2024-2025学年上海市浦东新区某中学高一（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年上海市浦东新区川沙中学高一（上）期中数学试卷

一、单选题：本题共4小题，每小题3分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.若集合M={a,b,c}中的元素是△4BC的三边长，则△2BC一定不是（）

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形

2.下列结论成立的是（）

A.若a>b,c>d,则a—c>b—dB.若a>b,c>d,贝!]a—d>b—c

C.若a>b,贝！]山;2>尻2D.若a>b,则a2>接

3.设尤6R,贝!ja\x-l\+|x—2|>3”是“x>3”的（）

A.充分不必要条件B,必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.若正实数万、y、z满足%2+4y2=z+3xy,则当手最大时，§+的最大值是（）

13

A.2B.1C.2D.2

二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分。

5.用适当符号填空：1{1,2}.

6.已知集合4={x[l<x<2],B=（%|0<%<|},则如图阴影部分表

示的集合是.

7.已知a,6为正数，化简普•哈t•亚=.

8.已知p：x<1,q：x<a,若p是q的必要不充分条件，贝!|a的取值范围是.

9.已知集合A={%|（a—l）/+3x—2=0}有且仅有两个子集，则实数a=—.

10.若力={x\y=+1},B={y\y=—x2+6},则力CB=.

11.若关于x的不等式ax+4>1—2%的解集为R,则实数a=.

12.不等式|^|>皆^的解为.

13.关于x的不等式（k+l）x2-（fc+l）x+4>0对于任意乂eR恒成立，则k的取值范围是.

14.已知集合A=[x\^^<0]lB={x\x<a）,若A八8H。，且AUB则实数a的取值范围是

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15.若关于%的不等式%2-4TH%+m<。的解集为(%1，尢2)若％1>。，窕2>0,试探究+%2血%2力+%延+

1

彳的值，贝！|4%+冷的最小值为______.

人2

16.设集合”={1,2,3,456,7},现对M的任一非空子集力，令孙为4中最大数与最小数之和，则所有这样的

以的算术平均值为.

三、解答题：本题共5小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.(本小题8分)

己知不等式a*2-3x+2>。的解集为{x|x<1或x>b].

(1)求实数a,b的值；

(2)解不等式—>2.

18.(本小题8分)

(1)已知集合M={x\\x-3\<1},N={x\t-3<x<2t},若MUN=N,求实数t的取值范围；

4Y

<

(2)已知集合4={a||x+3|+|x—4]2a对任意xeR恒成立},B—[%|%2+x+2求Ac8.

19.(本小题10分)

某企业在现有设备下每日生产原先成本y(单位：万元)与日产量%(单位：吨)之间的函数关系式：y=2/

+(15-4fc)x+120k+8,近年来各部门都非常重视大气污染防治工作，为了配合环境卫生综合整治，该

企业引进了除尘设备，每吨产品的除尘费用为k万元，引进除尘设备后，当日产量x=1时，总成本(总成

本为原先成本和除尘费用之和)为142万元.

(1)求k的值；

(2)求引进除尘设备后日产量为多少时，每吨产品的成本最小，并求出最小值.

20.(本小题12分)

已知关于x不等式(依—4)(刀—4)>0的解集为4其中k6R.

(1)当k=1时，求集合4

(2)当k20时，求集合4

(3)是否存在实数k,使得上述不等式的解集4中只有有限个整数？若存在，求出使得4中整数个数最少的k

的值；若不存在，请说明理由.

21.(本小题14分)

已知集合4={aig,…，耿}(k>2),其中Z(i=1,2,…,k).定义：若对任意的xeA,必有—xiA,则称

集合力其有性质G,由4中元素可构成两个点集P和Q：P={(x,y)|xeA,yEA,x+yEA),

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Q={(x,y)|x6A,yeA,x-yGA},其中P有个元素，Q中有ri个元素.

(1)已知集合长={-1,2,3},判断K是否具有性质G；由题意可知K对应的集合P为{(一1,3),(3-1)},写出K

对应的集合Q;

(2)若集合4={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},求对应集合Q的元素个数，若集合4有k个元素，猜测对应的集合Q的

元素最大个数，并说明理由；

(3)若集合B具有性质G,证明：m=n.

