2024-2025学年上海市某中学九年级上学期数学期中考试试卷（含详解）

徐汇中学2024学年初三年级第一学期

数学试卷

,选择题（本大题共6小题,每题4分，共24分）

1.下列各组线段中，成比例线段的组是（)

A.0.2cm,0.3cm,4cm,6cmB.1cm,3cm,4cm,8cm

C.3cm,4cm,5cm,8cmD.1.5cm,2cm,4cm,6cm

2.下列命题一定正确的是（）

A.两个等腰三角形一定相似B.两个等边三角形一定相似

C.两个直角三角形一定相似D.两个含有30。角的三角形一定相似

3.把抛物线y=-x2+l向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（）

A.y=-(x+3)2+1B.y=-(x+1)2+3

C.y=-(x-1)2+4D.y=-(x+1)2+4

4.如图，在VABC中，DE//BC,AD=2,BD=3,AC=10,则的长为()

A.3B.6C.5D.4

5.如图，梯形ABC。中，AB//CD,AC,瓦）交于O,下列等式正确的是（)

%AOD_A。SMOD_CDSAOD=DOSaAOQ_DO

A.B.D-------------

^/\AOBA5S^AOBA3OC

6.如图，是二次函数y=以2+法+。图象的一部分，直线x=—1是对称轴，且经过点（2,0）.有下列判断：①

2a-b=0,@16a-4b+c<0,©a-b+c=-9a,④若A(—3,%),3(1.5,%)是抛物线上两点，则%〉内.其中正确

的是（）

A.①③B.①④C.①③④D.②③④

二,填空题：(本大题共12小题，每题4分，共48分)

7已知x：y=l：3,那么(尤+y):y=.

8.如果地图上A,B两处图距是4c7〃，表示这两地的实际距离是200^71,那么实际距离是500km的两地在地图上的

图距是cm.

9.已知点尸是线段AB上的一点，且A。？如果AB=2,那么AP=.

10.若两个相似三角形的周长比为2：3,则它们的面积比是.

BE

11.如图，直线AD,交于点QAB〃跖〃CD,若49=5,OF=2,FD=3,则一的值为.

12.抛物线y=(x—1y+2与y轴交点的坐标为.

13.已知抛物线y=ax?+bx+c(a>0)的对称轴是直线x=2,且经过点P(3,1)，则a+b+c的值为.

14.如图，是VABC的中位线，点/在£)6上，。歹=23p，连接所并延长，与CB的延长线交于点若

8C=8,则线段的长为.

15.如图1是装了液体的长方体容器的主视图(数据如图)，将该容器绕地面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好接触到容

器口边缘,如图2所示,此时液面宽度AB=.

16.如图，点P是VA3C的重心，点。是边AC的中点，PE〃AC交BC于煎E,DF〃BC交EP于点、F.若四边形

CDEE的面积为6,则_A3C的面积为

17.如图,R3OAB的顶点A(-2,4)在抛物线y=ax2上，将Rt&OAB绕点0顺时针旋转90°,得到△OCD,边CD与该

抛物线交于点P,则点P的坐标为.

18.如图，在等腰直角VABC中，AC=2,加为边3C上任意一点，连接AM,将"CM沿AM翻折得到△ACM,

连接BC并延长交AC于点N,若点N为AC的中点,则CM的长为.

三,解答题：(本大题共7题,共10+10+10+10+12+12+14=78分)

19如图，AD\BE,BDCE.

(JAOB

⑴试说明二二

OB~oc

⑵若。4=4,47=12,求08的长.

20.在ABC中，AB=2,将，ABC绕点B逆时针旋转得到，MBN,且CN〃BM,MA的延长线与CN交于点P,若

AM=3,CN=—.

2

(1)求证：_ABMs_CBN.

(2)求AP的长.

21.如图,抛物线y=a(x-l)2+4与x轴交于点A,B,与】轴交于点C,过点C作CD〃x轴,交抛物线的对称轴于点

D,连结BD,已知点A坐标为(-1,0).

(1)求该抛物线的解析式.

(2)求梯形COBD的面积.

