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文档简介

2024-2025学年上海市浦东新区九年级(上)期中数学试卷

一、选择题(本大题共6题,每题4分,满分24分)

1.(4分)若线段a,b,c,1成比例,其中a=3c机,b=6cm,c=2cm,则d的值为()

A.1cmB.1cmC.3cmD.4cm

2.(4分)下列命题一定正确的是()

A.两个等腰三角形一定相似

B.两个等边三角形一定相似

C.两个直角三角形一定相似

D.两个含有30°角的三角形一定相似

3.(4分)在△48C中,ZC=90°,coS=3,NC=6,则N2的长度为()

5

A.8B.10C.12D.14

4.(4分)下列命题中,正确的命题有()

①若偏=R则之=限@|AH=IBAI;③若;"Vb//c-则④若之〃E,则鼠芯的方向

相同或相反.

A.4个B.3个C.2个D.1个

5.(4分)如图,D、£分别是△N8C的边/3、8c上的点,S.DE//AC,AE、CD相交于点O,若

A.1:3B.1:4C.1:5D.1:25

6.(4分)如图,在直角梯形N5CD中,AB±BC.EP是梯形的中位线,AB//DH.AD=\.BC=3,CD=

4.有下列4个结论:①/BCD=60°,@)EH=2,③四边形E77CF是菱形,@/\EHB^/\CEB.其

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A.1个B.2个C.3个D.4个

二、填空题(本大题共12题,每题4分,满分48分)

7.(4分)如果x:y=5:3,那么三匕=.

y

8.(4分)在比例尺是1:500000的图纸上,量得两点之间的距离是12厘米,这两点的实际距离是

千米.

9.(4分)设点尸是线段48的黄金分割点(APVBP),/3=2厘米,那么线段AP的长是

厘米.

10.(4分)计算:蒋(2a+b)=-----------------------------------

11.(4分)如图,在平面直角坐标系内有一点P(5,12),那么。尸与x轴正半轴的夹角a的正弦

值.

1

x

12.(4分)如图,直线/D〃2E〃CRBC2AB,DE=6,那么斯的值是_______.

3

C]Y

13.(4分)已知点G是等腰直角三角形N2C的重心,AC=BC=6,那么NG的长为__________________.

14.(4分)等腰三角形中,如果腰与底边之比为5:8,那么底角的余弦值为.

15.(4分)如图,在△NBC中,边2C=60,高40=40,四边形EFG8是内接矩形,HG交AD于P,设

HE=x,则矩形EFGH的面积S与x的函数关系式.

16.(4分)在△N8C中,AB=5,8C=8,乙8=60°,贝(ISMBC=(结果保留根号)

17.(4分)边长分别为10,6,4的三个正方形拼接在一起,它们的底边在同一直线上(如图),则图中阴

影部分的面积为.

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10

18.(4分)在每个小正方形的边长都为1的网格图形中,每个小正方形的顶点称为格点,顶点都是格点的

三角形称为格点三角形.如图,已知△/SC是4义6的网格图形中的格点三角形,则该图中所有与△A8C

相似的格点三角形中,最大的三角形面积是.

三、解答题(本大题共7题,满分78分)

19.(10分)计算:2sin245°+2sin60°-tan30°,tan45°.

20.(10分)如图,已知锐角△/BC的边8c长40厘米,高/“为30厘米,矩形DEFG的一边£/在边

3c上,顶点。、G分别在/5、NC上.如果矩形DEFG的长是宽的2倍,求即的长.

21.(10分)已知:如图,是△/BC的角平分线,过点8、C分别作的垂线,垂足分别为尸、,E,

CF和班相交于点尸,连接AP.

(1)求证:

(2)求证:EC//AP.

22.(10分)2024西安城墙新春灯会聚焦了文化、科技、数字、环保、演艺五大热门元素.部分灯组将文

物与灯会相融合,如气势磅礴的《祥龙贺春》灯组便在“中华第一龙”红山玉龙与浮雕龙纹宫灯石柱的

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基础上进行制作展示(如图①).张敏和赵雷两人去城墙灯会游览,看到龙灯十分壮观,他们合作完成

寒假作业的实践活动报告.

