2024-2025学年苏科版九年级数学上册专项复习：一元二次方程知识归纳与题型突破（12类题型清单）解析版

一元二次方程知识归纳与题型突破(12类题型)

01思维导图

一元二次方程的定义

一元二次方程一元二次方程的一般形式

一元二次方程的解

直接开平方

配方法

一元二次方程解一元二次方程

公式法

因式分解法

数字问题

一元二次方程的应用增长率问题

形积问题

02知识速记

一、一元二次方程的定义

(1)一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程.

(2)概念解析：

一元二次方程必须同时满足三个条件：

①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；

②只含有一个未知数；

③未知数的最高次数是2.

(3)判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高

次数是2"；“二次项的系数不等于0"；“整式方程”.

二、一元二次方程的一般形式

(1)一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0(a#0).这种形

式叫一元二次方程的一般形式.

其中ax?叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项.一次项系数b和常数项c可取任

意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a=0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就

不是一元二次方程了.

(2)要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式.

三、一元二次方程的解

(1)一元二次方程的解(根)的意义：

能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.又因为只含有一个未知数的方程的解

也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根.

(2)一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解.这X"X?是一元二次方程ax2+bx+c=0(aHO)

的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量.

22

ax1+bx1+c=0(aWO),ax2+bx2+c=0(a#0).

四、解一元二次方程-直接开平方

形如x2=p或(nx+m)2=p(p>0)的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程.

如果方程化成x2=p的形式，那么可得x=土丘；

如果方程能化成(nx+m)2=p(p>0)的形式，那么nx+m=±Vp.

注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数.

②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程.

③方法是根据平方根的意义开平方.

五、解一元二次方程-配方法

(1)将一元二次方程配成(x+m),^的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配

方法.

(2)用配方法解一元二次方程的步骤：

①把原方程化为ax2+bx+c=0(a#0)的形式；

②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1,并把常数项移到方程右边；

③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；

④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；

⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方

程无实数解.

六、解一元二次方程-公式法

_b+J/_4ac

(1)把x=---=----------(b2-4ac^0)叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(aWO)的求根公式.

2a

(2)用求根公式解一元二次方程的方法是公式法.

(3)用公式法解一元二次方程的一般步骤为：

①把方程化成一般形式，进而确定a,b,c的值(注意符号)；

②求出b2-4ac的值(若b2-4ac<0,方程无实数根)；

③在b2-4ac20的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根.

注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①aWO；②b2-4acN0.

七、解一元二次方程-因式分解法

(1)因式分解法解一元二次方程的意义

因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法.

因式分解法就是先把方程的右边化为0,再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个

因式的值就都有可能为0,这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二

次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想).

(2)因式分解法解一元二次方程的一般步骤：

①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得

到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解.

八、由实际问题抽象出一元二次方程

在解决实际问题时，要全面、系统地申清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示

问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程.

九、一元二次方程的应用

1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验

和作答.

2、列一元二次方程解应用题中常见问题：

(1)数字问题：个位数为a,十位数是b,则这个两位数表示为10b+a.

(2)增长率问题：增长率=增长数量/原数量X100%.如：若原数是a,每次增长的百分率为x,则第一次

增长后为a(1+x)；第二次增长后为a(1+x)2,即原数X(1+增长百分率)2=后来数.

(3)形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长.②利用三角形、矩形、菱形、

梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程.③利用相似三角形的对应比例关系，

列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程.

【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”

1.审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系.

2.设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数.

3.歹!I：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程.4.解：准确求

出方程的解.

5.验：检验所求出的根是否符合所列方程

03题型归纳

题型一利用一元二次方程的定义判断是否是一元二次方程

例1.（23-24八年级下•黑龙江哈尔滨•阶段练习）下列方程是关于x的一元二次方程的是（）

12

A.ax2+ftx+c=0B.—+x=2C.x2+x=y2+1D.2（x+l）=3（x+l）

【答案】D

【分析】本题考查了一元二次方程的概念.根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条

件：未知数的最高次数是2,二次项系数不为0,是整式方程，含有一个未知数；

【详解】解：4、ax2+bx+c=0当。=0时，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；

B、±+x=2,不是整式方程，故本选项不符合题意；

X

C、x2+x=y2+l,含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；

D、2（x+l/=3（x+l）是一元二次方程，故本选项符合题意；

故选：D.

