高中数学复习考点38 正态分布和条件概率（讲解）（解析版）

考点38正态分布与条件概率【思维导图】【常见考法】考点一条件概率1．从1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2个数，事件A为“第一次取到的是奇数”，B为“第二次取到的是3的整数倍”，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意事件为“第一次取到的是奇数且第二次取到的是3的整数倍”：若第一次取到的为3或9，第二次有2种情况；若第一次取到的为1，5，7，第二次有3种情况，故共有个事件由条件概率的定义：故选：B2．将三枚骰子各掷一次，设事件为“三个点数都不相同”，事件为“至少出现一个6点”，则概率的值为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵P（A|B）=P（AB）÷P（B），P（AB）==P（B）=1-P（）=1-=1-=∴P（A/B）=P（AB）÷P（B）==故选A．3．已知某同学在高二期末考试中，A和B两道选择题同时答对的概率为，在A题答对的情况下，B题也答对的概率为，则A题答对的概率为()A． B． C． D．【答案】B【解析】设事件A：答对A题，事件B：答对B题，则，..故选：B.4．已知随机事件，且，，，则______.【答案】【解析】因为，，所以，所以.故答案为：.考点二正态分布1．已知，且，则（）A． B． C． D．【答案】D【解析】∵，∴，所以．故选：D．2．已知随机变量服从正态分布，且，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题可知，，由于，所以，，因此，，故选:B.3．“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗，2020年春节前夕，市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标．（1）求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值服从正态分布，利用该正态分布，求落在内的概率；②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于内的包数为，求的分布列和数学期望及方差．附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为；②若，则，．【答案】（1）26.5；（2）①0.1359；②分布列见解析，数学期望为2，方差为1．【解析】（1）根据频率分布直方图可得各组的频率为：，的频率为：，，的频率为：，，的频率为：，，的频率为：，，的频率为：，所以所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数为：．（2）①服从正态分布，且，，落在内的概率是0.1359．②根据题意得每包速冻水饺的质量指标值位于内的概率为，，的可能取值分别为：0，1，2，3，4，，，，，，的分布列为：01234，，．4．某公司采购了一批零件，为了检测这批零件是否合格，从中随机抽测120个零件的长度（单位：分米），按数据分成，，，，，这6组，得到如图所示的频率分布直方图，其中长度大于或等于1.59分米的零件有20个，其长度分别为1.59，1.59，1.61，1.61，1.62，1.63，1.63，1.64，1.65，1.65，1.65，1.65，1.66，1.67，1.68，1.69，1.69，1.71，1.72，1.74，以这120个零件在各组的长度的频率估计整批零件在各组长度的概率.（1）求这批零件的长度大于1.60分米的频率，并求频率分布直方图中，，的值；（2）若从这批零件中随机选取3个，记为抽取的零件长度在的个数，求的分布列和数学期望；（3）若变量满足且，则称变量满足近似于正态分布的概率分布.如果这批零件的长度（单位：分米）满足近似于正态分布的概率分布，则认为这批零件是合格的将顺利被签收；否则，公司将拒绝签收.试问，该批零件能否被签收？【答案】（1），，；（2）分布列见解析，2.1；（3）能被该公司签收.【解析】（1）由题意可知120件样本零件中长度大于1.60分米的共有18件，则这批零件的长度大于1.60分米的频率为，记为零件的长度，则，，，故，，.（2）由（1）可知从这批零件中随机选取1件，长度在的概率.且随机变量服从二项分布，则，，，故随机变量的分布列为01230.0270.1890.4410.343（或）.（3）由题意可知，，则；，因为，，所以这批零件的长度满足近似于正态分布的概率分布.应认为这批零件是合格的，将顺利被该公司签收.5．某网购平台为帮助某贫困县脱贫致富，积极组织该县农民制作当地特产——腊排骨，并通过该网购平台销售，从而大大提升了该县农民的经济收入.年年底，某单位从通过该网购平台销售腊排骨的农户中随机抽取了户，统计了他们年因制作销售腊排骨所获纯利润（单位：万元）的情况，并分成以下五组：、、、、，统计结果如下表所示：所获纯利润（单位：万元）农户户数（1）据统计分析可以认为，该县农户在该网购平台上销售腊排骨所获纯利润（单位：万元）近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.若该县有万户农户在该网购平台上销售腊排骨，试估算所获纯利润在区间内的户数.（每区间数据用该区间的中间值表示）（2）为答谢该县农户的积极参与，该网购平台针对参与调查的农户举行了抽奖活动，每人最多有次抽奖机会，每次抽奖的中奖率均为.每一次抽奖，若中奖，则可继续进行下一次抽奖，若未中奖，则活动结束，每次中奖的奖金都为元.求参与调查的某农户所获奖金的数学期望.参考数据：若随机变量服从正态分布，则，.【答案】（1）；（2）元.【解析】（1）由题意知：中间值频率样本的平均数为，所以，所以，而.故万户农户中，落在区间内的户数约为；（2）设中奖次数为，则的可能取值为、、、、、，则，所以.令，①，②由①②得：，，所以（元）.所以参与调查的某农户所获奖金的数学期望为元.6．2020年，新冠状肺炎疫情牵动每一个中国人的心，危难时刻众志成城，共克时艰，为疫区助力．福建省漳州市东山县共101个海鲜商家及个人为缓解武汉物质压力，募捐价值百万的海鲜输送武汉．东山岛，别称陵岛，形似蝴蝶亦称蝶岛，隶属于福建省漳州市东山县，是福建省第二大岛，中国第七大岛，介于厦门市和广东省汕头之间，东南是著名的闽南渔场和粤东渔场交汇处，因地理位置发展海产品养殖业具有得天独厚的优势．根据养殖规模与以往的养殖经验，某海鲜商家的海产品每只质量（克）在正常环境下服从正态分布．（1）随机购买10只该商家的海产品，求至少买到一只质量小于265克该海产品的概率；（2）2020年该商家考虑增加先进养殖技术投入，该商家欲预测先进养殖技术投入为49千元时的年收益增量．现用以往的先进养殖技术投入（千元）与年收益增量（千元）．的数据绘制散点图，由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线的附近，且，，其中．根据所给的统计量，求y关于x的回归方程，并预测先进养殖技术投入为49千元时的年收益增量．附：若随机变量，则;对于一组数据，其回归线的斜率和截距的最小二乘估计分别为．【答案】（1）0.0129．（2），年收益增量为576.6千元．【解析】（1）由已知，单只海产品质量，则，由正态分