2024-2025学年天津某中学高三（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年天津四十七中高三（上）期中数学试卷

一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.已知全集U=R,集合2={X|X2-X-6<0},B={x|久<—1或x>4],那么集合4c（QB）等于（）

A.{x|-2<x<4}B.[x\x<3或x>4}

C.{x\-2<x<-1]D.{%|-1<x<3}

2.设方与加都是非零向量，则“方工〉0”是“向量五与加夹角为锐角”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

3.下列说法错误的是（）

A.在回归直线方程y=-0.85x+2.3中，y与x具有负线性相关关系

B.两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1

C.回归直线方程y=0.2x-0.8,当解释变量x每增加1个单位时，预报变量y平均增加0.2个单位

D.对分类变量X与匕随机变量片的观测值k越大，则判断“X与丫有关系”的把握程度越小

4.函数/（%）=家一等的图象可能为（）

5.已知偶函数/（%）在（一8,0]上是增函数.若Q=/（log2《），b=f（logi3）,c=f（2-0-8）,则a,b,c的大小

32

关系为（）

A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.c<a<b

6.设等比数列{an}的前n项和为Sn,且S6=3S3,则3=（）

A.4B.6C.7D.9

7.已知三棱柱ABC-A/iQ的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为避，

AB=2,AC=1,ABAC=60°,则此球的表面积等于（）

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A.87rB.97rC.IOTTD.117T

8.函数/（%）=cos（i）x-避sina）x（3>0）的部分图象如图所示，则下列选

项不正确的是（）

A,函数f（x）的图象关于点既0）中心对称

B.函数/（久）的单调增区间为即-冬/ot-勺（keZ）

C.函数/（久）的图象可由y=2s出3%的图象向左平移穿个单位长度得到

D.函数g（%）>0）在（0,兀）上有2个零点，则实数t的取值范围

为心既

9.已知双曲线C：善餐=l（a>0力>0）的左、右焦点分别为七（—c,0）,&（。,0），点M是双曲线C上一点,

点N（1c,0）,且N/MN=30。，MN-MFl=0,则双曲线C的离心率为（）

A.粤B.^C,A/3D.

二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。

10.已知复数z在复平面内对应点是（1,-2）,E为虚数单位，则宏=

11.已知直线/过点（-1,0）且与直线2x-y=0垂直，则圆/+丫2-4久+8y=0与直线［相交所得的弦长为

12.在（1-切5（1+炉）的展开式中，久3的系数为.（结果用数值表示）

13.在某次美术专业测试中，若甲、乙、丙三人获得优秀等级的概率分别是0.6,0.8和0.5,且三人的测试

结果相互独立，则测试结束后，在甲、乙、丙三人中恰有两人没达优秀等级的前提条件下，乙没有达优秀

等级的概率为.°E（

14.如图，在平行四边形ABCD中，点E是CD的中点，点F为线段BD上的一动/

点，若族=无布+y比（％>0,y>0）,则4,2的最大值为.

15.若方程（X-2）2e>-aef+2alx-2|=0有且仅有6个不相等的实数根，则实数a的取值范围是.

三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.（本小题14分）

在△4BC中，角4B,C所对的边分别为a,b,c.已知a="，b=2c,cosA=-7.

4

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⑴求C的值;

(2)求sinB的值；

(3)求sin(24—B)的值.

17.(本小题15分)

如图，在五面体力BCDEF中，四边形ABEF为正方形，DF_L平面力BEF,CD//EF,DF=2,

EF=2CD=2,EN=2NC,BM=2MA.

(1)求证：MN〃平面4CF；

(2)求直线2。与平面BCE所成角的正弦值；

(3)求平面4CF与平面BCE所成二面角的正弦值.

18.(本小题15分)

已知椭圆C：*+'=l(a>b>0)的离心率为乎,右焦点为F(2,0).

