2024-2025学年上海某中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）（含解析）

2024-2025学年上海四中九年级（上）月考数学试卷（10月份）

一、选择题（每题4分，满分24分）

1.（4分）在RtAABC中，各边的长度都扩大4倍.那么锐角B的正切值（）

A.扩大4倍B.扩大2倍C.保持不变D.缩小4倍

2.（4分）如图，已知AB!/CD//EF，它们依次交直线\>12于点A、C、E和点B、D、F,如果AC:CE=3:1,

BF=10,那么Z）尸等于（）

D,”

3015

3.（4分）如图，已知在RtAABC中,ZACB=90°,/B=。，CDLAB,垂足为点。，那么下列线段的

比值不一定等于sin"的是（）

CAD

BDAC

4.（4分）下列命题中，说法正确的是（)

A.所有菱形都相似

B.两边对应成比例且有一组角对应相等的两个三角形相似

C.三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边距离的两倍

D.斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似

5.（4分）如图，某零件的外径为10c加，用一个交叉卡钳（两条尺长/C和2D相等）可测量零件的内孔

直径如果江=些=3,且量得CD=4c%,则零件的厚度工为（）

OCOD

-1-

6.（4分）如图，点£是线段3C的中点，ZB=NC=NAED,下列结论中，说法错误的是（）

A.A42E1与ASCD相似B.AABE与AAEP相似

ARAp

C.——=——D.NBAE=NADE

AEAD

二、填空题（本大题共12题，满分48分）

7.（4分）如果x:y=5:2,那么上的值为—.

x+y

8.（4分）已知点尸是线段N3的黄金分割点，且较长的线段/尸的长等于10厘米，那么较短的线段2尸的

长为一厘米.

9.（4分）在比例尺为1:10000的地图上，相距5厘米的两地实际距离为千米.

2

10.（4分）在RtAABC中，ZC=90°,BC=4,sinN=—,贝U

3

11.（4分）两个相似三角形的面积之比是9:25,其中较大的三角形一边上的高是5厘米，那么另一个三

角形对应边上的高为一厘米.

12.（4分）点G是AA8C的重心，过点G作8C边的平行线与48边交于点E,与/C边交于点尸，则

EF

~BC~'

13.（4分）如图，小明沿着坡度，=1:2.4的坡面由8到/直行走了13米时，他上升的高度/C=—米.

A

14.（4分）如图，已知在RtAABC中，ZACB=90°,ZB=30°,AC=\,。是48边上一点，将A4CD沿

-2-

CD翻折，点N恰好落在边8c上的点E处，那么/£>=

15.（4分）我国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有邑方不知大小，各中开门.出北门三十步有木,

出西门七百五十步有木.问邑方几何？”示意图如图，正方形/BCD中，尸、G分别是和的中点,

若斯_L4D,EF=3。，GH1AB,GH=750,且昉■过点么,那么正方形N8CD的边长为.

A^__\_______D

/F

H上-------------G

BC

16.（4分）如图，一艘船从N处向北偏西30。的方向行驶5海里到8处,再从3处向正东方向行驶8海里

到C处，此时这艘船与出发点A处相距—海里.

北

西一^--------A东

17

17.（4分）如图，在平面直角坐标系中，已知点/的坐标为（a,3）（4〉4）,射线CU与反比例函数”一

X

的图象交于点尸，过点/作x轴的垂线交双曲线于点8,过点/作y轴的垂线交双曲线于点C,联结8尸、

CP，那么沁的值是—

QLACP

y\\c.

力^^一

18.（4分）如图，在RtAABC中，ZC=90°,AC=8,BC=6,点P是NC边上一点，将A4C8沿着过

点P的一条直线翻折，使得点A落在边上的点。处联结尸。，ZCQB=ZAPQ,那么/。的长

-3-

为

三、解答题（本大题共7题，满分78分）

以（1。分）计算：闷3。。一需二

20.（10分）如图，梯形/BCD中，ND//3C,点£是边ND的中点，联结交/C于点尸，防的延长

线交C。的延长线于点G.

