第2章 二次函数专题训练3 二次函数的最值及自变量的取值范围(含答案)

专题训练三二次函数的最值及自变量的取值范围由自变量的取值范围求函数值的取值范围1.二次函数y=-x2+bx+c的部分图象如图所示,若y>3,则x的取值范围是 ()A.-4<x<1B.-2<x<0C.x<-4或x>1D.x<-2或x>02.二次函数y=-x2+bx+c,若y≥2时,x的取值范围为n-3≤x≤n+1(n为常数),则当n-4≤x≤n时,y的取值范围为()A.-3≤y≤5 B.-3≤y≤6C.0≤y≤5 D.0≤y<63.已知二次函数y=-x2+2x+3,当-1≤x≤2时,y的取值范围为.

4.已知二次函数y=-x2+bx+c,函数值y与自变量x之间的部分对应值如表:x…-4-101…y…-21-2-7…(1)写出二次函数图象的对称轴;(2)求二次函数的表达式;(3)当-4<x<-1时,写出函数值y的取值范围.由自变量取值范围下的函数最值求字母系数5.(2024西安临潼区二模)已知抛物线y=-(x-n)2-1(n为常数),当1≤x≤4时,其对应的函数值最大为-10,则n的值为 ()A.4 B.-2或7C.1或7 D.-2或46.如图,抛物线y=12x2-x-32的顶点为D点,与y轴交于C点,点M(m,0)是x轴上的一个动点,当MC+MD的值最小时,m的值是 (A.13 B.12 C.27.(2024苏州期末)如图,Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=6cm,BC=8cm,点P从点A出发沿边AB向点B以1cm/s的速度移动,点Q从B出发沿边BC向点C以2cm/s的速度移动,P,Q两点同时出发,当一点到达终点时另一点也停止运动,设运动时间为t(s).(1)若P,Q两点的距离为42cm时,求t的值;(2)当t为何值时,△BPQ的面积最大?并求出最大面积.8.(2024廊坊大城县期中)已知抛物线y=x2+ax+a+1经过点A(-2,3).(1)求a的值;(2)已知点P(m,yP),Q(m-4,yQ)均在该抛物线上.①若m=0,请比较yP与yQ的大小关系;②当-3≤x≤m时,函数y的最大值是6,最小值是2,求m的取值范围.9.(2024葫芦岛绥中县月考)如图,已知抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)经过点A(1,0)和点B(3,0),与y轴相交于点C.(1)求此抛物线的表达式;(2)若点P是直线BC下方的抛物线上一动点(不与点B、C重合),过点P作y轴的平行线交直线BC于点D,设点P的横坐标为m.①用含有m的代数式表示线段PD的长;②连接PB,PC,求△PBC的面积最大时点P的坐标.

【详解答案】1.B解析:由题图可得:抛物线对称轴为直线x=-1,当x=0时,y=3,根据抛物线的对称性可得:当x=-2时,y=3,∴若y>3,则x的取值范围是-2<x<0,故选B.2.B解析:由题意知,当y≥2时,x的取值范围为n-3≤x≤n+1,且抛物线开口向下,∴对称轴是直线x=n-3+n+12=∴b=2(n-1).∴抛物线为y=-x2+2(n-1)x+c.又当x=n+1时,y=-(n+1)2+2(n-1)·(n+1)+c=2,∴c=-n2+2n+5.∴二次函数为y=-x2+2(n-1)x-n2+2n+5.∵抛物线开口向下,∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越大.∵n-1-(n-4)=3>n-(n-1)=1,n-4<n-1<n,又n-4≤x≤n,∴当x=n-1时,y取最大值为y=-(n-1)2+2(n-1)2-n2+2n+5=6;当x=n-4时,y取最小值为y=-(n-4)2+2(n-4)(n-1)-n2+2n+5=-3.∴当n-4≤x≤n时,-3≤y≤6.故选B.3.0≤y≤4解析:∵二次函数y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,∴该函数图象开口向下,对称轴为直线x=1.∵-1≤x≤2,∴当x=-1时,y取得最小值0;当x=1时,y取得最大值4;∴当-1≤x≤2时,y的取值范围为0≤y≤4.4.解:(1)∵x=-4和x=0时的函数值相等,都是-2,∴此函数图象的对称轴为直线x=-4+02=-(2)将(-1,1),(0,-2)代入y=-x2+bx+c,得-解得b∴二次函数的表达式为y=-x2-4x-2.(3)∵y=-x2-4x-2=-(x+2)2+2,∴当x=-2时,y取得最大值2.由表可知当x=-4时y=-2,当x=-1时y=1,∴当-4<x<-1时,-2<y≤2.5.B解析:①当n≥4时,当x=4,y=-10时,代入抛物线y=-(x-n)2-1(n为常数),得-10=-(4-n)2-1,整理,得n2-8n+7=0,解得n=7或1(舍去),②当n≤1时,当x=1,y=-10时,代入抛物线y=-(x-n)2-1(n为常数),得-10=-(1-n)2-1,整理,得n2-2n-8=0,解得n=-2或4(舍去).故n的值为7或-2.故选B.6.D解析:当x=0时,y=12x2-x-32=-32,则点C∴C点关于x轴的对称点C'的坐标为0,∵y=12x2-x-32=12(∴点D的坐标为(1,-2).连接C'D交x轴于M,如图,∵MC+MD=MC'+MD=C'D,∴此时MC+MD的值最小.设直线C'D的表达式为y=kx+32把D(1,-2)代入,得-2=k+32,解得k=-7∴直线C'D的表达式为y=-72x+3当y=0时,-72x+32=0,解得x=∴此时M点的坐标为37,0,即m故选D.7.解:(1)由题意知,BP=(6-t)cm,BQ=2tcm.在Rt△BPQ中,PQ2=PB2+BQ2=(6-t)2+(2t)2.又∵P,Q两点的距离为42cm,∴(6-t)2+(2t)2=(42)2,解得t1=2,t2=25又∵0≤t≤4,∴上述两解都符合题意,故t的值为2或25(2)由(1)知,BP=(6-t)cm,BQ=2tcm,∴S△BPQ=12BP·BQ=12·2t(6-t)=t(6-t)=-t2+6t=-(t2-6t+9)+9=-(t-3)2又∵0≤t≤4,且-1<0,∴当t=3时,S△BPQ有最大值为9cm2.8.解:(1)将点A(-2,3)代入y=x2+ax+a+1中,得3=4-2a+a+1,解得a=2.(2)①∵a=2,∴抛物线为y=x2+2x+3,当m=0时,点P(m,yP),Q(m-4,yQ)为P(0,yP),Q(-4,yQ),∴yP=0+0+3=3,yQ=16-8+3=11,∴yP与yQ的大小关系为yP<yQ;②y=x2+2x+3=(x+1)2+2.当x2+2x+3=6时,x1=-3,x2=1.如图,根据图象和题意可得m的取值范围是-1≤m≤1.9.解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)经过点A(1,0)和点B(3,0),∴将A,B点坐标代入,得a解得a∴抛物线表达式为y=x2-4x+3.(2)①由y=x2-4x+3可知,抛物线对称轴为直线x=2,点C(0,3),设直线BC的表达式为y=kx+c.将点B(3,0),C(0,3)代入直线BC表达式y=kx+c,则3k+∴直线BC的表达式为yBC=-x+3.设P(m,m2-4m+3),如图,过点