新高考数学二轮复习讲练专题13 一网打尽外接球、内切球与棱切球问题 （练习）（解析版）

专题13一网打尽外接球、内切球与棱切球问题目录01正方体、长方体外接球 202正四面体外接球 303对棱相等的三棱锥外接球 704直棱柱外接球 805直棱锥外接球 1006正棱锥与侧棱相等模型 1607侧棱为外接球直径模型 2008共斜边拼接模型 2209垂面模型 2510二面角模型 3111坐标法 3612圆锥圆柱圆台模型 4213锥体内切球 4514棱切球 4901正方体、长方体外接球1．（2023·四川遂宁·高三射洪中学校考阶段练习）在长方体SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在该长方体内放置一个球，则最大球的体积为.【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【解析】在长方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由长方体的结构特征知，长方体的内置球直径不超过最短棱长，于是得球直径小于等于2，球半径SKIPIF1<0的最大值为1，此时有SKIPIF1<0，所以最大球的体积为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<02．（2023·全国·高三专题练习）正方体的表面积为96，则正方体外接球的表面积为【答案】SKIPIF1<0【解析】设正方体的棱长为SKIPIF1<0，因为正方体的表面积为SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，则正方体的对角线长为SKIPIF1<0，设正方体的外接球的半径为SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以外接球的表面积为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.3．（2023·吉林·高三校联考期末）已知正方体的顶点都在球面上，若正方体棱长为SKIPIF1<0，则球的表面积为．【答案】SKIPIF1<0【解析】该球为正方体外接球，其半径SKIPIF1<0与正方体棱长SKIPIF1<0之间的关系为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以球的表面积SKIPIF1<0.答案：SKIPIF1<002正四面体外接球4．（2023·山东·高三济南一中校联考阶段练习）在正四面体SKIPIF1<0中，以SKIPIF1<0为直径作球SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在球SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的中垂面相交所得的圆上运动，当三棱锥SKIPIF1<0的体积的最小值为SKIPIF1<0时，该正四面体SKIPIF1<0外接球的体积为．【答案】SKIPIF1<0【解析】设正四面体SKIPIF1<0的棱长为a，设点D到平面SKIPIF1<0的距离为h，则SKIPIF1<0当h最小时，SKIPIF1<0最小.因为球O的半径为SKIPIF1<0，如图所示，当D在如图所示的位置时h最小.取AC的中点F，连接PF、BF，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.所以h最小值为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.设正四面体SKIPIF1<0的外接球的半径为SKIPIF1<0,球心为SKIPIF1<0.如图所示，正四面体SKIPIF1<0的棱长为SKIPIF1<0，过P作SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，利用勾股定理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以正四面体SKIPIF1<0的外接球的体积为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<05．（2023·河北·统考模拟预测）在正四面体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，点SKIPIF1<0在以SKIPIF1<0为球心的球上运动，SKIPIF1<0，且恒有SKIPIF1<0，已知三棱锥SKIPIF1<0的体积的最大值为SKIPIF1<0，则正四面体SKIPIF1<0外接球的体积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】由题知，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，点SKIPIF1<0在以SKIPIF1<0为球心的球上运动，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0都在以SKIPIF1<0为球心的球上，又因SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的中垂面上，如图，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0都为正三角形，且SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中垂面，即SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0上，所以点SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0与以SKIPIF1<0为球心，SKIPIF1<0为半径的球的交线上，即SKIPIF1<0在以SKIPIF1<0为圆心，SKIPIF1<0为半径的平面SKIPIF1<0内的圆上，取SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，延长SKIPIF1<0至点SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，作在平面SKIPIF1<0内，以SKIPIF1<0为圆心，SKIPIF1<0为半径的圆，则圆SKIPIF1<0上的点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离最远，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，如图则其外接正方体的边长为SKIPIF1<0，所以正四面体SKIPIF1<0外接球即为边长为SKIPIF1<0正方体的外接球，故外接球半径SKIPIF1<0，所以外接球体积SKIPIF1<0.故选：A6．（2023·山东济南·高三统考期末）若正四面体的表面积为SKIPIF1<0，则其外接球的体积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】设正四面体的棱长为SKIPIF1<0，由题意可知：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，所以正四面体的棱长为SKIPIF1<0，将正四面体补成一个正方体，则正方体的棱长为SKIPIF1<0，正方体的体对角线长为SKIPIF1<0，因为正四面体的外接球的直径为正方体的体对角线长，所以外接球半径SKIPIF1<0，则外接球的体积为SKIPIF1<0，故选：SKIPIF1<0.7．