2024-2025学年人教版七年级数学上学期专项复习：有理数的运算（易错题29题）（解析版）

专题02有理数的运算（易错题29题7个考点）

有理数的减法（共1小题）

1.定义：对于确定位置的三个数：a，b,c,计算a-b,总工，业，将这三个数的最小

23

值称为a,b,c的“分差”.例如对于1,-2,3,因为1-（-2）=3,上3=-1,-2~3

23

=-2所以1,-2,3的“分差”为-9.

33

（1）-1,-4,1的“分差”为；

一3-

（2）调整“-1,-4,1”这三个数的位置，得到不同的“分差”，求这些不同“分差”

中的最大值.

【答案】见试题解答内容

【分析】（1）按“新定义”代入三个代数式求值再比较大小.

（2）三个数根据位置不同可得6种组合，除第（1）题的顺序，计算其余五种情况的“分

差”，再比较大小.

【解答】解：（1）Va=-1,b=-4,c=l

：.a-b=-1-（-4）=3,a工=-1-」=-i,--1.=-

22333

-1,-4,1的“分差”为-5,

3

故答案为：--;

3

（2）①若〃=-1,b=l,c=-4,

:.a-1-1=-2,a-c=旦,"=2

2233

二-1,1,-4的“分差”为-2,

②若a=-4,b=-1,c=l,

：.a-b=-3,a-c=-——=-2,

2233

-4,-1,1的“分差”为-3,

③若。=-4,b=\,c=-1,

：.a-b=-5,a-c=-3,"=2,

2233

-4,1,-1的“分差”为-5,

④若〃=1,b=-4,c--1,

.'.a-b=5,a-c"-：=-1,

23

：.l,-4,-1的“分差”为-1,

⑤若a=l,b=-1,c=-4,

二。-6=2,a-c.=A,-^Z£=l,

223

.,.1,-1,-4的''分差”为1,

综上所述，这些不同“分差”中的最大值为1.

二.有理数的加减混合运算(共1小题)

2.将6-(+3)-(-7)+(-2)中的减法改写成省略加号的和的形式是()

A.-6-3+7-2B.6-3-7-2C.6-3+7-2D.6+3-7-2

【答案】C

【分析】先把有理数的减法转化为加法，然后再写成省略加号的和的形式，即可解答.

【解答】解：6-(+3)-(-7)+(-2)

=6+(-3)+7+(-2)

=6-3+7-2,

故选：C.

三.有理数的乘法(共3小题)

3.已知有理数无、y满足x+y<0,孙<0,x<y,则有()

A.x<0,y>0,x绝对值较大

B.尤>0,y<0,y绝对值较大

C.尤>0,y<0,尤绝对值较大

D.x<0,y>0,y绝对值较大

【答案】A

【分析】根据有理数的加法运算法则和异号得负进行判断即可.

【解答】解：：盯<0,

；.x、y异号，

"."x+y<0,

负数的绝对值大，

".'x<y,

：.x<0,y>0,x绝对值较大.

故选：A.

4.下列说法正确的是()

①一个数的绝对值一定是正数；

②若乃<0,a+b>0,则a,6异号且正数的绝对值大于负数的绝对值；

③当⑷=-a时，。一定是负数；

④倒数等于它本身的数是1;

⑤任何有理数都有倒数.

A.①②⑤B.①③④C.②④⑤D.②

【答案】D

【分析】由绝对值，倒数的概念，即可判断.

【解答】解：一个数的绝对值是非负数，故①不符合题意；

若仍<0,a+b>0,则a,6异号且正数的绝对值大于负数的绝对值，正确，故②符合题

思；

当|a|=-a时，a可能是0,故③不符合题意；

倒数等于它本身的数是±1,故④不符合题意；

0没有倒数，故⑤不符合题意.

故选：D.

