新高考数学二轮复习讲练专题22 新高考新题型第19题新定义压轴解答题归纳（9大题型）（练习）（解析版）

专题22新高考新题型第19题新定义压轴解答题归纳目录01集合新定义 102函数与导数新定义 503立体几何新定义 1104三角函数新定义 1905平面向量与解三角形新定义 2206数列新定义 2707圆锥曲线新定义 3408概率与统计新定义 4209高等数学背景下新定义 4501集合新定义1．（2024·北京·高三北师大实验中学校考阶段练习）已知SKIPIF1<0元正整数集合SKIPIF1<0满足：SKIPIF1<0，且对任意SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0(1)若SKIPIF1<0，写出所有满足条件的集合SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0恰有SKIPIF1<0个正约数，求证：SKIPIF1<0；(3)求证：对任意的SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0.【解析】（1）SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．根据题意可知，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，满足题意；若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，满足题意；显然易知当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0,SKIPIF1<0时，又满足SKIPIF1<0，所以可得SKIPIF1<0满足题意；因此可得所有满足条件的集合SKIPIF1<0为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.（2）证明：由题分别令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0即SKIPIF1<0这SKIPIF1<0个小于SKIPIF1<0的数均为SKIPIF1<0的正约数．因为SKIPIF1<0的正约数的个数恰为SKIPIF1<0个(其中最大的是SKIPIF1<0，最小的是1)，而SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0（3）证明：由题可知SKIPIF1<0且SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0将最后一个不等式整理得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.2．（2024·北京·高三北京交通大学附属中学校考阶段练习）设集合SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0.若集合SKIPIF1<0满足对于任意的两个非空集合SKIPIF1<0，都有集合SKIPIF1<0的所有元素之和与集合SKIPIF1<0的元素之和不相等，则称集合SKIPIF1<0具有性质SKIPIF1<0.(1)判断集合SKIPIF1<0是否具有性质SKIPIF1<0，并说明理由；(2)若集合SKIPIF1<0具有性质SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0；(3)若集合SKIPIF1<0具有性质SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最大值.【解析】（1）对于集合SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，故集合SKIPIF1<0的元素和相等，故SKIPIF1<0不具有性质SKIPIF1<0.对于SKIPIF1<0，其共有15个非空子集：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，各集合的和分别为：SKIPIF1<0，它们彼此相异，故SKIPIF1<0具有性质SKIPIF1<0.（2）因为SKIPIF1<0具有性质SKIPIF1<0，故对于任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0也具有性质SKIPIF1<0，否则SKIPIF1<0有两个非空子集SKIPIF1<0，它们的元素和相等，而SKIPIF1<0也是SKIPIF1<0的子集，故SKIPIF1<0不具有性质SKIPIF1<0，矛盾.注意到SKIPIF1<0共有SKIPIF1<0个非空子集，每个子集的元素和相异，且子集的和最大为SKIPIF1<0，最小为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.（3）假设集合SKIPIF1<0具有性质SKIPIF1<0，不妨设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由（2）可得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.而SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时等号成立，即此时任意的正整数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，故此时SKIPIF1<0时等号成立，故SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0.则当SKIPIF1<0时，即对集合SKIPIF1<0具有性质SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0.3．（2024·北京门头沟·统考一模）已知集合SKIPIF1<0.若对于集合M的任意k元子集A，A中必有4个元素的和为SKIPIF1<0，则称这样的正整数k为“好数”，所有“好数”的最小值记作SKIPIF1<0.(1)当SKIPIF1<0，即集合SKIPIF1<0.（i）写出M的一个子集B，且B中存在4个元素的和为SKIPIF1<0；（ii）写出M的一个5元子集C，使得C中任意4个元素的和大于SKIPIF1<0；(2)证明：SKIPIF1<0；(3)证明：SKIPIF1<0.【解析】（1）取SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，满足条件；取SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；满足条件.（2）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，从大到小取SKIPIF1<0个元素，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0中任意4个元素之和SKIPIF1<0，不成立，故SKIPIF1<0.（3）当SKIPIF1<0时，把集合SKIPIF1<0的元素按和为SKIPIF1<0分组，得：SKIPIF1<0，易得，SKIPIF1<0中至少有2个二元子集满足SKIPIF1<0．若把集合SKIPIF1<0的元素按和为SKIPIF1<0分组，得：SKIPIF1<0．易得，SKIPIF1<0中至少有3个二元子集满足SKIPIF1<0．而集合SKIPIF1<0两两互不相交，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0中每一个至多有一个公共元素，所以，SKIPIF1<0中必有一个与SKIPIF1<0没有公共元素，不妨设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的4个元素就是SKIPIF1<0的4个互异元素，而这4个元素的和为SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．02函数与导数新定义4．（2024·上海黄浦·高三格致中学校考开学考试）对于函数SKIPIF1<0的导函数SKIPIF1<0，若在其定义域内存在实数SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0成立，则称SKIPIF1<0是“跃点”函数，并称SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0的“SKIPIF1<0跃点”.(1)若函数SKIPIF1<0是“SKIPIF1<0跃点”函数，求实数SKIPIF1<0的取值范围；(2)若函数SKIPIF1<0是定义在SKIPIF1<0上的“1跃点”函数，且在定义域内存在两个不同的“1跃点”，求实数SKIPIF1<0的取值范围；(3)若函数SKIPIF1<0是“1跃点”函数，且在定义域内恰存在一个“1跃点”，求实数SKIPIF1<0的取值范围.【解析】（1）函数SKIPIF1<0的导函数为SKIPIF1<0，因为函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是“SKIPIF1<0跃点”函数，则方程SKIPIF1<0有解，即SKIPIF1<0有解，而SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以实数SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0.