22.在初中物理中我们学过凸透镜的成像规律.如图MN为一凸透镜，尸是凸透镜的焦点.在焦点以外的主光轴上垂直

放置一小蜡烛透过透镜后呈的像为CD.光路图如图所示：经过焦点的光线AE,通过透镜折射后平行于主光轴，

并与经过凸透镜光心的光线AO汇聚于C点.若焦距O尸=4,物距03=6,小蜡烛的高度AB=1,求蜡烛的像CD的

长度以及像C£＞与透镜MN之间的距离.

M

23.已知，如图，在梯形ABCD中，AD//BC,4CD=90。，对角线AC,相交于点E,且ACIBD.

⑵点厂是边5c上一点，连接AF,与6D相交于点G,如果NBAF="8尸，求证：^=—.

AD2BD

24.如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=g?+bx+c(a>0)与无轴相交于点A(T,0)和点B,与y轴交于点

(1)求点C的坐标(用含。的代数式表示).

(2)连接AC,3C,若VA3C的面积为6,求此抛物线的表达式.

(3)在第(2)小题的条件下，点Q为无轴正半轴上一点，点G与点C,点尸与点A关于点0成中心对称，当△CGR为

直角三角形时,求点Q的坐标.

25.在VABC中，NACB=45°,点D(与点2,C不重合।为射线3C上一动点，连接AD,以AD为一边且在AD右

侧作正方形ADEF.

图①图②

(1)如果AB=AC.如图①，且点£>在线段3c上运动.试判断线段CV与之间的位置关系，并证明你的结论.

(2)如果AC,如图②，且点D在线段3c上运动.(1)中结论是否成立，为什么？

(3)若正方形AD所边DE所在直线与线段CE所在直线相交于点P,设AC=4后，BC=3,CD=x,求线段

CP的长.(用含x的式子表示)

徐汇中学2024学年初三年级第一学期

数学试卷

一,选择题（本大题共6小题,每题4分，共24分）

1.下列各组线段中，成比例线段的组是（）

A.0.2cm,0.3cm,4cm,6cmB.1cm,3cm,4cm,8cm

C3cm,4cm,5cm,8cmD.1,5cm,2cm,4cm,6cm

【答案】A

【解析】

【分析】根据比例线段的定义可各选项分别进行判断即可.

【详解】解：A,02x6=0.3x4,是成比例线段，故本选项符合题意.

B,Ix8w3x4,不是成比例线段,故本选项不符合题意.

C,3x8*4x5,不是成比例线段,故本选项不符合题意.

D,1.5x6。2x4,不是成比例线段,故本选项不符合题意.

故选：A

【点睛】本题考查了比例线段：对于四条线段6,c,4如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比

相等，如a:b=c:d（即〃=bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段.

2.下列命题一定正确的是（）

A.两个等腰三角形一定相似B.两个等边三角形一定相似

C.两个直角三角形一定相似D.两个含有30。角的三角形一定相似

【答案】B

【解析】

【分析】根据三角形相似的判定方法逐个分析,确定正确答案即可.

【详解】解：A,等腰三角形的角度不一定相等，各边也不一定对应成比例，故A不正确，

B,两个等边三角形的各角度都为60°,所以两个三角形相似,故B正确，

C,两个直角三角形只有一个直角可以确定相等,其他两个角度未知,故C不正确，

C,两个含30。角的三角形只有一对30。角可以确定相等,其他两个角度未知故D不正确，

故选：B.

【点睛】本题考查了三角形形相似的判定方法,常见的判断方法有如下几个：①两角对应相等两三角形相似,②两边对

应成比例且夹角相等,两个三角形相似,③三边对应成比例，两个三角形相似.

3.把抛物线y=-x2+l向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线解析式为（）

A.y=-（x+3）2+1B.y=-（x+1）2+3

C.y=-(x-1)2+4D.y=-（x+1）?+4

【答案】D

【解析】

【分析】根据二次函数图象左加右减,上加下减的平移规律进行求解.

【详解】解：抛物线产-N+i向左平移1个单位，得：产一（x+1）2+1.

然后向上平移3个单位，得：产-（x+1）2+1+3.

即y=_（x+1）2+4.

故选D.

