.

ABC

A.2个B.3个C.4个D.5个

【答案】B

【分析】本题主要考查了确定圆的条件，根据不共线的三点可以确定一个圆进行求解即可.

【详解】解：.••不共线的三点可以确定一个圆，

.,•取点P,再取A、B、C中的任意两点，都可以确定一个圆，

.••最多可以确定3个圆(过P、A、B三点，过P、A、C三点，过P、B、C三点)，

故选B.

【变式4-2］平面直角坐标系内的三个点4(4,-3),5(0,-3),C(2,-3),_____确定一个圆，(填“能”或“不

能”).

【答案】不能

【分析】本题考查确定圆的条件，解题的关键是掌握：不在同一直线上的三个点确定一个圆.

判断三个点在不在一条直线上即可.

【详解】解：：A(4,—3),B(0,—3),C(2,—3),在y=—3这条直线上,，

六三个点A(4,-3),B(0,-3),C(2,-3)不能确定一个圆.

故答案为：不能.

【考点题型五】旋转的生活现象

【例5】下列物体的运动：①电梯上下迎送顾客；②风车的转动；③钟摆的摆动；④方向盘的转动.属于

旋转的有()

A.1种B.2种C.3种D.4种

【答案】C

【分析】本题考查了旋转的判断，根据旋转的概念解答即可.解题的关键是掌握旋转的概念：在平面内，

将一个图形沿某一个定点转动一个角度，这样的图形运动称为旋转.

【详解】解：根据旋转的概念，可知：

①电梯上下迎送顾客属于平移；

②风车的转动属于旋转；

③钟摆的摆动属于旋转；

④方向盘的转动属于旋转.

故其中属于旋转的有3个.

故选：C.

【变式5-1】下列运动中不属于旋转的是（）

A.摩天轮的转动B.酒店旋转门的转动

C.气球升空的运动D.电风扇叶片的转动

【答案】C

【分析】本题考查了生活中的旋转现象；旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋

转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这时判断旋转的关键，根据旋转的定义解答即可

【详解】解：A.摩天轮的转动，属于旋转，故不符合题意；

B.酒店旋转门的转动，属于旋转，故不符合题意；

C.气球升空的运动,，属于平移，故符合题意；

D.电风扇叶片的转动，属于旋转，故不符合题意；

故选：C

【考点题型六】旋转图形的判断

【例61杭州亚运会吉祥物是一组承载深厚底蕴和充满时代活力的机器人，如图所示的“遂珍”经过旋转不

能得到的是（）

【答案】B

【分析】本题考查了图形的旋转，旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心

和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这是判断旋转的关键.由如图图形旋转，分别判断、解答即可.

【详解】解：A.由图形旋转而得出，故本选项不符合题意;

B.由图形对称而得出，故本选项符合题意；

C.由图形旋转而得出，故本选项不符合题意；

D.由图形旋转而得出，故本选项不符合题意；

故选：B.

【变式6-1】2022年北京冬奥会会徽是以汉字“冬”为灵感来源设计的.下面四个选项中，能由如图所示的

图形经过旋转得到的是（）

等书

【答案】c

【分析】本题考查了利用旋转设计图案，根据旋转只改变图形的方向不改变图形的形状和大小解答.

【详解】解：能通过旋转得到的是C选项图案.

故选：C.

【考点题型七】旋转坐标的变化

【例7】如图，点4在才轴上，N04B=90°,ZS=30°,OB=6,将4。力B绕点。按顺时针方向旋转120。得

到则点B'的坐标是（）

A.（3V3,-3）B.（3,3V3）C.（3A/3,3）D.（3,-3V3）

【答案】D

【分析】本题考查坐标与旋转，含30度角的直角三角形，过点B'作B（lx轴，根据旋转的性质，结合角

的和差关系，得到NCOB，=6（T,OB，=OB=6,进而求出OC,B（的长，即可得出结果。

【详解】解：过点B'作BClx轴,

VZOAB=90°,ZB=30°,OB=6,

AzAOB=60°,

•.•将△OAB绕点O按顺时针方向旋转120。得到△0AB,

.♦.OB'=OB=6,/BOB'=120°,

."B'OC=/BOB'-ZAOB=60°,

."OB'C=30。，

AOC=1OB，=3,B(=V30C=3V3,

.•.B[3,—3⑹；

故选D。

【变式7-1]在AABC三个顶点的坐标分别为(-2,2),C(-3,1),将△ABC绕原点。旋转105。得到

△则点名的坐标为()

yjk

B

q

cA

A.(V2,V6)^(-V6,-V2)B.(A/6,V2)^(-A/6,-V2)

C.(-V2,-V6)^(V6,V2)D.佝或(鱼,佝

【答案】c

【分析】本题考查坐标与旋转，分顺时针旋转和逆时针旋转，两种情况，进行讨论求解即可.