（2023·河南·西平县高级中学校联考模拟预测）一个正四面体的棱长为2，则这个正四面体的外接球的体积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】如图，四面体SKIPIF1<0是正四面体，棱长SKIPIF1<0，将其补形成正方体SKIPIF1<0，则正方体SKIPIF1<0的棱长SKIPIF1<0，此正方体的体对角线长为SKIPIF1<0，正四面体SKIPIF1<0与正方体SKIPIF1<0有相同的外接球，则正四面体SKIPIF1<0的外接球半径SKIPIF1<0，所以正四面体SKIPIF1<0的外接球体积为SKIPIF1<0．故选：A03对棱相等的三棱锥外接球8．（2023•罗湖区月考）已知在四面体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，则四面体SKIPIF1<0的外接球表面积为．【解析】解：如下图所示，将四面体SKIPIF1<0放在长方体SKIPIF1<0内，在四面体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，设该长方体的长、宽、高分别为2、2、1，则长方体的体对角线长即为长方体的外接球直径，设该长方体的外接球半径为SKIPIF1<0，所以，该四面体的外接球直径为SKIPIF1<0，因此，四面体SKIPIF1<0的外接球的表面积为SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0．9．（2023•孟津县校级期末）若四面体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则四面体的外接球的表面积为SKIPIF1<0．【解析】解：由题意可采用割补法，考虑到四面体SKIPIF1<0的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为三边的三角形作为底面，且以分别SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的长方体，并且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0为球的半径），所以球的表面积为SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．10．（2023•三模拟）在四面体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则其外接球的表面积为．【解析】解：如下图所示，将四面体SKIPIF1<0放在长方体SKIPIF1<0内，设该长方体的长、宽、高分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，则长方体的体对角线长即为长方体的外接球直径，设该长方体的外接球半径为SKIPIF1<0，由勾股定理得SKIPIF1<0，上述三个等式全加得SKIPIF1<0，所以，该四面体的外接球直径为SKIPIF1<0，因此，四面体SKIPIF1<0的外接球的表面积为SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0．04直棱柱外接球11．（2023·陕西西安·高三高新一中校考阶段练习）在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，则三棱柱SKIPIF1<0外接球体积等于（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】在直三棱柱SKIPIF1<0中，因SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，于是得SKIPIF1<0，将其补形成棱长为2的正方体SKIPIF1<0，如图，则直三棱柱SKIPIF1<0的外接球即为棱长为2的正方体SKIPIF1<0的外接球，球半径SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0，所以三棱柱SKIPIF1<0外接球体积等于SKIPIF1<0.故选：A12．（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知球O为正三棱柱SKIPIF1<0的外接球，正三棱柱SKIPIF1<0的底面边长为1，高为3，则球O的表面积是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】设三棱柱SKIPIF1<0的高为h，底边边长为a．设球O的半径为R，则三棱柱底面三角形的外接圆半径SKIPIF1<0满足：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0由题知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故球O的表面积为SKIPIF1<0，故选：B.05直棱锥外接球13．（2023·河南·高三安阳一中校联考阶段练习）如图，在体积为SKIPIF1<0的三棱锥P﹣ABC中，AC⊥BC，AD＝BD，PD⊥底面ABC，则三棱锥P﹣ABC外接球体积的最小值为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】如图所示，由题意SKIPIF1<0是直角三角形，AB的中点为D，连结PD，很明显球心在PD上，设球心为O，PD＝h，AC＝x，SKIPIF1<0，OC＝R，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0

，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时等号成立，即SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时等号成立，即R的最小值是在SKIPIF1<0时取得SKIPIF1<0，经检验正确，即满足题意时三棱锥的高为2，SKIPIF1<0，故外接球体积的最小值为：SKIPIF1<0，故选：A.14．（2023·广东广州·高三广州市第十七中学校考阶段练习）在三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面BCD，SKIPIF1<0，则已知三棱锥SKIPIF1<0外接球表面积的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】如图，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的外心，SKIPIF1<0为三棱锥SKIPIF1<0外接球的球心，则SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，四边形SKIPIF1<0是直角梯形，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时等号成立，所以三棱锥SKIPIF1<0外接球表面积SKIPIF1<0，故选：B．15．