(1)求证：GE-BC=GB-AE；

(2)若GE=4,BF=6,求线段£下的长.

ZEAF=90°,AB-AF=AC-AE.

(1)求证：MGC^ADGB；

（2）若点尸为CG的中点，48=3,AC=4,tanZDBG=-,求。尸的长.

2

22.（10分）某“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动.他们制订了测量方案，并利用

课余时间完成了实地测量.他们在该旗杆底部所在的平地上，选取两个不同测点，分别测量了该旗杆顶端

的仰角以及这两个测点之间的距离.为了减小测量误差，小组在测量仰角的度数以及两个测点之间的距离

时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如下表（不完整）.

课题测量旗杆的高度

成员组长：XXX组员：XXX,XXX,XXX

-4-

测量测量角度的仪器，皮尺等

工具

C

测量说明：线段G//表示学校旗杆，测量角度的仪器的高度

示意AC=BD=\.5m,测点4,B与〃在同一条水平直线上，A,

E

图8之间的距离可以直接测得，且点G,H,A,B,C,。都

BA

在同一竖直平面内，点C,D,E在同一条直线上，点E在G8

上.

测量测量项目第一次第二次平均值

数据NGCE的度数25.6°25.8°25.7°

NGDE的度数31.2°30.8°31°

A,8之间的距离5.4m5.6m

任务一：两次测量4,3之间的距离的平均值是—m.

任务二：根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出学校旗杆GH的高度.

(参考数据：sin25.7°«0.43,cos25.7°«0.90,tan25.7°®0.48,sin31°«0.52,cos31°«0.86,tan31°«0.60)

任务三：该“综合与实践”小组在制定方案时，讨论过“利用物体在阳光下的影子测量旗杆的高度”的方

案，但未被采纳.你认为其原因可能是什么？(写出一条即可)

23.(12分)如图，线段3。是ZU2C的角平分线，点E、点尸分别在线段2D、/C的延长线上，联结/£、

BF,且AB-BD=BC-BE.

(1)求证：AD=AE；

(2)如果BF=D尸，求证：AF-CD=AEDF.

-5-

B

24.(12分)如图，在四边形48CD中，AD//BC,ZABC=90°,AD=CD,。是对角线/C的中点,

联结80并延长交边。于点E.

(1)求证：KDACsNOBC；

(2)若BELCD,求丝的值.

BC

25.(14分)已知，在A48C中，AB=AC=5,BC=8,点E是射线C/上的动点，点。是边3c上的动

点，且OC=OE,射线OE交射线8/于点。.

(1)如图，如果。。=2,求的值；

v

Q'ODB

(2)联结4。，如果A4E。是以4E为腰的等腰三角形，求线段OC的长；

(3)当点E在边4c上时，联结5E、CD,/DBE=/CDO,求线段。。的长.

-6-

参考答案

一、选择题（每题4分，满分24分）

1.（4分）在RtAABC中，各边的长度都扩大4倍.那么锐角B的正切值（）

A.扩大4倍B.扩大2倍C.保持不变D.缩小4倍

Ar

解：如图，在RtAABC中，ZC=90°,贝!|tan5=——，

BC

_4ACAC

•45。―五'

.•.在RtAABC中，各边的长度都扩大4倍.那么锐角5的正切值保持不变,

故选：C.

2.（4分）如图，已知/B//CD//EF,它们依次交直线4、12于点A、C、E和点B、D、F,如果AC:CE=3:l,

BF=10,那么D尸等于（）

12

A\B

A.3B.型C.之D,经

3325

解：♦:ABIICDIIEF,

DFCE

"正一花‘

即空二CE

103CE+CE

:.DF=-.

2

故选：C.