巩固训练

1.（2023・江苏盐城•模拟预测）下列方程是一元二次方程的是（）

A.ax1+bx+c=dB.yjx2—4=xC.2x~H----F2=0D.（〃厂+l）x?-3x=4

【答案】D

【分析】此题主要考查了一元二次方程定义，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化

简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0"；“整式方程”.

根据一元二次方程的定义进行判断即可

【详解】解：/、当。=0时不是一元二次方程，故本选项不符合题意；

8、该方程不是整式方程，故本选项不符合题意；

C、该方程不是整式方程，故本选项不符合题意；

。、该方程符合一元二次方程的定义，是一元二次方程，故本选项正确；

故选：D.

2.（23-24八年级下•山东烟台•期中）下列方程中，关于x的一元二次方程是（）

A.x-y=lB.x2+x+2=0

C.2x+—=0D.x（x-3）=2+x2

X

【答案】B

【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程

叫一元二次方程求解即可.

【详解】=l,未知数的最高次数是1,不符合一元二次方程定义，不是一元二次方程；

B./+x+2=0符合一元二次方程定义，是一元二次方程；

C.2x+-=0,不是整式方程，不符合一元二次方程定义，不是一元二次方程；

X

D.x（x-3）=2+x2化简为-3x=2,不含二次项，不符合一元二次方程定义，不是一元二次方程；

故选：B.

2

3.（23-24八年级下,山东烟台,期中）下列方程中：①/-2工+1=0；②ax2+bx+c=0；③—r+3x—5=0；

x

®-x2=0；⑤（X一碟+/=2；⑥（2x-l）（x-3）=2/,一元二次方程的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫

做一元二次方程，据此求解即可.

【详解】解：①无2_2X+1=0,是一元二次方程；

@ax2+bx+c=0,当。=0时，不是一元二次方程；

③+3》_5=0,不是整式方程，不是一元二次方程；

尤

@-x2=o,是一元二次方程；

@（X-1）2+/=2,含有两个未知数，不是一元二次方程;;

@（2x-l）（x-3）=2x2,即-7X+3=0,未知数的最高次不是2,不是一元二次方程；

二一元二次方程有2个，

故选：B.

题型二一元二次方程的一般形式

例2.（23-24八年级下•黑龙江哈尔滨•阶段练习）方程（x+3）（x-2）=0化为一元二次方程的一般形式是

【答案】x2+x—6=0

【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，即。/+1+，=0（。-0）.其中。是二次项系数，6是一次项

系数，c是常数项.去括号合并同类项整理即可.

【详解】解：•；（x+3）（x-2）=0

x~—2x+3x—6—0

x?+x—6=0

故答案为：x2+x-6=0

巩固训练

1.（23-24八年级下•广西崇左•期中）把方程（3x+2『=4（x-3）2化为一元二次方程的一般形式是_.

【答案】5X2+36X-32=0

【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，去括号的过程中要注意符号的变化，不要漏乘，移项

时要注意符号的变化.

首先根据完全平方公式进行计算，把方程变形为一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a,b,c是常数

且a-0）特别要注意aW0的条件.这是在做题过程中容易忽视的知识点.

【详解】解：方程（3x+2）2=4。-3）2

去括号得：9/+i2x+4=4（/-6x+9）,

即9/+12x+4=4x2-24x+36,

移项合并同类项得：5X2+36X-32=0,

即可化成5/+36%-32=0,

故答案为：5/+36尤-32=0.

2.（23-24八年级下•山东东营•阶段练习）把一元二次方程（x+D（l-x）=2x化成一般形式后得到二次项系数

是，一次项系数是，常数项是.

【答案】12-1

【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式.首先利用平方差公式进行计算,再整理得到X2+2X-1=0,

然后再确定二次项、一次项系数和常数项.

【详解】解：方程（X+D（1T）=2X整理为一般形式为父+2尤_1=0,

••・二次项系数是1,一次项系数是2,常数项是T,

故答案为：1,2,-1.

3.（23-24九年级上•四川南充•阶段练习）方程（2》+1）（工-3）=/-1化为一般形式为,二次项系

数、一次项系数、常数项的和为.

