2024-2025学年上海市浦东新区某中学高二（上）期中数学模拟试卷（含答案）

2024-2025学年上海市浦东新区川沙中学高二（上）期中数学模拟试

卷

一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.下列命题是假命题的是（）

A.棱柱的所有侧面都是平行四边形

B.将矩形力BCD绕其一边旋转一周所形成的几何体叫做圆柱

C.正棱锥顶点在底面的投影是底面正多边形的中心

D.将直角三角形绕其一边旋转一周所形成的几何体叫做圆锥

2.设I,m,ri均为直线，其中71在平面a内，贝U"Z1a"是"I16且I1n"的（）

A.充分不必要条件B,必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

3.如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面a上，且正方体的六个面所在的平面与直线

CE,EF相交的平面个数分别记为机，n,那么m+n=（）

A.8B.9C.10D.11

4.空间内有三条直线，其中任意两条都不共面但相互垂直,直线，与这三条直线所成角均为仇则8的值为

A.»B.arcsin-C.arcsin-^—D.arcsin-^—

J§33

二、填空题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

5.正四棱柱的底面边长为2,高为3,则它的体积为.

6.如图，已知长方体的棱长441=3cm,AB=4cm,则点力i到

棱BC的距离是cm.

9.如图，△0'4B'是水平放置的△。/IB的斜二测直观图,

若0'4=3,OB'=4,则△。力B的面积为

10.已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，则这个圆锥的高是.

11.如图，在三棱柱ABC-AiBiCi中，P为A4i中点，记三棱锥P-48c的体积为匕，三

棱柱力BC—4B1C1的体积为％,则&=.

12.如图，在棱长为1的正方体力BCD-&B1C1D1中，点P在截面4DB上，则线段4P

的最小值等于.

13.在正方体48CD-48传1。1各个表面的对角线所在直线中，与直线4%异面的直线有

n条，则n=.

14.如图为一几何体的展开图，其中4BCD是正方形，SD=PD,CR=CS,AQ=AP,§

点S,D,A,Q及P,D,C,R共线，沿图中虚线将它们折叠，使P,Q,R,S四点重合

于点M,在该几何体的侧面和底面中，与平面M4D垂直的平面的个数为.A"7^

Q

15.正四棱锥S-4BCD的底面边长为4,高为3,E是边BC的中点，动点P在表面上运动，并且总保持

PE1AC,则动点P的轨迹的周长为.

16.如图是一座山的示意图，山呈圆锥形，圆锥的底面半径为5公里，侧棱长为20公X

里，B是S4上一点，且4B=5公里，为了发展旅游业，要建设一条最短的从4绕山/N

一周到B的观光铁路，这条铁路从4出发后首先上坡，随后下坡，则下坡段铁路的长/\\

度为公里.

三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（本小题12分）

如图，某公司制造一种海上用的“浮球”，它是由两个半球和一个圆柱筒组成.其中圆柱的高为4米，球的

半径r为1米.

（1）这种“浮球”的体积是多少立方米（精确到1m3）?

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(2)假设该“浮球”的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为20元，半球形部分

每平方米建造费用为30元,求该浮球的建造费用(精确到1元).卜7----------嘲

18.(本小题12分)V\：,<\：；V

如图所示的几何体，是将高为2、底面半径为1的圆柱沿过旋转轴的平面切开后，将其中一半沿切面向右水

平平移后形成的封闭体，。1、。2、。’2分别为AB、BC、DE的中点，F为弧4B的中点，G为弧BC的中点.

(1)求直线GOq与平面8CDE所成角的大小.

(2)求异面直线2尸与GO%所成角的大小.

19.(本小题12分)

如图，三棱锥4BCD中，AB1面BCD,BC1CD.

(1)求证：AC1CD.

(2)若三棱锥a-BCD的体积为，，BC=CD=1,有一根彩带经过面力BC与面4CD,且彩带的两个端点分别

固定在点B和点。处，求彩带长度的最小值.

20.(本小题12分)

一组空间向量研，何，宙，…，码(n6N*),记嘉=石+a2++…+/1，如果存在幅(pe{1,2,3,…,n},使得I

耳|2瓦-弓|,那么称诟是该向量组的“八向量”.

(1)已知耳=(0,5,4),皈=(1,0,3),药=(5工,0),若尾是向量组无,豉尾的“八向量”，求实数t的取值范围；

(2)四面体PABC内接于以。为球心，1为半径的球，且3・雨+4•丽+5•瓦=6,

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(i)记可：=初,丽=而用=瓦，向量组耳豉宙中是否存在，向量”，若有，指出哪个是“八向量”并证

明；若没有，请说明理由.

(九)求四面体/MBC体积的最大值.

21.(本小题12分)

如图所示，已知三棱柱A8C-4/停1的侧棱与底面垂直，AAi=AB=4C=1,AB1AC,M是C。的中

点，N是BC的中点，动点P在直线&Bi上，且满足神=4石瓦.

(1)指出直线MN与平面BAm的位置关系(不需说明理由).

(2)设直线PN与平面4BP所成的角为心求0的取值范围.

(3)设平面PMN与平面ABC所成的锐二面角的大小为仇求cos。的最大值，并求相应的2的值.

