2024-2025学年上海市虹口区九年级（上）期中数学试卷

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一、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.（4分）下列命题中，真命题是（）

A.两个直角三角形一定相似

B.两个等腰三角形一定相似

C.两个钝角三角形一定相似

D.两个等边三角形一定相似

2.（4分）下列各组中的四条线段成比例的是（）

A.1,1,2,3B.3,6,4,7C.5,6,7,8D.2,3,6,9

3.（4分）已知2a=36（6W0）,则下列比例式中正确的是（）

A.包上B.包上ra3D.a__2

32232b

4.（4分）在RtZX/BC中，NC=90°,AB=3,/C=2,那么coM的值是（）

A-3BD

-tc考-4

5.（4分）如图，在△NBC中，点。、E分别是48、/C上的点，下列比例式中不能判定D£〃5c的是（）

AAD_AERADAErBDCED.坦3

.AB'ACBDECABACABBC

6.（4分）如图，正五边形的边长为2,连接对角线AD、BE、CE,线段AD分别与BE和CE相交于点

M、N,求MV的长（）

c・亨D.年

二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分。

第1页（共16页）

7.（4分）己知a=3,6=12,则a,b的比例中项为.

8.（4分）已知包」，那么昆士包=.

b3b

9.（4分）/、8两地的实际距离/8=250米，画在地图上的距离HB'=5厘米，那么地图上的距离与

实际距离的比是.

=

10.（4分）计算：（a+b）-（-^-a-2b）-----------------------------------

11.（4分）在RtZUBC中，ZC=90°,如果tan5=2,BC=2,那么NC=.

12.（4分）大自然是美的设计师，即使是一片树叶，也蕴含着“黄金分割”.如图，点P为的黄金分

割点（AP>PB）.如果8P的长度为8cm,那么/尸的长度为.cm.

13.（4分）如图，AE=5,/C=8,/3=10,当BD时，DE//BC.

14.（4分）如图，是一块余料，BC=nOmm,现要把它加工成正方形零件DEFG,使得正方形的

四个顶点。，E,F,G都在三角形的三边上，其中点E,尸在2C边上，加工后正方形的边长为48加加,

则△N8C的面积为

15.（4分）如图，点。、尸在线段上，点、E、G在线段NC上，DE//FG//BC,AD：DF-.FB=2：3：

4,如果EG=3,那么/C的长为

第2页（共16页）

16.（4分）已知a,b,c分别是△/2C中/N,NB,/C的对边，且a,b,c满足（a-c）（a+c）+庐=

0.若4a-56=0,则sirb4+cos5的值为.

17.（4分）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形.如

图，△48C是格点三角形，在图中的6X6正方形网格中作出格点△/£>£（不含△48C）,使得

△ABC（同一位置的格点△/£）£只算一个），这样的格点三角形一共有个.

18.（4分）新定义：如果等腰三角形腰上的中线与腰的比值为黄金分割数（黄金数），那么称这个等腰三

角形为“精准三角形”.如图，△NBC是“精准三角形"，AB=AC=2,CDLAB,垂足为点D,那么

的长度为.

三、解答题（本大题共7小题，共78分）

19.（10分）已知：至上―2x-3y+4z=22,求：代数式xy-z的值.

234

20.（10分）如图，a//b//c.直线"八〃与a、b、c分别相交于点/、B、C和点。、E、F.

（1）若48=3,BC=5,DE=4,求斯的长；

（2）若4B：BC=2：5,DF=1Q,求£尸的长.

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a

7V

21.(10分)己知：AABC,ZACB^90°,sin/4BC=3,设/C=3.

5

(1)求48的长；

(2)求tan//3C的值；

(3)设N43C=2a,求tana的值.

22.（10分）如图，已知△45C,点。在边4。上，且40=2CD,AB//EC,设BA=a，BC=b.

（1）试用a>小CD；

（2）在图中作出BD在BA、BC上的分向量，并直接用汽、b表示BD.

23.（12分）如图，已知矩形/BCD中，E是/。上的一点，过点E作昉，EC交边N8于点尸，交C8的

延长线于点G.

（1）求证：^AEFs△EGC；

（2）若EF=EC,DE：AE=2：3,则地=.

CG

第4页（共16页）

24.(12分)已知：如图，在△4BC中，点。、E分别在边/5、AC±,DE//BC,/BDC=/DEC.求证:

(1)△ADEs^ACD；

⑵过要

BC2AC

25.(14分)如图，在平面直角坐标系中，己知/、B、C三点的坐标为(8,0)、(8,8)、(0,8),点、D

是线段CM的一动点，它以每秒2个单位速度从4点向。点运动，连接AD过点D作8。的垂线交OC

于E点，设。点的运动时间为f秒(f>0).

