2024-2025学年人教版数学七年级上册专项复习：一元一次方程及其应用

一元一次方程及应用

一、【考点聚焦】

一元一次方程的定义：只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式.

条件：①只含有一个未知数；②未知数的指数都是I；③未知数的系数不为0；④方程中的代数式都是整

式.

一元一次方程的解和解法：

b

①含字母系数的一元一次方程总可以化为砒=/?的形式，当awO时，方程有唯一解％=当。=0且

a

bwO时，方程无解；当。=0且5=0时，方程有无数个解；

②检验一个数是否为方程的解，可以把这个数代入方程中，若方程左右两边的值相等，那么这个数是方

程的解；

③已知方程的解，求一元一次方程中的参数（待定系数），可以将已知解代入方程中，等式仍然成立，

得到关于待定系数的方程，从而求出待定系数的值；

④等式两边同时除以一个代数式，要注意讨论代数式是否为0,若这个代数式可能为0,则不能两边同时

除以该代数式；

⑤移项要变号，某一项从等式的一边移到另一边需要变号，不移则不变号，即“过桥变号，没过桥不变

号”；

⑥一些不是一元一次方程的方程，可利用整体思想将其转化为一元一次方程来解.

一元一次方程的实际应用题：

>列方程解应用题的基本步骤：

①审（审题）；

②找（找出题中的量，分清有哪些已知量、未知量，哪些是要求的未知量和所涉及的基本数量关系）；

③设（设元，包括设直接未知数和间接未知数）；

④表（用所设的未知数字母的代数式表示其他的相关量）；

⑤列（列方程）；

⑥解（解方程）；

⑦检.验（注意根的准确性及是否符合实际意义）.

>行程问题：

行程类问题主要抓住路程、速度和时间之间的关系.

相遇类问题：相遇时间=相遇路程+速度和

追及问题：追及时间=追及路程+速度差

流水行船问题：顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度;

水流速度=（顺水速度-逆水速度）+2；静水速度=（顺水速度+逆水速度）

>销售类问题:

销售类问题主要抓住单价（成本和售价），数量，总价之间的关系.

①数量。增加*%后对应的数量为：a（l+x%）；减少％%后对应的数量为a（l—》

②利润=售价-成本;

③利润率=可胆*100%；

成本

④增长率和降低率的基数不一样，所以不能相互交换，比如：数量。增加x%后变为。（1+,但不能

反过来说«（1+%%）降低％%后变为a.

>工程类问题:

工程类问题主要抓住工作总量、工作效率和工作时间的关系.

工作总量=工作效率X工作时间.

二、【典例分析】

1.解一元一次方程:

(1)4x-3(20—x)=3；(2)=

510

/、1-0.5%20.3%.

(4)---------+-%=------+1；

0.330.02

0.3x+0.80.02%+0.30.8x—0.411

(5)------------------------11=----------(6)--I-X-1|-2-3[=4

0.50.3323415

(7))(23

,2x—3+\3—2x)H------X=——

1313

2.关于x的方程2x+5。=3的解与方程2x+2=0的解相同，则a的值是.

x—4x—2

3.如果关于x的方程1+1==的解与关于x的方程4x—(3a+l)=6x+2a+l的解相同，求代数

32

式。一』的值.

a

4.已知关于x的方程2双=(a+l)x+3的解是正整数，则正整数。=

5.若关于x的方程9%-14=◎+3有整数解，那么满足条件的所有整数的a的和为

6.定义运算：a®b-ab+a-b.

(1)按此定义，计算1③6的值；

(2)若陋—1)尤2+(b+l)x=l是关于X的一元一次方程，求。区/?+0—可⑤/?的值.

7.(行程类)两河流交汇于点”处，甲河流的水速为4切z/丸，乙河流的水速为2切2/瓦一船只在静水

中的速度为10初7/〃.其次该船只从甲河流的上游A行驶到交汇处M后再沿乙河流逆流而上到点3,总

共行驶了69原路返回后，发现往返所用时间相等.求此次航行往返的总时间.

