2022年新教材高中数学第八章立体几何初步42空间点直线平面之间的位置关系练习（含解析）

空间点、直线、平面之间的位置关系【基础全面练】(25分钟50分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．若a和b是异面直线，a和c是平行直线，则b和c的位置关系是()A．平行B．异面C．异面或相交D．相交、平行或异面【解析】选C.考虑正方体ABCD­A′B′C′D′中，直线AB看作直线a，直线B′C′看作直线b，即直线a和直线b是异面直线，若直线CD看作直线c，可得a，c平行，则b，c异面；若直线A′B′看作直线c，可得a，c平行，则b，c相交．若b，c平行，由a，c平行，可得a，b平行，这与a，b异面矛盾，故b，c不平行．2．长方体的一条体对角线与长方体的棱所组成的异面直线有()A．2对B．3对C．6对D．12对【解析】选C.如图所示，在长方体中没有与体对角线平行的棱，要求与长方体体对角线AC1异面的棱所在的直线，只要去掉与AC1相交的六条棱，其余的都与体对角线异面，所以与AC1异面的棱有BB1，A1D1，A1B1，BC，CD，DD1，所以长方体的一条体对角线与长方体的棱所组成的异面直线有6对．3．三棱台的一条侧棱所在直线与其对面所在的平面之间的关系是()A．相交B．平行C．直线在平面内D．平行或直线在平面内【解析】选A.延长各侧棱可恢复成棱锥的形状，所以三棱台的一条侧棱所在直线与其对面所在的平面相交．4．下列说法中，正确的个数是()①如果两条平行直线中的一条和一个平面相交，那么另一条直线也和这个平面相交；②经过两条异面直线中的一条直线，有一个平面与另一条直线平行；③两条相交直线，其中一条与一个平面平行，则另一条一定与这个平面平行．A．0B．1C．2D．3【解析】选C.易知①正确，②正确．③中两条相交直线中一条与平面平行，另一条可能平行于平面，也可能与平面相交，故③错误．二、填空题(每小题5分，共10分)5．若一个平面内的一条直线与另一个平面相交，则这两个平面的位置关系是________．【解析】两平面有公共点，故两平面相交．答案：相交6．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，CC1①直线DM与CC1是相交直线；②直线AM与NB是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．其中正确的为____________(把你认为正确的结论的序号都填上).【解析】①中直线DM与直线CC1在同一平面内，它们不平行，必相交，故结论正确．③④中的两条直线既不相交也不平行，即均为异面直线，故结论正确．②中AM与BN是异面直线，故②不正确．故填①③④.答案：①③④三、解答题(每小题10分，共20分)7．用符号语言描述图形中的直线、平面之间的位置关系．(1)(2)【解析】(1)m⊂α，n⊂β，α∩β＝l，m∥n∥l；(2)a⊂α，b⊂β，α∩β＝l，a∩b＝M.8．求证：与两条异面直线分别相交的两条直线不平行．【证明】如图，a与b是两条异面直线，AB、CD分别与a、b相交，若A与C(或B与D)重合，则AB与CD相交，AB与CD不平行；若A与C，B与D均不重合，假设AB∥CD，由公理2的推论3可知，AB与CD共面α，因为A，C都在直线a上，B，D都在直线b上，则a，b都在平面α内，与a与b是异面直线矛盾，假设错误．综上，与两条异面直线分别相交的两条直线不平行．【综合突破练】(20分钟40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．下列关于直线l，点A、B与平面α的关系推理错误的是()A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒l⊂αB．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝ABC．l⊄α，A∈l⇒A∉αD．A∈l，l⊂α⇒A∈α【解析】选C.对于A：根据公理1：若点A和B在平面α内，则由点A和B确定的直线l在平面α内，故A正确；对于B：A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝AB，符合公理3，故B正确；对于C：l⊄α，A∈l⇒A∉α或A∈α，故C错误；对于D：根据点在线上，线在面内，故点在面内，故D正确．2．(多选题)如果点M是两条异面直线外的一点，则过点M且与a，b都平行的平面()A．可能有一个B．恰有两个C．可能没有D．有无数个【解析】选AC.当点M在过a且与b平行的平面或过b且与a平行的平面内时，这样满足条件的平面没有；当点M不在上述两个平面内时，满足条件的平面只有一个．二、填空题(每小题5分，共10分)3．若直线l上有两点到平面α的距离相等，则直线l与平面α的关系是________．【解析】当这两点在α的同侧时，l与α平行；当这两点在α的异侧时，l与α相交．答案：平行或相交4．如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1(1)AD1所在直线与平面BCC1的位置关系是__________；(2)平面A1BC1与平面ABCD的位置关系是________．【解析】(1)AD1所在的直线与平面BCC1没有公共点，所以平行；(2)平面A1BC1与平面ABCD有公共点B，故相交．答案：(1)平行(2)相交【加固训练】在四棱锥P­ABCD中，各棱所在的直线互相异面的有__________对．【解析】以底边所在直线为准进行考察，因为四边形ABCD是平面图形，4条边在同一平面内，不可能组成异面直线，而每一边所在直线能与2条侧棱组成2对异面直线，所以共有4×2＝8(对)异面直线．答案：8三、解答题(每小题10分，共20分)5．如图，已知不共面的直线a，b，c相交于O点，M，O是直线a上的两点，N，Q分别是直线b，c上的一点，求证：MN和PQ是异面直线．【证明】方法一：(反证法)假设MN和PQ共面，设所确定的平面为α，那么点P，Q，M，N和O都在平面α内，所以直线a，b，c都在平面α内，这与已知a，b，c不共面矛盾，所以假设不成立，MN和PQ是异面直线．方法二：(直接证法)因为a∩c＝O，所以a，c确定一个平面，设为α，由已知P∈平面α，Q∈平面α，所以PQ⊂平面α，又M∈平面α，且M∉PQ，N∉平面α，所以MN和PQ是异面直线．6．如图，已知平面α与平面β相交于直线m，直线n⊂β，且m∩n＝A，直线l⊂α，且l∥m.证明：n，l是异面直线．【证明】若n，l共面，设该平