活动报告

课题测量龙灯最高点到地面的高度

目的运用相似三角形与三角函数解决实际问题

工具标杆、皮尺、测角仪、激光笔等

测量方案及1如图②,张敏在D处用测角仪测得龙灯最高

:

示意图点N的仰角/NO8为31°,赵雷在。处竖立

高3米的标杆CD,利用激光笔测得地面上的

B

DE点E、点N和点C在一条直线上,DE=6米.

图②

说明AB1BE,CDLBE,点、B、D、£在一条水平线上,图中所有点都在同一平面内,sin31°弋

0.52,cos31°=0.86tan31°"0.60,测角仪、激光笔与地面的距离忽略不计.

安全测量过程中注意自己及他人的安全.

请你根据活动报告求出龙灯最高点到地面的高度N8.

图①

23.(12分)已知,在菱形4BCD中,CFLAB,垂足为E,CE与3。相交于点尸.

(1)求证:延=受;

BEEF

(2)求证:DF-DB=2BC2.

24.(12分)如图,在直角坐标系中,A(-1,0),B(2,3),点8绕着点/顺时针旋转30°得到〃.

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(1)求直线的表达式;

(2)求直线的表达式;

(3)若平面内有一点C,使△/BC是以48为腰的等腰三角形且与△NAS'相似,求点C的坐标.

备用图

25.(14分)折纸是我国传统的民间艺术,通过折纸不仅可以得到许多美丽的图形,折纸的过程还蕴含着

丰富的数学知识,在综合与实践课上,老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展了数学活动.

(1)操作判断:

在40上选一点尸,沿AP折叠,使点/落在正方形内部的点M处,把纸片展平,过M作即〃2c交

45、CD、BP于点、E、F、N,连接PM并延长交CD于点。,连接3。,如图①,当E为N8中点时,

4PMN是三角形.

(2)迁移探究:

如图②,若BE=5,且MaMFulO,求正方形N5CD的边长.

(3)拓展应用:

如图③,若躯』直接写出CQ的值为.

BCnBC

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2024-2025学年上海市浦东新区九年级(上)期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共6题,每题4分,满分24分)

1.【解答】解:•..四条线段。、b、c、d成比例,

♦.a:d,

."=6X2+3=4(cm).

故选:D.

2.【解答】解:A,等腰三角形的角度不一定相等,各边也不一定对应成比例,故/不正确;

8、两个等边三角形的各角度都为60°,所以两个三角形相似,故8正确;

C、两个直角三角形只有一个直角可以确定相等,其他两个角度未知,故C不正确;

C、两个含30°角的三角形只有一对30°角可以确定相等,其他两个角度未知故。不正确;

故选:B.

3.【解答]解:在△N8C中,ZC=90°

C0S/=A^=3,

AB5

.,.AB——X.6—10.

3

故选:B.

4•【解答】解:①若有=|芯,则W,E不一定相等,故①不符合题意;

@|AB|=|BA|.正确,故②符合题意;

③若Z//E,力飞则Z,3不一定平行,③不符合题意;

④若之〃总则彳、4的方向相同或相反,正确,故④符合题意.

因此正确的命题有②④.

故选:C.

5.【解答]解:':DE//AC,

:.LDEOsACAO,

...也些=(DE)2=工

,△AOCAC25

:.DE:AC=BE:5C=1:5,

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:.BE:EC=1:4,

:・SABED:&DEC=1:4,

6.【解答】角轧在RtZXOC“中,CD=4,CH=CB-BH=2,

:.ZDCH=60°,即N5CD=60°,

在四边形EMC下中,又CH=EF=2,CH//EF,CF=1-CD=2,

2

...四边形EMC尸是菱形,

:/BCD=60:四边形成兀户是菱形,

/.ZHEF=60°,

;./HEC=3Q°,

:./BEH=30°,

ABHEsABEC.

故正确答案为①②③④,

故选:D.

二、填空题(本大题共12题,每题4分,满分48分)

7.【解答】解:了=5:3,

/.x--f.=--1=5-1=2;

yy33

故答案为:1.