【详解】解：VA(-l,l),B(-2,2),

...A,B两点在第二象限的角平分线上，

.•.直线AB与y轴正半轴的夹角为45。，

当△ABC绕原点。顺时针旋转105。时，如图：

B

NOx

过点B作BN1x轴,过点电作B1M1y轴,

22

贝lj：BN=ON=2,OBt=OB=V2+2=2A/2,々BOB】=105。，

."BiOM=60°,

AzOBiM=30°,

.•.0M=(0Bi=a,BiM=V3OM=V6,

，B](痣仞

当△ABC绕原点O逆时针旋转105。时，如图：

c

-Np/~d

■।，/

।/

:/

»

B、

同法可得：OM=2OBi=V^,BiM=V30M=V6,

-伺；

故选C.

【变式7-2］如图，在平面直角坐标系中，已知点4(-4,0),8(0,3),对△4。8连续作旋转变换，依次得到

三角形(1),(2),(3),(4),…，则第(2020)个三角形的直角顶点的坐标是.

【答案】(8076,0)

【分析】本题主要考查了与旋转有关的点的坐标规律探索，勾股定理，先得到OA=4,OB=3,进而利用

勾股定理得至UAB=VOA?+OB?=5,再由题意可得每三次旋转为一个循环组依次循环.一个循环组旋转

过的长度为3+4+5=12,据此求出循环次数和剩下的翻转次数即可得到答案.

【详解】解：：A(-4,0),B(0,3),

AOA=4,OB=3,

AAB=VOA2+OB2=5,

由题意可知每三次旋转为一个循环组依次循环.一个循环组旋转过的长度为3+4+5=12,

V2020+3=673……1.

.♦•三角形(2020)是第674个循环组的第一个三角形，其直角顶点与第673组的最后一个直角三角形顶点重

合.

V12x673=8076,

...三角形(2020)的直角顶点的坐标是(8076,0),

故答案为：(8076,0).

【考点题型八】旋转的性质

【例8】如图，在Rt△力BC中，ZC=90°.将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A夕C,在旋转过程中，当点

夕落在的中点处时，求乙4'的度数.

【答案】300

【分析】本题主要考查旋转的性质以及等边三角形的判定等知识，利用旋转的性质结合直角三角形的性质

得出是等边三角形，进而得出答案，正确掌握直角三角形的性质是解题的关键.

【详解】解：将△ABC绕点C逆时针旋转得到△AEC,

.\CB=CB',NA=NA',

•.•点夕可以恰好落在AB的中点处,

二点B，是AB的中点，

ZACB=90°,

.♦.CB'=-AB=BB\

2

ACB=CB'=BB',

即ACBB'是等边三角形，

AZB=60°,

VZ.ACB=90°,

."A=NA'=30°.

【变式8-1］如图，四边形4BCD是正方形，E、尸分别是边OC和CB延长线上的点，且DE=BF,连接

AE,AF,EF.

⑴求证：AADE^LABF.

(2)A4BF可以由△4DE绕旋转中心点,按顺时针方向旋转度得到.

(3)若AF=10,DE=6,求四边形4FCE的面积.

【答案】(1)见解析

(2)A、90

◎)S四边形AFCE=64.

【分析】(1)根据正方形的性质得AD=AB,ZD=ZABC=90°,然后利用“SAS”易证得△ADE三△ABF；

(2)由于AADE三△ABF得NBAF=NDAE,贝I|NBAF+NBAE=90。，即NFAE=90。，根据旋转的定义可得

到AABF可以由AADE绕旋转中心A点，按顺时针方向旋转90。得到；

(3)由AADEmAABF得AE=AF,SAADE=SAABF,推出四边形AFCE的面积等于正方形的面积，利用勾股

定理求得正方形的边长即可求解.

【详解】(1)证明：•••四边形ABCD是正方形，

AAD=AB,ZD=ZABC=90°,

而F是CB的延长线上的点，

ZABF=ZD=90°,

又：AB=AD,DE=BF,

A△ADE三△ABF(SAS)；

(2)解：VAADESAABF,

.\ZBAF=ZDAE,

而NDAE+NEAB=90°,

AZBAF+ZBAE=90°,即，FAE=90°,

/.△ABF可以由△ADE绕旋转中心A点，按顺时针方向旋转90。得到.

故答案为：A、90；

(3)解：ADE三△ABF,

..AE=AF=10,SAADE=SAABF，

••S四边形AFCE=S"BF+S四边形ABCE=SAADE+S四边形ABCE=S正方形ABCD'

AD2=AE2-DE2=102-62=64,

四边形AFCE=S正方形ABCD=AD?=64.

【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中

心的连线段的夹角等于旋转角，也考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理.