【答案】x1—5x—2=0-6

【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a,b,。是常

数且a/0）特别要注意aNO的条件.这是在做题过程中容易忽视的知识点.在一般形式中办2叫二次项，bx

叫一次项，c是常数项.其中。，b,c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项.方程整理为一般形式后，

求出二次项系数、一次项系数、常数项的和即可.

【详解】解:方程整理得：炉一5》-2=0,

,二次项系数为1,一次项系数为-5,常数项为-2

则1-5-2=-6.

故答案为:x~—5x—2=0,—6.

题型三利用一元二次方程的定义求参数

例3.（23-24八年级下•安徽六安•阶段练习）若关于x的方程（加+l）xZ+i+4x-5=0是一元二次方程，则加

的值是（）

A.0B.-1C.1D.±1

【答案】C

【分析】本题考查一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键.理解一元二次方程的定

义，需要抓住两个条件：①二次项系数不为0；②未知数的最高次数为2；

结合一元二次方程的定义，可以得到关于用的方程和不等式，求解即可得到根的值.

【详解】解：；关于x的方程（加+l）-4x-5=0是一元二次方程，

］加+1w0

|m2+1=2；

解得m=l.

故选：C.

巩固训练

1.（2024八年级下•安徽•专题练习）关于x的方程+加x+2=3是一元二次方程，则加值为（）

A.2或一2B.2C.-2D.，，亚0且机中2

【答案】C

【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知

数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行分析即可.

【详解】解：••・关于》的方程（加-2淖+“+2=3是一元二次方程，

|加|=2且〃?一2片0,

解得加=-2.

故选：C.

2.（23-24八年级下•安徽亳州•期中）若（加-2），-2-加x+l=0是一元二次方程，则用的值为（）

A.2B.-2C.2或-2D.-72

【答案】B

【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫

r机2—2=2

做一元二次方程，据此可得cn,解之即可得到答案.

【详解】解：,.,（抑-2）无裾N-机x+l=0是一元二次方程，

［机2-2=2

［加-2。0'

解得m=-2,

故选：B.

3.（23-24八年级下•安徽池州•期末）若关于x的方程也-2）-匕+4x-3=0是一元二次方程，则k.

【答案】-2

【分析】本题考查了一元二次方程，熟记定义是解题关键.

根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数，并且未知数的最高次数2的整式方程，叫做一元二次方程）

即可得.

【详解】解：••・关于x的方程（左-2）/匕+4工-3=0是一元二次方程,

k2-2=2

k-2^Q

解得人=-2,

故答案为：-2.

题型四一元二次方程的解求参数的值

例4.（2024•江苏镇江•二模）已知x=2是方程-3x+c=0的一个根，则实数c的值是.

【答案】2

【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，把x=2代入x2—3x+c=0即可求出c的值.

【详解】解：把x=2代入/_3x+c=0,

可得出2。-3x2+c=0,

解得：c=2,

故答案为：2.

巩固训练

1.（23-24八年级下•浙江杭州•期中）关于x的一元二次方程，+3》+„7一2=0有一个根为0,则加的值是

（）

A.1B.±1C.2D.±2

【答案】C

【分析】本题主要考查一元二次方程的解及一元二次方程的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相

等的未知数的值，将x=0代入原方程计算即可得到答案.

【详解】解：司是方程的根，

0~+3x0+〃?—2=0,

.,.加=2,

故选：C.

2.（2024•山东济南•三模）关于彳的一元二次方程》2-4工+2加=0的一个根再=4,则加=.

【答案】0

【分析】本题考查了一元二次方程，把玉=4代入方程/-4x+2m=0,解关于切的方程即可.

【详解】解：把占=4代入方程一一4》+2机=0

得16-16+2加=0

解得：m-0

故答案为：0.

3.（2024・山东济南•二模）己知关于x的一元二次方程2/+蛆-6=0的一个根是3,则冽的值是.

【答案】-4

【分析】根据一元二次方程2/+加—6=0的一个根是3,将x=3代入原方程得到关于用的一元一次方程进

而即可解答.本题考查了一元二次方程的根，一元一次方程的解，理解一元二次方程的根是解题的关键.