(1)当。点到达04的中点时，&旦=；

0C

(2)请用f的代数式表示OE的长度，并求出f为何值时，CE有最小值，是多少？

(3)若已知尸点在直线上，AF=2,尸为x轴上一点且于点尸，请直接写出满足此条件的

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2024-2025学年上海市虹口区九年级（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1•【解答】解：A,不正确，不符合三角形相似的判定方法，是假命题，不符合题意；

B,不正确，没有指明相等的角或边的比例，是假命题，不符合题意；

C,不正确，没有指明另一个锐角或边的比例，是假命题，不符合题意；

D,正确，等边三角形的三个角均相等，能通过有两个角相等的三角形相似来判定，是真命题，符合题

-zfe.

故选：D.

2.【解答】解：A.由于1：1W2：3,则1,1,2,3不成比例，所以/选项不符合题意；

B.由于3：4W6：7,则3,6,4,7不成比例，所以2选项不符合题意；

C.由于5：6W7：8,则5,6,7,8不成比例，所以C选项不符合题意；

D.由于2：3=6：9,则2,3,6,9成比例，所以。选项符合题意.

故选：D.

3.【解答］解：4包=包，则2a=36,故正确，符合题意；

32

B、包工，则3a=26,故错误，不符合题意；

23

C、包空，则必=6,故错误，不符合题意；

2b

D、包上，则30=2分，故错误，不符合题意.

b3

故选：A.

4•【解答】解：根据题意，得cos/=£=Z,

AB3

故选：B.

5.【解答】解：A./EAD=NCAB,

ABAC

：./\ADE^/\ABC,

ND=NB,

C.DE//BC,故/选项不符合题意；

8.•.•坦则坦又NEAD=/CAB,

BDCEABAC

第6页（共16页）

:.AADEsAABC,

：.ZD=ZB,

J.DE//BC,故5选项不符合题意；

C.里=^1,则坦又/EAD=NCAB,

ABACABAC

△ADES&BC,

：.4D=/B,

：.DE//BC,故C选项不符合题意；

D.坦」叵，不能判断则不能证明。E〃8C,故。错误，符合题意；

ABBC

故选：D.

6.【解答】解：,・•五边形4BCDE是正五边形，

:・AE=AB=DE=CD=2,ZAED=ZBAE=ZCDE——:(5-2)=108°，

5

•'•ZAEM=ZEAM=ZDEN=ZEDN^-X(180°-108°)=36°，

AZAEN=ZAED-ZDEN=108°-36°=72°,ZANE=ZDEN+ZEDN=360+36°=72°

・•・ZAEN=ZANE,

:・AN=AE=2.

同理，DE=DM=2,

VZAEM=ZADE=ZEAD=36°,

・•・△AEDsdAME,

AAE_=AD；即/石2=/必./。，

AMAE

；.22=(2-MN)(2+2-MV),gpMN2-6MN+4^0,

解得MN=3-粕或HN=3+V^>2(不合题意，舍去)，

故选：A.

二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分。

7.【解答】解：设a,b的比例中项为c,

则2=ab=3乂12=36,

所以c=±6,

即a,6的比例中项为±6.

故答案为：士6.

第7页（共16页）

8.【解答】解：

b3

•-•-•a-+-b--_--1-+-3,

b3

・a+b_4

b3

故答案为：A

3

9【解答】解：•；250米=25000厘米,

二比例尺=5：25000=1：5000；

故答案为：1：5000.

10.【解答】解：(&+b)-ga-2b)

_ft7ff

=a+b-^-a+2b

-7—一L

=aa+b+2b

=—a+3b-

2a

故答案为：色1+3b.

2a

11•【解答】解：・・・taiR=£_=2,

BC

：.AC=2BC,

,:BC=2,

：.AC=4,

故答案为：4.

12.【解答】解：・・•点P为的黄金分割点（AP>PB）,

-BP_V5-1

'*AP=2

:=(W5+4)cir'

故答案为：（4j^+4）.

13.【解答］解：'：DE//BC,

•ADAEpnAD5

ABAC108

解得：仙与，

4

.•.BD=AB-AD=10——

第8页（共16页）

故答案为：15.

4

14•【解答】解：过工作于X,交。G于

则MH=DE=48mm,

'：DG//BC,

：./\ADG^^ABC,

•DG=AM；

,,而AH'

即48=AH-48

120AH

解得/*=80,

S&4BC=ZC2H=LX120X80=4800〃?/.

22

故答案为：4800加加2.