5.在明代的《算法统宗》一书中将用格子的方法计算两个数相乘称作“铺地锦”，如图1,

计算82X34,将乘数82记入上行，乘数34记入右行，然后用乘数82的每位数字乘以乘

数34的每位数字，将结果记入相应的格子中，最后按斜行加起来，既得2788.如图2,

图1图2

A.6的值为6

B.。为奇数

C.乘积结果可以表示为1016+10(a+1)-1

D.a的值小于3

【答案】D

【分析】设5a的十位数字是施，个位数字是〃，列出符合条件的方程组即可求解;

【解答】解：如图，设”的十位数字是相，个位数字是〃，

图2

b=2+4

…a+l=a+in>

b-l=n

b=6

<m=l>a=15+5=3,

n=5

...乘积结果可以表示为1006+1031)+b-1=1016+10(a+1)-1.

.,.A,B,C正确，O错误.

故选：D.

四.有理数的乘方(共5小题)

6.下列各组数中，相等的一组是(

A.-(-1)与-|-1|B.-32与(-3)2

C.孑与(-4)3D.[-8|与-|+8|

【答案】C

【分析】分别根据相反数的定义，绝对值的定义以及有理数的乘方的定义解答即可.

【解答】解：A.-(7)=1,-I-1|=-1,故本选项不合题意；

B.-3?=-9,(-3)2=9,故本选项不合题意；

C.-43=(-4)3=-64,故本选项符合题意；

D.|-8|=8,-|+8|=-8,故本选项不合题意；

故选：C.

7.有一根1米长的绳子，第一次剪去绳子的2,第二次剪去剩下绳子的2,如果以后每次

33

都剪去剩下绳子的2,第io。次剪完后剩下绳子的长度是()

3

A.99米B.99米

c.（A）io。米D.仔）1。。米

【答案】c

【分析】根据题意得每次剪绳子后的长度都是上一次剩下的长度的工，根据乘方的定义可

3

以得出第100次剪完后剩下绳子的长度.

【解答】解：•.•第一次剪去绳子的2米，

3

剩余工米，

3

..•第二次剪去剩下绳子的2,

3

...第二次剪去后剩下的绳子是：lx（1-2）=（1）2（米），

33匕,

•.•第三次剪去剩下绳子的2,

3

...第三次剪去后剩下的绳子是：/）2义（1-2）=/）3（米），

以此类推，第100次剪完后剩下绳子的长度是:住严。米

故选：C.

8.若同=5,廿=4且a>6,贝iJa+6的值是（）

A.3B.7.C.-3或5D.3或7

【答案】D

【分析】根据|。|=5和庐=4,求出。和b的可能值；再根据确定。和b的值，最

后计算a+b的值即可.

【解答】解：：同=5,庐=4,

±5,。=±2,

又・：a>b,

，〃=5,。=-2或〃=5,b=2,

/.a+b=3或7.

故选：D.

9.计算：-尸-（_1）2=2.

【答案】见试题解答内容

【分析】先算乘方，再算减法即可.

【解答】解：-（-1）2=-1-1=-2.

故答案为：-2.

10.《庄子•天下篇》中记载道：“一尺之棱，日取其半，万世不竭”.这句话的意思是:

“一尺长的木棍，每天截掉一半，永远也截不完”.根据这句话计算：1+工+上+3+-

22223

+，+，=

2202322024-

【答案】2-—1—

22024

【分析】令原式为S,计算_1乱将两式相减，得到工5的值，求出S即可.

22

【解答】解：设S=l+L-+—L-©,

22023I2024

222322

贝!]_Ls=1+」-+工+工+…+.-J—+^_②,，

2342025

22222220242

①-②，得

222025

A5=2-―—.

22024

故答案为：2-2丁.

22024

五.非负数的性质：偶次方（共1小题）

11.若(tz+1)2+|<7-Z?+4|=0,则a=-1，b=3

【答案】7,3.

【分析】根据非负数的性质可求出八b的值即可.