【详解】解：•••关于x的一元二次方程2/+蛆-6=0的一个根是3,

.,.将X=3代入方程2x2+如-6=0得：2x3?+3m—6=0,

解得:m=-4,

故答案为：-4.

题型五一元二次方程的解求代数式的值

例5.（2024•青海玉树三模）若x=3是关于x的方程尔_乐=6的解，则2024-94+36的值为.

【答案】2018

【分析】本题考查了方程的解的定义、代数式求值，根据方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，

把x=3代入原方程得出9a-36=6,整理2024-9“+3b为2024-（9。—36）,整体代入计算即可，熟练掌握

方程的解的定义、代数式求值是解题的关键.

【详解】解：•。=3是关于x的方程尔一反=6的解，

9a-3b=6,

・•.2024—9。+3b

=2024—（9a—36）

=2024-6

=2018,

故答案为：2018.

巩固训练

1.（2024・四川南充・中考真题）已知加是方程/+4.”1=0的一个根，贝U（优+5）（优-1）的值为.

【答案】-4

【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，以及已知式子的值求代数式的值，根据〃7是方程Y+4x7=0

的一个根，可得出/+4〃?=1,再化简代数式，整体代入即可求解.

【详解1解：••・加是方程X2+4X-1=0的一个根，

•••m2+4m=1

(m+5)(m-l)

=m2—m+5m—5

=m2+4m—5

=1-5

=-4,

故答案为：-4.

2.(2024•江苏常州・二模)已知加为方程％2_3工_6=0的一个根，贝!)代数式一加?+3加一6的值是.

【答案】-12

【分析】本题主要考查了一元二次方程的解等知识点，先根据方程解的定义，化简关于冽的方程，然后整

体代入求值，掌握方程解的定义和整体代入的思想方法是解决本题的关键.

【详解】为方程炉-3%-6=0的一个根，

m2—3m—6=0,

m2—3m=6,

—m2+3m—6

=-(m2-3m)-6

=—6—6

=-12,

故答案为：-12.

3.(2024•福建•模拟预测)已知加为方程公+3%—2024=0的根，那么加?+2加？—2027^+2024的值为

【答案】。

【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义；将方程的根代入方程，化简得/+3机=2024,将代数式变

形，整体代入求值即可.

【详解】•・•加为方程f+3%—2024=0的根，

m2+31n—2024=0，

m2+3m-2024，

32

•••原式=m+3加之_m_2m—2024m+2024

=m(m2+3m)—(m2+3m)—2024m+2024

=2024m-2024-2024w+2024

=0.

故答案为：。.

题型六一元二次方程的解的估算

例6.（23-24八年级下•黑龙江大庆•阶段练习）根据表格中的数据：估计一元二次方程⑪2+bx+c=0（«,

b,c为常数，。片0）一个解x的范围为（）

X0.511.523

ax2+bx+c2818104-2

A.0.5<x<lB.1cx<1.5C.1,5<x<2D.2<x<3

【答案】D

【分析】本题考查了利用二次函数估算一元二次方程的近似解，掌握二次函数与一元二次方程的关系是解

决本类题型的关键•根据表格中的数据发现，尤在0.5到3之间时，ax?+金+c随着x的增大而减小，而当x=2

时，ax2+bx+c=4,当x=3时，ax2+bx+c=-2>0在4和-2之间，所以一元二次方程ax?+bx+c=O其中

一个解的范围是2cx<3.

【详解】由表格可知：

ax2+bx+c=0在办°+bx+c=4和ax2+6x+c=-2之间，对应的x在2和3之间，

所以分+&+c=0一个解的取值范围为2cx<3.

故选D.

巩固训练

1.（23-24八年级下•浙江杭州•阶段练习）已知，-3x+l=0,依据下表，它的一个解的范围是（）

X2.52.62.72.8

—3x+1-0.25-0.040.190.44

A.2.5<x<2.6B.2.6<x<2.7C.2.7<x<2.8D.不确定

【答案】B

【分析】本题主要考查了一元二次方程根的估算，由表格可知，/-3》+1的值随着x的增大而增大，那么

在2.6与2.7之间必然有一个数使得代数式/-3x+l的值为0,据此可得答案.