8.(行程类)小明同学早上要在7:50之前赶到距家1000加的学校上学，一天，小明以80m/min的速度

出发，5min后，小明的爸爸发现他忘了带数学书，于是爸爸立即以180m/min的速度去追小明，并且

在图中追上了他.

(1)爸爸追上小明用了多长时间：

(2)爸爸追上小明时，小明此时距离学校还有多远？

9.（销售类）元旦是公历新一年的第一天.“元旦”一词最早出现于《晋书》“颛帝以孟夏正月为元，其

实正朔元旦之春.”中国古代曾以腊月、十月等的月首为元旦.1949年中华人民共和国以公历1月1日为元

旦，因此元旦在中国也被称为“阳历年”。为庆祝元旦，某商场举行促销活动，促销的方法是“消费超

过100元，所购买的商品按原价打8折后，再减少20元”.若某商品的原价为X元（X>1OO）,则购买该

商品实际付款的金额（单位：元）是（）

A80%（x-20）B.80%x-20C.20%x-20D.20%（x-20）

10.（销售类）一商店以每件150元的价格卖出两件不同的商品，其中一件盈利25%,另一件亏损25%,

则该商店卖这两件商品总的盈亏情况是（）

A.亏损20元B.盈利30元C.亏损50元D.不盈不亏

11.（销售类）列方程解应用题：某超市第一次用6280元购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数比乙商

品件数的3倍少50件，甲、乙两种商品的进价和售价如下表：

甲乙

进价（元/件）2031

售价（元/件）2840

（1）该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得多少利润？

（2）该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲种商品的件数不变，乙种商品的件数

是第一次的4倍；甲商品按原售价销售，乙商品在原售价基础上打折销售.第二次两种商品都销售完以后

获得的总利润比第一次获得的总利润多240元，那么第二次乙种商品是按原价打几折销售的？

12.（方案设计类）某批发商欲将一批水果由A地运往B地，汽车货运公司和铁路货运公司均开办此项运

输业务，设运输过程中的损耗均为200元/时，两货运公司的收费项目及收费标准如下表所示：

途中平均速度运费装卸费用

运输工具

（千米/时）（元/千米）（元）

火车100152000

汽车8020900

（1）设该两地间的距离为X千米，汽车货运公司和铁路货运公司所要收取的费用分别为%（元）和约（元），

则％=，%=.（用含尤的代数式表示力和巴）

（2）如果汽车的总费用比火车的总费用多1100元，A,B两地的距离为多少千米？

（3）若两地间距离为200千米，且火车、汽车在路上耽误的时间分别为2小时和3.1小时，若你是经理，

选择哪种运输方式更合算些？请说明理由.

13.（方案设计类）某家电商场计划用9万元从生产厂家购进50台电视机.已知该厂家生产3种不同型号

的电视机，出厂价分别为A种每台1500元，B种每台2100元，C种每台2500元.

（1）若家电商场同时购进两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案.

（2）若商场销售一台A种电视机可获利150元，销售一台B种电视机可获利200元，销售一台C中电视

机可获利250元，在同时购进两种不同型号的电视机方案中，为了使销售时获利最多，你选择哪种方案？

14.（水电气等分段计费问题）某城市“一户一表”居民用电实行阶梯电价，具体收费标准如下:

一户居民一个月用电量（单位：度）电价（单位：元/度）

第一档不超过180度的部分0.5

第二档超过180度但不超过280度的部分0.6

第三档超过280度的部分0.8

（1）若该市某户12月份用电量为300度，求该用户应交电费多少；

（2）若该市某户12月份用电量为X度，请用含X的代数式表示该户12月份应交电费多少;

（3）若该市某户12月份平均每度0.615元，求该用户12月用电量为多少.

15.（配套问题）某车间22名工人生产螺钉和螺母，每人每天平均生产螺钉120个或螺母200个，两个螺

母与一个螺钉配套，怎样安排工人使每天的产品刚好配套？

16.（配套问题）已知一块A型纸板可以制成一个C型正方形纸板和2个D型长方形纸板，一块B型纸板

可以制成2个C型正方形纸板和1个D型长方形纸板.现有A,B两种纸板共20块，设A型纸板有x块（x

为正整数）.