3.（4分）如图，已知在RtAABC中，ZACB=90°,Z'B=0,CD1AB,垂足为点。，那么下列线段的

比值不一定等于sin/的是（）

-7-

/、"不一定等于sin尸，故/符合题意;

B、A43C是直角三角形，sin^=—,正确，故B不符合题意；

AB

AF）

C、CDVAB,ZACD+ZA=ZB+ZA=90°,NACD=NB,sin/?=——，正确，故C不符合题意;

ASCD是直角三角形，sin£=匕，正确,故D不符合题意.

故选：A.

4.（4分）下列命题中，说法正确的是（）

A.所有菱形都相似

B.两边对应成比例且有一组角对应相等的两个三角形相似

C.三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边距离的两倍

D.斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似

解：/、所有的菱形不相似，故错误，不符合题意；

2、两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，故错误，不符合题意；

C、三角形的重心到一个顶点的距离等于它到对边中点距离的两倍，故错误，不符合题意；

。、斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形是相似的，故该选项正确，符合题意；

故选：D.

5.（4分）如图，某零件的外径为10°加，用一个交叉卡钳（两条尺长/C和BD相等）可测量零件的内孔

直径45.如果W£=型=3,且量得冽，则零件的厚度、为（）

OCOD

AB

-8-

A.2cmB.1.5cmC.0.5cmD.1cm

解：v—=—=3,ZCOD=ZAOB,

OCOD

NCODS^AOB,

AB:CD=2,

CD=4cm.

AB=8cm.

•・•某零件的外径为10。冽，

.••零件的厚度x为：（10—8）+2=1（。冽），

故选：D.

6.（4分）如图，点石是线段5c的中点，/B=/C=/AED,下列结论中，说法错误的是（）

A.A45E与AEC。相似B.儿45£与儿4切相似

Ap

C.——二——D.ZBAE=ZADE

AEAD

解：•;/AEC=/AED+/DEC=/B+NBAE,ZB=ZAED,

/./DEC=/BAE,

•・•/B=/C,

ABAESACED,

AB_AE

,•乐—访’

•・•BE=CE,

AB_AE

•,瓦一五'

AB_BE

,•商一花’

AB=ZAED,

/.\ABE^\AED,

AB_AE

・商一茄’

-9-

故选项/,B,C正确，

故选：D.

二、填空题（本大题共12题，满分48分）

7.（4分）如果x:y=5:2,那么工的值为—竺

x+y7

解：x:y=5:2,

2

/.y=—x,

5

2x2x10

一x+yJ7

Jx+—x

5

故答案为：—.

7

8.（4分）已知点尸是线段的黄金分割点，且较长的线段/P的长等于10厘米，那么较短的线段的

长为_56-5—厘米.

解：设线段45的长为》,

•・•点P是线段AB的黄金分割点，较长的线段AP的长等于10厘米,

苴」=10

2

解得，x=5V5+5,

二较短的线段BP的长=5港+5-10=50-5（厘米）,

故答案为：5A/5—5.

9.（4分）在比例尺为1:10000的地图上，相距5厘米的两地实际距离为0.5千米.

解：根据：比例尺=图上距离：实际距离,

设两地实际距离为x厘米，得：1:10000=5:%,

二.相距5厘米的两地的实际距离是5x10000=50000（厘米）=0.5（千米）,

故答案为：0.5.

2

10.（4分）在RtAABC中，ZC=90°,8C=4,sin4=—,贝I」48二6

3—

2

解：在RtAABC中，ZC=90°,8C=4,sin4=—

3

;.smJ,

AB

-10-

...AB=------

sin/

故答案为：6.

11.（4分）两个相似三角形的面积之比是9:25,其中较大的三角形一边上的高是5厘米，那么另一个三

角形对应边上的高为3厘米.

解：设另一个三角形对应边上的高为x厘米，

V两个相似三角形的面积之比是9:25,其中较大的三角形一边上的高是5厘米，

9x

255

另一个三角形对应边上的高为3厘米，

故答案为：3.

