2024-2025学年山西省吕梁市高三（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年山西省吕梁市高三（上）期中数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.已知集合4={-2,—1,0,1,2},B-{x|x2<2},则4CB=()

A.[0,1}B.{-1,1}C.{-1,0,1)D.{0}

2.已知复数z=(l+i)2,贝i||z|=()

3.下列函数中，既是奇函数又是减函数的是（）

A./(%)=cosxC./(%)=D./(x)=2%-2

4.已知数列｛an｝的各项均不为0,设甲：ai=an_2an+2（nEN*,n>3）；乙：数列｛即｝是等比数列，则甲是

乙的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D,既不充分也不必要条件

5.已知△ABC满足卷1而，AM=^AB+^C,且向量瓦?在向量就上的投影向量为萍，贝UtanNCAM=

西

2

6.如图，设矩形ABCDQIB<4D）的周长为8si,把△4CD沿4C向△4BC折A

叠，力。折过去后交BC于点P,记aABP的周长为I,面积为S,贝号的最大值

A.3-2A/2

B.3+2A/2

C.6+4^2

D.6—4^/2

7.已知函数/（%）是定义在R上的奇函数，且/（尤+1）为偶函数，当0W比W1时，/（x）=32x+2x-l,则下

列结论中正确的是（）

B.樗)<3

A./(14)>3C./(万3)<3D./(log218)<3

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TTX

8.当％e[0,2初时，曲线y=2s讥®%-§)3>0)与y=sinS-,)的交点个数为4个，则实数3的取值范围

是()

A.(|为B.[|,5C.(|,演D.[总刍

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.下列命题正确的是()

1

A.sin6cos6(tan0+=1

B.sm40°(tanl0°—=1

C.在等差数列｛册｝中，an=m,am=n,(m^n),则。加十九=0

D.在等差数列｛七｝中，S九为其前几项和，若S4=6,S8=10,则Si6=18

10.若实数%,y满足/+y2_/y=2,则()

A.%2+y2<3B.xy>|C.%+y之一的D.y-x<平

11.已知函数/(X)='-mX,则下列结论正确的是()

A.若0<a<b,则/(a)>f(b)

B.f(x)有两个零点

C./(log20232024)+/(log20242023)=0

D.若/'(a)=「-以：；，a£(0,1),be(0,+oo),则ae"=1

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知向量H=(2,3),b=(m,|),且(2+21)〃Z,则zn=.

13.对于数列｛aj定义数列｛斯+1+斯｝为数列｛陶的“和数列"，若的=1,数列｛a„｝的“和数列”的通

项公式为3-2",则数列｛册｝的前21项和S2i=.(结果保留指数形式)

14.在锐角△A8C中，角4B,C的对边分别为a,b,c,若炉―=公，则称+一的取值范围为.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

已知函数/(Y)=2^sina>xcosa>x—2cos2a>x+1(<D>0,xGR),且/'(%)的最小正周期为兀.

(1)将函数f(x)的图象向右平移9(W>0)个单位长度，得到函数g(x)的图象，若。(久)是偶函数，求3的最小

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值；

(2)若f(o)=|,ee[o,f],求cos2。的值.

16.(本小题15分)

2

已知函数/(%)=log2(x-2x+2).

(1)证明：曲线y=/(%)是轴对称图形；

(2)若函数gQ)=2/W+|x3-2x+a在[—3,3]上有三个零点，求实数a的取值范围.

17.(本小题15分)

民族要复兴，乡村需振兴.为响应国家号召，我市城市规划管理局拟将某乡村一三角形区域规划成休闲度假

区，通过文旅赋能乡村经济发展.度假区按如图所示规划为三个功能区：区域规划为露营区，

△P4B区域规划为休闲垂钓区，△27!(；区域规划为自由活动区.为安全起见，预在鱼塘四周围筑护栏.已知

乙ABC=90°,AB=3®m,BC=3km,P为△ABC内一点，乙BPC=120°.

(1)当时，求护栏的长度(△P4B的周长)；

(2)若乙4PB=120°,求tan/PBA；

(3)为了容纳更多的游客，露营区的面积要尽可能大，求露营区面积的最大值.

