2024-2025学年上海市徐汇区某中学高一（上）期中数学试卷（含解析）

2024-2025学年上海市徐汇区南洋模范中学高一（上）期中数学试卷

一.填空题（共54分，1〜6题每题4分，7〜12题每题5分）

1.（4分）已知函数/（x）=/gx,若/（ab）=l,则/（/）+/&）=-

2.（4分）已知集合/={1,2},S={X|2X5-4X3+X2+6X+7=0},则/pp=

3.（4分）函数y==二一的值域是.

x—x+4

4.（4分）下列函数中，偶函数的序号为.

①y=A/1-x2+Vx2-1

③尸”j）,x<0

[x（l+x）,x>0

三[x（2-x\x>0

@y=\

[-x（2+x）,x<0

5.（4分）若关于x的方程（x-2）（/一4x+"）=0有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边

的长，则机的取值范围是—.

6.（4分）设/（-oo,0）,关于x的方程/+2尤+4=0的解集为8,若只有1个元素，则实数4的取值

范围是—.

7.（5分）对任意实数xe[0,2]都有|"+6《2,则实数。的最大值为.

8.（5分）若函数/（x）=J/nx2-6»?x+加+8的值域为[0,+<»）,则实数机的取值范围为.

9.（5分）设不等式log2（2-x）Wbg2（3x+10）的解集为M,设函数/（尤）=/-x-a（a>0且aK1）与x轴有

两个交点时实数。的取值集合为N,则M0|N=.

10.（5分）已知函数/=+办+6）,若对于任意的xeR,都有〃幻=/（4-x）,则的最

小值是—.

11.（5分）函数/（x）="2-（a+l）x+l,若/（x）在定义域上满足：①没有奇偶性；②不单调;

③有最大值，则。的取值范围是一.

12.（5分）已知实数〃>6>c,a+b+c=],a2+b2+c2=1,则c的取值范围为.

二.选择题（4题共18分，13〜14每题4分，15〜16每题5分）

13.（4分）已知xeR,则“0-2）。一3）（0成立”是“|》-2|+|》一3|=1成立”的（）条件.

A.充要B.充分非必要

C.必要非充分D.既不充分也非必要

14.（4分）对于非空集合河和N,把所有属于河但不属于N的元素组成的集合称为河和N的差集，记

为M-N,那么"-（M-N）总等于（）

A.B.C.MD.N

15.（5分）已知/（l,0）,点8在曲线G:y=/〃x上，若线段与曲线“：y=L相交且交点恰为线段的

X

中点，则称8为曲线G关于曲线”的一个关联点.那么曲线G关于曲线”的关联点的个数为（）

A.0B.1C.2D.4

16.（5分）①德国著名数学家狄利克雷（高斯的学生）在数学领域成就显著，著名的狄利克雷函数定义域

在R上的解析式可表示为：/（x）=[l'xe°,下列关于狄利克雷函数说法正确的序号为（）

①狄利克雷为偶函数

②狄利克雷为奇函数

③狄利克雷函数值域为[0,1]

④对于任意xeR,均有/（/（f））=1

⑤狄利克雷函数的图像可以通过列表描点法画出

⑥在狄利克雷函数上不存在可以构成等边三角形的三点

A.①③④⑥B.②③⑤C.①④D.②④⑥

三.解答题（共78分，17〜19每题14分，20〜21每题18分）

17.（14分）命题甲：集合N={x|-2<x<6},B={x\x+a-\>Q},且"Ix>-2}.

命题乙：集合A—{x\x2+（a+2）x+1=0},Z?={x|x>0},且=

问题：若命题甲和乙中有且只有一个真命题，求：实数。的取值范围.

18.（14分）除了直接作差以外，利用函数，基本不等式，反证法比大小也是解决不等关系的主要方法.

（1）已知实数X],x2,x3,x4,x5,满足X]+X2+w+羽+%=5.求证：X],x2,x3,x4,三中至少

有一个实数不小于1.

（2）已知°=血5,b=203,c=O.30-2,试比较：a、b、c三者的大小关系.

