2024-2025学年人教版数学八年级上册专项复习：三角形（解析版）

专题01三角形

思维导最1）

三条边三角形的两边之和大于第三边

直角三角形

按角锐角三角形

钝角三角形

三边都不相等的三角形

按边

底边和腰不相等的等腰三角形

等腰三角形

等边三角形

互余关系及90°

三条高（或所在直线）相交于一点

分对边相等，分得的两个三角形面积相等

中线/------------------------------------------

-----------Q三条中线相交于三角形内部一点，该点为三角形的重心

三角形内角被分成两个相等的角

角平分线/-----------------------------------

------2~《三条角平分线相交于三角形内部一点

考点串

一.三角形的有关概念

1.定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.

2.有关概念及其表示方法：如图所示，线段48,AC,8C叫做的三条边.点B,C叫做A45C

的三个顶点.乙4,ZB,NC叫做AABC的三个内角，简称三角形的角.顶点是aB,C的三角形，记

作“△Z8C”，读作“三角形N2C”.

A

注意：

①由三角形的定义可知，三角形有三个特征：三条线段；不在同一条直线上；首尾顺次相接.

②用符号时，其后必须紧跟表示三角形三个顶点的大写字母，不能单独使用.如“三角形的角”不

能写成“△的角”.

二.三角形的分类

三边都不相等的三角形

按边的相等关系分类:三角形《底边和腰不相等的等腰三角形

等腰三角形

等边三角形

'直角三角形

按角的大小分类：三角形锐角三角形

.钝角三角形

注意：

①等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形包括等边三角形；不等边三角形是指三条边都不相等的三

角形.

②无论按哪一标准对三角形进行分类，都必须做到不重复、不遗漏.

三.三角形的三边关系

1.三边关系的性质：三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边.三角形的三边关系反映了

任意三角形边的限制关系.

2.三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三

条线段可以组成三角形；否则不能组成三角形.已知三角形两边长，求第三边长的取值范围.

注意：

①这里的“两边”指的是任意的两边.

②三角形的三边关系的依据是“两点之间，线段最短”.

四.三角形的高、中线、角平分线

1.三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高.

2.三角形的高的几何表达形式：如图所示，是AZBC的边8c上的高，或是4人台。的高，或

AD1BC于点D,或ABDA=ZCDA=90°.

注意：

①三角形的高是一条线段.

②锐角三角形的三条高都在三角形内部，三条高的交点也在三角形内部；钝角三角形有两条高落在三角形

的外部，一条高在三角形内部，三条高没有交点，但三条高的延长线交于三角形外一点；直角三角形有两

条高恰好是三角形的两条直角边，另一条高在三角形内部，三条高的交点是直角顶点.

锐角三角形直角三角形

钝角三角形

3.三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线.三角形的三条中线

相交于一点，三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.

4.三角形的中线的几何表达形式：如图所示，是△48C的8c边上的中线，或是△48C的中线,

或BD=CD'BC.

5.三角形的中线分成的两三角形的面积和周长的关系：如图所示，是△ZBC的中线，NE是的

高，则BD5OZE，CD，

S△“/LDU=-22S“=_CD.AE

因为5£>=。£>,所以工5。ZE=

22

即S»ABD=S/CD-

因为&ABD的周长为AB+BD+AD,AACD的周长为AC+CD+AD,

所以AAB。的周长一△NC。的周长+—

①三角形的中线是一条线段.

②三角形每一条边上的中线将三角形分成面积相等的两个三角形，这两个三角形的周长差等于另两边长的

差.

③三角形的重心一定在三角形的内部.

6.三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的平分线和对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做

三角形的角平分线.

7.三角形的角平分线的几何表达形式：如图所示，4D是AABC的角平分线，或

ZBAD=ZCAD=-ABAC且点。在5c上.

2

注意：

①三角形的角平分线是一条线段.

②三角形的三条角平分线都在三角形的内部，并且三条角平分线交于三角形内一点.

五.三角形的稳定性

三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性.

六.三角形内角和定理

1.定理：三角形三个内角的和等于180°.

2.定理的推理论证：

已知：&ABC.

求证：Z5^C+Z5+ZC=180°.

证明：如图所示，过点/作直线EE〃8C.

,/EF//BC,

ZEAB=ZB,ZFAC=ZC（两直线平行，内错角相等）.

•/ZEAB,ABAC,NE4c组成平角，

/.AEAB+ABAC+ZFAC=180°（平角定义）.

：.ZBAC+ZB+ZC=180°（等量代换）.