【考点题型九】利用垂径定理求值

【例9】如图，是。。的弦，C是脑的中点，0C交力B于点D.若2B=8cm,0D=3cm,则。。的半径

A.4cmB.5cmC.8cmD.10cm

【答案】B

【分析】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据垂径定理判断出OC是AB的垂直平分线是解答此题的关

键.

连接OA,由垂径定理得AD=(AB=4cm,根据勾股定理求解即可.

【详解】解：连接OA,

C

；C是AB的中点,

1

AOC1AB,AD=-AB=4cm

2

在R3OAD中，OD=3cm,AD=4cm,Z.ADO=90°,

由勾股定理可得，OA2=AD2+OD2,则OA=A/AD2+OD2="2+32=5(cm),

即。。的半径为5cm

故选：B

【变式9-1］如图，CD为。。直径，弦垂足为点瓦。E=3,48=8,则CD长为

【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键.

根据垂径定理得到AE=|AB=4,再由勾股定理即可求出AO=5,即可解答.

【详解】解：连接AO,

11

.".AE=-AB=-X8=4,

22

.•.在RtAAEO中，AO=VAE2+OE2=V42+32=5,

•••。0的半径为5,

.,.CD=10.

故答案为：10.

【变式9-2】如图，O。的直径4B垂直于弦CD,垂足为E,AE=2,CD=8.

(1)求O。的半径长；

(2)连接BC,作。F1BC于点尸，求。F的长.

【答案】(1)5

(2)遥

【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理.熟练掌握垂径定理，勾股定理求线段是解题的关键.

(1)连接0D,如图，设。0的半径长为r,先根据垂径定理得到DE=CE=4,再利用勾股定理得到

0-2)2+42=",然后解方程即可；

(2)先利用勾股定理计算出BC=4西，再根据垂径定理得到BF=CF=2近，然后利用勾股定理可计算出

0F的长.

【详解】(1)解：连接0D,如图，设的半径长为r,

VAB1CD,

11

AzOED=90°,DE=CE=-CD=ix8=4,

22

在RtAODE中，

VOE=r-2,OD=r,DE=4,

A(r-2)2+42=r2,

解得r=5,

即OO的半径长为5；

(2)解：在RtABCE中，

VCE=4,BE=AB-AE=8,

BC=V42+82=4V5,

VOF1BC,

ABF=CF=-BC=2V5,ZOFB=90°,

2

在RtAOBF中，OF=VOB2-BF2=52-(2A/5)2=V5,

即OF的长为

【考点题型十】垂径定理的应用

【例10］某品牌太阳能热水器的实物图和截面示意图如图所示，支架CD与地面垂直，真空集热管48与地

面水平线夹角NB4C为30。，直线28与CD都经过水箱截面的圆心。.己知DC=65cm,AB=180cm,则水

箱内水面宽度BE为cm.

【答案】50V3

【分析】取OC与BE的交点为点G,由题意得，BE||AC,zC=90°,从而可得NOGB=90°,zBAC=

ZOBG=30°,根据直角三角形的性质可得BE=2BG,AO=2OC,设OG=x,贝l|BO=OD=2x,BG=

V3x,进而可得AO=(180+2x)cm,OC=(65+2x)cm,再利用AO=2OC,列方程求解即可.

【详解】解：取OC与BE的交点为点G,

由题意得，BE||AC,ZC=90°,

."OGB=90°,ZBAC=ZOBG=30°,

ABE=2BG,

设OG=x,贝！］BO=OD=2x,BG=V3x,

/.AO=AB+BO=(180+2x)cm,OC=OD+DC=(65+2x)cm,

VAO=2OC,

.".2(65+2x)=180+2x,

解得x=25,

BG=25V5cm,

BE——2BG=2x25A/3-50vsem,

故答案为：50V3.

【点睛】本题考查直角三角形的性质、垂径定理、平行线的性质、解一元一次方程，熟练掌握直角三角形

的性质和垂径定理是解题的关键.

【变式10-1】明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”（见图1,一种水利灌溉工具）的

工作原理.如图2,筒车盛水桶的运行轨道是以轴心。为圆心的圆.已知圆心。在水面上方，且。。被水

面截得弦48长为8米，。。半径长为6米，若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦28所在直线的距离

是多少？

【答案】（6-2佝米

【分析】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键.

连接OA,OC交AB于点D,再由勾股定理得OD2=OA2-AD?,然后计算即可求解.

【详解】解：连接OA,OC交AB于点D,如图，

图2

即OA=OC=6m,

•・•点C为运行轨道的最低点，AB=8m,

1

AOC1AB,AD=BD=-AB=4m,

2

由勾股定理，得OD2=OA2-AD2,

即OD=A/62-42=2V5m,

CD=OC-OD=(6-2V5)m,

故点C到弦AB所在直线的距离是(6-2遮)米.