(1)求椭圆方程；

(2)过点尸的直线2与椭圆交于4B两点，线段的垂直平分线与直线x=3交于点C,△4BC为等边三角

形，求直线，的方程.

19.(本小题15分)

已知数列｛册｝,｛"｝,Sn是数列｛斯｝的前n项和，已知对于任意neN*,都有3a“=2Sn+3,数列｛%｝是等

差数列，=log3ai，且历+5,b4+1,。6-3成等比数列.

(I)求数列｛即｝和｛4｝的通项公式.

(an,n为奇数

(II)记”=但入为偶数,求数列｛cn｝的前几项和7n.

(皿)求/

20.(本小题16分)

已知函数f(久)=xsinx+acosx(aG/?).

(1)当a=1时，求曲线y=/(x)在点(0/(0))处的切线方程；

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⑵若/(x)在色会上有零点.

①求实数a的取值范围；

②设函数g(x)=(a+l)sinx-xcosx,记g(x)在［0,刍上的最小值为八⑷，求h(a)的最大值.

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参考答案

l.D

2.B

3.0

4.D

5.4

6.C

7.4

8.C

9.A

10.1+—i

11,2715

12.-9

1,313—

14.寺

6(一备T)

16.解(1)因为a=通，b=2c,cosA=-p

q

由余弦定理可得cosA=咨1=经署四=—[,

解得：c=1;

(Y)cosA=—7，AE(0,7i),所以sinA=yll—cos2A

由b=2c,可得siziB=2sinCf

由正弦定理可得n诉=赤r，即、也/6=就1，

4

可得s讥C=挈，

O

所以sinB=2sinC=2x^^=^^；

84

(3)因为cosA=-psinA=总理，

q4

所以si?i2/=2sinAcosA=2x(~)x=一更1,cos2A=2cos2A—l=2x-^7—1=—，

4X4816o

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sinB=可得cosB=理，

44

所以sin(2A—B)=sin2AcosB-cos2AsinB=x乎一(一$x

所以sin(22-B)的值为卑.

17.(1)证明：如图，在EF上取点P,使EP=2PF,

因为EN=2NC,所以NP〃FC,

因为NPC平面4CF,FCu平面4CF,所以NP〃平面力CF,

因为BM=2M4四边形4BEF为正方形，所以MP〃4F,

因为MPC平面ACF,4Fu平面ACF,所以MP〃平面4CF,

因为MPCPN=P,MP、PNu平面MNP,

所以平面MNP〃平面4CF,

因为MNu平面MNP,所以MN〃平面4CF；

(2)解：因为DF1平面ABEF,FA、EFu平面4BEF,

所以OF1FA,DF1EF,

又因为四边形力BEF为正方形，所以力F1EF,

所以凡4、FE、尸。两两垂直，

以F为坐标原点，FA,FE,FD所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,

则F(0,0,0),4(2,0,0),£>(0,0,2),£(0,2,0),8(2,2,0),C(0,l,2),

所以而=(-2,0,2),丽=(2,0,0),EC=(0-1,2),

设平面8CE的一个法向量为而=(x,y,z),

(EB-m=2x=0

J^(EC-m=-y+2z=O'

令z=l,可得访=(0,2,1)，

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所以直线AD与平面BCE所成角的正弦值为是碧==里；

(3)解:而=(2,0,0),丽=(0,1,2),

设平面/CF的一个法向量为五=(u,v,w)f

(FA-n=2u=0

[FC-n=v+2w=O'

令w=-1,可得fi=(02—1)，

由(1)知平面8CE的法向量为方=(0,2,1),

设平面4CF与平面BCE所成二面角的平面角为仇

|cos0|=岁'=后3尺=Fsin。=Jl—cos2g=

11|m|•\n\J5.J55v5

所以平面4CF与平面BCE所成二面角的正弦值为去

18.解：(1)由题意可得e=?=幸，c=2,解得a=乖,

由扶=a2-c2,...用=2,则椭圆C的方程为(+4=1.