（2023·浙江温州·统考模拟预测）在三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则三棱锥SKIPIF1<0外接球表面积的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】设SKIPIF1<0，在等腰SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0的外心是SKIPIF1<0，外接圆半径是SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，设外接球球心是SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是直角梯形，设SKIPIF1<0，外接球半径为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在直角SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时等号成立，所以SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0．故选：D.16．（2023·河南开封·高三河南省杞县高中校联考开学考试）在四棱锥SKIPIF1<0中，四边形SKIPIF1<0为正方形，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则四棱锥SKIPIF1<0的外接球与内切球的表面积之比为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．3 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】设四棱锥SKIPIF1<0的外接球与内切球的半径分别为SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，四棱锥SKIPIF1<0的表面积SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0两两垂直，四棱锥可补形为长方体，所以SKIPIF1<0，所以四棱锥SKIPIF1<0的外接球与内切球的表面积之比为SKIPIF1<0.故选：B.17．（2023·浙江丽水·高三统考期末）如图，在三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在上底面SKIPIF1<0（包括边界）上运动，则三棱锥SKIPIF1<0的外接球体积的最大值为（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】如图，取SKIPIF1<0中点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中点为SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0为直角三角形，所以SKIPIF1<0外接圆的圆心即为SKIPIF1<0.同理，SKIPIF1<0外接圆的圆心即为SKIPIF1<0.所以，当SKIPIF1<0位于SKIPIF1<0顶点时（不妨假设点SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0重合），三棱锥SKIPIF1<0的外接球的球心恰好与三棱柱SKIPIF1<0的外接球的球心重合，即三棱锥SKIPIF1<0的外接球的半径等于三棱柱SKIPIF1<0的外接球的半径，此时体积有最大值.因为SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0的中点，根据三棱柱的性质可知，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以，四边形SKIPIF1<0是平行四边形，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.根据三棱柱的性质可知SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0以及SKIPIF1<0外接圆的圆心，所以，线段SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0即为三棱柱SKIPIF1<0的外接球的球心，所以，三棱柱SKIPIF1<0的外接球的半径即等于SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，所以，三棱锥SKIPIF1<0的外接球体积的最大值为SKIPIF1<0.故选：C.18．（2023·河北邯郸·统考三模）三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．过点SKIPIF1<0分别作SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，记三棱锥SKIPIF1<0的外接球表面积为SKIPIF1<0，三棱锥SKIPIF1<0的外接球表面积为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，连SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在直角三角形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是斜边SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0，在直角三角形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是斜边SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是三棱锥SKIPIF1<0的外接球的球心，SKIPIF1<0为该球的直径.因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是斜边SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是斜边SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是三棱锥SKIPIF1<0的外接球的球心，SKIPIF1<0为该球的直径.设SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：B.06正棱锥与侧棱相等模型19．（2023·云南保山·高三统考期末）已知正三棱锥SKIPIF1<0的侧棱与底面所成的角为SKIPIF1<0，高为SKIPIF1<0，则该三棱锥外接球的表面积为.【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【解析】设顶点P在底面SKIPIF1<0的投影为SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为等边SKIPIF1<0的中心），则该三棱锥外接球的球心O在SKIPIF1<0上，连接SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，则侧棱与底面所成的角为SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，设棱锥外接球的半径为R，因为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以外接球的表面积为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.20．