4.如图，在VABC中，DE//BC,AD=2,BD=3,AC=10,则AE的长为（）

A.3B.6C.5D.4

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查了平行线分线段成比例,正确记忆行线截两条直线,所得的对应线段成比例是解题关键.根据平行线

分线段成比例由。石〃3c得到——=——,然后根据比例的性质可求出AE.

ABAC

【详解】解：石〃5C.

.ADAE

*'AB-AC-

AD=2,BD=3,AC=10.

•2AE

"2+3"1F,

•••AE=4.

故选：D.

5.如图，梯形ABC。中，AB//CD,AC,BD交于。，下列等式正确的是（）

S&AOD_DO

SA。。_D0

D.

SBOAOBS&BOC一记

【答案】c

【解析】

【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，三角形的面积公式,关键在于求出ABOsco。，推出相似比逐一

判断即可.

【详解】解：

Z.CDO=AOBA,ZDCO=ZOAB,SACD=SBCD.

,ABOsCDO.

.OPPCCD

"OB~OA~AB'

.SAOD_OD_CD"A。SCOD_(CDVSAOD_DOSAOQ_SA。」-SDOC_]

SAOBOBABABSAOB[AJBJBOAOBSBOCSBDC-SDOC

正确选项为c.

故答案为：c

6.如图，是二次函数丁=以2+法+。图象的一部分，直线％=—i是对称轴，且经过点(2,0).有下列判断：①

2a-b-0,@16a-4b+c<0,®a-b+c=-9a,④若A(-3,%),3(1.5,%)是抛物线上两点，则丹〉内•其中正确

【答案】C

【解析】

b

【分析】本题考查了利用二次函数的性质判断式子的正确性,①由对称轴得--=-1,即可判断,②由对称轴及(2,0)

2a

得与x轴的另一个交点为(—4,0),即可判断，③由①得b=2a,4a+2b+c=0,表示出c,代入即可判断，④由a<0

时到越靠近对称轴的点,对应的函数值越大，代入即可判断.

能熟练利用二次函数性质进行求解是解题的关键.

【详解】解：①•「直线x=—1是对称轴.

2a

2a-b=0.

故此项正确.

②当无=T时.

y=16a-4b+c.

直线x=-1是对称轴,且经过点(2,0).

二与x轴的另一个交点为(-4,0).

.•.当x=T时.

16a—4Z?+c=0.

故此项不正确.

③由①得：

b-2a.

•经过点(2,0).

:Aa-\-2b+c=0.

.,.4Q+4Q+C=0.

/.c=-8a.

a-b+c

=a—2d—8tz

——9〃.

故此项正确.

④•〃<0.

A到越靠近对称轴的点,对应的函数值越大.

—1—(—3)<1.5—(—1)

厂•%>%.

故此项正确.

故选：C.

二,填空题：(本大题共12小题，每题4分，共48分)

7.已知％：y=1:3,那么(x+y):y=.

4

【答案】-

3

【解析】

【分析】根据比例的性质即可求出答案.

【详解】解：=x:y=l:3.

.\3x=y,

4

(x+y):y=(%+3x):3x=—.

4

故答案为：—.

3

【点睛】本题考查比例的基本性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键.

8.如果地图上A,5两处的图距是4cm,表示这两地的实际距离是200E1,那么实际距离是500km的两地在地图上的

图距是cm.

【答案】10

【解析】

【分析】先设这个图距是xcm,根据图上距离比上实际距离等于比例尺,可得关于X的方程，即可求解.

【详解】设这个图距是

则4：20000000=x：50000000.

解得x=10.

故填：1。.

【点睛】本题考查了比例线段，解题关键是根据比例尺不变列出方程.

9.已知点P是线段上的一点，且A。？如果AB=2,那么AP=.

【答案】V5-l##-l+V5

【解析】

【分析】设"=%，则=2—羽再利用AP2=ABPB,建立方程,解方程并检验即可得到答案.

【详解】解:设AP=x，点尸是线段的上的一点，AB=2.

：.PB=2-x,

AP2=ABPB-

x?=2（2—x）,

整理得：X2+2X-4=0,

.工=4—4xlx（T）=20X）,

.•.x=~2±2^=-1±75,

2

x>0,

AP=x=y/5—1.