【解答】解：由题意得:

."+1=0,a-b+4—O,

'.a=-1,b=3.

故答案为：7,3.

六.有理数的混合运算(共17小题)

12.下列变形，运用加法运算律错误的是()

A.(-8)+(-9)=(-9)+(-8)

B.4+(-6)+3=(-6)+4+3

C.[5+(-2)]+4=[5+(-4)]+2

D.1+(-1)+(+$)=(1+5)+(-1)

6666

【答案】c

【分析】根据加法交换律和结合律，即可解答.

【解答】解：A、(-8)+(-9)=(-9)+(-8),故A不符合题意；

8、4+(-6)+3=(-6)+4+3,故B不符合题意；

C、[5+(-2)]+4=(5+4)+(-2),故C符合题意；

1+(-1)+(+A)=(1+1)+(-1),故。不符合题意；

6666

故选：C.

13.一件衣服，商店的进价是100元，若先加价10%,再降价10%,则商店()

A.赚了1元B.赔了1元C.不赚不赔D.赚了10元

【答案】B

【分析】根据题意和题目中的数据，可以先计算出最后的售价，然后用售价减去进价，即

可得到该商店的盈利情况.

【解答】解：由题意可得，

100X(1+10%)X(1-10%),

=100X1.1X0.9,

=110X0.9,

=99(元)，

99-100=1(元),

即赔了1元，

故选:B.

14.下列式子计算结果和率相等的是()

A.(-3仔)x-yB.-3X-y+^

C.-3Xy-X-^-D.(-3-y)x-|-

4747

【答案】D

【分析】根据乘法分配律，即可解答.

【解答】解：一是乂旦=(-3-S)xl,

7747

故选：D.

15.已知m是最小的正整数，"是最大的负整数,。、6互为相反数,x、y互为倒数，则r^+^+a+b

-xy的值是()

A.-2B.-1C.0D.1

【答案】D

【分析】利用相反数、倒数的性质，以及最小的正整数为1,最大负整数为-1求出各自

的值，代入原式计算即可求出值.

【解答】解：根据题意得：m=l,n=-1,a+b=O,xy=l,

则原式=1+1+0-1=1.

故选：D.

16.定义新运算：当。＞6时，a®b=a-2b；当时，a■（其中，则

a+b

-102--3

【答案】-3.

【分析】按照定义的新运算进行计算，即可解答.

【解答】解：由题意得：-102

=-1-2

-1+2

=z3

=_3,

故答案为：-3.

17.若a和6互为相反数，。和1互为倒数，\m\=2,那么代数式上生_女［1+2m的值为」

2024

或-7.

【答案】1或-7.

【分析】根据相反数，倒数，绝对值的意义可得q+b=0,cd=l,加=土2,然后分两种情

况进行计算即可解答.

【解答】解：和b互为相反数，c和d互为倒数，|加=2,

a+b=O,cd=l,m=+2,

当"=2时，器-3cd+2m—3X1+2X2=O-3+4=1；

2024

一2时，嘉-3cd+2m0-..-3X1+2X(-2)=0-3+(-4)=-7；

2024

:•毅7.+2m的值为1或一7,

故答案为：1或-7.

18.定义新运算：(a-b),如：2*3=2?(2-3)=-4.则2*(3*5)=80.

【答案】80.

【分析】按照定义的新运算进行计算，即可解答.

【解答】解：由题意得：2*(3*5)

=2*[32X(3-5)]

=2*[9X(-2)]

=2*(-18)

=22X[2-(-18)]

=4X(2+18)

=4X20

=80,

故答案为：80.

19.定义一种新运算：若0n=b(。>0且aWl,b>0),则〃叫做以。为底6的对数，记作

logab—n,例如log28=3,log39=2,logs125=3.

【答案】3.

【分析】根据定义的新运算进行计算，即可解答.

【解答】解：：53=125,

/.log5125=3,

故答案为：3.