3

8.【解答】解:124---1—=6000000(厘米),

500000

6000000厘米=60千米;

答:这两点的实际距离是60千米,

故答案为:60.

9.【解答】解::点尸是线段N5的黄金分割点,AP<BP,

...族=遍-145=(75-1)厘米.

2

故答案为:(&-1).

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10.【解答】解:(;4-b)-j(2a+b)

222

3)b

a-a-

22

-b.

故答案为:-b.

11.【解答]解:过点尸作尸轴于点4,

•:P(5,12),

.*.0/4=5,尸4=12,

:.OP=13,

:.OP与x轴正半轴所夹的角的正弦值为:sinN尸。4=F2=」2.

OP13

故答案为:丝.

13

12.【解答】解:〈AD〃BE〃CF,BC咯AB,

3

•.•—DE——AB_3—f

EFBC2

即互卫

EF2

解得:EF=4

故答案为:4.

13.【解答】解::G是等腰直角△N8C的重心,AC=BC=6,

第8页(共18页)

;.CD=LC=3,

2

由勾股定理得:40=五以/=3遥,

:.AG=^-X375=275,

3

故答案为:

14.【解答】解:过/作NOL8C,垂足为D,如图,

:腰与底边之比为5:8,

.•.设N8=/C=5a,BC=8a,

,:/\ABC是等腰三角形,

:.BD=^BC=4a,

2

/.cos5=^P-=A.

AB5

故答案为:A.

5

15.【解答】解::四边形是内接矩形,AD1BC,

C.HG//BC,四边形EDP8为矩形,

:.AD±HG,DP=HE=x,

:4D=40,

:.AP=4Q-x,

':HG//BC,

:./\AHG^^ABC,

第9页(共18页)

•HGAP即HG40-x

BCAD6040

整理得:HG=12°;3X,

S=HG-HE=x(I".迎)=-yx2+60x,

即S=~yx2+60x-

故答案为:S=-^-X2+60X-

16.【解答】解:*3=5,Z5=6O°,

.,.△/BC中,BC边上的高=$出60°*48=返_乂5=殳应

22

V5C=8,

...S^sc=—X8X5^3_=1073;

22

故答案为:10底.

17.【解答]解:如图,

'.,BF//DE,

:./\ABF^/\ADE,

•AB^BF,

"ADDE'

":AB=4,/D=4+6+10=20,DE=IQ,

•-•4,_BF,

2010

:.BF=2,

:.GF=6-2=4,

'JCK//DE,

:.AACKsAADE,

.AC-CK

ADDE

•・ZC=4+6=10,4Q=20,DE=lOf

・・坨=盥

"20l0,

:.CK=5,

:・HK=6-5=1,

,阴影梯形的面积=▲(HK+GFXGH

2

第10页(共18页)

=Xx(1+4)X6

2

=15.

故答案为:15.

18•【解答】解:图中所有与△NBC相似的格点三角形中,最大的B'C如图所示:

故答案为4.5.

三、解答题(本大题共7题,满分78分)

2V3V3

19.【解答】解:原式=2X+2XV;-售x1

20.【解答】解:如图,设/〃交。G于点K,设M=x厘米,O£=y厘米.

,:DG〃BC,

:.AADG^AABCf

第11页(共18页)

:.AH±DG,

•DG=AK;

"BCAH"

•-•--x-_3-0----y-,

4030

3

•x.°4X

••,

4030

解得x=24.

当y=2x时,同法可得工=30-2x,

4030

解得x=@.

11

综上所述,所的长为24厘米或侬厘米.

11

21.【解答】证明:(1)平分NA4C,

ZBAF=ZCAE,

又;BFLAD,CELAD,

:.ZBFA=ZAEC=90°,

:.AABpsAACE.

(2)由(1)有ELSL

AEEC

,:BF1AD,CELAD,

,.BF//EC,

,PFBF

•-------二-------!

PCEC

,•-A-F---P-F-,

AEPC

,.AP//EC.

22•【解答】解:在RC48O中,tanZADB^--

BD

•••BD=ABAB

tan31076

VZABE=ZCDE=90°,ZAEB=ZCED,

:.AABEsACDE,

•••A~BB,E

CDDE

第12页(共18页)

即杷_BD+6,

V=6

.AB

・-2研二匹+&

0.6

:.AB=1S.