18.(本小题17分)

已知函数/(X)=x(lnx+rri)(m&R).

(1)令g(x)=4^+小久之+久，求g(x)的单调区间；

(2)若存在%1，*2(久1<刀2)使得/'(久1)=/(久2)，求证：%1%2<e-2~2m.

19.(本小题17分)

对于无穷数列｛an｝,“若存在口力一出=eN*即>k),必有。„,+1-纵+1=t”，则称数列｛an｝具有

M(t)性质.

(1)若数列5｝满足即=(In-SCn^kneN*)判断数列5｝是否具有“⑴性质？是否具有M(4)性质？

(2)把(1)中满足M(t)性质的t从小到大一一列出，构成新的数列｛g｝，若S“=£之14,求证：Sn<2；

2^-1

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（3）对于无穷数列{即},设T={x|x=dj-aj</},若数列具有M（。）性质，求集合T中元素个数的最大

值.（写出表达式即可，结论不需要证明）

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参考答案

l.c

2.C

3.C

4.B

5.C

6.A

7.0

8.B

9.4C

IQ.ACD

ll.BCD

12.1

13.411—3

14.(羊竽)

15.解：(1)/(%)=2y^sina)xcosa)x—2cos2(ji)x+1

=y/^sin2a)x—cos2(ji)x=2sin(2a)x—^),

由于/(%)的最小正周期为江，所以3=1,

所以/(%)=2s讥(2%—勺,

将函数/(x)的图象向右平移＞0)个单位长度，得到函数g(x)=/0-0)=2s讥［2(%-0)-看

71

]=2sin(2x—2(p--^),

由于g(x)是偶函数，所以一20-着=/OT+-W=-Gz,

由于0>0,所以k=一1时，0取得最小值为号.

(2)/(0)=2s讥(28—1)=,,sin(20=1)=|,

由于e6[O,f],20G[0,争,29—台[—翳],

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所以cos(2。一勺=Jl-sin2(20-^)=右

所以cos26=cos［(20-^)+?=x^-|x1=4^~3.

UDD/。乙J_U

16.(1)证明:由函数/(%)=/。比(/-2%+2),定义域为R,

22

则/(2-%)=Zo,g2［(2—%)—2(2—%)+2］=log2(x—2x+2),

因此可得/(%)=/(2-x),

故函数y=/(乃的图象关于久=1,即曲线y=/(%)是轴对称图形.

2o7

(2)解：由g(%)=2“%)+-%3—2%+a=%2—2%+2+-%3—2%+a=-%3+%2—4%+2+a,

若函数g(x)=2八，)+|炉—2x+a在［—3,3］上有三个零点，

则方程以久)=|x3+X2-4X+2+a=0在［—3,3］上有三个实根，

即。=-jx3-%2+4x—2在［—3,3］上有三个实根，

令拉⑺=-|x3-x2+4x-2,则y=a与h(x)的图象在［—3,3］上有三个交点，

又h'(X)=—2x2—2x+4=-2(%+2)(x—1),

当—3<%<—2或1<%<3时，h'(x)<0,

则h(%)在［-3,-2)和(1,3］上单调递减,

当一2V%VI时，hf(x)>0,则九(%)在(-2,1)上单调递增,

又h(-2)=x(—2)3—(—2)2+4x(—2)-2=一学'九(1)=xI3—I2+4X1—2=

h(-3)=-|x(-3)3—(—3)2+4x(-3)-2=-5,h(3)=一|x33-32+4x3-2=-17,

因此可得h(久)的图象如图所示，

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17.解：（1）在aPBC中，由正弦定理得

sinZ-PCBsin乙BPC

gn二

sin乙-sinl20of

解得sin/PCB=1,

而NPCB为锐角，贝U/PC8=30°,乙PBC=30°,/.PBA=60。，

在△PEB中,由余弦定理得以2=(73)2+(373)2-2X73X3邓Xcos60°=21,

即R4=721,

所以△P4B的周长，

即护栏的长度为(即+4^3)km；

(2)令锐角NPB4=6,则NPBC=90。一仇乙PCB=60°-(90°-0)=6-30°,

在△PBC中，由正弦定理得:

sin(0-3O°)—s讥120。

贝!JPBs讥120。=3sin(0-3O°),

在△P4B中，由正弦定理得

sinZ.PABsin乙4PB

贝lJPBsinl20。=3避sin（60。-0）,

于是3s讥（8—30。）=3避sin（60。—8）,

整理得tcm。=竽，

所以tan/PBA=早；

（3）设4PBC=,（0°<（p<60°）,贝！UPCB=60°-cp,

PRQ

在△PBC中，由正弦定理得诉『二痂而，

则PB=24sin（6OO-0）,

于是△P8C的面积,BCsin（p=3避sin（60°—0）siri0=3避吟~sin（pcos（p-5«（p）

=3Fd^~stn2（p+7cos2（p"）=^?sin（2（p+30°）—^^,

44424

而30°<2R+30°<150°,

则当2p+30°=90°,即s=30°时，（S4PBC）=挛，

4

所以为了容纳更多的游客，露营区的面积要尽可能大，露营区面积的最大值为挛人小2.

4

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18.解：(1)易知g(%)="%++mN+%,函数定义域为(0,+8),

h〃目，/、2mx2+x+1

可得9(X)=---------------，

当TH=0时，g'(x)=号>0恒成立，

所以g(x)在(0,+8)单调递增；

当加>0时，g'Q)>W^>0恒成立，

所以g(x)在(0,+8)上单调递增；

当m<0时，4=1—8m>0,

令g'(x)=0,

解得久1=T+--8T=-1-《一8优>0,

4m4m

因为-1+'1—8m>0,

所以％1<0,

当0<%V%2时，“(%)>0,g(%)单调递增；

当%>%2时，“(%)V0，9(%)单调递减，

综上，当m>0时，g(%)在(0,+8)上单调递增；

当巾<0时，9(比)在(0,士三加)上单调递增，在(一1一『而+8)上单调递减

(2)证明：易知/(久)定义域为(0,+8),

可得「(%)=+m+1,

当0<%ve-m-i时,f(x)<0,f(%)单调递减;

当久>e-mT时,f'(x)>0,/(%)单调递增，

m1

所以%1<e--<x2,

因为％1("%1+m)=%2(2+血)，

令第1=tx2,0<t<1,

此叮无2一仇5+m~tf

grpi仇为2+m_

"Int+lnx2+m-'

pti-tjthrt

lnx=--m,

2i-t

所以=Int+lnx2=7^7—m,

1—t

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止匕时仇打十仇=2=-2m(0<t<1),

"：1—1t""

冷一2

即久i%2—e1n

此时只需证明2即可,

1—t

即明(t+1)仇t+2(1—t)<0,

令h(t)=(t+l)Znt+2(1—t),函数定义域为(0,1),

令F(%)=lnx-x+1,函数定义域为(0,+8),

可得F'(久)=亍，

当0<久<1时，尸(久)>0,F(x)单调递增；

当x>1时，Fz(x)<0,F(%)单调递减,

所以F(%)<F(1)=0,

所以仇％<%-1,

即吟4一1,

111

所以"(t)=lnt+A-1>1-A+A_1=O,h(。在(0,1)上单调递增，

则h(t)<h(l)=0.

故久i%2<e~2~2m,

19.解：(1)因为即=｛聚5/色&ENy

当九23时，册均为奇数，

故若存在。加一以=1(矶々EN*,m>fc),

由题意可得口m+s~ak+s=l，sN3,sGN，

由奇数减奇数为偶数，偶数减偶数为偶数，可得a^+s-队+s为偶数,

与a?n+s—+s矛盾，

所以数列｛册｝不具有M(l)性质；

因为。5—。3=4,。6—。4=4,且。5+左一。3+k=4,k6N,

故数列｛册｝具有M(4)性质；

(2)证明:因为口=图”>为”N*)，

Q1=2,。2=4为偶数，

n>3时，an均为奇数，故由题设条件知t不可能为奇数，

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又a3+k+n-a.3+k=2n(fc>0,n>1),bn=2n,

令c="—=二_=_____I_____<」_

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