【变式10-2］高致病性禽流感是一种传染性极强的传染病.

(1)养殖场有4万只鸡.假设有一只鸡得了禽流感，如果不采取任何措施，那么第二天将新增病鸡10只，

到第三天又将新增病鸡100只，以后每天新增病鸡数依此类推，请问到第四天，共有多少只鸡得了禽流

感？到第几天，所有的鸡都会感染禽流感？

(2)为防止禽流感蔓延，防疫部门规定：离疫点3千米范围内为捕杀区，所有的禽类全部捕杀；离疫点3~5

千米范围内为免疫区，所有的禽类强制免疫；同时对捕杀区和免疫区的村庄，道路实行全封闭管理.现有

一条笔直的公路4B通过禽流感病区.如图所示，。为疫点，到公路4B的最短距离为1千米，问这条公路

在该免疫区内有多少千米？(结果保留根号)

【答案】(1)第四天共有1111只鸡得了禽流感；到第六天所有鸡都会被感染；

(2)(476-4V2)km

【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，数字类的规律探索：

(1)根据题意可得规律第n天新增只病鸡，据此求出第四天，第五天，第六天得了禽流感的鸡的数

量即可得到答案；

(2)过点。作OE1AB于E,利用勾股定理求出AE=2乃km,CE=2/km,再利用垂径定理求出AC+

BD的值即可.

【详解】(1)解：第一天新增1只病鸡，

第二天新增10只病鸡，

第三天新增100只病鸡，

以此类推，可知，第n天新增10吁1只病鸡，

第四天共有1+10+100+1000=1111只鸡得了禽流感;

到第五天得禽流感病鸡数为10000+1111=11111只

到第六天得禽流感病鸡数为100000+11111=111111>40000,

...到第六天所有鸡都会被感染；

(2)解：如图所示，过点O作OELAB于E,

由题意得，OA=5km,OC=3km,OE=1km,

在RtAAOE中，由勾股定理得AE=A/OA2—OE2=2v^km,

在RtACOE中，由勾股定理得CE=VOA2-OE2=2&km,

由垂径定理可得AB=2AE,CD=2CE,

AAC+BD=AB-CD=（4V6-4夜）km,

.••这条公路在该免疫区内有（4伤—4a）km.

【考点题型十一】画旋转图形

【例11]如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△48C的顶点均在格点上.

(1)画出将△28C关于原点。的中心对称图形△.

(2)将4DEF绕点E顺时针旋转90。得到△D[EF],画出△D1EF1.

(3)若4。石尸由44BC绕着某点旋转得到的，则这点的坐标为

【答案】(1)见解析

(2)见解析

⑶(0,1)

【分析】本题主要考查了作图-旋转变换，熟练掌握旋转的性质是解题的关键.

(1)根据中心对称的性质即可画出△AiBiJ；

(2)根据旋转的性质即可画出ADiEFi；

(3)根据旋转中心为两组对应点连线的垂直平分线的交点可得点P的位置.

【详解】(1)解：如图，AAiBiQ即为所求；

(2)解:如图，ADiEFi即为所求;

(3)解：如图，根据旋转的性质可得，旋转中心为AD和CF垂直平分线的交点，图中点P即为旋转中心,

故答案为：（0,1）.

【变式11-1】正方形网格中（网格中的每个小正方形边长是1）,AABC的顶点均在格点上，请在所给的直

角坐标系中解答下列问题：

⑴作出△ABC绕点4逆时针旋转90。的4AB1G，再作出△AB©关于原点。成中心对称的4ArB2C2.

（2）点Bi的坐标为，点C2的坐标为.

【答案】（1）作图见解析；

(2)(-3,-1),(2,3).

【分析】（1）根据旋转的性质和中心对称图形的性质作图即可；

（2）直接利用（1）中所画图形写出坐标即可；

此题考查了旋转变换，作中心对称图形，坐标与图形，掌握旋转和中心对称图形的性质是解题的关键.

【详解】（1）解：如图所示，AABiCi、AAiB2c2即为所求；

X

(2)解:由(1)图可得，Bi(-3,-1),C2(2,3)

故答案为：(―3,—1)，(2,3).

【变式11-2］如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点三角形ABC(顶点时网

⑴将A4BC绕C点顺时针旋转90。，得到Aa/iC,请画出AZ/iC；

(2)求线段8当的长度为

【答案】(1)见解析

(2)372

【分析】本题主要考查了旋转作图、勾股定理等知识点，根据旋转的性质正确作图成为解题的关键.

(1)先利用旋转的性质分别得出对应点的位置，然后再顺次连接即可；

(2)直接利用勾股定理得出线段BBI的长度.

【详解】⑴解：如图：AAiBiC即为所求.

(2)解：线段BBi的长度为：V32+32=3V2.

【考点题型十二】利用弦、弧