龙灯最高点到地面的高度48为18米.

23.【解答】证明:(1)•..四边形是菱形,

:.DC//AB,DC=AB,

J.DC//BE,

:.ADCFsABEF,

DC-C--F-1

BEEF

AB

一CF

BEEF-

(2)联结/C交AD于点区则

AZDHC=90°,

-:CF±AB,垂足为£,

:.NDCF=/BEC=90°,

ZDHC=ZDCF,

,:ZHDC=ZCDF,

:.AHDCs^CDF,

•DH=DC;

"DCDF'

J.DF'DH^DC1,

":DH=BH=LDB,DC=BC,

2

:.DF,LDB=BC?,

2

C.DF-DB^IBC1.

24.【解答】解:(1)设直线为y=fcr+6,把N(-1,0),B(2,3)代入解析式得:

第13页(共18页)

1-k+b=O,

(2k+b=3,

解得:『,

Ib=l

直线为y=x+l;

(2)如图1,由题意得/BAB'=30°,AB'=AB=7(-1-2产+(0-3)2

过8作80_Lx轴于。,交48吁G,过夕作3H_Lx轴于“,在上取点RAF=B'F,如图1,

图1

,/0=8。=3,ZBAQ=45°,ZB'AH=45°-30°=15°,

:.ZHAB'=ZAB'F=150,NB'FH=30°,

设B'H=m,则AF=FB'=2m,FH=V§IT,

•••AH=AF+FH=Em+2m=(2+V3)IT,

・,•tan/B,AH—“为、=2,

AH(2+V3)m

,:B(2,3),BQLAH,

XG=2,粤=2W§,

GAQ

•••QG=3(2-V3)=6-3V3-

;.G(2,6-373),

设直线AB,为y=mx+n,

.J-mtn=0

l2m+n=6-3V3

解得Jm=2-愿,

,n=2-V3

直线/夕为丫=(2-V3)x+2-V3;

(3)由题意可得:ZUB9为等腰三角形,AB=AB,=3如,ZBAB'=3O°,

而△/2C是以AB为腰的等腰三角形且与△489相似,

第14页(共18页)

:.ZBAC=30°或NABC=30°,

如图2,当/及1C=3O°,AB=AC=3M,此时满足条件;

:.ZCAO=30°+45°=75°,过C作O7_Lx轴于J,

图2

,//0/=90°-75°=15°,

由tanl5°=2-愿,设AJ=(2-g)t,则CJ=t,

2222

­•t+(2-V3)t=(3V2)-

解得:=•3^1^+3,to=+3(不合题意,舍去),

rl222

•'-OJ=AJ-AO=(2-V3)X3*+3_]=3V|-5,

•_/3V3-53^3+3、

当b与C重合时,显然满足条件,

此时同理可得:AH=CJ=32/1+3JB,H=AJ-3*-3,

•e3A/3+3,3V3+1

••0H「一-1「一

此时c(32+1,32/3-3.

当NABCi=30°,AB=BC[=3五时,满足条件;

过Cl作GL〃/O,交y轴于M,过8作8CC也于L如图3,

第15页(共18页)

y

图3

ZBC1A=ZC1AB=y(180°-30°)=75°,Z0^0=75°+45°=120°,/1€力=180°-120°=60°

・・・N5G£=75°-60°=15°,

同理可得:C[L=CJ=^|授,BL=AJ铐3,

・•.CN%L-Lh宇,。--牛=学,

•cz1-3739-丽、

•£(2,2A

如图,当NABC2=30°,AB=BC2=3五时,满足条件;

过3作3"〃、轴,过。2作C2N_LBN于N,如图4,

同理可得:/cRN=15°,BN=CJ-3丐+3,c/=AJ=等心

k

AOJAHx

图4

•c3V3-37-3V3,373+3c、3-3愿

•.xc/22=2,VC/(2G=2,

.cz7-3V33-3V3\

•。(2,2>_

综上C的坐标为:c(3«-5啦+3)或(&&L则衿)或(与区,9-萨)或

S22712

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