七.直角三角形的性质与判定

1.直角三角形的性质：直角三角形两个锐角互余.

2.直角三角形表示方法：直角三角形可以用符号“R/△”表示，直角三角形N8C可以写成用

符号“火〃”表示时，后面必须紧跟表示直角三角形的三个顶点的大写字母，不能单独使用.

3.直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形.

如图所示，在AZ5c中，如果N/+N8=90°,那么AZBC是直角三角形.

八.三角形的外角

1.三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角，如图所示，ZACD

是△48C的一个外角.

2.三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.

注意：

①三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角，所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外

角.因为三角形的每个外角和与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是180°,可推出三角形的三个

外角和是360°.

②三角形内角和定理与三角形外角的性质是角的有关计算及推理论证时经常使用的理论依据.

九.多边形及正多边形

1.多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.

(1)多边形按组成它的线段的条数分成三角形、四边形、五边形……三角形是最简单的多边形.如果一个

多边形由〃条线段组成，那么这个多边形就叫做〃边形.

(2)多边形相邻两边组成的角叫做它的内角.多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.

(3)多边形可分为凸多边形和凹多边形.画出多边形的任何一条边所在直线，整个多边形都在这条直线的

同一侧，这样的多边形叫做凸多边形.

2.正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形.

十.多边形的对角线

连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.

注意：

“边形共有△——L条对角线.

2

十一.“边形的内、外角和公式

1.〃边形内角和公式：〃边形内角和等于(〃-2)x180°.

(1)探求方法：从〃边形的一个顶点可以引(〃-3)条对角线，把〃边形分为(〃-2)个三角形，这(〃-2)

个三角形的所有内角和即为〃边形的内角和，所以〃边形的内角和为(〃-2)x180°.

(2)内角和定理的应用：①求多边形内角和；②由多边形内角和确定多边形的边数；③求正多边形的每

个内角的度数；④由正多边形的每个内角的度数确定正多边形的边数.

2.多边形的外角和：(每个顶点处取一个外角)

(1)定理：多边形外角和等于360°.

(2)多边形外角和定理的证明：多边形的每个内角和与它相邻的外角都是邻补角，所以〃边形的内角和加

夕卜角和为〃xl80°,所以夕卜角和等于〃xl80°—(〃-2)xl80°=360°.

(3)外角和定理的应用：①已知外角的度数求正多边形的边数；②已知正多边形的边数求外角的度数.

注意：

①多边形的外角和恒等于360°,而与边数多少无关.

②内角和随边数的变化而变化：边数每增加1,内角和就增加180°.

【专题过关】

三角形的相关概念及分类（共4小题）

1.下列图形中，三角形是（）

A

D.

【答案】C.

【解析】解：选项C是二角形,

故选：C.

2.如图均表示三角形的分类，下列判断正确的是（)

A.①对，②不对B.①不对，②对C.①、②都不对D.①、②都不对

【答案】B.

【解析】解：,••等腰三角形包括等边三角形,

①分类方法不对，

:三角形按角分类可分为：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形,

•••②分类方法对，

故选：B.

3.下列几何图形是钝角三角形的是（）

D.

【答案】B.

【解析】解：观察各选项，根据钝角三角形的定义可知，B为钝角三角形;

故选：B.

4.如图，图中三角形的个数为（）

B.4个C.5个D.6个

【答案】C.

【解析】解：图中的三角形为：AABD,AACE,△DCE,ANCD和AAgC,有5个三角形,

故选：C.

三角形存在性问题（共4小题）

5.以下列各组线段为边，能组成三角形的是（）

A.2、2、4B.8、6、3C.2、6、3D.11、4、6

【答案】B.

【解析】解：根据三角形的三边关系，知

A.2+2=4,不能组成三角形；

B.3+6>8,能够组成三角形；

C.3+2=5<6,不能组成三角形；

D.4+6<11,不能组成三角形.

故选：B.

6.现有两根长度分别3cm和7cm的木棒，若要钉成一个三角形木架，则应选取的第三根木棒长为（）

A.4cmB.7cmC.10cmD.13cm

【答案】B.

【解析】解：设此三角形第三条边长为a,由三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边可

知，

第三条边的范围应为4VaV10,

故A、C、D选项皆不在上述范围内，

故选：B.

7.一个三角形的两边长为3和8,第三边长为奇数，则第三边长为（）

A.5或7B.7或9C.7D.9

【答案】B.