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参考答案

l.D

2.2

3.X

4.D

5.12

6.5

7.异面或平行

—>—»―>

8.-ci—c+b

9.12

IO.A/3

鹿

12.字

13.5

14.3

15.272+717

16.9

17.解：(1)由题意得，“浮球“可看成是由一个圆柱体和一个球体组成,

圆柱体底面半径为1,高为4,故体积为%=兀/[=47nn3,

4c4c

球体体积匕=-Trr3=-7rm3,

3

所以“浮球”的体积U=l/1+IZ2=^«17m；

(2)由题意得，圆柱形部分表面积即为圆柱体的侧面积，

Si=2nrl=8zr,故建造费用为87rx20=160兀元，

球形部分表面积为52=477T2=4兀，

故建造费用为47rx30=120兀元，

所以整个“浮球”的建造费用为160兀+120元=280兀=880元.

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18.解：⑴连接。。2，。‘2。2,

因为G为弧BC的中点，

所以G/lBC,

由圆柱的性质知，平面8CDE_L平面BCG,

而平面BCDEC平面BCG=BC,且G^u平面BCG,

所以GO?_L平面BCDE,

所以NG。3。?即为直线GO%与平面BCDE所成角，

^£Rt△6。‘2。2中，6。2=1,。‘2。2=2,

所以tanNGO'O2=f。=2，即NGO'O2=arctan^-,

故直线GO'2与平面8CDE所成角的大小为arctan今

(2)连接CG,

因为F为弧48的中点，G为弧8c的中点，

所以AF〃CG,

所以NCGO'2或其补角即为异面直线4F与GO)所成角，

由(1)可知。3G=(G。］+。2'。2=gCG=",O'2C=在，

由余弦定理知，cos/CGg=CG?小'°丁2葭J=书,

Utr,02G，X、乙X7〉10

即NCG。%=arccos^^,

“10

所以异面直线力F与GO1所成角的大小为arccos喏.

19.解：(1)证明：•••AB1面BCD,又CDu面BCD,

•••AB1CD,又BC1CD,且4B1ClBC=B,

.­.CD1面ABC,又ACc面ABC,

•••AC1CD；

(2)•；三棱锥4-BCD的体积为/BC=CD=1,

根据题意可得三棱锥力一BCD的体积为4xaxBCXCDXAB=\AB=1,AAB=1,

DZOO

结合(1)可知三角形4BC为等腰直角三角形，三角形4CD为直角三角形,

且AB=BC=CD=1,AC=72,•••AD=4，

将三角形4BC与三角形4CD展开铺平如图：

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A

，D

BC

则由图可知所求的最小值为BD=Y12+I2_2X1X1XCOS135°=+"

20.解：（1）由题意得£=（6,t+5,7）,豆—宙=（1,5,7）,

又因为药是向量组正，皈，码的“八向量”，

所以尾|2所-诟I，

222

即3+产>^2+5+7<^>t>50,

解得tW-5避或t>572,

故t的取值范围为（一8,-5M）U（5也,+8）；

（2）（i）由题意得，因为四面体P48C内接于球。，

所以|可|—|矽=|宙|—1，

因为3石+4前+5而=0,

所以3万+4改=—5何，

两边同时平方得9（可/+16（荻/+24石•雨=25（前产

因为（正）2=|同2,（豉）2=|对2,（码）2=|码|2,

所以可得可•荻=0,即近1眩，OA1~OB,且4B,C,。在同一平面内.

如图所示，以。为原点，直线。4OB分别为尤，y轴建立平面直角坐标系，

则4(1,0),8(0,1),石=(1,0),而=(0,1),

代入3可*+402+5宙=0,得函—(一卷―3),

于是可得|同=1>|另-可|=|前+码|=J(0-|)2+(l-^)2=半，尾|=12队-同=|何+对=

J(l-|)2+(0-^)2=竿，同=1W队-码|=|可+对="，

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所以由“八向量”的定义，可，说都是“八向量”.

(九)由(i)得，0A10B,且4B,C,。在同一平面内，

所以△ABC在过球心。的截面上，

又3•市+4.而+5.而=6,3.01+5.0C=-40B,

两边平方可得万?•瓦=

即cosUOC=sin乙40c=之，

同理4-0B+5-0C=-30A,

两边平方可得布-0C=

即cosNBOC=-春sinzSOC=|,

于是S&ABC=SAAOB+SA40c+BOC=^|0^4|,\0B\+^|0^4|•\0C\'sinzXOC+^|0S|>\0C\-sinZ-BOC=

6

三

所以当OP，平面力BC时，四面体PABC体积取得最大值，

此时为BC=^S^ABC-\OP\=|x|xl=|.

21.解：(1)当点P与当重合时，MN与平面8clp共面，

当点P不与当重合时，因为M,N分别是CCi，BC的中点，

所以MN〃Bg,又因为MNC平面8GlP,BQu平面BCR,

所以MN〃平面8C1P；

(2)如图，以4为原点，以4B,AC,44i所在直线分别为乂轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系,

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则4(0,0,0),B(l,0,0),N(蒜0),4i(0,0,1),=(1,0,0),

设P(a,瓦c),由公户=4石瓦，

得(见hc-l)=(40,0),

,a=A

所以)=?,则P(4,0,l),

c=1

所以PN=1),

设平面力BP的法向量为访=(0,1,0),

直线尸N与平面ABP所成的角为仇

1

2

则sin。=Icos<~PNjrt>|二I里%2

\PN\\m\(|-A)2+