【详解】解：由表格可知，V-3X+1的值随着x的增大而增大，

当x=2.6时，X2-3X+1=-0.04<0,

当尤=2.7时，X2-3X+1=0.19>0,

那么在2.6与2.7之间必然有一个数使得代数式/-3x+l的值为0,

•••方程必一3x+l=0的一个解的范围为2.6<x<2.7.

故选：B.

2.(23-24八年级下•江苏苏州•期中)观察表格，一元二次方程X2-2X-L1=0的一个解的取值范围

是.

X1.31.41.51.61.71.81.9

2x—1.1-0.71-0.54-0.35-0.140.090.340.61

【答案】1.6<x<1,7

【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解.根据图表数据找出一元二次方程等于0时，未知数的值

的范围，即可得到答案.

【详解】解：x=1.6时，丁=一0.14,工=1.7时，y=0.09,

二一元二次方程•？-2%-1.1=0的解的范围是1.6<》<1.7.

故答案为：1.6<x<1.7

题型七用配方法配一元二次方程

例7.(23-24八年级下•浙江金华・期中)用配方法解一元二次方程/-2工=1,配方后得到的方程是()

A.(%-1)2=2B.(x+1)2=2C.(x+1)2=0D.(x-1)2=0

【答案】A

【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，将方程两边同时加上一次项系数一半的平方，再写成完全平

方式即可得出答案.

【详解】M：■■X2~2X=1,

■■X2-2x+l=l+l，即(x-l>=2,

故选：A.

巩固训练

1.(2024•山西阳泉•三模)用配方法解一元二次方程，-8x+10=0配方后得到的方程是()

A.(x+8)2=54B.(x-8)2=54C.(x+4)2=6D.(x-4)2=6

【答案】D

【分析】本题主要考查了一元二次方程的配方法.把常数项移到等式右边后，利用完全平方公式配方得到

结果，即可做出判断.

【详解】解：X2-8X+10=0,

移项得：x2-8x=-10,

配方得：X2-8X+16=-10+16,

整理得：（x-4=6,

故选：D.

2.（2024•内蒙古呼和浩特•模拟预测）用配方法解一元二次方程2——5、-1=0,配方正确的是（）

33412729

A.B.C.D.

161644

【答案】Z

【分析】本题考查的是利用配方法解一元二次方程.先把原方程化为：x2-|x=p再"两边同时加上一次

项系数一半的平方”，从而可得答案.

【详解】解：,•・2》2一5》一1=0,

故选：A.

3.（23-24八年级下•安徽淮北•阶段练习）用配方法解方程3Y—4X-3=0,应把它先变形为（）

13810

A.B.=0C.D.

999

【答案】4

【分析】本题考查解一元二次方程-配方法，涉及完全平方差公式、等式性质等知识，由配方法，利用完全

平方差公式恒等变形即可得到答案，熟练掌握配方法是解决问题的关键.

【详解】解：3%2—4x—3=0,

4

二次项系数化为1得Y-丁—1=0,

4

移常数项得

配方得一。+

故选：A.

题型八解一元二次方程

例8.(23-24九年级•江苏•假期作业)解关于工的方程(因式分解方法):

(1)3X2-V5X=0;(2)7x(%-3)=3x-9.

=

【答案】(1)玉=0,x2~~

3

(2)西=3,x2=—

【分析】(1)用提公因式法进行因式分解，再解方程即可；

(2)移项后，用提公因式法进行因式分解，再解方程即可.

【详解】(1)解：x(3x-V5)=0

①X=0②3x-后=0

(2)解：7x(%-3)=3(%-3)

7x(x-3)-3(x-3)=0

(x-3)(7x-3)=0

①x-3=0②7x-3=0

)3

玉=3,~•

【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程.其中找到合适的公因式是解题的关键.

巩固训练

1.(2024八年级下•浙江•专题练习)解方程：

2

(1)/-49=0；(2)2(X+1)-49=1.

【答案】(1)$=7,x2=-7

(2)X]=4,X]=—6

【分析】本题考查解一元二次方程:

（1）利用直接开平方法求解；

（2）先移项，再利用直接开平方法求解.