22

(3)若实数”，b,x,y满足与-4=1,试比较：/一〃和(了一历2的大小，并指明等号成立的条件.

19.(14分)由于浓酸泄漏对河流形成了污染，现决定向河中投入固体碱.1个单位的固体碱在水中逐步

溶化，水中的碱浓度y与时间x的关系，可近似地表示为>=，-m-x+8，°Wx<2.只有当河流中碱的浓

4-x,2<我4

度不低于1时，才能对污染产生有效的抑制作用.

(1)如果只投放1个单位的固体碱，则能够维持有效抑制作用的时间有多长？

(2)当河中的碱浓度开始下降时，即刻第二次投放1个单位的固体碱，此后，每一时刻河中的碱浓度认

为是各次投放的碱在该时刻相应的碱浓度的和，求河中碱浓度可能取得的最大值.

20.(18分)利用数形结合，构造函数研究方程与不等式问题是解决抽象代数问题的捷径.

(1)已知函数/'(x)=|x-a|-工+a,aeR,若对任意xe(0-],恒成立，求：实数a的取值范围.

x2

(2)设aeR,若存在定义域为R的函数同时满足①，②两个条件，求：a的取值范围.

①对于任意/€及，/(%)的值为X；或天；

②关于x的方程/(x)=a无实数解.

(3)已知函数/(*)=2/一x+a(ae&,若方程/(x)=0有实根，求:集合""[〃切=0｝的元素的可能

个数.

21.(18分)对于函数/(x),若其定义域内存在非零实数x满足/(-%)=-/«，则称为“伪奇函数”.若

其定义域内存在非零实数x满足/(x)=/(-x),则称“X)为“伪偶函数”.

(1)已知函数〃x)=3,判断/(x)是否为“伪奇函数”；是否为“伪偶函数”并说明理由；

X+1

(2)若幕函数8(尤)=(〃-1)针"(〃€火)使得/@)=28(，)+加在[-1,1]上是“伪奇函数”，A(x)=[g(x)]2+m

是“伪偶函数”，求：实数机的取值范围；

(3)若整数机使得〃x)=4'-小2+1+苏-3是定义在尺上的“伪奇函数"，求：，"的取值集合.

参考答案

一.填空题(12题共54分，1〜6题每题4分，7〜12题每题5分)

1.(4分)已知函数/(x)=/gx,若/(助=1,则/(/)+/(6知=2.

解：•.・函数/(x)=/gx,f(ab)=lg(ab)=l,

f(a2)+f(b2)=lga2+lgb2

=lg(ab)2=21g(ab)=2.

故答案为：2.

2.(4分)已知集合/={1,2},5={X|2X5-4X3+X2+6X+7=0},则/0|8=一。

解：,.tA={1,2},B={x\2x5-4x3+x2+6x+7=0},

把x=1代入方程-4x，+x?+6x+7=0,方程不成立，故

再把x=2代入方程2x$-4x3+x?+6x+7=0,方程不成立，故2史2,

.•.始人。•

故答案为：0.

3.(4分)函数y=—的值域是—[-2,2

解：当x=0时，歹=0,

2x2

当xwO,=——=—

x2-x+4.,4

X—1H---

X

若时，当且仅当

x>0x+->2.x--=4,x=±,即x=2时等号成立,

xVxx

222?

止匕时>=—=BPO<j；<-,

4-13”3

X-1H---

X

若X<0时，XH—=—[(—X)+(—)]W—2./(—X)•(—

-)=-4,

xxV;

当且仅当-％=-4,即x=-2时等号成立，

222?

止匕时歹=—=BP--<j<0,

-4-4-155.

X-1H---

X

综上所述，函数的值域为[-gg].

故答案为…I。•

4.（4分）下列函数中，偶函数的序号为①②④.

