新高考数学二轮复习讲练专题09 数列的通项公式、数列求和及综合应用（练习）（解析版）

专题09数列的通项公式、数列求和及综合应用目录01等差、等比数列的基本量问题 102证明等差等比数列 403等差等比数列的交汇问题 704数列的通项公式 1105数列求和 1706数列性质的综合问题 3007实际应用中的数列问题 3708以数列为载体的情境题 4109数列的递推问题 4401等差、等比数列的基本量问题1．（2023·重庆·高三统考阶段练习）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0，则有（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】对于A项，由已知可得SKIPIF1<0，故A项错误；对于B项，由已知可得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故B错误；对于C项，由已知可得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故C项错误；对于D项，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0是以3为首项，4为公差的等差数列，所以，SKIPIF1<0.故D正确.故选：D.2．（2023·云南·怒江傈僳族自治州民族中学校联考一模）已知等比数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．29 B．31 C．33 D．36【答案】B【解析】因为数列SKIPIF1<0是等比数列，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.又因为SKIPIF1<0，故有SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所有SKIPIF1<0，所有SKIPIF1<0，故B项正确.故选：B.3．（2023·安徽·高三校联考阶段练习）已知等差数列SKIPIF1<0，其前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，且满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比数列，则SKIPIF1<0等于（

）A．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．2【答案】C【解析】由已知可得SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故选：C4．（2023·辽宁·高三校联考阶段练习）在等比数列SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．42 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】设SKIPIF1<0的公比为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：C.5．（2023·全国·模拟预测）已知数列SKIPIF1<0为等差数列，其前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．63 B．72 C．135 D．144【答案】C【解析】设等差数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故选：C．6．（2023·安徽·高三校联考阶段练习）已知数列SKIPIF1<0对任意SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．3032 B．3035 C．3038 D．3041【答案】C【解析】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，两式相减得：SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.故选：C.02证明等差等比数列7．（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考期中）已知数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(1)求证：数列SKIPIF1<0是等差数列，并求出SKIPIF1<0的通项公式；【解析】（1）当SKIPIF1<0时，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0；两边同时取倒数可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由等差数列定义可得SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为首项，公差SKIPIF1<0的等差数列，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，显然SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0符合上式，即SKIPIF1<0的通项公式为SKIPIF1<0；8．（2023·上海·高三上海市宜川中学校考期中）已知数列SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的各项均为正数，且对任意SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差数列，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比数列，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求证：数列SKIPIF1<0是等差数列；(2)求数列SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的通项公式．【解析】（1）因为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0成等差数列，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0成等比数列，所以SKIPIF1<0①，SKIPIF1<0②，又数列SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的各项均为正数，则由②可得SKIPIF1<0③，将③代入①，得对任意SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0是等差数列.（2）设数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由已知，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0也满足此式，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.9．（2023·福建厦门·高三厦门外国语学校校考阶段练习）设SKIPIF1<0是数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和，已知SKIPIF1<0(1)求SKIPIF1<0，并证明：SKIPIF1<0是等比数列；(2)求满足SKIPIF1<0的所有正整数SKIPIF1<0.【解析】（1）由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0；由已知得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为首项，SKIPIF1<0为公比的等比数列；（2）由（1）知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，由二次函数及指数函数性质可知当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0单调递减，其中SKIPIF1<0，所以满足SKIPIF1<0的所有正整数SKIPIF1<0为1，2.10．（2023·山东日照·高三校联考期末）已知数列SKIPIF1<0的各项均为非零实数，其前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求证：数列SKIPIF1<0是等差数列，并求其前SKIPIF1<0项和.【解析】（1）SKIPIF1<0中令SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，因为数列SKIPIF1<0的各项均为非零实数，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，……，SKIPIF1<0，以上式子相乘得：SKIPIF1<0，因为数列SKIPIF1<0的各项均为非零实数，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故数列SKIPIF1<0为等差数列，首项为SKIPIF1<0，公差为SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0为等差数列，首项为SKIPIF1<0，公差为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0是等差数列，其前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0.03等差等比数列的交汇问题11．（2023·高二课时练习）已知数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差数列，则SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0【解析】由题意得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是首项为6，公比为SKIPIF1<0的等比数列，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0.12．（2023·广西·校联考模拟预测）已知数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0．且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是公差为SKIPIF1<0的等差数列，则SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0【解析】SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0是公差为SKIPIF1<0的等差数列，∴SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，∴数列SKIPIF1<0自第二项起构成公比为3的等比数列，可得SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．13．（2023•甲卷）记SKIPIF1<0为数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和．已知SKIPIF1<0．（1）证明：SKIPIF1<0是等差数列；（2）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比数列，求SKIPIF1<0的最小值．【解析】（1）证明：由已知有：SKIPIF1<0①，把SKIPIF1<0换成SKIPIF1<0，SKIPIF1<0②，②SKIPIF1<0①可得：SKIPIF1<0，整理得：SKIPIF1<0，由等差数列定义有SKIPIF1<0为等差数列；（2）由已知有SKIPIF1<0，设等差数列SKIPIF1<0的首项为SKIPIF1<0，由（1）有其公差为1，故SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0或者SKIPIF1<0时取最小值，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0．14．