（2）函数SKIPIF1<0的导函数为SKIPIF1<0，依题意，方程SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有两个不等实根，令SKIPIF1<0，因此函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有两个不同零点，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以实数SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0.（3）函数SKIPIF1<0的导函数为SKIPIF1<0，因为函数SKIPIF1<0是“1跃点”函数，且在定义域内恰存在一个“1跃点”，则方程SKIPIF1<0，显然SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恰有一个实数根，令SKIPIF1<0，求导得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0；由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，于是函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，SKIPIF1<0恒成立，函数SKIPIF1<0的取值集合是SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0上单调递减，函数SKIPIF1<0的取值集合是SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0上单调递增，函数SKIPIF1<0的取值集合是SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0的图象，如图，当SKIPIF1<0时，直线SKIPIF1<0与函数SKIPIF1<0的图象有唯一公共点，即方程SKIPIF1<0恰有一个实数根，从而SKIPIF1<0，所以b的取值范围为SKIPIF1<0.5．（2024·江西宜春·高三江西省丰城中学校考开学考试）俄国数学家切比雪夫（П.Л.Чебышев，1821-1894）是研究直线逼近函数理论的先驱.对定义在非空集合SKIPIF1<0上的函数SKIPIF1<0，以及函数SKIPIF1<0，切比雪夫将函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最大值称为函数SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的“偏差”.(1)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求函数SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的“偏差”；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求实数SKIPIF1<0，使得函数SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的“偏差”取得最小值，并求出“偏差”的最小值.【解析】（1）SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的“偏差”为SKIPIF1<0.（2）令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，此时SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的“偏差”为SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，此时SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0“偏差”为SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，无最小值，当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，则SKIPIF1<0“偏差”为SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，无最小值，当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，则SKIPIF1<0的“偏差”为SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，无最小值，当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，则SKIPIF1<0的“偏差”为SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，则SKIPIF1<0的“偏差”为SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，无最小值，当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，则SKIPIF1<0的“偏差”为SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，综上，SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的“偏差”取得最小值为SKIPIF1<0.6．（2024·上海杨浦·复旦附中校考模拟预测）设SKIPIF1<0是定义域为SKIPIF1<0的函数，如果对任意的SKIPIF1<0、SKIPIF1<0均成立，则称SKIPIF1<0是“平缓函数”.(1)若SKIPIF1<0，试判断SKIPIF1<0和SKIPIF1<0是否为“平缓函数”?并说明理由;(参考公式:SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0恒成立)(2)若函数SKIPIF1<0是“平缓函数”，且SKIPIF1<0是以1为周期的周期函数，证明:对任意的SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，均有SKIPIF1<0;(3)设SKIPIF1<0为定义在SKIPIF1<0上函数，且存在正常数SKIPIF1<0使得函数SKIPIF1<0为“平缓函数”.现定义数列SKIPIF1<0满足:SKIPIF1<0，试证明:对任意的正整数SKIPIF1<0.【解析】（1）对于函数SKIPIF1<0，由对任意的SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可知函数SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上的“平缓函数”.对于函数SKIPIF1<0，由对任意的SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因此函数SKIPIF1<0也是SKIPIF1<0上的“平缓函数”；（2）由已知可得SKIPIF1<0，由于函数SKIPIF1<0是周期函数，故不妨设SKIPIF1<0、SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，由SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上的“平缓函数”得SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，不妨设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，此时由SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上的“平缓函数”得SKIPIF1<0SKIPIF1<0综上所述，命题得证；（3）由SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上的“平缓函数”，且SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，则对任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<07．（2024·上海浦东新·高三上海市建平中学校考阶段练习）若定义域为D的函数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0是定义域为D的严格增函数，则称SKIPIF1<0是一个“T函数”.(1)分别判断SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是否为T函数，并说明理由；(2)已知常数SKIPIF1<0，若定义在SKIPIF1<0上的函数SKIPIF1<0是T函数，判断SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的大小关系，并证明；(3)已知T函数SKIPIF1<0的定义域为R，不等式SKIPIF1<0的解集为SKIPIF1<0．证明：SKIPIF1<0在R上严格增.【解析】（1）SKIPIF1<0，定义域为R，SKIPIF1<0是R上的严格增函数，故SKIPIF1<0是“T函数”；SKIPIF1<0，定义域为R，SKIPIF1<0不是R上的严格增函数，故SKIPIF1<0不是“T函数”.