①y=A/1-x2+Vx2-1

②片Q7—

|x+5|+13-x|

③片”17),X<0

[x(l+x),x>0

fx(2-x),x>0

@y=\

[-x(2+x),x<0

解：①由[>/20,解得X=±l,

[x2-l>0

则原函数为y=O(x=±l),函数为偶函数;

②由19-,解得—3<XW3.

|j%+5|+|3—x|wO

JQ-X2JQ-Y2

此时7"x=且三,函数为偶函数；

x+5+3—x8

③『[MEX<0,

[x(l+x),x>0

当％<0时，一x〉0,此时/(一%)=-x(l-x)=-/(x),

当x>0时，—x<0,此时/(—x)=-x(l+x)=—/(x),

综上可知，函数>=<为奇函数；

[x(l+x),x>0

三[x(2-x),x>0

@y=\\,

[-x(2+x),x<0

当％<0时，一x>0,止匕时/(一%)=一工(2+x)=/(x),

当%>0时，一x<0,止匕时/(-%)=%(2—％)=/(x)，

jt一八一w,[x(2-x\x>0、，3rw,

综上可知，函数y=<为偶函数.

[-x(2+x),x<0

故答案为：①②④.

5.(4分)若关于x的方程(x-2)，—4x+")=0有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边

的长，则加的取值范围是_(3_4]_.

解：・・・(x-2)・(12—4x+加)=0有三个根(允许相等)，

设这三根为：%=2,%2，，不妨设%2@31

即x2,x3为方程--4x+m=0的两正根，

所以，加〉0且△=16—4机20,解得0<冽(4,

・・,这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，

/.两边之和：入2+%3=4=2再，贝!J工2<2^%3，

两边之差：|%2-％31<2，

2

即(x2+x3)-4X2X3<4,

所以，16—4m<4,解得m>3f

因此，3<加・4,

故实数机的取值范围是(3,4].

6.(4分)设/(-oo,0),关于x的方程V+2x+左=0的解集为5,若只有1个元素，则实数左的取值

范围是—{左或左=1}—.

解：因为/=(-8,0),关于X的方程-+2x+左=0的解集为5,

若只有1个元素，则关于x的方程-+2x+左=0只有一个负根，

「人=4-44=0

①一+2X+左=0只有一个根且为负根，~,解得左=1,

[k>0

fA—4—4k>0

②f+2x+左=0有两个根且一个负根，一，止匕时左W0，

辰0

故左的取值范围为彷|仁0或左=1}.

故答案为：依IK0或左=1}.

7.(5分)对任意实数xe[0,2]都有|办+6区2,则实数。的最大值为2.

解:依题意，16-2,|2a+6《2,

所以|2a+6]+|6|?|2a+6-b|=2|a|,

则2|q|W4,即|〃|<2,当〃=2,4-2或。=0,6=2时等号成立.

则a的最大值为2.

故答案为：2.

8.(5分)若函数/(%)=，冽%2一6加工+冽+8的值域为[0,+oo),则实数冽的取值范围为—[1+oo)—.

解：因为函数/(x)=Jox'-6冽x+冽+8的值域为[0,+oo),

所以冽/一6冽%+冽+8能够取到大于等于0的所有数，

当冽=0时f(x)=卡>=2也,不合题意；

fm>0

当WHO时，则、2，解得心1;

[△=(-6w)2-4m(w+8)^0

综上可得+<»).

故答案为：[1,+co).

9.(5分)设不等式k)g2(2-x)Wlog2(3x+10)的解集为A/,设函数/(x)=a*-x-a(a>0且aK1)与x轴有

两个交点时实数a的取值集合为N,则M0|N=_(1,2)_.

解：由log?(2-x)Wlog?(3尤+10)，得0<2-xW3x+10,

解得-2令<2,从而M=[-2,2).

设函数了=a*(a>0,aw1)和函数y=x+a(a>0,aw1),

则函数/(无)=(/-%-或°>0且0片1)与》轴有两个交点，

就是函数了=/(。>0,。/1)的图象与函数了=工+。(°>0,。片1)的图象有两个交点.

当0<a<l时，如图，由图可知，两函数图象只有一个交点，不符合题意；

当。>1时，如图，因为函数了="(a>l)的图象过点(0,1),

而直线y=x+a与y轴的交点一定在点(0,1)的上方，所以两图象一定有两个交点.