故答案为：石-1

【点睛】本题考查的是成比例的线段，一元二次方程的解法，掌握“利用公式法解一元二次方程”是解题的关键.

10.若两个相似三角形的周长比为2：3,则它们的面积比是.

【答案】4:9

【解析】

【详解】解：•••两个相似三角形的周长比为2：3.

.,•这两个相似三角形的相似比为2：3.

，它们的面积比是4：9.

故答案为：4：9.

考点：相似三角形的性质.

BE

11.如图，直线AD,交于点Q〃即〃CD,若AO=5,OF=2,FD=3,则——的值为.

EC

【解析】

【分析】本题考查了平行线分线段成比例的知识点，根据平行线分线段成比例找出线段之间的关系是解决本题的关

BFAF

键.由平行线分线段成比例可得，——=——，从而可得答案.

CEDF

【详解】解：：AB〃EF〃CD,49=5,OF=2,ED=3.

BE_AF_5+2_7

,.CE-DF-3一3.

7

故答案为：—.

3

12.抛物线y=(x—+2与y轴交点的坐标为.

【答案】(0,3)

【解析】

【分析】本题考查二次函数与坐标轴的交点问题，令x=o,求出y值,即可得出结果.

【详解】解：：y=(x—1丫+2.

...当尤=0时，y=(O—iy+2=3.

•••抛物线y=(x—I)?+2与y轴交点的坐标为(0,3).

故答案为：(0,3).

13.已知抛物线y=ax?+bx+c(a>0)的对称轴是直线x=2,且经过点P(3,1)，则a+b+c的值为

【答案】1

【解析】

【分析】由二次函数的对称性可知尸点关于对称轴对称的点为（1,1），故当x=l时可求得y值为1,即可求得答案.

【详解】解：..,抛物线广湛+6尤+。（。＞0）的对称轴是直线x=2.

：.P（3,1）对称点坐标为（1,1）,

/.当x=l时,y=l.

即a+b+c=l.

故答案为1.

【点睛】本题主要考查二次函数的性质，利用二次函数的对称性求得点（1,1）在其图象上是解题的关键.

14.如图，是VABC的中位线,点歹在£）6上，£方=2正，连接所并延长，与CB的延长线交于点若

8C=8,则线段的长为.

【答案】10

【解析】

【分析】本题主要考查了三角形中位线定理,相似三角形性质和判定,熟练掌握三角形中位线定理和相似三角形的判

定方法是解决问题的关键.根据三角形中中位线定理证得。石〃3C,求出。£,进而证得D即s,6M7,根据相似

三角形的性质求出比0,即可求出结论.

【详解】解：QE是VA3C的中位线，3c=8.

,\DE//BC,DE=-BC=-x8=4.

22

:.&DEFs,.BMF.

•_D__E_=_D__F_=__2_B_F_=2-

,BMBFBF

：.CM=BC+BM=10.

故答案为：10.

15.如图1是装了液体的长方体容器的主视图（数据如图），将该容器绕地面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好接触到容

器口边缘,如图2所示,此时液面宽度AB=.

图1图2

【答案】—cm

4

【解析】

【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质,平行线的判定与性质.熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.

如图，作3石上£>石于E,则NS£D=90。，由题意知，8£>=17,BC=6,BE=8,ZC=90°,AB//DE,

snBCAB6

AC//BD,则ZCAB=ZDBA=ZBDE,证明CAB^£Z汨，则一=——，即——=—，计算求解即可.

tBDBE178

【详解】解：如图,作鹿工DE于E,则NB£D=90°.

图2

由题意知，B£>=17,BC=6,BE=8,ZC=90°,AB//DE,AC//BD.

：.ZCAB=ZDBA=ZBDE.

又：NC=ZBED=90。.

CABs..EDB.

.ABBCAB6

••=,即Hn=—•

BDBE178

解得，AB=—.

4

故答案为：—cm.