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参考答案

l.D

2.B

3.5

4.2

5.e

6.{x[0<x<1}

11

7.应成

8.(-8,1)

9.1或-1

10.{x|-l<x<6}

11.-2

12.(0,2)

13.[-1,15)

14.(-1,2)

吗

16.8

17.解:(1)因为不等式+2>0的解集为{%|%<1或%>6),

所以1,b为方程+2=0的两根，且。>0,

故1+b=-,b=-,解得a=1,b=2；

(2)由(1)得a=1,b=2,

所以>20^^—2>>0,

2%+12%+12%+1

即(1—3%)(2%+1)>0,解得一5<%<§，

所以不等式解集为3《<久<1).

18.解:(1)根据题意,M={x||x-3|<1}={%|2<x<4},N={x|t-3<x<2t},

又因为MUN=N,所以MUN,

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[2>t-3

则，4W2t，解得23tW5,

t-3<2t

所以实数t的取值范围为[2,5].

(2)因为+3|+|x—4|>a对任意xGR恒成立，所以a<(|x+3|+|x—4|)mjn,

因为|x+3|+|x-4|>|(x+3)-(x-4)|=7,当且仅当—3<x<4时取等号,

所以+3|+|%-4|的最小值为7,所以a<7,即4=(-«>,7],

17

因为%2+%+2=(%+-)2+->0,

.-4丫CC

所以---7^7VI，即4%<X2+%+2,即K2—3%+2>0,即(%—1)(%—2)>0,

所以x<1或无>2,即B=(-oo,l)u(2,+oo),

所以4CB=(-8,1)U(2,7].

19.解：(1)某企业在现有设备下每日生产原先成本y(单位：万元)与日产量x(单位：吨)之间的函数关系

式：y=2x2+(15-4k)x+120k+8,

该企业引进了除尘设备，每日生产总成本仅单位：万元)与日产量x(单位：吨)之间的关系为：

h=2x2+(15-4fc)x+120/c+8+kx=2x2+(15-3/c)x+120k+8,

当日产量x=1时，总成本为/i=142万元，代入得2+(15-3/0+120々+8=142今左=1；

(2)由(1)知,h=2x2+12x+128,

所以每吨产品的成本为W=2—++12g=2x+1+1222J2x.1|§+12=44,

当且仅当2x=手，即x=8时，取等号，

所以引进除尘设备后日产量为8吨时，每吨产品的成本最小，且最小值为44万元.

20.解:⑴由题设(%-5)(%-4)>0,可得xV4或久>5,则/=｛x\xV4或%>5]；

(2)当k=0,则一4(1-4)>0^>%-4<0,可得%<4,此时A=｛x\x<4｝；

当k>0,则(x—k-》(久—4)>0,而旷=k+江2Jfc-1=4,当且仅当k=2时取等，

若k+^>4,即kW2时，原不等式解集为｛%|%V4或%>k+?｝；

若k+*=4,即/c=2时，原不等式解集为｛%|%H4｝；

4

综上，k=0时/=｛x\x<4｝,k>0且kW2时<4或久>k+/,k=2时｛%|%W4｝.

(3)由(2),当k<0时，[%-(々+令]。-4)<0,不等式的解集/中只有有限个整数，

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此时y=—k)+(一$]<-2](-k).(-?)=-4,当且仅当k=—2时取等号,

所以/c4,故A=[x\k+^<%<4},

KK

要使a中整数解最少，只需k+*=—4今k=-2即可，

k20时4中整数解均为无数个，

所以，存在k=-2使解集4中有有限个整数且最少.

21.(1)解：因为K={—1,2,3},1,-2,—3都不属于集合K,

所以集合K具有性质G,对应集合、={(2,-1),(2,3)}；

(2)解：4={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},贝|对应集合Q中的元素为：

(10,1)，

(9,1),(10,2),

(4,1),(5,2),(9,6),(10,7),

(3,1),(4,2),…，(9,7),(10,8),

(2,1),(3,2),…,(9,8),(10,9),

共有9+8+7+…+2+1=45个元素，即对应集合Q的元素个数45；

集合4有k个元素，猜测对应的集合Q的最大个数为&y.

理由如下：

由题意可知集合4的元素构成有序数对(见吗)(4€N*,i<k,j<fc),共有N个，

因为所以(七,七)任Q,

又因为aG2时，—aA,所以(田巧)6Q时，