综上，实数。的取值范围是。>1,从而N=(l,+oo).

则Mp|N=(l,2).

故答案为：(1,2).

10.(5分)已知函数/(X)=(f-I)。:?+ax+6),若对于任意的xeR,都有/(x)=/(4-x),则/(x)的最

小值是—-16—.

解：对任意的xeR,都有〃x)=〃4-x),

因为/(1)=/(-I)=0,

则f(3)=f(5)=0,

则/(x)=(x2-l)(x-3)(x-5)=(无2-4x+3)(x2-4x-5),

令:=x?-4x+4>0,

则g")=(1)(-9)=("5>一16,

则当"5时，g⑷有最小值-16,

则有最小值-16.

故答案为：-16.

11.(5分)函数/■(x)="2-(a+l)尤+1,若〃x)在定义域上满足：①没有奇偶性；②不单调;

③有最大值，则“的取值范围是.

解：由①可知，Q+1W0,即QW—1；

由③可知，4<0；

I―rbr1。+11口口。+1{

由②可知，一—<----<-,即一1<----<1,

22。2a

3^q<0,贝UQ<a+1<—ci，角军a<—；

2

综上，实数。的取值范围为(-oo,T)U(T,-g)-

故答案为：-i)U(—i，—；).

12.(5分)已知实数。>b>c,a+b+c=\,a2+b2+c2=l,则c的取值范围为—

解：因为a+b+c=l,6Z2+62+c2=1,

所以(Q+6+°)?-(2〃6+2ac+2bc)=a2+b2+c2,

BP1-2(ab+ac+be)=1,

故ab+QC+be=0,

又Q+b=l-c,ab=-ac-bc=-c(a+b)=-c(l-c)，

将a,6看成方程f—(l—c)x—c(l-c)=O的两根，则△》(),

即(1-C)2+4C(1—C)》0,故(c-l)(l+3c)<0,解得一；4c41.

故答案为：

二.选择题(4题共18分，13〜14每题4分，15〜16每题5分)

13.(4分)已知xeR,则“0-2)。一3)(0成立”是“|》-2|+|;<:-3|=1成立”的()条件.

A.充要B.充分非必要

C.必要非充分D.既不充分也非必要

解：若(x-2)(x-3)W0，贝|2令43,

若x>3时，|x-2|+|x-3|=2x-5,

若2WW3时，|x-2|+|x-3hl,

若x<2时，|x-2|+|x-3|=5-2x,

则当|x-2|+|x-3|=l时，2WW3,

则“0-2)0-3)@成立”是“|x-2|+|x-3|=l成立”的充要条件.

故选：A.

14.(4分)对于非空集合M和N,把所有属于"但不属于N的元素组成的集合称为"和N的差集，记

为M-N,那么河-(M-N)总等于()

A.B.M\jNC.MD.N

解：由题意可知，M-N指图(1)中阴影部分构成的集合，

所以M-(M-N)指图(2)中阴影部分构成的集合，

(1)(2)

由降幅图可知，M_(M_N)=M，\N.

故选：A.

15.(5分)已知/(1,0),点8在曲线G:y=/〃x上，若线段与曲线M:y=!相交且交点恰为线段N8的

X

中点，则称8为曲线G关于曲线M的一个关联点.那么曲线G关于曲线〃的关联点的个数为()

A.0B.1C.2D.4

解：如图所示：设线段与曲线的交点为C,

x

1y1

如图所示，令点、则点C(下一,-Inx).

117

由于点C在函数＞=—的图象上，故有一历、=——，

x21+x

4

BPInx=----.

1+x

故曲线G关于曲线M的关联点的个数，

即为函数〉和曲线y=「匚的交点的个数.

1+x

4

在同一个坐标系中，画出函数y=和曲线》=----的图象,

1+X

数形结合可得函数＞=/小

故选：B.