（1）求总共可以制成多少个C型正方形纸板（用含有x的式子表示）；

出售一个C型正方形纸板可以获利10元，出售1个D型长方形纸板可以获利12元，若将所制成的C型，

D型纸板全部售出可以获利650元，求x的值.

三、【课后习题】

1.元旦期间，小明到新开业的商场进行社会实践活动，协助商家卖出了两台不同的电子琴，每台均卖960

元，其中一台盈利20%,一台亏本20%,则本次销售中商家的盈亏情况是（）

A.亏本80元B.赚了80元C.亏本160元D.赚了160元

2.某件商品，按成本价提高40%后标价，又以8折优惠卖出，结果仍可获利15元，则这件商品的成本价

为（）

A.125元B.120元C.115元D.150元

3.已知关于x的方程2依=（。+1）%+6,则当非负整数。=时，方程的解为整数.

4.解方程：

4x—1.55x—0.81.2—x.2x—4x—4

（1）=------；（2）2-------=-------

0.50.20.136

5.数学中有很多奇妙的现象，比如：关于x的一元一次方程成:=/?的解为x=b—。，则称该方程为“差

解方程”.例如：2x=4的解为％=2,且2=4—2,则方程2x=4是“差解方程”.若关于x的一元一次

方程5%-m+1=0是“差解方程"，则机=.

6.对于有理数a,6,规定一种新运算：。*6=出＞+〃.例如：2*3=2x3+3=9,有下列结论：

①（一3）*4=—8；®a*b=b*a,③方程（％—4）*3=6的解为x=5；④（4*3）*2=32.

其中正确的是.（填序号）

7.甲、乙两车都从A市去B市，甲车先出发1小时，乙车才出发，甲车每小时行70千米，乙车每小时行

80千米，结果甲车比乙车提前半小时到达B市，问：从A市到B市的路程有多少千米？

8.小明在淘宝网站上看中A,B两种商品，其商品相关信息如图1.

付款信息

所购商品:A商品1件,B商品1件打折前一次性购物总价优惠措施

付款方式:在线支付

不超过2000元的部分打九折

商品总价：3000.00元

超过2000元且不超过3000元的部分打八五折

实际支付金领：2760.00元

忧惠情况:A商品九五折，B商品九折超过3000元的部分打八折

图1图2

（1）请根据图中信息，计算出A商品和B商品原来的单价分别是多少？

（2）小明了解到“双十一”的优惠信息如图2所示，如果按照“双十一”的优惠价进行购买，可以节省

多少钱？

9.某办公用品销售商店推出两种优惠方案：①每购买2个书包，赠送一支水性笔；②购书包和水性笔一律

9折优惠.书包每个定价40元，水性笔每只10元.小颖和同学需购买8个书包，水性笔若干支(不少于4

支).

。)用优惠方案①购买水性笔X支，总费用为%元，用含X的代数式表示为;用优惠方案②购买水性笔

X支，总费用为为元，用含X的代数式表示

(2)若小颖和同学需购买这种书包8个和水性笔16支，请分别计算兀%的值•请设计出费用最少的方案，

求出最少费用.

10.某工厂要制作一批糖果盒，已知该工厂共有88名工人，其中女工人数比男工人数的2倍少20人，并

且每个工人平均每小时可以制作盒身50个或盒底120个.

(1)该工厂有男工和女工各多少人？

(2)该工厂原计划男工负责制作盒身，女工负责制作盒底，要求一个盒身配两个盒底，那么调多少名女

工帮男工制作盒身时，才能使每小时制作的盒身与盒底刚好配套？

11.为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按照阶梯水价计费.下表是该市居民“一户一表”生活用水

阶梯式计费价格表的部分信息：

自来水销售价格污水处理价格

每户每月用水量单价:元/吨单价:元/吨

17吨及以下a