4

16.如图，点尸是VABC的重心，点。是边AC的中点，尸石〃AC交BC于点E,D/〃5c交EP于点?若四边形

CDFE的面积为6,则4A5c的面积为

A

【答案】18

【解析】

力「1

【分析】连接BP,DP,CP,延长DF交AB于点G,连接PG,根据重心的性质推出一=一，通过证明

BC2

PDGs、PBC,.PDF^PBE,得出型=受=L则白H=~,—再证明.BPE^BDC,得出

PBBC2SPBE4BD3

S4

不也=3，设SPDF=X，则sPBE=4x,sOBC=9x,根据四边形CDFE的面积为6,求出x=1,即可求解・

【详解】解：连接延长。/交AB于点G,连接PG.

••点P为7ABe重心，点。为AC边中点.

•.WB,P,D同一直线上.

•,DF//BC.

.ADAG

'CD~BG'

••点。为AC边中点.

••点G为AB边中点.

•.点C,P,G在同一直线上.

•,点。为AC边中点，点G为AB边中点.

•.DG=-BC,即空=L

2BC2

/DF//BC.

PDGsPBC,PDFPBE.

.PDDG_1

'PB~BC~2'

・S四：产T：1PB=2

；

.SPBE{PBJ4BD3,

/PE//AC.

•.一BPE^BDC.

sDBC^BD)9'

设SPDF=X,则SPBE=4x,SDBC=9x.

•e•S四边形PECO=SDBC-SPBE=5x.

•••四边形CDEE的面积为6.

，SPDF+S四边形PEC。=X+5x=6,解得：x=1.

SDBC=9x=9.

•••点。为AC边中点.

*e,SABC=2sDBC=18.

故答案为：18.

【点睛】本题主要考查三角形重心的性质,相似三角形的判定和性质,解题的关键是掌握三角形

的三条中线相交于一点,这一点是三角形的重心,三角形的中线将三角形面积平均分为2分,相似三角形对应边成比例,

面积比是相似比的平方.

17.如图,Rt&OAB的顶点A(-2,4)在抛物线y^ax2上将Rt4OAB绕点0顺时针旋转90°,得到△OCD,边CD与该

抛物线交于点P,则点P的坐标为.

【解析】

【详解】•点A(-2,4)在抛物线产以2上.

4=4a.

解得：＜2=1.

•.•将RtX048绕点。顺时针旋转90°,得到△0CD.

0D-0B=2.

当y=2时，2=炉.

解得：x=或1=—g'（舍去）.

.••点P的坐标（叵2）.

故答案为：（女,2）

18.如图，在等腰直角VABC中，AC=2,M为边3C上任意一点，连接AM,将沿AM翻折得到△ACM,

连接BC并延长交AC于点N,若点N为AC的中点，则CM的长为.

【解析】

【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，翻折变换，解一元二次方程，过C'作

C'C5C于。，作。旭人AC于E,利用勾股定理和相似三角形，即可得到c'M的长,进而得出CM的长,熟练掌握

知识点的应用是解题的关键.

【详解】如图所示，过C作CDL5C于。，作。空人AC于E.

A

四边形DCEC'是矩形.

设C'£>=x,则CE=x,AE=2-x.

：CD//CN.

sBDCs.BCN.

NC1

——=—,即5£)=2。'。=2].

"BDBC2

CD=2-2x=CE.

RtAACE中，AE2+C'E2=C/,即（2—%）2+（2-=22.

2

解得玉=2（不合题意），x2=-.

C'D=~,C'E=-.

55

,/ZDCE=ZMC'A=90°.

ZDCM=ZECA.

又ZCDM=ZC'EA=90°.

.DCMs_ECA.

2

CDC，M

.Hn5C'M

"C'E~C'A'62'

5

2

C'M=-.

3

2

由折叠可得，CM=C'M=—.

3

故答案为：—.

3

三,解答题：（本大题共7题,共10+10+10+10+12+12+14=78分）

19.如图，ADBE,BDCE.

（1）试说明空=竺.

OBOC

⑵若OA=4,AC=12,求08的长.

【答案】（1）证明见解析,（2）08=8.

【解析】

【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理进行推导即可得.

（2）由题意可求得OC的长,然后将OA,AC,OC的长代入（1）中的结论即可求得答案.

【详解】（1）VAD//BE.