（2）SKIPIF1<0，证明如下因为定义在SKIPIF1<0上的函数SKIPIF1<0是T函数，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上严格递增，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.（3）T函数SKIPIF1<0的定义域为R，故SKIPIF1<0在R上严格增，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0单调递减，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0单调递增，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0恒成立，则SKIPIF1<0恒成立，故SKIPIF1<0，若存在SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，这与SKIPIF1<0，SKIPIF1<0矛盾，故不存在SKIPIF1<0使SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，故SKIPIF1<0在R上严格增.03立体几何新定义8．（2024·江苏·高三专题练习）如图1所示为一种魔豆吊灯，图2为该吊灯的框架结构图，由正六棱锥SKIPIF1<0和SKIPIF1<0构成，两个棱锥的侧棱长均相等，且棱锥底面外接圆的直径为SKIPIF1<0，底面中心为SKIPIF1<0，通过连接线及吸盘固定在天花板上，使棱锥的底面呈水平状态，下顶点SKIPIF1<0与天花板的距离为SKIPIF1<0，所有的连接线都用特殊的金属条制成，设金属条的总长为y．（1）设∠O1AO=SKIPIF1<0(rad)，将y表示成θ的函数关系式，并写出θ的范围；SKIPIF1<0（2）请你设计θ，当角θ正弦值的大小是多少时，金属条总长y最小．【解析】（1）在直角三角形OAO1中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以θ的范围是SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．从而有SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）．（2）令SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．函数SKIPIF1<0的单调性与SKIPIF1<0关系列表如下：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<00+SKIPIF1<0SKIPIF1<0极小值SKIPIF1<0所以当SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0时SKIPIF1<0取得最小值，即y最小．故当角SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）时，金属条总长y最小．9．（2024·辽宁沈阳·东北育才学校校考二模）蜂房是自然界最神奇的“建筑”之一，如图1所示.蜂房结构是由正六棱柱截去三个相等的三棱锥SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，再分别以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为轴将SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别向上翻转SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三点重合为点SKIPIF1<0所围成的曲顶多面体（下底面开口），如图2所示.蜂房曲顶空间的弯曲度可用曲率来刻画，定义其度量值等于蜂房顶端三个菱形的各个顶点的曲率之和，而每一顶点的曲率规定等于SKIPIF1<0减去蜂房多面体在该点的各个面角之和（多面体的面角是多面体的面的内角，用弧度制表示）.例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是SKIPIF1<0，所以正四面体在各顶点的曲率为SKIPIF1<0.(1)求蜂房曲顶空间的弯曲度；(2)若正六棱柱底面边长为1，侧棱长为2，设SKIPIF1<0（i）用SKIPIF1<0表示蜂房（图2右侧多面体）的表面积SKIPIF1<0；（ii）当蜂房表面积最小时，求其顶点SKIPIF1<0的曲率的余弦值.【解析】（1）蜂房曲顶空间的弯曲度为顶端三个菱形的7个顶点的曲率之和，根据定义其度量值等于SKIPIF1<0减去三个菱形的内角和SKIPIF1<0，再减去6个直角梯形中的两个非直角内角和SKIPIF1<0，即蜂房曲顶空间的弯曲度为SKIPIF1<0.（2）（i）如图所示，连接AC，SH，则SKIPIF1<0，设点SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0的射影为O，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，菱形SAHC的面积为SKIPIF1<0，侧面积SKIPIF1<0，所以蜂房的表面积为SKIPIF1<0.（ii）SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0递增；在SKIPIF1<0递增.所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处取得极小值，也即是最小值.此时SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，令SKIPIF1<0，由余弦定理得SKIPIF1<0，又顶点SKIPIF1<0的曲率为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.10．（2024·北京·高三统考期末）用光线照射物体，在某个平面上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面.由平行光线形成的投影叫做平行投影，由点光源发出的光线形成的投影叫做中心投影.投影线垂直于投影面产生的平行投影叫做正投影，投影线不垂直于投影而产生的平行投影叫做斜投影.物体投影的形状､大小与它相对于投影面的位置和角度有关.如图所示，已知平行四边形SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0内的平行投影是四边形SKIPIF1<0.图SKIPIF1<0图SKIPIF1<0图SKIPIF1<0(1)若平行四边形SKIPIF1<0平行于投影面（如图SKIPIF1<0），求证：四边形SKIPIF1<0是平行四边形；(2)在图SKIPIF1<0中作出平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0的交线（保留作图痕迹，不需要写出过程）；(3)如图SKIPIF1<0，已知四边形SKIPIF1<0和平行四边形SKIPIF1<0的面积分别为SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0的交线是直线SKIPIF1<0，且这个平行投影是正投影.设二面角SKIPIF1<0的平面角为SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为锐角），猜想并写出角SKIPIF1<0的余弦值（用SKIPIF1<0表示），再给出证明.【解析】（1）依题意，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0共面.SKIPIF1<0面SKIPIF1<0SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，面SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，面SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0.又平行四边形SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四边形SKIPIF1<0是平行四边形.（2）如图，直线SKIPIF1<0为平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0的交线.（3）猜想：SKIPIF1<0.不妨将平行四边形SKIPIF1<0平移，使SKIPIF1<0与SKIPIF1<0重合，如图所示.则面SKIPIF1<0与面SKIPIF1<0的交线SKIPIF1<0即为SKIPIF1<0.过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0.由正投影，则SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是二面角SKIPIF1<0的平面角SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0是二面角SKIPIF1<0的平面角SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.11．（2024·山东济南·高三统考期末）射影几何学中，中心投影是指光从一点向四周散射而形成的投影，如图，SKIPIF1<0为透视中心，平面内四个点SKIPIF1<0经过中心投影之后的投影点分别为SKIPIF1<0．对于四个有序点SKIPIF1<0，定义比值SKIPIF1<0叫做这四个有序点的交比，记作SKIPIF1<0．