12.（4分）点G是A4BC的重心，过点G作5c边的平行线与45边交于点£,与4c边交于点尸，则尤=

2

3

解：连接4G交5C于点。,

EF/IBC,

AGEG

…~AD~~BD'

•.•G是A45c的重心，

AG_2

----——,

AD3

•・•£＞是中点,

EG_EF

…茄一葭’

EF_2

'.=一,

BC3

故答案为：

3

-11-

13.（4分）如图，小明沿着坡度，=1:2.4的坡面由8到4直行走了13米时，他上升的高度4C=5米.

A

BC

解：•.•坡度i=l：2.4,

;./。与2。的比为1:2.4,

设/C=x米，贝!]BC=2.4x米，

由勾股定理，得/+（24x）2=汗.

解得x=5.

故答案为:5.

14.（4分）如图，已知在RtAABC中，ZACB=90°,48=30。，AC=1,。是4s边上一点，将A4CO沿

CD翻折，点/恰好落在边BC上的点E处，那么

=60°,

VA4CD沿CD翻折，/点恰好落在BC边上的E点处,

ZCED=ZA=60°,AD=ED,CE=AC=1,

ZCED=NBDE+NB,

ZBDE=60°-3Q°=30°,

EB=ED,

-12-

在RtAABC中，ZACB=90°,

ZS=30°,AC=1,

BC=V3,

:.EB=CB-CE=43-1,

：.AD=ED=EB=6-1.

故答案为：V3-1.

15.（4分）我国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有邑方不知大小，各中开门.出北门三十步有木,

出西门七百五十步有木.问邑方几何？”示意图如图，正方形48。中，F、G分别是/D和的中点,

若EF=3Q,GHLAB,GH=750,且EH过点N,那么正方形NBC。的边长为300

解：•.・尸、G分别是4D和的中点，AD=AB,

AF=-AD,AG=-AB,

22

AF=AG,

由题意可得，\AEF^\HAG,

FE_AF

BPN92=30x750=22500,

解得：AF=150,

AD=2AF=300.

故答案为：300.

-13-

16.(4分)如图，一艘船从/处向北偏西30。的方向行驶5海里到8处，再从8处向正东方向行驶8海里

到C处，此时这艘船与出发点A处相距7海里.

•­-BC工AE,

ZAEB=90°,

­,•ZEAB=30°,AS=5海里，

:.BE=1海里,/£=亚海里，

22

:.CE=BC-BE=S--=—（海里），

22

...4c=〃炉+/炉=/中+（孚y=7（海里）,

故答案为：7.

17.(4分)如图，在平面直角坐标系中，已知点/的坐标为(a,3)(a>4),射线与反比例函数y=二

X

的图象交于点尸，过点/作X轴的垂线交双曲线于点B,过点/作y轴的垂线交双曲线于点C,联结BP、

-14-

CP,那么也型的值是1

:.k=-

a

3

/.y=—x,

a

12

>二一

联立x

3

y=­x

a

x=2y[a

解得6口

y=—

la

:.PQ8,—),

a

过尸点作尸交于点8,PNLAC交于点、N,

:.B(a当,C(4,3),

a

:.AC=a-4,PN=a-l4a,AB=3~—,PM=3-^-,

aa

24&i-

JCL—12+---------67a

□AJCP_____________a_______

Smbp3。一6G12+空也

方法二：过点/作x轴的垂线，垂足为K,过点/作了轴的垂线，垂足为X,过点C作CW，/。，过点

B作BN工AO,

■:点、B、C在反比例函数图象上,

-15-

…S^cOH~S^BOK'