【解析】解：根据三角形的三边关系，得

第三边大于8-3=5,而小于两边之和8+3=11.

又第三边应是奇数，则第三边等于7或9.

故选：B.

8.一个三角形的两边长为2和6,第三边为偶数，则这个三角形的周长为（）

A.10B.12C.14D.16

【答案】C.

【解析】解：第三边的取值范围是大于4且小于8,又第三边是偶数，故第三边是6.

则该三角形的周长是14.

故选：C.

三.三角形高线的确定（共4小题）

9.下列说法不正确的是（）

A.同角的余角相等

B.对顶角相等

C.三角形三条高所在的直线一定交于一点，并且该点位于三角形内部

D.平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

【答案】C.

【解析】解：A.同角的余角相等，正确，故此选项不符合题意；

B.对顶角相等，故选项正确，故此选项不符合题意；

C.三条高线可以交在三角形的内部，或外部，或一角的顶点，故选项错误，故此选项符合题意;

D.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故选项正确，不符合题意.

故选：C.

10.下列各图中，正确画出NC边上的高的是（）

B

A.C.D.

【答案】D.

【解析】解：A4BC中ZC边上的高即为过点3作NC的垂线段，该垂线段即为ZC边上的高，四个选项

中只有选项D符合题意,

故选：D.

11.画ANBC的8c边上的高，正确的是（)

B.

【答案】C.

【解析】解：画A4BC的8c边上的高，即过点/作5c边的垂线.

故选：C.

12.如图，在A48C中，下列关于高的说法正确的是（）

A.线段是ZC边上的高B.线段CE是边上的高

C.线段CF是ZC边上的高D.线段BE是NC边上的高

【答案】D.

【解析】解：△48C中，AB,AC,8c边上的高分别为线段CE,线段8E,线段ZD.

故选：D.

四.三角形中线的相关问题（共7小题）

13.王老汉要将一块如图所示的三角形土地平均分配给两个儿子，则图中他所作的线段应该是

的

B.中线C.高线D.以上都不是

【答案】B.

【解析】解：由三角形的面积公式可知，三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分,

他所作的线段AD应该是AABC的中线,

故选：B.

14.如图所示，在△NBC中，AB=8,AC=6,是AZBC的中线，则△25。与△NDC的周长之差

B.1C.2D.7

【答案】C.

【解析】解：：如图，在△48C中，4D是△48C的中线,

BD=CD.

•：AABD的周长=幺5+/。+5£),仆人。。的周长=ZC+AD+C£)=ZC+AD+8。,

.•.△幺5。与42。。的周长之差为：Z8—ZC=8—6=2.

故选：C.

15.如图，AD、CE都是△48C的中线，连接££）,△48C的面积是10c加2,贝以8。£的面积是（）

A.125cm-B.2cm2C.2.5cm2D.5cw2

【答案】c.

【解析】解：：是△NBC的中线，AZBC的面积是10c%2,

△48。的面积=A48C的面积x」=5(cm2),

2

•:E是的中点，

ABDE的面积=AaSZ)的面积X」=2.5(cm2),

2

故选：C.

16.如图，40是△48C的中线，48=8,ZC=7,若△4DC的周长为18,则△48。的周长为.

【解析】解：是AABC的中线，

BD=CD,

'：AZCD的周长为18,

/.AC+AD+CD=IS,

•/AC=7,

：.AD+CQ=18—7=11,

BD+AD=11,

:.AABD的周长=28+8。+AD=8+11=19,

故答案为：19.

17.如图，在AZBC中，是5c边上的中线，4人。。的周长比△48。的周长多3,48与ZC的和为

13,则NC=.

【解析】解：：人。是边上的中线,

/.BD=CD,

,**C△Am—AC+AD+CD△,ADUCARri=AD+BD+AB,

：①

.C△A.rL-Dn-C△A.tK5Ln)=AC+AD+CD-AD-BD-AB=AC-AB='3—',

：.AC+AB=13,②

.•.①+②得：2ZC=16,

/.AC=8.

故答案为：8.

18.已知：如图所示，在△ZBC中，点。，E,F分别为BC,AD,CE的中点，且5“4=4。机2,则阴

影部分的面积为cm1.

【解析】解：•••。为5c中点，

:,S-ABD=S/CD=5S“BC=2X4=2卜疗)>

22

同理S.EBD=S=—S=—x2=l(cm),S=S=—S=—x2=l(cm)

△1LDLJ△xAilELDB△JAIIBJUD\J△EDCAECADC\J

,•S-BCE=S"BC—S/BE-S-AEC=2(cm)，

•.•尸为EC中点,

S^BEF~2S^BCE=5x2=1卜疗).