（2023•乙卷）设SKIPIF1<0是首项为1的等比数列，数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差数列．（1）求SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的通项公式；（2）记SKIPIF1<0和SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和．证明：SKIPIF1<0．【解析】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差数列，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是首项为1的等比数列，设其公比为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（2）证明：由（1）知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，①SKIPIF1<0SKIPIF1<0，②①SKIPIF1<0②得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．15．（2023·河南·高三校联考阶段练习）已知数列SKIPIF1<0是公差为SKIPIF1<0的等差数列，设SKIPIF1<0，若存在常数SKIPIF1<0，使得数列SKIPIF1<0为等比数列，则SKIPIF1<0的值为.【答案】SKIPIF1<0【解析】当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.若存在常数SKIPIF1<0，使得数列SKIPIF1<0为等比数列，则SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，这与SKIPIF1<0矛盾，故此时不存在常数SKIPIF1<0，使得数列SKIPIF1<0为等比数列.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0(其中SKIPIF1<0).因为数列SKIPIF1<0为等比数列，对任意SKIPIF1<0，恒有SKIPIF1<0(SKIPIF1<0为常数且SKIPIF1<0)，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0对任意正整数SKIPIF1<0恒成立，所以SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0(舍)，所以数列SKIPIF1<0为等比数列时，SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<004数列的通项公式16．（2023·全国·高三专题练习）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．求数列SKIPIF1<0的通项公式．【解析】依题SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，求出不动点SKIPIF1<0或3；由定理3知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，……，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0是首项为SKIPIF1<0，公比为SKIPIF1<0的等比数列．∴SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．17．（2023·全国·高三专题练习）已知数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0设SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的通项公式.【解析】依题SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，求出不动点SKIPIF1<0；由定理2知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；两式相除得到SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为公比，SKIPIF1<0为首项的等比数列，∴SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0．18．（2023·全国·高三专题练习）已知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的通项公式．【解析】设SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0是以3为首项，SKIPIF1<0为公比的等比数列，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．19．（2023·全国·高二专题练习）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的通项公式．【解析】SKIPIF1<0为等差数列，首项SKIPIF1<0，公差为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.20．（2023·江西·高一统考期中）设数列SKIPIF1<0的前n项和为Sn，满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0成等差数列．(1)求SKIPIF1<0的值；(2)求数列SKIPIF1<0的通项公式．【解析】（1）因为SKIPIF1<0，所以令SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，即：SKIPIF1<0①，令SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，即：SKIPIF1<0②，又因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差数列，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0③，将③代入①②可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0由①②③得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的值为1.（2）因为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，两式作差可得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由（1）知，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，符合，综上，SKIPIF1<0.故数列SKIPIF1<0的通项公式为SKIPIF1<0.21．（2023·全国·高三专题练习）已知数列SKIPIF1<0满足递推关系：SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的通项公式.【解析】由于SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故数列SKIPIF1<0发生函数为SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0于是数列SKIPIF1<0的通项为：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.22．（2023·全国·高三专题练习）已知数列SKIPIF1<0满足：SKIPIF1<0求SKIPIF1<0.【解析】因为SKIPIF1<0所以两边同时加上SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为首项，SKIPIF1<0为公比的等比数列.于是SKIPIF1<0SKIPIF1<023．（2023·全国·高三专题练习）已知数列{an}的前n项和为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求{an}的通项.【解析】∵SKIPIF1<0……①∴SKIPIF1<0……②②-①得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0……③∵{an}的特征函数为：SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0SKIPIF1<0x=1.设SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0……④将④代入③得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.24．（2023·全国·高三专题练习）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的通项公式．【解析】令SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0并将SKIPIF1<0代入，可得SKIPIF1<0，所以，数列SKIPIF1<0是首项为SKIPIF1<0，公比为SKIPIF1<0的等比数列，故SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0.25．（2023·全国·高三专题练习）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的通项公式．【解析】由题意，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为首项，3为公比的等比数列．于是SKIPIF1<0．26．（2023·全国·高三专题练习）设SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的通项公式．【解析】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，两边取倒数得到SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0数列SKIPIF1<0是首项为SKIPIF1<0，公差为SKIPIF1<0的等差数列．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0数列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为首项，SKIPIF1<0为公比的等比数列．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<027．（2023·全国·高三专题练习）已知数列的递推公式SKIPIF1<0，且首项SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的通项公式．【解析】令SKIPIF1<0．先求出数列的不动点SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．将不动点SKIPIF1<0代入递推公式，得SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．∴数列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为首项，以1为公差的等差数列．∴SKIPIF1<0的通项公式为SKIPIF1<0．将SKIPIF1<0代入，得SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．28．（2023·广东江门·高三江门市第一中学校考阶段练习）数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0等于.【解析】由题意可知：SKIPIF1<0，显然有SKIPIF1<0，由累乘法可得SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<029．