新高考数学二轮复习讲练专题10 数列不等式的放缩问题 （练习）（解析版）

专题10数列不等式的放缩问题目录01先求和后放缩 102裂项放缩 503等比放缩 904SKIPIF1<0型不等式的证明 1105SKIPIF1<0型不等式的证明 2006SKIPIF1<0型不等式的证明 2407SKIPIF1<0型不等式的证明 3201先求和后放缩1．（2023·山东菏泽·高三菏泽一中校考阶段练习）已知数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0______请在SKIPIF1<0是公差为SKIPIF1<0的等差数列；SKIPIF1<0是公比为SKIPIF1<0的等比数列，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题.(1)求SKIPIF1<0的通项公式SKIPIF1<0(2)在SKIPIF1<0与SKIPIF1<0之间插入SKIPIF1<0个实数，使这SKIPIF1<0个数依次组成公差为SKIPIF1<0的等差数列，数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0【解析】（1）若选SKIPIF1<0：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0累加得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0满足上式，故SKIPIF1<0.若选SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0是公差为SKIPIF1<0的等差数列，首项为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，两式相减得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0满足上式，故SKIPIF1<0.若选SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0是公比为SKIPIF1<0的等比数列，首项为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0累加得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0满足上式，故SKIPIF1<0.（2）证明：由于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.2．（2023·吉林白城·高三校考阶段练习）已知公差不为零的等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0成等比数列.(1)求SKIPIF1<0的通项公式；(2)若SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0.【解析】（1）设SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0成等比数列，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.（2）由（1）得，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.3．（2023·天津·高三校联考期中）已知数列SKIPIF1<0的前n项和SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0满足：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)证明：SKIPIF1<0是等比数列；(2)设数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0(3)设数列SKIPIF1<0满足：SKIPIF1<0．证明：SKIPIF1<0．【解析】（1）由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是以2为首项，2为公比的等比数列，即SKIPIF1<0．（2）当SKIPIF1<0时，有SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，显然SKIPIF1<0也满足，故SKIPIF1<0，结合SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.（3）当n为奇数时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0,当n为偶数时，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，两式相减得SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，

所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，得证．4．（2023·陕西西安·高三西安市第三中学校考期中）设各项均为正数的数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0.(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式；(2)记SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0.证明：对一切正整数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.【解析】（1）因为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去），当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0是首项为SKIPIF1<0，公差为SKIPIF1<0的等差数列，所以数列SKIPIF1<0的通项公式是SKIPIF1<0（2）由（1）可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.02裂项放缩5．（2023·贵州黔东南·高三天柱民族中学校联考阶段练习）已知正项数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0；(2)设SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0.【解析】（1）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由数列为正项数列可知，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，即数列SKIPIF1<0是首项为1，公差为1的等差数列，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0成立，所以SKIPIF1<0（2）由（1）可知，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，成立，SKIPIF1<0，成立，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.综上可知，SKIPIF1<0，得证.6．（2023·湖南常德·高三临澧县第一中学校考阶段练习）已知数列SKIPIF1<0为等差数列，数列SKIPIF1<0为等比数列，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的通项公式；(2)已知SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0；(3)求证：SKIPIF1<0.【解析】（1）设等差数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，等比数列SKIPIF1<0的公比为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.（2）当SKIPIF1<0是奇数时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0是偶数时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0①SKIPIF1<0②①-②得：SKIPIF1<0即SKIPIF1<0SKIPIF1<0化简得：SKIPIF1<0.SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0.（3）SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0也成立.故SKIPIF1<0.7．（2023·福建厦门·高三厦门一中校考阶段练习）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)判断数列SKIPIF1<0是否是等比数列？若是，给出证明；否则，请说明理由；(2)若数列SKIPIF1<0的前10项和为361，记SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0.【解析】（1）数列SKIPIF1<0成等比数列，证明如下：根据SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即数列SKIPIF1<0成等比数列.（2）由（1）得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0单调递增，且SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，综上，知SKIPIF1<08．（2023·河北唐山·模拟预测）已知SKIPIF1<0和SKIPIF1<0是公差相等的等差数列，且公差SKIPIF1<0的首项SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0为数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和，SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0和SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0．【解析】（1）由已知得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．（2）由（1）得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，得证．03等比放缩9．（2023·广东梅州·高三梅州市梅江区梅州中学校考阶段练习）已知数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的等差中项．(1)求SKIPIF1<0的通项公式；(2)设SKIPIF1<0，若数列SKIPIF1<0是递增数列，求SKIPIF1<0的取值范围．(3)设SKIPIF1<0，且数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0．