故答案为1.

19.在△45。中，。是8c的中点，46=12,AC=8.用剪刀从点。入手进行裁剪，若沿ZU剪成两个

三角形,它们周长的差为；若点£在AB上，沿。£剪开得到两部分周长差为2,则AE=.

【答案】4；1或3.

【解析】解：如图，

D

•••。是的中点，

/.BD=CD,

：.AABD的周长—△ZC。的周长=AS+8。+AD—(ZC+CD+AD)=AB-AC=4,

如图，设ZE=x,则8£=12—x,

当四边形NCQE的周长一AADE的周长=2时，

即AE+ED+CD+AC-(BE+BD+DE)=2,

整理得，AE+AC-BE=2,

-x+8-(12-x)=2,

解得x=3；

当ABQE的周长-四边形NCOE的周长=2时，

即5E+AD+DE-(2£+£。+。。+幺。)=2,

整理得，BE-AE-AC=2,

12—x—%—8=2,

解得x=l；

ZE=1或3,

故答案为：4；1或3.

五.三角形的稳定性（共2小题）

太阳能热水器篮球架三脚架活动衣架

【答案】D.

【解析】解：A.应用到三角形的稳定性，不符合题意；

B.应用到三角形的稳定性，不符合题意；

C.应用到三角形的稳定性，不符合题意；

D.没有应用到三角形的稳定性，符合题意；

故选：D.

21.空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种方法应用的几何原理是

【答案】三角形具有稳定性.

【解析】解：这种方法应用的数学知识是：三角形的稳定性,

故答案为：三角形具有稳定性.

六.三角形三线综合应用（共5小题）

22.下列说法正确的是（）

A.三角形的角平分线、中线和高都在三角形内

B.直角三角形只有一条高

C.三角形的高至少有一条在三角形内

D.三角形的高是直线，角平分线是射线，中线是线段

【答案】C.

【解析】解：A.错误.三角形的高不一定在三角形内.

B.错误.直角三角形也有三条高.

C.正确.

D.错误.三角形的高，角平分线，中线都是线段.

故选：C.

23.如图，在AZBC中，ZC=90°,D,£是NC上两点，且ZE=QE,BD平6/EBC,那么下列说

法中不正确的是（）

A.是△ZBD的中线B.8。是ABCE的角平分线C.Zl=Z2=Z3D.8c是AADE的高

【答案】C.

【解析】解：A.由图可知：8E是AAB。的中线，正确，不符合题意；

B.由图可知：8。是ABCE的角平分线，正确，不符合题意；

C.•••BQ是ABCE的角平分线，

Z2=Z3,

「BE是中线，

/.N1wN2,

.•.N1=N2=N3不正确，符合题意.

D.由图可知：

•/ZC=90°

.•.8。是45。£的高，正确，不符合题意;

故选：C.

24.如图，在△ZBC中，是高，ZE是角平分线，ZE是中线，则下列说法中错误的是（）

A.BF=CFB.ZC+ZCAD=90°C.ZBAF=ZCAFD.S,„r=2S4A,BRFP

【答案】c.

【解析】解：•••4F是AABC的中线，

BF=CF,A说法正确，不符合题意;

,•14D是高，

ZADC=90°,

/.ZC+ZCAD=9Q°,B说法正确，不符合题意;

VZE是角平分线，

/.ZBAE=ZCAE,而N34F与NC1F不一定相等，C说法错误，符合题意;

,/BF=CF,

••SABC=2SABF,D说法正确，不符合题意;

故选：C.

25.如图，在A4BC中，Zl=Z2,G为的中点，延长8G交NC于瓦尸为48上一点，

CFLAD

于〃，下面判断正确的有（）

①CH是AZCQ边幺。上的高；

②是△48。边40上的中线；

③是AABE的角平分线；

④是AZC下的角平分线和高.

【答案】B.

【解析】解：①VCFJL2。于H,

CH是△ZC。边上的高，本小题判断正确；

②：G为40的中点，

.•.5G是△48。边/。上的中线，故本选项判断错误;

③：Zl=Z2,

.•.ZG是A4BE的角平分线；故本选项判断错误；

@-：CFLAD,Zl=Z2,

.•.ZH是AZC下的角平分线和高，本小题判断正确；

故选：B.

