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文档简介
2024-2025学年上海市浦东新区九年级(上)期中数学试卷
一、选择题(本大题共6题,每题4分,满分24分)
1.(4分)若线段a,b,c,1成比例,其中a=3c机,b=6cm,c=2cm,则d的值为()
A.1cmB.1cmC.3cmD.4cm
2.(4分)下列命题一定正确的是()
A.两个等腰三角形一定相似
B.两个等边三角形一定相似
C.两个直角三角形一定相似
D.两个含有30°角的三角形一定相似
3.(4分)在△48C中,ZC=90°,coS=3,NC=6,则N2的长度为()
5
A.8B.10C.12D.14
4.(4分)下列命题中,正确的命题有()
①若偏=R则之=限@|AH=IBAI;③若;"Vb//c-则④若之〃E,则鼠芯的方向
相同或相反.
A.4个B.3个C.2个D.1个
5.(4分)如图,D、£分别是△N8C的边/3、8c上的点,S.DE//AC,AE、CD相交于点O,若
A.1:3B.1:4C.1:5D.1:25
6.(4分)如图,在直角梯形N5CD中,AB±BC.EP是梯形的中位线,AB//DH.AD=\.BC=3,CD=
4.有下列4个结论:①/BCD=60°,@)EH=2,③四边形E77CF是菱形,@/\EHB^/\CEB.其
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A.1个B.2个C.3个D.4个
二、填空题(本大题共12题,每题4分,满分48分)
7.(4分)如果x:y=5:3,那么三匕=.
y
8.(4分)在比例尺是1:500000的图纸上,量得两点之间的距离是12厘米,这两点的实际距离是
千米.
9.(4分)设点尸是线段48的黄金分割点(APVBP),/3=2厘米,那么线段AP的长是
厘米.
10.(4分)计算:蒋(2a+b)=-----------------------------------
11.(4分)如图,在平面直角坐标系内有一点P(5,12),那么。尸与x轴正半轴的夹角a的正弦
值.
1
x
12.(4分)如图,直线/D〃2E〃CRBC2AB,DE=6,那么斯的值是_______.
3
若
C]Y
13.(4分)已知点G是等腰直角三角形N2C的重心,AC=BC=6,那么NG的长为__________________.
14.(4分)等腰三角形中,如果腰与底边之比为5:8,那么底角的余弦值为.
15.(4分)如图,在△NBC中,边2C=60,高40=40,四边形EFG8是内接矩形,HG交AD于P,设
HE=x,则矩形EFGH的面积S与x的函数关系式.
16.(4分)在△N8C中,AB=5,8C=8,乙8=60°,贝(ISMBC=(结果保留根号)
17.(4分)边长分别为10,6,4的三个正方形拼接在一起,它们的底边在同一直线上(如图),则图中阴
影部分的面积为.
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10
18.(4分)在每个小正方形的边长都为1的网格图形中,每个小正方形的顶点称为格点,顶点都是格点的
三角形称为格点三角形.如图,已知△/SC是4义6的网格图形中的格点三角形,则该图中所有与△A8C
相似的格点三角形中,最大的三角形面积是.
三、解答题(本大题共7题,满分78分)
19.(10分)计算:2sin245°+2sin60°-tan30°,tan45°.
20.(10分)如图,已知锐角△/BC的边8c长40厘米,高/“为30厘米,矩形DEFG的一边£/在边
3c上,顶点。、G分别在/5、NC上.如果矩形DEFG的长是宽的2倍,求即的长.
21.(10分)已知:如图,是△/BC的角平分线,过点8、C分别作的垂线,垂足分别为尸、,E,
CF和班相交于点尸,连接AP.
(1)求证:
(2)求证:EC//AP.
22.(10分)2024西安城墙新春灯会聚焦了文化、科技、数字、环保、演艺五大热门元素.部分灯组将文
物与灯会相融合,如气势磅礴的《祥龙贺春》灯组便在“中华第一龙”红山玉龙与浮雕龙纹宫灯石柱的
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基础上进行制作展示(如图①).张敏和赵雷两人去城墙灯会游览,看到龙灯十分壮观,他们合作完成
寒假作业的实践活动报告.