【详解】（1）解：X2-49=0,

x2=49,

・•・x=±7,

・•・玉=7,%2=-7；

（2）解：2（X+1）2-49=1,

（x+1）2=25,

•••x+1=+5,

**•X]—4f%2=-6.

2.（23-24九年级上•安徽芜湖•期中）用适当的方法解方程：（X-3）2=（2X+5）2

2

【答案】网=-8,x2=-1

【分析】本题考查一元二次方程的解法，根据方程的特点选择恰当解法是解题的关键.直接用开平方法求

解即可.

【详解】解：原式直接开方得，x-3=±（2x+5）,

x-3=2x+5或x-3=-（2x+5）,

2

•••原方程的解为：网=-8,x2=--.

3.（23-24八年级下•广西崇左•期中）解方程：

（1）X2-2X-35=0；⑵（X+3）2=2X+6.

【答案】（1）X]=7,x2=—5

⑵W=-3,x2=-1

【分析】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，解一元二次方

程的方法有直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法等.

（1）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；

（2）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可.

【详解】（1）解：x2-2x-35=0,

因式分解得(x-7)(x+5)=0,

即x-7=0或x+5=0,

解得项=7,x2=-5.

(2)解：(x+3)?=2x+6,

移项得(X+3『-2(X+3)=0,

因式分解得(X+3)(X+3-2)=0,

即x+3=0或x+3-2=0,

解得占=-3,x2=-l.

4.(23-24八年级下•全国•假期作业)用公式法解下列方程：

(1)X2-X-12=0;

(2)2X2+5X-3=0;

(3)2X2-7X+7=0.

【答案】(1)再=4,%=-3

(2)X]=g,%=_3

(3)方程无解

【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握利用公式法求解方程是解题的关键;

(1)由题意易得a=L6=T,c=T2,然后根据公式法可进行求解；

(2)由题意易得a=2,6=5,c=-3,然后根据公式法可进行求解；

(3)由题意易得a=2,6=-7,c=7,然后根据公式法可进行求解.

【详解】(1)解：X2-X-12=0

a=l,b=—l,c=—12,

•••A=/?2-4ac=1+4x1x12=49>0,

—b±-\lb2-4ac1±V?91±7

x=------------=-------=----，

2a22

**(X]—4,%2~-3；

(2)解：2/+5x-3=0

a=2,b=5,c=—3,

•••A=Z?2-4ac=25+4x2x3=49>0，

-b+y/b2-4ac-5±V49-5±7

••x=------------=--------=------，

2a44

1「

*,•玉=f=-3；

(3)解：2X2-7X+7=0

a=2,b=—1,c=1,

A=Z?2-4ac=49-4x2x7=-7<0,

•••原方程无解.

5.(23-24九年级上•海南省直辖县级单位•期末)用配方法解方程:

7

(l)x2+4x=2；(2)x—3x——=0；

(3)4/—8x=-3;(4)4X2+4X+10=1-8X

【答案】(1)m=-2+V^,x2=-2—V6

17

⑵七二一万，“2=/

13

(3)再=/，*2=2

3

(4)玉=x2=

【分析】本题考查解一元二次方程，正确计算是解题的关键：

(1)利用配方法解一元二次方程即可；

(2)利用配方法解一元二次方程即可；

(3)利用配方法解一元二次方程即可；

(4)利用配方法解一元二次方程即可.

【详解】(1)解：x2+4x=2,

(x+2『=6,

—

石二—2+A/6,x2—2—;

c7

(2)解：x—3x—■7=0,

(3)解：4——8x=—3,

（2x-2）2=-3+4=1,

（4）解：4X2+4X+10=1-8X,

4x2+12x+9=0,

（2x+3）2=0,

3

Xj=x2=.

题型九解一元二次方程中错解复原问题

例9：（2024•江西吉安•三模）小明解一元二次方程2尤2+5》+3=0的过程如下，请你仔细阅读，并回答问题:

53

解：原方程可变形为/+”]=0,（第一步）

53

.-.X2+—x=——,（第二步）

22

525325

・•・X2+—XH-----=”+彳，（第三步）

24

（第四步）

.5_V19

,,AXn+....—工+----,（第五步）

22

-5+V19—5—9

・・西（第六步）

2%2,

（1）小明解此方程使用的是法；小明的解答过程是从第步开始出错的.

（2）请写出此题正确的解答过程.