26.如图，在AZBC中，ABAC=90°,2。是高，是中线，C下是角平分线，CF交AD于点G,交

BE于点、H,给出以下结论：①BF=AF；@ZAFG=ZAGF；（3）ZFAG=2ZACF；（4）

⑤8〃=CH.其中结论正确的有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

【答案】B.

【解析】解：是A4BC的中线，

,"S/BE=S^BCE'

故④正确，符合题意；

•••C户是角平分线，

ZACF=ZBCF,

,/AD1BC,

:.NBCF+NCGD=90。,

,/ABAC=90°,

：.ZACF+ZAFG=90°,

ZCGD=ZAFG,

,/ZCGD=ZAGF,

ZAGF=ZAFG,

故②正确，符合题意；

,/ADLBC,ABAC=90°,

ZFAG=ZACB=2ZACF,

故③正确，符合题意；

由已知条件不能确定NHBC=ZHCB,

...5H与C8的关系不能确定，故⑤错误，不符合题意；

户是角平分线，ZBAC=90°,

BF彳AF,

故①错误，不符合题意;

综上，符合题意的有3个,

故选：B.

七.三角形的规律探究问题（共2小题）

27.如图，尸。是直线/的垂线段，每次在尸。两侧依次增加1条线段，则第20个图形中共有三角形的数

量是（）

①②

A.820B.840D.20

【答案】A.

【解析】解：由题知,

第1个图形中三角形的数量是:3=1+2；

第2个图形中三角形的数量是:10=1+2+3+4；

第3个图形中三角形的数量是:21=1+2+3+4+5+6；

第4个图形中三角形的数量是:36=1+2+3+4+5+6+7+8；

所以第"个图形中三角形的数量是：1+2+3+…+2〃=叫；+1）=〃（2〃+1）,

当〃=20时,

〃（2〃+l）=20x（40+l）=820（个）,

即第20个图形中三角形的数量是820个.

故选：A.

28.按图示的方法搭1个三角形需要3根小棒，搭2个三角形需要5根小棒，那么搭10个三角形需要

根小棒，搭〃个三角形需要根小棒.

【答案】21,（2〃+1）.

【解析】解:由所给图形可知，

搭1个三角形需要的小棒根数为：3=1x2+1；

搭2个三角形需要的小棒根数为：5=2x2+1；

搭3个三角形需要的小棒根数为：7=3x2+1；

•••，

所以搭〃个三角形需要的小棒根数为（2"+1）根，

当〃=10时，

2n+l=21（根），

即搭10个三角形需要的小棒根数为21根.

故答案为：21,（2«+1）.

八.三角形内角和定理的应用（共5小题）

29.一个三角形，3个内角度数之比是2:5:2,这个三角形是（）三角形.

A.锐角B.钝角C.直角D.等边

【答案】B.

【解析】解：三个内角的度数分别为2左，5k,2k.

则2左+5左+2左=180°,

解得左=20°,

2k=40°,5左=100。，2k=40°,

这个三角形是钝角三角形.

故选：B.

30.如图，在AZBC中，4D平分NB4c交边BC于点D,DE〃AB交边AC于点、E.若28=48°,

ZC=26°,则ZADE的大小为（）

A.42°B.52°C.53°D.54°

【答案】c.

【解析】解：•••28=48°,"=26°,

/.ABAC=18O°-Z5-ZC=106°,

,/AD平分NBAC,

：.ABAD=-ABAC=53°,

2

•/DE//AB,

AADE=/BAD=53°,

故选：C.

D.55°

【答案】A.

【解析】解：根据三角板角度的特殊性可知NZ£8=45°,ZB=60°,

：Na+ZAEB+ZB=180°,

Na=180°—NZE5—Z8=180°—45°—60°=75°.

故选：A.

32.已知△NBC中，平分N48C,点P在射线上.

(1)如图1,若NR4C=100°,NPBC=NPCA,求N5PC的度数;

(2)若N48C=40。，ZACB=30°,直线C尸与△Z8C的一条边垂直，求NAPC的度数.

【答案】（1）Z5PC=100°；（2）N5PC的度数为70。或40°或110°.