（2023·广东佛山·高三佛山市南海区第一中学校考阶段练习）已知正三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，该三棱锥的外接球体积为．【答案】SKIPIF1<0【解析】在正三棱锥SKIPIF1<0中SKIPIF1<0为等边三角形，顶点SKIPIF1<0在底面的射影为底面的重心，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两两垂直，把该三棱锥补成一个正方体，该三棱锥的外接球就是正方体的外接球，正方体的体对角线就是外接球的直径，易得三棱锥的外接球半径SKIPIF1<0，所以三棱锥的外接球体积SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<021．（2023·上海闵行·高三上海市文来中学校考期中）已知正四棱锥的各顶点都在同一个球面上，球的体积为SKIPIF1<0，则该正四棱锥的体积最大值为．【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【解析】因为球的体积为SKIPIF1<0，所以球的半径为SKIPIF1<0，如图，设正四棱锥的底面边长SKIPIF1<0，高SKIPIF1<0，外接球的球心为SKIPIF1<0，根据正四棱锥的几何特征可知外接球的球心在其高上，又SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以正四棱锥的体积为SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递增，在SKIPIF1<0上递减，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最大值SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0．22．（2023·江苏扬州·统考模拟预测）已知正四棱锥的侧面是边长为3的正三角形，它的侧棱的所有三等分点都在同一个球面上，则该球的表面积为．【答案】SKIPIF1<0【解析】如图，正四棱锥的侧棱的所有三等分点构成一个正四棱台，棱台上底面是边长为1的正方形，棱台下底面是边长为2的正方形，侧棱长为1，可求得棱台的高为SKIPIF1<0，设该棱台的外接球的半径为SKIPIF1<0，球心到下底面的距离SKIPIF1<0，球心到上底面的距离SKIPIF1<0，①球心在两个底面之间时，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则上式无解；②球心在下底面下方时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，两边同时平方：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，表面积SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0.07侧棱为外接球直径模型23．（2023•保山期末）已知三棱锥SKIPIF1<0的顶点都在球SKIPIF1<0的球面上，SKIPIF1<0是边长为6的正三角形，SKIPIF1<0为球SKIPIF1<0的直径，且此三棱锥的体积为SKIPIF1<0，则球SKIPIF1<0的表面积为SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】解：SKIPIF1<0是边长为6的正三角形，SKIPIF1<0外接圆的半径SKIPIF1<0，设点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，则棱锥SKIPIF1<0的体积SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0为球SKIPIF1<0的直径，SKIPIF1<0点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，则三棱锥外接球SKIPIF1<0的半径SKIPIF1<0，可得球的表面积SKIPIF1<0．故选：SKIPIF1<0．24．（2023•大连模拟）球SKIPIF1<0的直径SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是该球球面上的两点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则棱锥SKIPIF1<0的体积为SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】解：SKIPIF1<0球SKIPIF1<0的直径SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是该球球面上的两点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0由题意知，在棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0都是等腰直角三角形，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0垂直于面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0棱锥SKIPIF1<0的体积为两个棱锥SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的体积和，SKIPIF1<0棱锥SKIPIF1<0的体积SKIPIF1<0．故选：SKIPIF1<0．25．（2023•迎泽区校级月考）已知球SKIPIF1<0的直径SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是该球面上的两点，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则三棱锥SKIPIF1<0的体积为SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】解：设球心为SKIPIF1<0，连结SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为球的直径，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是球面上的点，SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为直角△，SKIPIF1<0的外心为SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，根据球的性质，可得SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，三棱锥SKIPIF1<0的体积为SKIPIF1<0．故选：SKIPIF1<0．08共斜边拼接模型26．（2023·全国·高三专题练习）在三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0是边长为SKIPIF1<0的等边三角形､若二面角SKIPIF1<0的大小为SKIPIF1<0，则三棱锥SKIPIF1<0的外接球表面积大小为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】解：取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0为二面角SKIPIF1<0的平面角，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由余弦定理得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，所以三棱锥的外接球的直径SKIPIF1<0，所以三棱锥的外接球的表面积为SKIPIF1<0．故选：C．27．（2023·全国·高三专题练习）三棱锥D-ABC中，AB=DC=3，AC=DB=2，AC⊥CD，AB⊥DB．则三棱锥D-ABC外接球的表面积是（