【解析】（1）SKIPIF1<0是SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的等差中项，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0且SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0数列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为首项，SKIPIF1<0为公比的等比数列，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（2）由（1）得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0数列SKIPIF1<0为递增数列，SKIPIF1<0SKIPIF1<0；①当SKIPIF1<0为偶数时，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0数列SKIPIF1<0为递减数列，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；②当SKIPIF1<0为奇数时，SKIPIF1<0，由①知：数列SKIPIF1<0为递减数列，则数列SKIPIF1<0为递增数列，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；综上所述：SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0.（3）由（1）得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<010．（2023·全国·高三专题练习）求证：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）.【解析】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，两式相减得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即不等式SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）得证.11．（2023·重庆·高三统考阶段练习）记数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.(1)求证：数列SKIPIF1<0是等比数列；(2)求证：SKIPIF1<0.【解析】（1）由于SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0是一个首项为1，公比为2的一个等比数列；（2）由（1）可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以原式SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0恒成立，所以SKIPIF1<0.04SKIPIF1<0型不等式的证明12．（2023·河南·方城第一高级中学校联考模拟预测）已知函数SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）.(1)证明：SKIPIF1<0；(2)若正项数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）.【解析】（1）证明：（1）令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增，∴当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.（2）（2）由（1）知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0则当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），∴当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，接下来只需证明：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即证SKIPIF1<0，由函数SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，对称轴为SKIPIF1<0，试证SKIPIF1<0，即证SKIPIF1<0，即证SKIPIF1<0，显然成立，∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0成立，综上，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）.13．（2023·江西萍乡·高三统考期中）已知函数SKIPIF1<0.(1)证明：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0恒成立；(2)首项为SKIPIF1<0的数列SKIPIF1<0满足：当SKIPIF1<0时，有SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0.【解析】（1）要证SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，只需证SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增，即SKIPIF1<0单调递增，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增，则SKIPIF1<0，故当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0恒成立；（2）SKIPIF1<0，由（1）知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，依此类推，可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0等价于SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0（等价于SKIPIF1<0），下证SKIPIF1<0，即证SKIPIF1<0，即证SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，则只要证SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0单调递增，即SKIPIF1<0单调递增，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0单调递增，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0.14．（2023·重庆·高三校联考期中）设数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项之积为SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0.(1)设SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的通项公式SKIPIF1<0；(2)设数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项之和为SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0.【解析】（1）因为数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项之积为SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，化为SKIPIF1<0，变形为SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为首项，SKIPIF1<0为公比的等比数列所以SKIPIF1<0．（2）由（1）可得：SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，需要证明SKIPIF1<0，即证明SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．15．（2023·广东广州·高三华南师大附中校考阶段练习）已知正数数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.（函数SKIPIF1<0求导SKIPIF1<0次可用SKIPIF1<0表示）(1)求SKIPIF1<0的通项公式.(2)求证：对任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0.【解析】（1）由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0（2）证明：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0恒成立，令SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，……SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递增，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递增，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递增，……所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递增，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递增，所以SKIPIF1<0，综上对任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0.16．（2023·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨三中校考阶段练习）已知函数SKIPIF1<0．(1)当SKIPIF1<0时，证明：SKIPIF1<0；(2)数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0；（ⅰ）求SKIPIF1<0；（ⅱ）求证：SKIPIF1<0．【解析】（1）证明：令SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0且SKIPIF1<0不恒为零，所以，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.（2）（i）对任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，则SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，上述两个等式作差可得SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，所以，数列SKIPIF1<0是首项为SKIPIF1<0，公比为SKIPIF1<0的等比数列，故SKIPIF1<0；（ii）令SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0且SKIPIF1<0不恒为零，所以，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，等号成立，因为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，则有SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，此时数列SKIPIF1<0从第二项开始单调递减，所以，对任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，所以，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，设数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，上述两个等式作差可得SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，则SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，综上所述，对任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.17．