【解析】解：（1）设ZABP=x,则/尸8C=NZCP=x,

,/ZACD+ZACB=ZA+ZABC+ZACB=180°

ZACD=ZA+ZABC,

：.x+ZPCD=100°+2x,

：.ZPCD=lQQ0+x,

•：ZPCD+ZPCB=ZPBC+ZBPC+ZPCB=180°,

ZPCD=ZPBC+ZBPC,

：A00°+x=x+ZBPC,

：.ZBPC=100°；

（2）分三种情况：

①当CP，8c时，如图2,

图2

则Z5CP=90°,ZPBC=20°,

ZBPC=70°；

②当CP_LZC时，如图3,

图3

则NNCP=90。，

在&BCP中，ZBPC=180°-20°—30°—90°=40°；

③当时，延长CP交直线于G,如图4,

图4

则ZBGC=90°,

•/ZABC=40°,

?.ZBCG=50°,

在AAPC中，ZBPC=180°-50°-20°=110°；

综上，N5PC的度数为70°或40。或110°.

33.如图，在AZ5c中，ZACB=90°,CD为Z8边上的高，BE平分NABC,分别交CD,ZC于点

F,E.

(1)若NCEF=50°,求NZ的度数；

(2)NCEE与NCEE相等吗？请说明理由.

【答案】(1)ZA=10°；(2)ZCFE=ZCEF,理由见解析.

【解析】解：(1),/ZACB=90°,ZCEF=50°,

ZCBE=40°,

•:BE平分NABC,

：.ZABC=80°,

NZ=90°—80°=10°；

(2)NCFE=NCEF,理由如下：

'：ZACB=90°,

：.ZCBE+ZCEB=90°,

,/CD1AB,

：.ZEBA+ZBFD=90°,

又；BE平分/ABC,

NCBE=ZEBA,

/.ZCEB=ZBFD,

,/ZBFD=ZCFE,

ZCEB=ZCFE,

即ZCFE=ZCEF.

九.三角形内角、外角的综合应用（共5小题）

34.将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则Na的大小为（）

A.80°B.75°C.70°D.65°

【答案】B.

【解析】解：=22=45°,

AZa=Zl+Z2=75°.

故选：B.

35.如图是可调躺椅示意图（数据如图），ZE与AD的交点为C,且NC48、NCBA、NE的大小保持

不变.为了舒适，需调整的大小，使NEED=110°,则图中ND应（

B.减少10°C.增加20°D.减少20。

【答案】B.

【解析】解：延长£/，交CD于点G,如图:

•/ZACB=180°-50°-60°=70°,

：.ZECD=ZACB=70°.

,/ZDGF=ZDCE+ZE,

：.ZDGF=100+30°=100°.

'：ZEFD=ZDGF+ZD,

/.ZD=10°.

而图中ND=20°,

.,.ND应减少10°.

故选：B.

36.一个三角形中，若任意两个内角度数之和都大于另一个内角，这个三角形必定是一个钝角三角

形.（判断对错）

【答案】X.

【解析】解：三角形中，若任意两个内角度数之和都大于另一个内角，这个三角形不一定是一个钝角三角

形，例如：三角形三个内角都是60度，它是锐角三角形.

故答案为：X.

37.将一副直角三角板如图放置，ZA=30°,NF=45°.若边48经过点。，KOZEDB=°.

【解析】解：：NZC5=90°,ZA=30°,

.\ZA£C=90°-30°=60°,

,；NABC=NF+NBDF,ZF=45°,

，ZBDF=ZABC—NF=60°—45°=15°,

,/ZEDF=90°,

NEDB=ZEDF-NBDF=90°-15°=75°,

故答案为75.

38.将一副三角尺按如图所示的位置摆放在直尺上，则N1的度数为

【答案】75°.

Z2=75°,

•直尺的上下两边平行，

/.Zl=Z2=75°,

故答案为：75°.

十.三角形的内角和及其角平分线、高的综合应用（共5小题）

39.如图，在中，ZACB<ZA,8。是角平分线，是边ZC上的高，延长8。与外角NZCE

的

平分线交于点G.以下四个结论：@ZABD=ZCBD；（2）ZABE+ZA=90°；③NG=；NN；④

NZ—=其中结论正确的个数是（）

BF

A.1B.2C.3D.4

【答案】D.

【解析】解：♦••AD是△48C角平分线，

ZABD=ZCBD,故①正确；

是边NC上的高，

AZABE+ZA=90°,故②正确；

•••5。是AZBC角平分线，CG平分NNC下，

/.ZABC=2ZGBC,ZACF=2ZGCF,

■：ZACF=ZABC+ZA,ZGCF=ZGBC+ZG,

：.2ZGCF=2ZGBC+ZA,

••.NG=；NZ,故③正确；

,/2NDBE=2(90°-ZADB),ZADB=ZDBC+NACB,

.2NDBE=180°-(2ZDBC+2ZACB)=180°-(ZABC+2ZACB)=180°-(180°-ZA+ZACB)

'=ZA-ZACB

故④正确；

正确的有①②③④共4个，

故选：D.