•・•NAHO=NAKO=ZHOK=90°,

..S^OH-SMOK，

-S^oc-^\AOB

-S^oc=AO-CM,S“OB=AOBN，

CM=BN,

''S^PC=-2AP-IXCAiiMj,2SMPB=-AP-BN,

-v=s

一Q&4PC.n&iPB

18.（4分）如图，在RtAABC中，ZC=90°,AC=S,BC=6,点尸是4c边上一点，将A4cB沿着过

点尸的一条直线翻折，使得点/落在边45上的点。处，联结尸。，如果/CQ5=//PQ,那么4。的长为

39

y

解：根据题意如图所示:

-16-

p

在RtAABC中，ZC=90%

•.•/C=8,BC=6,

45=10,

根据折叠的性质可知N4=NPQZ,

•/AAQP+ZA+ZAPQ=180°,ZAQP+APQC+ZCQB=18(F,

•・•ZCQB=ZAPQ,

:.ZA=ZAQP=ZPQC,

尸。平分N/。。，

A

设C尸二x,贝!J/尸二尸0二8—x,

如图，过点。作COJ_48于点。，PE上AB于点、E,

•・SAARC=_XAC-BC=—xAB-CD,

*BC22

.-.100)=6x8,

24

:.CD=—，

5

•/CD1ABfPELAB,

:.PE//CD,

/.\APEs\ACD,

AP_PE

'\4C~~CDf

8-x_PE

T

3

.\PE=-(8-x),

-17-

22

AE=^AP-PE=J(8-x)2(8-x)2=1(8-x),

Q

:.AQ=2AE=-(S-x),

•・.ZPCQ=ZQCA,APQC=AA,

,APCQ^AQCA,

CQCPPQ

,就一丽一逅’

CQ=y/Sx=212x，

x8-x

2岳|(8-x)

25

X=---9

8

.•^2=|(8-X)=y.

故答案为：—.

5

三、解答题(本大题共7题，满分78分)

2sin600-tan450

19.(10分)计算：cot30°-

sin30°+cos245°

2sin60°-tan45°

解:cot300-

sin30°+cos245°

_2x--1

V3-----4-

、(与

22

=V3-(V3-1)

=1.

20.(10分)如图，梯形NBC。中，ND//3C,点E是边ND的中点，联结BE交ZC于点歹，8E的延长

线交CD的延长线于点G.

(1)求证：GEBC=GBAE；

(2)若GE=4,BF=6,求线段EF的长.

-18-

【解答】(1)证明：•・・4D//5C,

△GEDs△GBC,

GE_DE

•・•点E是边/。的中点，

AE=DE,

GE_AE

GE♦BC=GB•AE、

(2)解：vAD//BC,

△AEFs△CBF,

AE_EF

•茄一蕨’

./1,GEAE

由(I)矢口，----=-----，

GBBC

GEEF

,而一蔽’

设EF=x,

•;GE=4,BF=6,

.4_x

10+x6

解得西=2,x2=-12(不合题意，舍去),

EF=2.

21.(10分)在AA5C中，NBAC=90。,ZEAF=90°,AB-AF=AC-AE.

(I)求证：\AGC^\DGB；

(2)若点尸为CG的中点，AB=3,AC=4tmZDBG=~,求。咒的长.

f2

-19-

B

解：(1)vABAC=90°,ZEAF=90°,

/.ZEAF+ZGAF=NCAF+GAF=90°，

/EAB=ZCAF,

•••AB・AF=AC・AE,

AE_AB

,•万一刀’

/./DBG=ZACF,

•・•ZDGB=ZAGC,

AAGC^ADGB；

(2)v\AGC^\DGB；

:"DBG=/ACG,ADG5是直角三角形,

,/tan/DBG=—，

2

/.tanZACG=—，

2

•.•ZC=4,

:.AG=2,

:.CG=^AC2+AG2=275,

AB=3,

BG=AB-AG=\,

,：tan/DBG=—，

2

:.DF=DG+GF=—+

5

-20-

Jc

22.（10分）某“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动.他们制订了测量方案，并利用

课余时间完成了实地测量.他们在该旗杆底部所在的平地上，选取两个不同测点，分别测量了该旗杆顶端

的仰角以及这两个测点之间的距离.为了减小测量误差，小组在测量仰角的度数以及两个测点之间的距离

时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如下表（不完整）.