）．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】取SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，因为AC⊥CD，AB⊥DB∴SKIPIF1<0即SKIPIF1<0为棱锥D-ABC外接球的球心，又AB=DC=3，AC=DB=2，∴SKIPIF1<0，∴三棱锥D-ABC外接球的表面积为SKIPIF1<0．故选：B．28．（多选题）（2023·山东·泰安一中高一期中）三棱锥SKIPIF1<0中，平面SKIPIF1<0平面ABC，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0B．三棱锥SKIPIF1<0的外接球的表面积为SKIPIF1<0C．点A到平面SBC的距离为SKIPIF1<0D．二面角SKIPIF1<0的正切值为SKIPIF1<0【答案】AD【解析】对于A，因为平面SKIPIF1<0平面ABC，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SAB，所以SKIPIF1<0平面ABC，又因为SKIPIF1<0平面ABC，所以SKIPIF1<0，故A正确；对于B，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SAB，因为SKIPIF1<0平面SAB，所以SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0平面ABC，SKIPIF1<0平面ABC，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以三棱锥SKIPIF1<0外接球的直径为SC．因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以三棱锥SKIPIF1<0的外接球的表面积SKIPIF1<0，故B错误；对于C，因为SKIPIF1<0平面SAB，SKIPIF1<0平面SBC，所以平面SKIPIF1<0平面SBC，过点A作SKIPIF1<0，交SB于点G，根据面面垂直的性质定理，可得SKIPIF1<0平面SBC，故点A到平面SBC的距离为AG，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故C错误；对于D，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以∠SBA为二面角SKIPIF1<0的平面角，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，故D正确；故选：AD．09垂面模型29．（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）在三棱锥SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0，且平面SKIPIF1<0平面ABC，则三棱锥SKIPIF1<0的外接球表面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】如图，设外接球的半径为R，取AB的中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，则由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，因为平面SKIPIF1<0平面ABC，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面ABC，则球心O在直线SKIPIF1<0上．连接OA，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，所以球心在线段SKIPIF1<0上．在SKIPIF1<0中，由勾股定理，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以三棱锥SKIPIF1<0的外接球表面积为SKIPIF1<0.故选：B．30．（2023·四川·四川省金堂中学校校联考三模）如图，在梯形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0沿对角线SKIPIF1<0折起，使得点SKIPIF1<0翻折到点SKIPIF1<0，若面SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，则三棱锥SKIPIF1<0的外接球表面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】如图，设SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的外心，SKIPIF1<0为三棱锥SKIPIF1<0的外接球球心，则SKIPIF1<0面SKIPIF1<0面SKIPIF1<0.由题意得SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的外心，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又四边形SKIPIF1<0为矩形，SKIPIF1<0，设外接球半径为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0外接球表面积SKIPIF1<0，故选：B.31．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考一模）已知四棱锥SKIPIF1<0的底面SKIPIF1<0是矩形，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值为SKIPIF1<0，则四棱锥SKIPIF1<0的外接球表面积为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】如图所示四棱锥SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0中点E，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0平面SKIP