活动报告
课题测量龙灯最高点到地面的高度
目的运用相似三角形与三角函数解决实际问题
工具标杆、皮尺、测角仪、激光笔等
测量方案及1如图②,张敏在D处用测角仪测得龙灯最高
:
示意图点N的仰角/NO8为31°,赵雷在。处竖立
高3米的标杆CD,利用激光笔测得地面上的
B
DE点E、点N和点C在一条直线上,DE=6米.
图②
说明AB1BE,CDLBE,点、B、D、£在一条水平线上,图中所有点都在同一平面内,sin31°弋
0.52,cos31°=0.86tan31°"0.60,测角仪、激光笔与地面的距离忽略不计.
安全测量过程中注意自己及他人的安全.
请你根据活动报告求出龙灯最高点到地面的高度N8.
图①
23.(12分)已知,在菱形4BCD中,CFLAB,垂足为E,CE与3。相交于点尸.
(1)求证:延=受;
BEEF
(2)求证:DF-DB=2BC2.
24.(12分)如图,在直角坐标系中,A(-1,0),B(2,3),点8绕着点/顺时针旋转30°得到〃.
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(1)求直线的表达式;
(2)求直线的表达式;
(3)若平面内有一点C,使△/BC是以48为腰的等腰三角形且与△NAS'相似,求点C的坐标.
备用图
25.(14分)折纸是我国传统的民间艺术,通过折纸不仅可以得到许多美丽的图形,折纸的过程还蕴含着
丰富的数学知识,在综合与实践课上,老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展了数学活动.
(1)操作判断:
在40上选一点尸,沿AP折叠,使点/落在正方形内部的点M处,把纸片展平,过M作即〃2c交
45、CD、BP于点、E、F、N,连接PM并延长交CD于点。,连接3。,如图①,当E为N8中点时,
4PMN是三角形.
(2)迁移探究:
如图②,若BE=5,且MaMFulO,求正方形N5CD的边长.
(3)拓展应用:
如图③,若躯』直接写出CQ的值为.
BCnBC
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2024-2025学年上海市浦东新区九年级(上)期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共6题,每题4分,满分24分)
1.【解答】解:•..四条线段。、b、c、d成比例,
♦.a:d,
."=6X2+3=4(cm).
故选:D.
2.【解答】解:A,等腰三角形的角度不一定相等,各边也不一定对应成比例,故/不正确;
8、两个等边三角形的各角度都为60°,所以两个三角形相似,故8正确;
C、两个直角三角形只有一个直角可以确定相等,其他两个角度未知,故C不正确;
C、两个含30°角的三角形只有一对30°角可以确定相等,其他两个角度未知故。不正确;
故选:B.
3.【解答]解:在△N8C中,ZC=90°
C0S/=A^=3,
AB5
.,.AB——X.6—10.
3
故选:B.
4•【解答】解:①若有=|芯,则W,E不一定相等,故①不符合题意;
@|AB|=|BA|.正确,故②符合题意;
③若Z//E,力飞则Z,3不一定平行,③不符合题意;
④若之〃总则彳、4的方向相同或相反,正确,故④符合题意.
因此正确的命题有②④.
故选:C.
5.【解答]解:':DE//AC,
:.LDEOsACAO,
...也些=(DE)2=工
,△AOCAC25
:.DE:AC=BE:5C=1:5,
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:.BE:EC=1:4,
:・SABED:&DEC=1:4,
6.【解答】角轧在RtZXOC“中,CD=4,CH=CB-BH=2,
:.ZDCH=60°,即N5CD=60°,
在四边形EMC下中,又CH=EF=2,CH//EF,CF=1-CD=2,
2
...四边形EMC尸是菱形,
:/BCD=60:四边形成兀户是菱形,
/.ZHEF=60°,
;./HEC=3Q°,
:./BEH=30°,
ABHEsABEC.
故正确答案为①②③④,
故选:D.
二、填空题(本大题共12题,每题4分,满分48分)
7.【解答】解:了=5:3,
/.x--f.=--1=5-1=2;
yy33
故答案为:1.