20.分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简同时，可以这样分类：当a>0时，\a\=a；

当。=0时，间=0；当。<0时，\a\=-a.用这种方法解决下列问题：

(1)当a=5时，求_h_L的值.

a

(2)当a=-2时，求1■的值.

IanI

(3)已知a,6是有理数，当ab>0时，试求，&〔+〔0I的值.

laib

(4)已知a,6是有理数，当abc<0时，试求,：-「+abc的值.

IaIlbIIcIIabcI

【答案】(1)1；

(2)-1；

(3)±2；

(4)0,-4.

【分析】(1)直接将。=5代入求出答案；

(2)直接将a=-2代入求出答案；

(3)分别利用。>0,b>0或a<0,b<0分析得出答案；

(4)分别利用当a,b,c三个字母中有一个字母小于0,其它两个字母大于0,当。，b,

c都小于0,分析得出答案.

【解答】解：(1)当。=5时，匕_1=1；

a

(2)当〃=-2时，a=-1；

IaI

(3)若〃，。是有理数，当帅>0时，分两种情况：

当。>0时，

&+」b|_=i+i=2,

IaIb

当a〈0,0Vo时，

a+Ib|.=-i-i=-2

IaIb

.•.当ab>0时，丁'+_1±1的值为±2；

laib

(4)若〃，。是有理数，当出?cVO时，分2种情况：

①当a,b,C三个字母中有一个字母小于0,其它两个字母大于0时，

lailbIIcI

+abc=_i+]+i_1=0,

IabcI

②当a<Q,b<0,c<0时，-±-+-k--.+-S—+,abc,=-1-1-1-1=-4,

IaIlbIIcIIabcI

综上所述，也+占+金+菩%的所有可能的值为0,-4.

IaIlbIIcIIabcI

21.计算：

(1)(A-1+1)4-(-A)；

64312

(2)(-2)3X(-1)-|-1-5|.

2

【答案】(1)-11；

(2)-2.

【分析】(1)先把有理数的除法转化为乘法，然后再利用乘法分配律进行计算，即可解

答；

(2)先算乘方，再算乘法，后算加减，即可解答.

【解答】解：(1)(A-1+1)4-(-J_)

64312

=(a-』+工)X(-12)

643

=-12X.§.+12XA-12XA

643

=-10+3-4

=-11;

(2)(-2)3X(-A)-|-1-5|

2

=-8X(-1)-6

2

=4-6

=-2.

22.一根绳子长15米，现要捆扎一种礼盒(如图)，如果接头处要用掉30厘米，这根绳子

最多可以捆扎多少个这样的礼盒？

【答案】这根绳子最多可以捆扎13个这样的礼盒.

【分析】根据题意可得：这根绳子可以捆扎这样的礼盒的个数=1500+(8X4+10X2+15

X2+30),然后进行计算即可解答.

【解答】解：..T5米=1500厘米，

.1.15004-(8X4+10X2+15X2+30)

=15004-(32+20+30+30)

=15004-112

=13(个)...44(厘米)，

答：这根绳子最多可以捆扎13个这样的礼盒.

23.计算：

(1)-2X5+(-3)X(^-)+|-10|;

（2）（-2）2+（-9）X（］+2>

【答案】（1）1;

（2）-8.

【分析】（1）先算乘法，后算加减，即可解答；

（2）先算乘方，再算乘法，后算加减，有括号先算括号里，即可解答.

【解答】解：⑴-2X5+（-3）X（^）+|-10|

=-10+1+10

=1;

(2)(-2)2+(-9)X(J+2)

=4+(-9)xA

3

=4+(-12)

=-8.

24.小明和同学们玩扑克牌游戏.游戏规则是：从一副扑克牌（去掉“大王”“小王”）中

任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌上的数字只能用一次），使得运

算结果等于24.小明抽到的牌如图所示，请帮小明列出两个结果等于24的算式.