课题测量旗杆的高度

成员组长：XXX组员：XXX,XXX,XXX

测量测量角度的仪器，皮尺等

工具

C

测量说明：线段GH表示学校旗杆，测量角度的仪器的高度

不思AC=BD=l.5m,测点4,B与77在同一条水平直线上，A,

E

图8之间的距离可以直接测得，且点G,H,A,B,C,。都

BA

在同一竖直平面内，点C,D,E在同一条直线上，点E在

上.

测量测量项目第一次第二次平均值

数据NGCE的度数25.6°25.8°25.7°

Z.GDE的度数31.2°30.8°31°

A,8之间的距离5.4m5.6m

任务一：两次测量4,8之间的距离的平均值是5.5加.

任务二：根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出学校旗杆GH的高度.

（参考数据：sin25.7。*0.43,cos25.7°«0.90,tan25.7°»0.48,sin31°a0.52,cos31°»0.86,tan31°«0.60）

任务三：该“综合与实践”小组在制定方案时，讨论过“利用物体在阳光下的影子测量旗杆的高度”的方

案，但未被采纳.你认为其原因可能是什么？（写出一条即可）

-21-

解：任务一：1（5.4+5.6）=5.5,

故答案为：5.5；

任务二：设=x加，

在RtADEG中，ZDEG=90°，ZGDE=31°,

331。噜,

/.DE=--

tan31°

在RtACEG中，ZCEG=9Q°,ZGCE=25J°,

FGY

vtan25.7°=——,CE=-------

CEtan25.7°

-：CD=CE-DE,

•%%=S5

"tan25.7°tan310*'

/.x=13.2,

=EG+£"=13.2+1.5=14.7(米),

答：旗杆GH的高度为14.7米；

任务三：没有太阳光或旗杆底部不可能到达.

G

23.（12分）如图，线段3。是A43c的角平分线，点£、点厂分别在线段a）、NC的延长线上，联结/£、

BF,且AB-BD=BC-BE.

(1)求证：AD=AE；

(2)如果8F=D尸，求证：AFCD=AE-DF.

-22-

B

【解答】证明：(I)•••8。是A45C的角平分线，

/ABE=ZCBD,

AB•BD=BC,BE,

AB_BE

…菸一访’

/.\ABE^\CBD,

ABDC=ZAEB,

•・•ZBDC=/ADE,

/.NAEB=ZADE,

AD=AE；

(2)•/BF=DF,

/BDF=ZFBD,

ZBDF=ZBAF+/ABD,ZFBD=ZDBC+ZCBF,

/.ZBAF+ZABD=ZDBC+ZCBF,

ZABD=ZCBD,

/.ZBAF=/FBC,

/BFC=NAFB,

/.ABCF^AABF,

BF_CF

…标一茄’

BF2=AFCF,

DF=BF,

DF2=AF•CF,

•：DF=AF—AD,

:.(AF—AD)DF=AFCF,

-23-

/.AF-DF—AD•DF=AF•CF,

AF,DF-AF•CF=AD•DF,

AF\DF-CF)=AD-DF,

DF-CF=CD,AD=AE,

AF•CD=AE•DF.

24.(12分)如图，在四边形中，ADIIBC,ZABC=90°,AD=CD,。是对角线/C的中点,

联结BO并延长交边CD于点E.

(1)求证：\DAC^\OBC；

(2)若BELCD,求任的值.

BC

【解答】(1)证明：，."。二。。，

/.ADAC=ZDCA,

AD//BC,

NDAC=NACB,

•.,。是ZC的中点，ZABC=90°,

/.OB=OC,

/.ZOBC=NOCB,

/.ADAC=ZDCA=ZACB=NOBC,

\DACS\OBC；

(2)解：•/BELCD,

/BEC=90°