【答案】（1）配方；三

,3

（2）再=-1,x2

【分析】（1）根据配方法解答即可.

（2）根据配方法的基本步骤规范解答即可.

本题考查了配方法解方程，熟练掌握配方法解方程是解题的关键.

【详解】（1）根据题意，这种解方程的方法是配方法，配方时，在第三步时出现错误,

故答案为：配方法，第三步.

53

（2）原方程可变形为一+5'+5=0,

253

XH---X=----,

22

2525325

.*.X~\---XH----------1----，

216216

2

x+|I1

16

44

3

・•・西=-1,x

22

巩固训练

1.（23-24八年级下•全国•假期作业）解方程岳2+4瓜=2后，某位同学的解答过程如下:

解：a=V2,b=4G，c=2V2，

•••△=/一4。。二卜6『-4、g2行=32>0,

-W3±V32_/-

••A-—i——7OH乙,

2xj2

+2,%2=-A/6-2.

请你分析以上解答过程有无错误，如有错误，指出错误的地方，并写出正确的结果.

【答案】见解析

【详解】解：有错误，C的值应为_2行.

将方程化为一般形式，得行工2+4瓜-2亚=0.

a=A/2,b=4^3，c=—2>/2，

...△=（4@2一4义@卜2挺）=64>0,

-4>A±8

2V2

*,•&=_■s/6+2y,%2=-A/6-2-\/2.

2.（23-24八年级下•广西百色・期中）小涵与小彤两位同学解方程3x（x-6）=（x-6『的过程如下:

小涵的解题过程：

第1步：两边同时除以（x-6）得3x=x-6,

第2步：移项，得3x=x-6,

第3步：解得x=-2.

小彤的解题过程：

第1步：移项，得3无(x—6)-(x—6)=0,

第2步：提取公因式，得(x-6)(3xr-6)=0.

第3步：贝!Jx-6=0或3x-x-6=0,

第4步：解得占=6,毛=2.

(1)小涵和小彤的解法都不正确，小涵第一次出错在第步，小彤第一次出错在第步；

(2)请你给出正确的解法，并结合你的经验提出一条解题注意事项.

【答案】(1)1,2

(2)正确的解法见解析，占=6,X2=-3.注意事项：移项时要注意改变符号，或(除数不能为0)

【分析】本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键.

(1)根据等式的性质和因式分解法则即可得出答案；

(2)利用因式分解法解答即可.

【详解】(1)解：小涵的解法中，因为(x-6)可能为0,

所以不能两边同时除以(x-6),即第一次出错错在第1步；

小彤的解法中，第1步移项没错，

第2步提取公因式后有一项忘记变号，即第一次出错错在第2步；

故答案为：1；2；

(2)解：正确的解法是:3x(x-6)=(x-6)2,

移项，得3x(x-6)-(x-6)2=0,

提取公因式,得(x-6)(3x-x+6)=0,

贝5|x-6=0或3x-x+6=0,

解得再=6,X2=-3,

注意事项：在利用因式分解法解一元二次方程时，注意把方程一边的多项式正确因式分解.

题型十根据判别式判断一元二次方程根的情况

例10.（23-24九年级下•云南昆明•阶段练习）已知关于X的一元二次方程V-5x+5=0的根的情况，下列说

法正确的是（）

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.没有实数根D.无法确定

【答案】A

【分析】本题考查了一元二次方程。/+bx+c=0（"0）根的判别式_4数与根的关系，熟练掌握根的

判别式与根的关系式解答本题的关键.当△>（）时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当A=0时，一元

二次方程有两个相等的实数根；当A<0时，一元二次方程没有实数根.

【详解】M：1.,X2-5X+5=0,

A=（-5）2-4xlx5=5>0,

方程两个不相等的实数根.

故选4

巩固训练

1.（2024•河南周口•三模）关于x的一元二次方程/+2加x-2=0的根的情况是（）

A.没有实数根B.只有一个实数根

C.有两个相等的实数根D.有两个不相等的实数根

【答案】D

【分析】本题考查了根的判别式:一元二次方程。/+bx+c=0（«*0）的根与A=〃-4ac有如下关系：当A>0

时，方程有两个不相等的实数根；当A=0时，方程有两个相等的实数根；当A<0时，方程无实数根.