【答案】①（3+5）4-2X6；②（5-3+2）X6（答案不唯一）.

【分析】根据有理数的混合运算的运算顺序进行计算，即可解答.

【解答】解：①（3+5）4-2X6

=84-2X6

=4X6

=24；

②(5-3+2)X6

(2+2)X6

=4X6

=24；

两个结果等于24的算式为：①(3+5)4-2X6；②(5-3+2)X6(答案不唯一).

25.根据国家卫健委发布的《儿童青少年近视防控适宜技术指南》，中学生使用电子产品的

时间不应超过2小时.某校想了解该校学生每天刷抖音的时间情况，特制作了调查表进行

调查，下表是该校某学生某周每天刷抖音的时间情况(标准使用时间为每天2小时，超过

记为正、不超过记为负)：

星期一二三四五六日

增减+3-1-2-0.5-1.5+5+8

(1)根据上表的数据可知该生星期三刷抖音的时间是0小时;

(2)刷抖音时间最多的一天比时间最少的一天多10小时;

(3)该生这一周刷抖音共用了多少小时？

【答案】⑴0；

(2)10；

(3)该生这一周刷抖音共用了25小时.

【分析】(1)根据题意可得：该生星期三刷抖音的时间=2-2,然后进行计算即可解答;

(2)根据题意可得：刷抖音时间最多的一天比时间最少的一天多的时间=8-(-2),

然后进行计算即可解答；

(3)把表格中的这些正数和负数全部相加，然后进行计算即可解答.

【解答】解：(1)由题意得：2-2=0(小时)，

该生星期三刷抖音的时间是0小时，

故答案为：0；

(2)由题意得：8-(-2)=8+2=10(小时)，

.•.刷抖音时间最多的一天比时间最少的一天多10小时，

故答案为：10;

(3)由题意得：+3+(-1)+(-2)+(-0.5)+(-1.5)+(+5)+(+8)=11(小时)，

.•.2X7+11=14+11=25(小时)，

该生这一周刷抖音共用了25小时.

26.老师设计了接力游戏，用合作的方式完成有理数运算，规则是：每人只能看到前一人给

的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成计算.过程如图所示.

-42+204-(-4)-6X(-2P16+20+(—4)-6X(-8)

老师小明小强小兰

(1)接力中，计算错误的学生是小明和小强；

(2)请正确计算老师出示的算式；

(3)计算：-l4-104-yX(-2)2+5-

【答案】(1)小明和小强；

(2)27；

(3)-76.

【分析】(1)先算乘方，再算乘除，后算加减，逐一判断即可解答；

(2)先算乘方，再算乘除，后算加减，即可解答；

(3)先算乘方，再算乘除，后算加减，逐一判断即可解答.

【解答】解：(1)接力中，计算错误的学生是小明和小强，

故答案为：小明和小强；

(2)-42+204-(-4)-6X(-2)3

=-16+(-5)-6X(-8)

=-16-5+48

=-21+48

=27；

(3)-l4-10-ryX(-2/+5

=-1-10X2X4+5

=-1-80+5

=-81+5

=-76.

27.2022年由于“新冠肺炎”的原因，使得医用口罩销量大幅增加，某口罩加工厂为满足市

场需求计划每天生产5000个.由于各种原因实际每天生产量相比有出入，表格是二月份

某一周的生产情况(超产为正，减产为负，单位：个).

星期一二三四五六日

增减+100-200+400-100-100+350+150

(1)产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少个；

(2)该口罩加工厂实行计件工资制，每生产一个口罩0.2元，本周口罩加工厂应支付工

人的工资总额是多少元？

【答案】(1)600个；

(2)7120元.

【分析】(1)根据正负数的意义确定星期三产量最多，星期二产量最少，然后用记录相

减计算即可得解；

(2)求出一周记录的和，然后根据工资总额的计算方法列式计算即可得解.