（2023·四川·高三校联考阶段练习）已知函数SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范围；(2)证明：SKIPIF1<0.【解析】（1）由题设SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，所以SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0有两个零点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0均小于零，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，则SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，可设SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增，则SKIPIF1<0，不符合题意.综上，SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0.（2）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时取等号，令SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.18．（2023·海南·海口市琼山华侨中学校联考模拟预测）已知函数SKIPIF1<0．(1)若函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上只有一个零点，求SKIPIF1<0的取值范围；(2)若SKIPIF1<0，记数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0．【解析】（1）根据题意得，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为函数SKIPIF1<0的一个零点．SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时等号成立，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，且SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，故SKIPIF1<0恒成立，当且仅当SKIPIF1<0时等号成立，故SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0仅有SKIPIF1<0这一个零点．当SKIPIF1<0时，由于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，根据零点存在性定理，必存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0．由于SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，故当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递减，此时SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，可知SKIPIF1<0，故函数SKIPIF1<0还有一个在SKIPIF1<0上的零点，不合题意，舍去．综上所述，SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0．（2）证明：依题意，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，因为SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成立，当SKIPIF1<0时，由（1）可知，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，（SKIPIF1<0），综合以上可知SKIPIF1<0.05SKIPIF1<0型不等式的证明19．（2023·黑龙江大庆·高二大庆一中校考阶段练习）已知曲线Cn：x2﹣2nx+y2=0，（n=1，2，…）.从点P（﹣1，0）向曲线Cn引斜率为kn（kn>0）的切线ln，切点为Pn（xn，yn）.(1)求数列{xn}与{yn}的通项公式；(2)证明：SKIPIF1<0.【解析】(1)设直线ln：y=kn（x+1），联立x2﹣2nx+y2=0，得（1+kn2）x2+（2kn2﹣2n）x+kn2=0，则△=（2kn2﹣2n）2﹣4（1+kn2）kn2=0，∴knSKIPIF1<0（负值舍去），可得xnSKIPIF1<0，yn=kn（1+xn）SKIPIF1<0；(2)证明：SKIPIF1<0，由4n2>4n2﹣1，即为SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0，x1x3x5…x2n﹣1SKIPIF1<0，可得x1x3x5…x2n﹣1SKIPIF1<0；由SKIPIF1<0，设f（x）=xSKIPIF1<0cosx，f′（x）=1SKIPIF1<0sinx，由0SKIPIF1<0，可得sinx>0，即f′（x）>0，f（x）在（0，SKIPIF1<0]递增，由f（0）SKIPIF1<00，f（SKIPIF1<0）SKIPIF1<0cosSKIPIF1<0（cosSKIPIF1<0cosSKIPIF1<0）<0，可得xSKIPIF1<0cosx，即有SKIPIF1<0cosSKIPIF1<0，即SKIPIF1<0cosSKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.20．（2023·浙江温州·高二校联考期末）已知数列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（1）求SKIPIF1<0及SKIPIF1<0；（2）猜想SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的通项公式，并证明你的结论；（3）证明：对所有的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.【解析】（1）因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；令SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；令SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）证明：猜测SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，用数学归纳法证明：①当SKIPIF1<0时，由上可得结论成立.②假设当SKIPIF1<0时，结论成立，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，那么当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，结论也成立.由①②，可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0对一切正整数都成立.（3）由（2）知，SKIPIF1<0，于是所证明的不等式即为SKIPIF1<0（ⅰ）先证明：SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0（ⅱ）再证明SKIPIF1<0SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，设函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.因为在区间SKIPIF1<0上SKIPIF1<0为增函数，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上为单调递减函数，因此SKIPIF1<0对于一切SKIPIF1<0都成立，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0综上所述，对所有的SKIPIF1<0，均有SKIPIF1<0成立.21．（2023·山东青岛·高二统考期末）在各项为正数的数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在曲线SKIPIF1<0上；对于数列SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在过点SKIPIF1<0，且以SKIPIF1<0为方向向量的直线SKIPIF1<0上．(1)求数列SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的通项公式；(2)若SKIPIF1<0，问是否存在SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0成立？若存在，求出SKIPIF1<0的值；若不存在，请说明理由；(3)对任意正整数SKIPIF1<0，不等式SKIPIF1<0都成立，求实数SKIPIF1<0的取值范围．【解析】（1）由题意可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以，数列SKIPIF1<0为等差数列，且首项为SKIPIF1<0，公差为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.过点SKIPIF1<0，且以SKIPIF1<0为方向向量的直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，由已知可得SKIPIF1<0.（2）由已知可得SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0为正奇数时，则SKIPIF1<0为偶数，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，合乎题意；当SKIPIF1<0为正偶数时，则SKIPIF1<0为奇数，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，合乎题意.综上所述，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.（3）因为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，故数列SKIPIF1<0为单调递增数列，所以数列SKIPIF1<0的最小项为SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0.06SKIPIF1<0型不等式的证明22．（2023·山西·高三统考阶段练习）已知函数SKIPIF1<0．(1)证明：对SKIPIF1<0恒成立；(2)是否存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0成立？请说明理由．【解析】（1）证明：由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且当且仅当SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，故SKIPIF1<0