.OAOD

'OB-OE-

•/BD//CE.

.OBOP

"OC-OE-

.OAOB

*'OB-OC'

(2)解：•.•OA=4,AC=12.

AOC=16.

..OAOB

,OB-OC

.4OB

"OB

OB=8.

【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理,结合图形熟练应用是解题的关键.

20.在ABC中，A5=2,将.ABC绕点B逆时针旋转得到.MBN,且CN〃BM,MA的延长线与CN交于点P,若

AM=3,CN=—.

2

M

(1)求证：ABM'CBN.

(2)求AP的长.

【答案】(1)见解析(2)2

【解析】

【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握相关判定定理和性质是解题的关键.

(1)根据旋转的性质得出A5=MB,BC=BN,=进而得出丝=逊=1,NABM=/CBN,

BCBN

即可求证.

(2)根据:ABMs.CBN,得出ZBMA=N5NC,根据OV〃5W,得出ZBMA=NAPN,则

NAPN=NBNC,进而得出NAPN=/BCN,通过证明四边形BCPM为平行四边形,得出BC=,再根据

ABAM

-BN,得出一=——，求出CB=5=PM,即可求解.

CBCN

【小问1详解】

证明：•••将一ABC绕点8逆时针旋转得到MBN.

：.AB=MB,BC=BN,NABC=NMBN.

.ABMB，

BCBN

：.NMBN+NABN=NABC+NABN,即ZABM=/CBN.

；•.ABMs_CBN.

【小问2详解】

解:由（1）知，-ABMSjCBN.

:.NBMA=NBNC.

-：CN//BM.

：.NBMA=NAPN.

：.NAPN=NBNC.

又：BC=BN.

:.NBNC=NBCN.

；•/APN=NBCN.

/.BC//MP.

.••四边形5cpM为平行四边形.

BC=PM.

「ABMs-CBN.

23

.ABAM——=—

•----------,即nnCB15.

CBCN—

：.CB=5=PM.

：.AP=PM-AM=5-3=2.

21.如图,抛物线y=a(x-l)2+4与X轴交于点A,B,与J轴交于点C,过点C作CD//x轴,交抛物线的对称轴于点

D,连结BD,已知点A坐标为(-1,0).

(1)求该抛物线的解析式.

(2)求梯形COBD的面积.

【答案】(1)y=-(x-D2+4(2)S梯形℃DA=a+7*3=6

【解析】

【分析】(1)将A坐标代入抛物线解析式，求出a的值,即可确定出解析式.

(2)抛物线解析式令x=0求出y的直求出OC的长,根据对称轴求出CD的长,令y=0求出x的值,确定出OB的长,

根据梯形面积公式即可求出梯形COBD的面积.

【详解】(1)将A(—1,0)代入y=a(x-I)?+4中，得：0=4a+4,解得：a=-1.

该抛物线解析式为y=—(X—+4.

(2)对于抛物线解析式,令x=0,得到y=3,即OC=3.

:抛物线y=—(x—if+4的对称轴为直线x=l,.-.CD=1.

VA(-1,0),：.B(3,0)，即OB=3.

.q_(1+3)X3

."»梯形0CDA_2一0,

22.在初中物理中我们学过凸透镜的成像规律.如图为一凸透镜，尸是凸透镜的焦点.在焦点以外的主光轴上垂直

放置一小蜡烛透过透镜后呈的像为CD.光路图如图所示：经过焦点的光线AE,通过透镜折射后平行于主光轴，

并与经过凸透镜光心的光线AO汇聚于C点.若焦距OF=4,物距03=6,小蜡烛的高度A3=1,求蜡烛的像CD的

长度以及像CD与透镜MN之间的距离.

【答案】蜡烛的像的长度为2,像与透镜之间的距离为12

【解析】

【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质和判定是解题的关键.

根据题意可得，OE=CD,AB±BO,EO±BO,CD，OD,从而可得NA5O===，然后证明

_ABEs_EOE,从而利用相似三角形的性质可求出OE的长,这证明一从而利用相似三角形的性质可

求出0。的长,即可解答.

【详解】解：OE=CD,AB±BO,EO±BO,CD±OD.