(1)证明：SKIPIF1<0；(2)已知SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0．【解析】（1）在SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，又在SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.（2）由题意可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又点SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0的中点，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0①，在SKIPIF1<0中，由正弦定理可得SKIPIF1<0②，在SKIPIF1<0中，由正弦定理可得SKIPIF1<0③，且SKIPIF1<0，②SKIPIF1<0③得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0④由①④解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（负值舍去），即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0.04三角函数新定义12．如果对于三个数a、b、c能构成三角形的三边，则称这三个数为“三角形数”，对于“三角形数”a、b、c，如果函数SKIPIF1<0使得三个数SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0仍为“三角形数”，则称SKIPIF1<0为“保三角形函数”．SKIPIF1<0对于“三角形数”SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，判断函数SKIPIF1<0是否是“保三角形函数”，并说明理由；SKIPIF1<0对于“三角形数”SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，判断函数SKIPIF1<0是否是“保三角形函数”，并说明理由．【解析】SKIPIF1<0函数SKIPIF1<0不是“保三角形函数”，理由如下，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不能构成三角形，SKIPIF1<0不是“保三角形函数”；SKIPIF1<0函数SKIPIF1<0是“保三角形函数”，理由如下，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0最大，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0最大，SKIPIF1<0，综上所述，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0能构成三角形，所以SKIPIF1<0是“保三角形函数”．13．数学家发现：SKIPIF1<0，其中n!SKIPIF1<0利用该公式可以得到：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0证明：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0设SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0时，值域也为SKIPIF1<0，则称SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的“和谐区间”．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0是否存在“和谐区间”?若存在，求出SKIPIF1<0的所有“和谐区间”，若不存在，请说明理由．【解析】SKIPIF1<0证明：由已知当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0时，假设存在，则由SKIPIF1<0知SKIPIF1<0若SKIPIF1<0，则由SKIPIF1<0知SKIPIF1<0，与值域是SKIPIF1<0矛盾，故不存在“和谐区间”，同理，SKIPIF1<0时，也不存在，下面讨论SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0最小值为SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0最大值为2，故SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，值域为SKIPIF1<0，符合题意．若SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，同理可得SKIPIF1<0，舍去，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，所以SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，与SKIPIF1<0矛盾；若SKIPIF1<0，同理，矛盾，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0知当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，从而，SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0，矛盾，综上所述，SKIPIF1<0有唯一的“和谐区间”SKIPIF1<014．已知函数SKIPIF1<0，若存在实数m、SKIPIF1<0，使得对于定义域内的任意实数x，均有SKIPIF1<0成立，则称函数SKIPIF1<0为“可平衡”函数；有序数对SKIPIF1<0称为函数SKIPIF1<0的“平衡”数对．SKIPIF1<0若SKIPIF1<0，求函数SKIPIF1<0的“平衡”数对；SKIPIF1<0若SKIPIF1<0，判断SKIPIF1<0是否为“可平衡”函数，并说明理由；SKIPIF1<0若SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0、SKIPIF1<0均为函数SKIPIF1<0的“平衡”数对，求SKIPIF1<0的取值范围．【解析】SKIPIF1<0根据题意可知，对于任意实数