16.(5分)①德国著名数学家狄利克雷(高斯的学生)在数学领域成就显著，著名的狄利克雷函数定义域

在R上的解析式可表示为：=下列关于狄利克雷函数说法正确的序号为()

[O,xiQ

①狄利克雷为偶函数

②狄利克雷为奇函数

③狄利克雷函数值域为[0，1]

④对于任意xeR,均有/(/(-x))=1

⑤狄利克雷函数的图像可以通过列表描点法画出

⑥在狄利克雷函数上不存在可以构成等边三角形的三点

A.①③④⑥B.②③⑤C.①④D.②④⑥

解：狄利克雷函数,

若X为有理数，则-X也是有理数，

D(x)=1,。(一x)=l,即D(x)=D(-x),

若X为无理数，则-X也是无理数，

D(x)=0,D(-x)=0,即。(x)=r>(f),

又函数D(x)的定义域为R,所以函数〃(x)是R上的偶函数，故①正确，②错误；

狄利克雷函数值域为{0,1},故③错误；

对于任意xeR,有-xeR，。(-》)=0或1,都是有理数，

:NxsR,有/(/(x))=l，故④正确；

狄利克雷函数的图象不可以通过列表描点法画出，故⑤错误；

取40,1),3(、-,0),C(-\-,0)得到△/BC为等边三角形，

即在狄利克雷函数上存在可以构成等边三角形的三点，故⑥错误.

故选：C.

三.解答题(共78分，17〜19每题14分，20〜21每题18分)

17.(14分)命题甲：集合N={x|-2<x<6},8={x|x+“-l>0},且/(JB=2x>-2}.

命题乙：集合/={x|x?+(a+2)x+l=0},B={x|x>0},且=

问题：若命题甲和乙中有且只有一个真命题，求：实数a的取值范围.

解：命题甲：集合A={x\-2<x<6],B={x\x+a—\>={x\x>\-a],且={x|x>-2},

-2W1-a<6,得—5<°W3,

当命题甲是真命题，实数。的取值范围为{a|-5<aW3}.

•.•命题乙：集合幺=3/+(0+2)》+1=0},B={x\x>0],且/0|5=0,

：.A=0或集合A中元素是非正数，

又/={x|x?+(a+2)x+1=0},

A中元素是方程尤2+伍+2)x+1=0的解，

当/=0时，△=(a+2)2-4<0,解得-4<a<0,

当集合/中元素是非正数时，

设X],乙是方程X?+(。+2)卜+1=0的根,

XjX2=1,则△=(a+2)2-420J3.X]+x2=-a-2<0,解得a?0,

.,.当命题乙是真命题时，实数a的取值范围为{。|a>-4}.

•.•命题甲和乙中有且只有一个真命题，

，命题甲是真命题，命题乙是假命题或命题甲是假命题，命题乙是真命题，

当命题甲是真命题，命题乙是假命题时，[-5<"'3,得到一5<”-4,

[a<-4

当命题甲是假命题，命题乙是真命题时，!“<一5或[。>3,得到〃>3,

[q>—4[a>—4

.一.命题甲和乙中有且只有一个真命题，实数。的取值范围为{a|-5<。<-4或。>3}.

18.(14分)除了直接作差以外，利用函数，基本不等式，反证法比大小也是解决不等关系的主要方法.

(1)已知实数X],x2,x3,x4,x5,满足X]+超+X3+X4+X5=5.求证：X1,x2,x3,x4,X5中至少

有一个实数不小于1.

（2）已知a=b=203,c=O.30-2,试比较：a、b、c三者的大小关系.

（3）若实数“，b,x,y满足£-[=1,试比较：/一/和（x-y）2的大小，并指明等号成立的条件.

ab

X9

解：（1）证明：（反证法）假设再，/，3%4，/全小于1，即石<1，X2<1,X3<1,X4<1,X5<1,

所以石+%+%3+<5，这与石+/+%3+%4+=5矛盾，

故假设不成立，所以再，%，、3，%，/中至少有一个实数不小于

（2）因为函数>=0.3"在R上为减函数，又：1>0.2>0,所以0.321<0.3°2<0.3°,

即Q<C<1,

又函数>在R上为增函数，又0.3〉0,所以2°3〉2°=1,

所以6>C>Q；

(2、2,2/212X2\22。2r心2。22

1V

(3)a-b-^{a--6-)(—=+y2――,——=+寸)

ababab

/）2222

当且仅当驾=巴白，即6与2=/必取等号，

ab

所以Q2_令2+「_2|肛]令2+y2_2xy=（X-J）2,

当且仅当且％,>同号时取等号.