40.如图，AZBC中，是边上的高线，是一条角平分线，AD,相交于点尸，已知

ZEPD=125°,则ABAD的度数为°.

【答案】20.

【解析】解：是8c边上的高线,

/.ZADB=90°,

•/ZEPD=125°,

ZCBE=ZEPD-ZADB=125°-90°=35°,

•:BE平分NABD,

：.NABD=2NCBE=2x35°=70°,

在RIAABD中，/BAD=90°-NABD=900-70°=20°,

故答案为：20.

41.如图，幺。是ANBC的高，AZBC的两条角平分线ZE、5/相交于点。，ABAC=60°,

ZC=70°.

(1)求NE/。的度数；

(2)求ZBCM的度数.

【答案】(1)ZEAD=10°；(2)ZAOB=125°.

【解析】解：(1)是AZBC的高线,

/.ZADC=90°,

VZADC+ZC+ZCAD=180°,ZC=70°,

ZCAD=180°-90°-70°=20°.

是N3ZC的角平分线，NR4c=60°,

：.ZEAC=-ZBAC=3Q°.

2

/.ZEAD=ZEAC-ZCAD=10°；

(2)•••ZABC+ZC+ZCAB=180°,ZC=70°,ABAC=60°,

：.ZABC=180°-70°-60°=50°,

•••AE,8/分别平分N8/C,ZABC,AE,8/相交于点O,

/.NBAO=-ZBAC=30°,NABO=-ZABC=25°,

22

,/ZABO+ZBAO+ZAOB=180°,

(95=180°-30°-25°=125°.

42.如图，Z。是-45。的高，CE是AZBC的角平分线，8尸是AZBC的中线.

(1)若NZC8=50°,ZBAD=65°,求NZEC的度数；

(2)若48=9,A5C户与的周长差为3,求BC的长.

【解析】解：(1)•••Z。是A4BC的高，

ZADB=90°,

,/ZBAD=65°,

ZABD=90°-65°=25°,

；CE是AZBC的角平分线，ZACB=50°,

：.ZECB=-ZACB=25°,

2

/.ZAEC=ZABD+ZECB=250+25°=50°；

(2):尸是ZC中点，

AF=FC,

ABCF与ABAF的周长差为3,

：.(BC+CF+BF)-(AB+AF+BF)=3,

：.BC-AB=3,

•/AB=9,

：.BC=12.

43.如图，是/氏4C的角平分线，CELAB,ZBAC=60°,ZBCE=40°,求NZQC的度数.

【答案】ZADC=8Q°.

【解析】解：♦••N8ZC=60°,是A45C的角平分线,

:.ZBAD=ZDAC=60°+2=30°,

：CE是A48C的高.

，NCEB=90°,

,/ZBCE=40°,

/.N3=90°—40°=50°,

NADC=ZBAD+ZB=300+50°=80°.

十一.三角形内角和定理、外角性质和三角形的角平分线的综合应用（共4小题）

44.如图，NNC。是的外角，BE平分■NABC,CE平分N4CD,且BE、CE交于点£,

ZABC=ZACE.

（1）求证：AB//CE；

（2）猜想：若NZ=50°,求NE的度数.

【答案】（1）见解析；（2）ZE=25°.

【解析】（1）证明：；CE平分NZCD,

NECD=NACE,

,/ZABC=NACE,

：.ZABC=ZECD,

AB//CE-,

（2）解：:/幺。。是△48C的一个外角，

ZACD=ZABC+ZA,

,:BE平分NABC,

：.ZABE=ZEBC,

：.ZE=ZECD-ZEBC=-ZACD--ZABC=-ZA=25°.

222

45.如图，在锐角A4BC中，两条高线C。、相交于点。

(1)如图1,若NZ=60。，求N80C的度数；

(2)如图2,ZABC=50°,NACB=60。,NZ8E与NZC。的角平分线交于点M,求的度数;

(3)如图3,对任意的锐角AZBC,N4BE与NZCQ的角平分线交于点直接写出NRWC的度数

是.

图1图2图3

【答案】(1)ZBOC=120°；(2)Z5MC=90°；(3)ZBMC=90°.