3
8.【解答】解:124---1—=6000000(厘米),
500000
6000000厘米=60千米;
答:这两点的实际距离是60千米,
故答案为:60.
9.【解答】解::点尸是线段N5的黄金分割点,AP<BP,
...族=遍-145=(75-1)厘米.
2
故答案为:(&-1).
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10.【解答】解:(;4-b)-j(2a+b)
222
3)b
a-a-
22
-b.
故答案为:-b.
11.【解答]解:过点尸作尸轴于点4,
•:P(5,12),
.*.0/4=5,尸4=12,
:.OP=13,
:.OP与x轴正半轴所夹的角的正弦值为:sinN尸。4=F2=」2.
OP13
故答案为:丝.
13
12.【解答】解:〈AD〃BE〃CF,BC咯AB,
3
•.•—DE——AB_3—f
EFBC2
即互卫
EF2
解得:EF=4
故答案为:4.
13.【解答】解::G是等腰直角△N8C的重心,AC=BC=6,
第8页(共18页)
;.CD=LC=3,
2
由勾股定理得:40=五以/=3遥,
:.AG=^-X375=275,
3
故答案为:
14.【解答】解:过/作NOL8C,垂足为D,如图,
:腰与底边之比为5:8,
.•.设N8=/C=5a,BC=8a,
,:/\ABC是等腰三角形,
:.BD=^BC=4a,
2
/.cos5=^P-=A.
AB5
故答案为:A.
5
15.【解答】解::四边形是内接矩形,AD1BC,
C.HG//BC,四边形EDP8为矩形,
:.AD±HG,DP=HE=x,
:4D=40,
:.AP=4Q-x,
':HG//BC,
:./\AHG^^ABC,
第9页(共18页)
•HGAP即HG40-x
BCAD6040
整理得:HG=12°;3X,
S=HG-HE=x(I".迎)=-yx2+60x,
即S=~yx2+60x-
故答案为:S=-^-X2+60X-
16.【解答】解:*3=5,Z5=6O°,
.,.△/BC中,BC边上的高=$出60°*48=返_乂5=殳应
22
V5C=8,
...S^sc=—X8X5^3_=1073;
22
故答案为:10底.
17.【解答]解:如图,
'.,BF//DE,
:./\ABF^/\ADE,
•AB^BF,
"ADDE'
":AB=4,/D=4+6+10=20,DE=IQ,
•-•4,_BF,
2010
:.BF=2,
:.GF=6-2=4,
'JCK//DE,
:.AACKsAADE,
.AC-CK
ADDE
•・ZC=4+6=10,4Q=20,DE=lOf
・・坨=盥
"20l0,
:.CK=5,
:・HK=6-5=1,
,阴影梯形的面积=▲(HK+GFXGH
2
第10页(共18页)
=Xx(1+4)X6
2
=15.
故答案为:15.
18•【解答】解:图中所有与△NBC相似的格点三角形中,最大的B'C如图所示:
故答案为4.5.
三、解答题(本大题共7题,满分78分)
2V3V3
19.【解答】解:原式=2X+2XV;-售x1
20.【解答】解:如图,设/〃交。G于点K,设M=x厘米,O£=y厘米.
,:DG〃BC,
:.AADG^AABCf
第11页(共18页)
:.AH±DG,
•DG=AK;
"BCAH"
•-•--x-_3-0----y-,
4030
3
•x.°4X
••,
4030
解得x=24.
当y=2x时,同法可得工=30-2x,
4030
解得x=@.
11
综上所述,所的长为24厘米或侬厘米.
11
21.【解答】证明:(1)平分NA4C,
ZBAF=ZCAE,
又;BFLAD,CELAD,
:.ZBFA=ZAEC=90°,
:.AABpsAACE.
(2)由(1)有ELSL
AEEC
,:BF1AD,CELAD,
,.BF//EC,
,PFBF
•-------二-------!
PCEC
,•-A-F---P-F-,
AEPC
,.AP//EC.
22•【解答】解:在RC48O中,tanZADB^--
BD
•••BD=ABAB
tan31076
VZABE=ZCDE=90°,ZAEB=ZCED,
:.AABEsACDE,
•••A~BB,E
CDDE
第12页(共18页)
即杷_BD+6,
V=6
.AB
・-2研二匹+&
0.6
:.AB=1S.