19.（14分）由于浓酸泄漏对河流形成了污染，现决定向河中投入固体碱.1个单位的固体碱在水中逐步

溶化，水中的碱浓度y与时间x的关系，可近似地表示为了=，一不一X+8，0<X<2.只有当河流中碱的浓

4-x,2<x<4

度不低于1时，才能对污染产生有效的抑制作用.

（1）如果只投放1个单位的固体碱，则能够维持有效抑制作用的时间有多长？

（2）当河中的碱浓度开始下降时，即刻第二次投放1个单位的固体碱，此后，每一时刻河中的碱浓度认

为是各次投放的碱在该时刻相应的碱浓度的和，求河中碱浓度可能取得的最大值.

解：（1）由题意，当0WxW2时，一一---x+8>1,Ax2-5x+2^0,‘一炳令/+M,

x+222

0令W2,----------

2

当2<xW4时，4-2<x<4,2<

综上，得三叵令43,

2

即若1个单位的固体碱只投放一次，则能够维持有效抑制作用的时间为3-匕叵=1±2叵；

22

(2)当0〈x<2时，y=—一^一x+8,y1T>°,二函数>=一~^-x+8在［0,2］上单调递增,

当2<xW4时，>=4-x单调递减，所以当河中的碱浓度开始下降时，即刻第二次投放1个单位的固体碱,

即2<工忘4时，y=4-x+［-(%-2)+8］=14-(2x+，

(%—2)+2x

故当且仅当2%=3，即x=2及时，y有最大值14-8夜.

X

20.(18分)利用数形结合，构造函数研究方程与不等式问题是解决抽象代数问题的捷径.

(1)已知函数-，aeR,若对任意％£(0」］,/(x)(0恒成立，求：实数Q的取值范围.

x2

(2)设。£火，若存在定义域为R的函数/(%)同时满足①，②两个条件，求：。的取值范围.

①对于任意/eR,/(x0)的值为片或与；

②关于x的方程/(%)=Q无实数解.

(3)已知函数/(1)=2/一工+心^及),若方程/(x)=0有实根，求：集合｛x[/[/(%)]=0｝的元素的可能

个数.

解：(1)①当时,x-a>0,

则f(x)—x—a-----ci=x9xG(0,-],

xx2

此时/(%)40恒成立，故”0;

②当42工时，X—Q40,

2

贝[Jf(X)——X+Q-----d—2Q—(XH),XG(0,-],

xx2

若2。一(x+-)V0，即。W[彳(1+一)]加〃，

x2x

令g(x)=La+3为对勾函数，在(0-]上单调递减，

2x2

所以Q«g(X+J)]加〃=g(|)=|，

,,15

故一Wa<—；

24

③当0<q<L时，

2

若X<4,则/(X)=一1+Q-▲+Q=2。-(X+▲),XG(0,—],

xx2

同②，符合题意；

若贝l|/(x)=x-a-L+q=x—工，xG[0,—],同①，符合题意；

xx2

综上所述，。的取值范围为(f，

(2)由条件①得，X；=%,解得/=0或%=1,

所以当/=0时，/(0)=0；当％=1时，f(1)=1,

又因为关于x的方程“X)=a无实数解，

所以qwO且awl,

所以a£(-00,0)U(0,1)U(1,+oo)；

(3)①若函数/(x)=2Y—X+。有两个相等的实数根，

贝lJ△=l_8a=0,得。=工，实数木艮％=!，

84

令/=2x2—x+a«20)，

则/a)=2»7+a,

当/=；时，f(t)=0,

此时，=。有2个解；

②若函数/(x