（2023·全国·高三专题练习）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0【解析】法1：已知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0是首项为SKIPIF1<0，公比为3的等比数列，故SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0当n为奇数时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，累加可得，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当n为偶数时，SKIPIF1<0，综上，SKIPIF1<0；法2：由特征根方程SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.05数列求和30．（2023·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）已知数列SKIPIF1<0满足：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0.(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式；(2)求SKIPIF1<0.【解析】（1）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0①，SKIPIF1<0②，①－②得：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.（2）∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0①，SKIPIF1<0②，又∵SKIPIF1<0∴①＋②得：SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0.31．（2023·天津河东·高三校考阶段练习）已知数列SKIPIF1<0为等差数列，SKIPIF1<0是公比不为0的等比数列，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；(2)设SKIPIF1<0，求数列{cn}的前n项的和SKIPIF1<0；(3)设SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前n项的和SKIPIF1<0【解析】（1）设数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0的公比为SKIPIF1<0，依题意有SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（2）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，①SKIPIF1<0，②①-②得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.（3）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.32．（2023·四川成都·四川省成都列五中学校考一模）已知数列SKIPIF1<0为等比数列，首项SKIPIF1<0，公比SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0是关于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0的根.其中SKIPIF1<0为常数.(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式；(2)设SKIPIF1<0，求使SKIPIF1<0的SKIPIF1<0的最大值.【解析】（1）因为SKIPIF1<0是关于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0的根，所以SKIPIF1<0.又因为数列SKIPIF1<0为等比数列，SKIPIF1<0，公比SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（负值舍去），故：SKIPIF1<0（2）由（1）得：SKIPIF1<0，所以：SKIPIF1<0，所以：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），故：SKIPIF1<0的最大值为48.33．（2023·山西临汾·校考模拟预测）已知数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是首项为1，公差为1的等差数列．(1)求SKIPIF1<0的通项公式；(2)设数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0．【解析】（1）因为SKIPIF1<0是首项为1，公差为1的等差数列，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，显然，SKIPIF1<0满足上式，所以SKIPIF1<0.（2）因为SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0.34．（2023·湖北·高三校联考阶段练习）已知数列满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的通项公式；(2)若SKIPIF1<0，记数列SKIPIF1<0的前99项和为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0.【解析】（1）因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，累加得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.（2）因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.所以数列SKIPIF1<0是以3为周期的数列.SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0故SKIPIF1<0.35．（2023·四川自贡·统考一模）已知数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0顶和为SKIPIF1<0.且SKIPIF1<0.(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式；(2)在数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0.【解析】（1）当SKIPIF1<0时，可得：SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，两式相减，得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以：SKIPIF1<0.（2）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，上式也成立.所以：SKIPIF1<0，SKIPIF1<036．（2023·全国·模拟预测）已知数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的通项公式；(2)求SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0．【解析】（1）当SKIPIF1<0为奇数时，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0的奇数项成等差数列，且公差为2，又由SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0为偶数时，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0的偶数项成等比数列，且公比为4，又由SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0的通项公式为SKIPIF1<0.（2）当SKIPIF1<0为奇数时，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0为偶数时，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0，综上可得，SKIPIF1<0.37．（2023·安徽·高三校联考阶段练习）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的通项公式；(2)设SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0.【解析】（1）因为数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，上式也成立.所以SKIPIF1<0.（2）由（1）知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0是递增数列，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.38．（2023·黑龙江大庆·高三校考阶段练习）SKIPIF1<0为数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和.已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的通项公式；(2)设SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，证明SKIPIF1<0.【解析】（1）由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，两式做差得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去）所以SKIPIF1<0是以3为首项，2为公差的等差数列，所以SKIPIF1<0.（2）由（1）知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0且单调递减，所以SKIPIF1<0单调递增，所以SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0得证.39．（2023·云南曲靖·高三曲靖一中校考阶段练习）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项积为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式；(2)设SKIPIF1<0数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0．【解析】（1）由题意知，SKIPIF1<0为正项数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项的积，且SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；又SKIPIF1<0①，SKIPIF1<0②，②÷①得，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，结合SKIPIF1<0，可知数列SKIPIF1<0是常数列，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．（2）由（1）可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．40．（2023·贵州贵阳·高三贵阳一中校考期末）已知数列SKIPIF1<0和SKIPIF1<0满足：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0．(1)求证：SKIPIF1<0；(2)求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0．【解析】（1）证明：因为SKIPIF1<0①，SKIPIF1<0②，①SKIPIF1<0②可得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以，数列SKIPIF1<0