(2)当直线4B为久轴时，易得线段4B的垂直平分线与直线x=3没有交点，故不满足题意；

当48所在直线的斜率存在且不为无轴时，设该直线方程为丫=kQ-2)(左力0),X(x1)yi),B(x2,y2),

,y=k(x—2)

联立《+尤=1,消去y可得(3/+1)%2―12妙％+12H—6=0,

.62-

4=144/c4-4(3fc2+l)(12/c2-6)=24(/+1)>0,

所以孙+犯=手着，无62=翳言，

—4k

yi+Y2=k(%1—2)+/c(%2—2)=k(X1+X2—4)—3k2+1，

设48的中点为。，则。(黑7,获芸7)，设C(3,yc)，

D/V1A-CJKIX

由△ABC为等边三角形，黑｝=卡，叱=4

印=照…(3-缶)=匕F工:,

\AB\=玳2+1,(巧+久2产一W工)2—4X21),

所以臆=2曝=专，解得M=l,所以k=±l,

当48所在直线的斜率不存在时，将％=2代入?+竽=1可得y=±乎，

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所以|4B|=竽，\CD\=1,不满足题意，

综上所述，直线，的方程为y=%-2或y=-％+2.

19.解：(I)对于任意九EN*,都有3册=2S九+3,

可得几=1时，3al=2sl+3=2al+3,解得臼=3,

n22时,3an-i=2sti+3,又3册=2Sn+3,

彳导3a九-3a九一1-2s九+3-2szi—3—2。九,

即为=3@/—1，

所以斯=3-3九一1二3九；

数列｛,｝是等差数列，设公差为乙

&i=log3a1=log33=l,

由打+5,3+1,优一3成等比数列，可得34+1)2=的2+5)36-3)，

即为(2+3d)2=(6+d)(5d—2),解得d=2,

则bn=1+2(n-1)=2n—1；

e、为奇数(31几为奇数

(II)%=［管n%偶数=［n-l,n为偶数，

当n为偶数时，Tn=(3+27+...+3八-1)+(1+3+...+n-1)

_3(1-3")2(1+H-1)_3"+1—312

―1-9284,

3+32

n为奇数时，Tn=Tn+1-n="^-+^(n+l)-n=3北一3+

注出+「用为偶数

所以Tn=13"+2-3,(n-1)2%在粉；

，为奇数

—o5—+.qn

(III)£121czeck+1=+C2c3+■■.+^2n—1^2n+。271c2n+1，

由0271*2'+C2nC2n+l=C2n(t2n-1+2n+1)=(2n-l)(32n-1+32n+1)=y(2n-1)-9n,

设&=1•91+3-92+5-93+...+(2n-l)-9n,

n+1

9Rn=1•92+3•93+5・94+...+(2n-l)-9,

23nn+1

两式相减可得-8Rn=9+2(9+9+...+9)-(2n-l)-9

=9+2.3一］)•9n+i,

化简可得匕=1|+号,9"+i，

所以第iCM+i喔+*萨•9几+1.

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20.解：(1)当a=1,/(%)=xsinx+cosxf/'(%)=xcosx,

・•・/(0)=1,f(0)=0,

.・.曲线y=/(%)在点(0/(0))处的切线方程为y—l=0x(x-0),即y=1；

(2)•••/(x)=xsinx+acosx,•••f(%)=xcosx+(1—a)smx.

①re匠币，%>0,sinx>0,cosx>0,

当a20时，/(x)>0,无零点，舍去.

TTTT

当a<0时，f(x)>0,f(x)在用寸上单调递增，

，/zX

(7T7rV2一

v-4-+ax在W0

缶

叱;42

/Zz一

(7TX

K-32+ax->0'

32

得-粤Wa—

实数a的取值范围为［-亭笥；

②'•*g(%)=(a+l)sinx—xcosx,

」•g'(%)=acosx+xsinx=/(%