龙灯最高点到地面的高度48为18米.
23.【解答】证明:(1)•..四边形是菱形,
:.DC//AB,DC=AB,
J.DC//BE,
:.ADCFsABEF,
DC-C--F-1
BEEF
AB
一CF
BEEF-
(2)联结/C交AD于点区则
AZDHC=90°,
-:CF±AB,垂足为£,
:.NDCF=/BEC=90°,
ZDHC=ZDCF,
,:ZHDC=ZCDF,
:.AHDCs^CDF,
•DH=DC;
"DCDF'
J.DF'DH^DC1,
":DH=BH=LDB,DC=BC,
2
:.DF,LDB=BC?,
2
C.DF-DB^IBC1.
24.【解答】解:(1)设直线为y=fcr+6,把N(-1,0),B(2,3)代入解析式得:
第13页(共18页)
1-k+b=O,
(2k+b=3,
解得:『,
Ib=l
直线为y=x+l;
(2)如图1,由题意得/BAB'=30°,AB'=AB=7(-1-2产+(0-3)2
过8作80_Lx轴于。,交48吁G,过夕作3H_Lx轴于“,在上取点RAF=B'F,如图1,
图1
,/0=8。=3,ZBAQ=45°,ZB'AH=45°-30°=15°,
:.ZHAB'=ZAB'F=150,NB'FH=30°,
设B'H=m,则AF=FB'=2m,FH=V§IT,
•••AH=AF+FH=Em+2m=(2+V3)IT,
・,•tan/B,AH—“为、=2,
AH(2+V3)m
,:B(2,3),BQLAH,
XG=2,粤=2W§,
GAQ
•••QG=3(2-V3)=6-3V3-
;.G(2,6-373),
设直线AB,为y=mx+n,
.J-mtn=0
l2m+n=6-3V3
解得Jm=2-愿,
,n=2-V3
直线/夕为丫=(2-V3)x+2-V3;
(3)由题意可得:ZUB9为等腰三角形,AB=AB,=3如,ZBAB'=3O°,
而△/2C是以AB为腰的等腰三角形且与△489相似,
第14页(共18页)
:.ZBAC=30°或NABC=30°,
如图2,当/及1C=3O°,AB=AC=3M,此时满足条件;
:.ZCAO=30°+45°=75°,过C作O7_Lx轴于J,
图2
,//0/=90°-75°=15°,
由tanl5°=2-愿,设AJ=(2-g)t,则CJ=t,
2222
•t+(2-V3)t=(3V2)-
解得:=•3^1^+3,to=+3(不合题意,舍去),
rl222
•'-OJ=AJ-AO=(2-V3)X3*+3_]=3V|-5,
•_/3V3-53^3+3、
当b与C重合时,显然满足条件,
此时同理可得:AH=CJ=32/1+3JB,H=AJ-3*-3,
•e3A/3+3,3V3+1
••0H「一-1「一
此时c(32+1,32/3-3.
当NABCi=30°,AB=BC[=3五时,满足条件;
过Cl作GL〃/O,交y轴于M,过8作8CC也于L如图3,
第15页(共18页)
y
图3
ZBC1A=ZC1AB=y(180°-30°)=75°,Z0^0=75°+45°=120°,/1€力=180°-120°=60°
・・・N5G£=75°-60°=15°,
同理可得:C[L=CJ=^|授,BL=AJ铐3,
・•.CN%L-Lh宇,。--牛=学,
•cz1-3739-丽、
•£(2,2A
如图,当NABC2=30°,AB=BC2=3五时,满足条件;
过3作3"〃、轴,过。2作C2N_LBN于N,如图4,
同理可得:/cRN=15°,BN=CJ-3丐+3,c/=AJ=等心
k
;
AOJAHx
图4
•c3V3-37-3V3,373+3c、3-3愿
•.xc/22=2,VC/(2G=2,
.cz7-3V33-3V3\
•。(2,2>_
综上C的坐标为:c(3«-5啦+3)或(&&L则衿)或(与区,9-萨)或
S22712
第16页(共18页)
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