ZABO=ZEOB=ZCDO=90°.

ZAFB=ZEFO.

：.ABF^cEOF.

AB_BF

,OE-OF-

.1_6—4

'^OE~4

解得：OE=2.

:.OE=CD=2.

ZAOB=ZCOD.

AOBsCOD.

AB_OB

五一五,

1_6

2-OD

.-.00=12.

蜡烛的像CD的长度为2,像CD与透镜MN之间的距离为12.

23.己知，如图，在梯形ABCD中，AD//BC,N3CD=90。，对角线AC,相交于点E,且AC/BD.

(1)求证：CD1=BCAD.

AG2BG

(2)点F是边3C上一点，连接AF,与3D相交于点G,如果NBAF=NDBF,求证:

【答案】(1)见解析(2)见解析

【解析】

【分析】(1)先证明AC*"C可得券=要，进而证明结论.

CDBC

(2)先证明△ABGsZ\DfiA可得生=丝，进而得到丝=驾，再由△ABGsADfiA可得％■=丝，即

ADBDADBDABBD

A3?最后代入即可证明结论.

【小问1详解】

证明：AD//BC,ZBCD=90°.

\1ADC?BCD90?.

又・AC±BD.

:.ZACD+ZACB^ZCBD+ZACB=90°.

:.ZACD=ZCBD.

:.一ACD^_DBC.

ADCD,

=U，即Bn8=3CxAD.

CDBC

【小问2详解】

解：AD//BC.

:.ZADB=NDBF.

ZBAF=/DBF.

:.ZADB=ZBAF.

ZABG=ZDBA.

ABGs,DBA.

AG_AB

"AD"50'

AG"AB­

AD2~BD2'

X-.^ABG^^DBA.

BGAB

一瓦一茄,

:.AB2=BGBD.

AG?_AB^_BGBD_BG

"AD2~BD2—BD2~BD'

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，正确证得△ABGs△DBA是解答本题的关键.

24.如图,在平面直角坐标系x&y中,抛物线y=a^+bx+c（a>0）与无轴相交于点A（-l,0）和点3,与y轴交于点

（1）求点C的坐标（用含。的代数式表示）.

（2）连接AC,3C,若VA5C的面积为6,求此抛物线的表达式.

（3）在第（2）小题的条件下，点。为无轴正半轴上一点，点G与点C,点B与点A关于点。成中心对称，当△CGR为

直角三角形时,求点Q的坐标.

【答案】（1）C（0,-3a）,

（2）y=x2-2x-3,

（3）点Q的坐标为（4,0）或（9,0）.

【解析】

【分析】（1）由A点坐标和二次函数的对称性可求出3点的坐标为（3,0）,根据两点式写出二次函数解析式，再令

y=0,求出y的值,即可的点C的坐标.

（2）由4（—1,0）,5（3,0）,C（0,—3a）,求出AB,OC的长，然后根据VA3C的面积为6,列方程求出a的值.

(3)设点。的坐标为(m0).过点6作8，》轴，垂足为点H,如图，分两种情况求解：当RtQGHsRtGFH时,

求得m的一个值，当R.GFHs氏FCO时,求得m的另一个值.

【小问1详解】

解：：抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的对称轴为直线x=l.

而抛物线与x轴的一个交点4(—1,0)

抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为(3,0)

设抛物线解析式为y=a(x+l)(x—3).

即y=ax2-2ax-3a.

当x=0时，y=13a.

/.C（0,-3a）.

【小问2详解】

W：VA（-1,O）,B（3,o）,C（0,-3«）.

."-AB=4,OC=3a.

•*.SAC„=—AB.OC=6.

*'-6a=6,解得a=l.

抛物线解析式为y=x2-2x-3.

【小问3详解】

解：设点。的坐标为（加,0）•过点6作8，1轴，垂足为点H,如图.

:点G与点C,点尸与点A关于点。成中心对称.

QC=QG,QA=QF=tQO=QH=m,OC=GH=3.

JOF=2m+l,HF=1.

当NCG尸=90。时.

・.,ZQGH+ZFGH=90°,ZQGH+ZGQH=90°.

.・・ZGQH=ZHGF.