先计算根的判别式的值得到A=4m2+8,再由非负数的性质可判断A>0,然后根据根的判别式的意义对各

选项进行判断.

【详解】解：A=（2m）2-4x（-2）=4m2+8>0,

.•.方程有两个不相等的实数根.

故选：D.

2.（2024•上海•中考真题）以下一元二次方程有两个相等实数根的是（）

A.x2-6x=0B.x2-9=0

C.X2—6X+6=0D.x2—6x+9=0

【答案】D

【分析】本题考查了一元二次方程判别式判断根的情况，解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程

ax2+bx+c=0(a^0),当A=〃-4℃>0时，方程有两个不相等实数根；当△=〃一4ac=0时，方程的两个

相等的实数根；当A=Z?-4ac<0时，方程没有实数根.分别计算出各选项中的根的判别式的值，即可判断.

【详解】解：A.A=(-6)2-4xlx0=36>0,该方程有两个不相等实数根，故/选项不符合题意；

B.A=02-4xlx(-9)=36>0,该方程有两个不相等实数根，故3选项不符合题意；

C.A=(-6)2-4xlx6=12>0,该方程有两个不相等实数根，故C选项不符合题意；

D.A=(-6)2-4x1x9=0,该方程有两个相等实数根，故。选项不符合题意；

故选：D.

3.(23-24八年级下•安徽六安•阶段练习)下列方程中，没有实数根的是()

A.2x2-xB.x2-2x+1=0

C.x?—JQ—6—0D.=2.x-4

【答案】D

【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程⑪2+bx+c=0(aN0),当

A=62-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；当A=/-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当

△=〃一4*<0时，方程没有实数根是解题的关键.

分别计算四个方程的根的判别式，然后根据判别式的意义判断根的情况.

【详解】解：4、2x2=x可化为：2x2—x=0

•.•A=(-1)2-4X2X0=1>0,

方程有两个不相等的实数根；

B、x2-2x+1=0

•1•A=(-2)2-4xlxl=0,

；•方程有两个相等的实数根；

C、x2—X—6=0

A=(-l)2-4xlx(-6)=25>0,

•••方程有两个不相等的实数根；

D、x?=2x-4可化为：x2-2x+4=0

VA=(-2)2-4xlx4=-12<0,

•••方程没有实数根；

故选：D.

题型十一利用一元二次方程根与系数的关系求值

例11.（2024•江西宜春•模拟预测）一元二次方程/一3尤-1=0的两根分别为a,尸，则〃（a+£）=.

【答案】-3

【分析】此题考查一元二次方程根与系数的关系式：一元二次方程两根的和等于两

ax2+6x+c=0,a

根的积等于二，熟记公式是解题的关键.根据一元二次方程根与系数的关系得到《+£=3,=再将代

a

数式化简代入即可得到答案.

【详解】•••一元二次方程/-3x-1=0的两根分别为a,B,

:.a+/3=3,oc/3=—1,

cc/3（a+4）=-1x3=—3,

故答案为：-3.

巩固训练

1.（2024•江西吉安•一模）已知方程/-4x-3=0的两个根分另U为X],%2,则网迎的值为.

【答案】-3

【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，熟练掌握根与系数的关系公式是解本题的关键.

根据一元二次方程根和系数的关系，得出两根的积即可.

【详解】：方程，-4》-3=0的两个根分别为x2,

-3

Xj%2=-j-=-3,

故答案为：-3.

2.（2024•广东深圳•模拟预测）若X],*2是方程--2工-1=0的两个根，则2占+2々一卒2的值为一.

【答案】5

cb

【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟记公式玉％=上，X1+X,=—-是解题关键.先求出

aa

X]X2,Xj+X2,再整体代入即可求值.

【详解】解：•••XA,X?是方程--2x-l=0的两个根,

**•=-],X]+x[=2,

2玉+2X2-XAX2=2（&+）-xAx2=2x2-（-1）=5,

故答案为：5.

3.（2024•江苏南京・三模）设百、声是方程/一3x-2021=0的两个根，则x；-2再+%=.

【答案】2024

【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数关系，方程解的定义，掌握一元二次方程根与系数关系，方

程解的定义是解题的关键.根据根与系数关系得到