【解析】解：(1)-：CD.BE是ANBC的高线，

/.ZADC=90°,ZCEO=90°,

在MAZCD中，NZ=60°,

：.ZACD=90°-ZA=30°,

在COE中，ZACD=30°,

：.ZCOE=90°-ZACD=60°,

ZBOC=180°-ZCOE=120°；

(2)延长5"交NC于"，如图2所示：

：.ZA=180°-(/ABC+ZACB)=70°,

,/CD,BE是A48C的高线，

ZADC=90°,ZAEB=90°,

：.ZABE=90°-ZA,ZACD=90°-ZA,

ZABE=ZACD=90°-ZA=20°，

•：ZABE与ZACD的角平分线交于点M,

/MBA=AMBO=-ZABE=10°,ZMCA=ZMCO=-ZACD=10°,

22

：.ZAHB=lS00-(ZA+ZMBA)=100°,

：.ZMHC=180°-ZAHB=80°,

：.ZCMH=180°-(ZMHC+ZMCA)=90°,

/.ZBMC=180°-ZCMH=90°；

(3)ZBMC=90°,理由如下：

延长5初交NC于〃，如图3所示：

设Z-A=2a,

由(2)得：ZABE=ZACD=90°=90°-2a,

•••ZABE与ZACD的角平分线交于点M,

/MBA=-ZABE=45。-a,ZMCA=-ZACD=45°-a,

22

Z.ZAHB=180°-(ZA+ZMBA)=180°-(2a+450-a)=135°-a,

：.ZMHC=1800-ZAHB=180°-(1350-a)=45°+a,

：.ZCMH=180°-(ZMHC+ZMCA)=180°-(45°+tz+45°-a)=90°,

/BMC=180°-ZCMH=90°.

46.【初步认识】

(1)如图①，线段48,CD相交于点O,连接/£),BC.

求证：N4+ND=NB+NC.

【继续探索】

(2)如图②，ZA=m°,ZC=n°,ZABC,NZQC的角平分线AP、。尸相交于点尸.

①若机=40,n=32,求N尸的度数；

②用加、"表示/尸的度数为.

(3)如图③，ZABC,NZQC的角平分线5P,。尸相交于点P,ZDAB,NDCB的角平分线N0,CQ

相交于点。.若NP=NQ,判断与5c的位置关系并说明理由.

【答案】（1）见解析；（2）①36°；②［工―J°；（3）AD//BC,理由见解析.

【解析】（1）证明：由题意，在△Z。。中，ZA+ZD+ZAOD=180°,

：.ZA+ZD=1800-ZAOD.

又：在A50C中，Z8+NC+Z8OC=180°,

/.Z5+ZC=180°-Z5（9C.

又：ZAOD=ZBOC,

：.ZA+ZD=ZB+ZC.

（2）解：①由题意，结合（1）可得，

ZA+NADC=ZABC+ZC,

NZ+ZADP=ZP+NABP.

,:BP平分NABC,DP平分NADC,

：.NADP=-NADC,ZABP=-ZABC.

22

/.ZA+-ZADC=ZP+-ZABC.

22

：.2ZA+ZADC=2ZP+ZABC.

又乙4+ZADC=ZABC+ZC,

：.ZA=2ZP-ZC.

：.ZP=ZA+ZC.

2

又/2=机°=40。，ZC=n°=32°,

.2=g%=36。.

2

②由题意，根据①/尸=NZ；NC,

又N4=m。,ZC=n0,

故答案为：^―°.

(3)解：AD//BC.理由如下：

由题意，根据(2)①可得NP="AB；/DCB,

同理可得，NQ=/4BC；/ADC

又/尸=N0,

.ZDAB+ZDCBZABC+ZADC

•.---------------=----------------.

22

NDAB+ZDCB=ZABC+ZADC.

又ZDAB+ZADC=NDCB+ZABC,

2ZDAB+ZDCB+ZADC=2ZABC+ZDCB+ZADC.

：.ZDAB=ZABC.

：.AD//BC.

47.认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题.

（1）探究1：如图1,在AABC中，。是ZABC与ZACB的平分线B0和C。的交点，试分析ZBOC与N4

有怎样的关系？请说明理由.

（2）探究2：如图2中，。是NABC与外角的平分线8。和C。的交点，试分析N50C与NN有

怎样的关系？请说明理由.

（3）探究3：如图3中，。是外角ND8C与外角NEC5的平分线5。和C。的交点，则/BOC与NZ又

有怎样的关系？（只写结论，不需证明）结论：.

【答案】（1）ZBOC=90°+-ZA,理由见解析；（2）ZBOC=-ZA,理由见解析；（3）

22

ZBOC=9