15.【解答】解：-：DE//FG//BC,AD：DF-.FB=2：3：4,EG=3,

•AE-AD-2EG_DF_3

EGDF3CGBF4

：.AE=2-EG=2,CG=AEG=4,

33

：.AC=AE+EG+CG=2+3+4=9,

故答案为：9.

16.【解答】解：,/(a-c)(a+c)+b2=0,

a2-c2+Z)2=0,

a^+b2=c2,

•••△45。是直角三角形,

：.ZC=90°,

V4a-5b=0,

4Q=56,

•_a_=_5_

'石7，

第9页（共16页）

・••设。=5左,b=4k,

c=7a2+b2=V(5k)2+(4k)2=VH%

/.sitb4=A=_=

cV41k41

cosB=—=-—=

cV41k41

sirU+cosB=,

41

故答案为：I。面.

41

17•【解答】解：如图，

所以使得的格点三角形一共有6个.

故答案为：6.

18•【解答】解：作△N8C的中线CM,

:A4BC是“精准三角形”，

•CM-V5-1

••------,

AB2

;AB=2,

：.CM=45-1,

,；M是AB中点，

:.AM=MB=^AB=1,

2

令DM=x,则/。=x+l,

'：CD2^CM2-MD2^AC2-AD2,

--=2?-(x+i)2,

•-2^-3

2

:.DM=2娓T,

2

第10页（共16页）

：.BD=MB-DM=写心避.

_2

故答案为：反如1_.

2

三、解答题(本大题共7小题，共78分)

19.【解答】解：设三J-=k，

234

贝!Jx=2左，y=3k,z=4k,

\'2x-3y+42=22,

，4左一9左+16左=22,

:・k=2,

・・x+y-z=2左+3左一4左=左=2.

20•【解答】W：(1)u：a//b//c,

•ABDEpn3_4

BC-EF5~EF

解得EF=^；

(2),：a//b//c,

.ABDE2

"BC'EF

•.•-D-E-+-E-F=-2-+-5-,

EF5

解得EF图■.

21.【解答】解：(1)：//C3=90°,sin//5C=3,/C=3,

5

sinNABC=至=丁_=3,

ABAB5

.\AB=5；

(2)在直角△NBC中，由勾股定理得到：5C=^AB2_AC2=^52-32=4.

则tan//2C=£=3；

BC4

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(3)如图，8。是/N8C的角平分线，则//8£>=NC8D=a.

过点D作DELAB于点E,则DE=DC,

设CD=DE=x,则AD=3-x,

易得BE=BC=4,

：.AE=2.

由AD2=AE2+ED2得：（3-X）2=22+%2

.•x人=5«

6

33

tana=tanZDBC=匹_=^_=

22•【解答】解：（1）VBA=a-BC=b-CA=CB+BA=-b+a>

'：AD=2CD,

：.CD^1.CA,

3

;而与以同向，

.•.CD=lcA=l（-b+l）lb；

3333

.a♦，♦，a

(2)如图BD在BA、BC上的分向量分别为BM，BN.

a..—♦[—♦[—♦i->Q—►

VBD=BC+CD=b+,a-与=，a+与

3333

A

,E

D

BNCF

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23.【解答】(1)证明：•・,四边形/5CZ)是矩形，

AZA=90°,AD//CG,

•；EF2EC,

：.ZCEG=90°,

・•・NA=/CEG,

,:AD〃CG,

/.NAEF=NG,

：.AAEFsAEGC：

(2),；EF工EC,

：./AEF=ZDCE,

在△/跖和△CZ)£中，

'NA二ND

<NAEF=NCDE，

EF=EC

•,.△AEF会LCDE(//S),

:・AE=CD,AF=ED,

•:DE：AE=2：3,

:•设ED=AF=2m,则AD=BC=5m,AE=CD=AB=3m,

:・FB=3m-2m=m,

在RtAAEF中，由勾股定理得£T=V13w,

：.EC=EF=yT^m,

'：AE//BG,

:.△GFBsAEFA,

•BFBG=lm=1

••二■—9

AFAE2m2

2

•=Wr-=13

3

•BG-2

.石—五

故答案为：A.

13

第13页（共16页）

24.【解答】证明：(1)VZBDC=ADEC,ZBDC=ZA+ZACD,/DEC=/A+ADE,

：.ZADE=ZACDf

・・・ZA=ZAf

：.△ADES^ACD；

(2)'：DE//BC,

：.ZEDC=/BCD,

ZBDC=ZDEC,

：.ADEC^ABDC,

•・•，CDX：DE,

BCCD

:.CD2=DE-BC.

.CD2_DE

••正-记

'JDE//BC,

：.AADEsAABC,

••--D-E-~-A-E-,

BCAC

.CD2AE

••-------~,«

BC2AC

25.【解答】解:(1)24、B、C三点的坐标