x

，

SKIPIF1<0

，即

SKIPIF1<0

对于任意实数

x

恒成立，只有

SKIPIF1<0

，

SKIPIF1<0

，故函数

SKIPIF1<0

的“平衡”数对为

SKIPIF1<0

；SKIPIF1<0若

SKIPIF1<0

，则

SKIPIF1<0

，SKIPIF1<0

SKIPIF1<0

，要使得

SKIPIF1<0

为“可平衡”函数，需使

SKIPIF1<0

对于任意实数

x

均成立，只有

SKIPIF1<0

，此时

SKIPIF1<0

，

SKIPIF1<0

，故

k

存在使得SKIPIF1<0

是“可平衡”函数．SKIPIF1<0假设存在实数

m、SKIPIF1<0

，对于定义域内的任意

x

均有

SKIPIF1<0成立SKIPIF1<0则

SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0

均为函数

SKIPIF1<0

的“平衡”数对，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0设SKIPIF1<0

，函数单调递增，SKIPIF1<0

即

SKIPIF1<0

，所以SKIPIF1<0的取范围为

SKIPIF1<005平面向量与解三角形新定义15．古希腊数学家托勒密对凸四边形SKIPIF1<0凸四边形是指没有角度大于SKIPIF1<0的四边形SKIPIF1<0进行研究，终于有重大发现：任意一凸四边形，两组对边的乘积之和不小于两条对角线的乘积，当且仅当四点共圆时等号成立．且若给定凸四边形的四条边长，四点共圆时四边形的面积最大．根据上述材料，解决以下问题：如图，在凸四边形ABCD中，SKIPIF1<0若SKIPIF1<0图SKIPIF1<0，求线段BD长度的最大值；SKIPIF1<0若SKIPIF1<0图SKIPIF1<0，求四边形ABCD面积取得最大值时角A的大小，并求出四边形ABCD面积的最大值．【解析】SKIPIF1<0设

SKIPIF1<0

，则

SKIPIF1<0

，由材料可知，

SKIPIF1<0

，即

SKIPIF1<0

，解得

SKIPIF1<0

，所以线段

BD

长度的最大值为

SKIPIF1<0

．SKIPIF1<0由材料可知，当

A、B、C、SKIPIF1<0

四点共圆时，四边形

ABCD

的面积达到最大．连接

BD

，在

SKIPIF1<0

中，由余弦定理，得SKIPIF1<0，①在

SKIPIF1<0

中，由余弦定理，得SKIPIF1<0，②

因为

A、B、C、SKIPIF1<0

四点共圆，所以

SKIPIF1<0

，从而

SKIPIF1<0

，③由①②③，解得

SKIPIF1<0

，因为

SKIPIF1<0

，所以

SKIPIF1<0

．从而

SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以

SKIPIF1<0

．16．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，对任意两个向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，作：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不共线时，记以OM，ON为邻边的平行四边形的面积为SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0共线时，规定SKIPIF1<0SKIPIF1<0ⅠSKIPIF1<0分别根据下列已知条件求SKIPIF1<0：①SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0ⅡSKIPIF1<0若向量SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0ⅢSKIPIF1<0若A，B，C是以O为圆心的单位圆上不同的点，记SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0ⅰSKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，求SKIPIF1<0的最大值；SKIPIF1<0ⅱSKIPIF1<0写出SKIPIF1<0的最大值．SKIPIF1<0只需写出结果SKIPIF1<0【解析】SKIPIF1<0ⅠSKIPIF1<0因为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；又SKIPIF1<0，是SKIPIF1<0；SKIPIF1<0ⅡSKIPIF1<0因为向量SKIPIF1<0，且向量SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0；SKIPIF1<0ⅢSKIPIF1<0