2025年高考二轮复习数学题型专项练9　中低档大题规范练（C）

题型专项练9中低档大题规范练(C)(分值:43分)学生用书P2311.(13分)(2024浙江温州三模)由四棱柱ABCDA1B1C1D1截去三棱锥D1A1DC1后得到如图所示的几何体,四边形ABCD是菱形,AC=4,BD=2,O为AC与BD的交点,B1O⊥平面ABCD.(1)求证:B1O∥平面A1DC1;(2)若B1O=23,求平面A1DC1与平面BCC1B1夹角的大小.(1)证明在四棱柱ABCDA1B1C1D1中,BB1DD1,∴四边形BB1D1D是平行四边形.∴B1D1BD.如图,取A1C1的中点O1,连接B1O1,O1D,∵四边形ABCD是菱形,O是AC与BD的交点,∴AC⊥BD于点O,O是BD的中点,∴B1O1OD.∴四边形B1O1DO是平行四边形,∴B1OO1D.又B1O⊄平面A1DC1,O1D⊂平面A1DC1,∴B1O∥平面A1DC1.(2)解以O为原点,OD,OC,OB1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则O(0,0,0),A(0,2,0),D(1,0,0),C(0,2,0),B(1,0,0),B1(0,0,23),A1C1=AC=(0,4,0),DO1=OB1=(0,0,23),BC=(1,2,0),BB1=(1,0,23),设平面BCC1B1的法向量为m取x1=23,则m=(23,3,1).设平面A1DC1的法向量为n=(x2,y2,z2),则n·DO1=23z2=0,设平面A1DC1与平面BCC1B1夹角为θ,则cosθ=|cos<m,n>|=m·n|m||n|=234×1=32,∴平面A12.(15分)(2024浙江杭州二模)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S4=4S2,a2n=2an+1(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式;(2)数列{bn}满足b1=3,令an·bn=an+2·bn+1,求证:∑k=1nbk(1)解设等差数列{an}的首项为a1,公差为d.由S4=4S2,a2n=2an+1,得4解得a1=1,d=2,所以an=1+2(n1)=2n1(n∈N*).(2)证明由(1)知,an=2n1,故(2n1)bn=(2n+3)bn+1,即bn+1bn=累乘,得bn=bnbn-1·bn-1bn-2·…·b所以∑k=1nbk=b1+b2+b3+…+bn1+bn=92113+13-15+15-173.(15分)(2024山东日照二模)某公司采用某方案测试员工的业务技能,并对测试成绩进行统计分析,以确定员工的绩效等级.(1)已知该公司甲部门有3名负责人,乙部门有4名负责人,该公司从甲、乙两部门中随机选取3名负责人做测试分析,记负责人来自甲部门的人数为X,求X最有可能的取值.(2)该公司统计了七个部门测试的平均成绩x(满分100)与绩效等级优秀率y,如下表所示:x32415468748092y0.280.340.440.580.660.740.94根据数据绘制散点图,初步判断,选用y=λecx作为回归方程.令z=lny,经计算得z=0.642,∑i=17x(ⅰ)已知某部门测试的平均成绩为60分,估计其绩效等级优秀率;(ⅱ)根据统计分析,大致认为各部门测试平均成绩x~N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数x,σ2近似为样本方差s2.经计算s≈20,求某个部门绩效等级优秀率不低于0.78的概率.参考公式与数据:①ln0.15≈1.9,ln3.32≈1.2,ln5.2≈1.66.②线性回归方程y^=b^x+a③若随机变量X~N(μ,σ2),则P(μσ<X<μ+σ)=0.6827,P(μ2σ<X<μ+2σ)=0.9545,P(μ3σ<X<μ+3σ)=0.9973.解(1)依题意,随机变量X服从超几何分布,且X的可能取值为0,1,2,3,则P(X=0)=C30C43C73=435,P(X=1)=C31C4其中P(X=1)=1835最大,即X=1的可能性最大,故X最有可能的取值为1(2)(ⅰ)依题意,对y=λecx两边同时取对数,得lny=cx+lnλ,即z=cx+lnλ,由题意知,c=∑i=17x又x=32+41+54+68+74+80+927=63,由z=cx+lnλ,得0.642=0.02×63+lnλ,得lnλ≈1.9,所以λ≈e1.9,由提供的参考数据,可得λ≈0.15,故y^=0.15×e0当x=60时,y^=0.15×e0.02×60≈0.498,即估计其绩效等级优秀率为0.498(ⅱ)由(ⅰ)及提供的参考数据可知,μ≈x=63,σ≈s≈20,由y^≥0.78,得0.15×e0.02x≥0.78,即0.02x≥ln5.2≈1.66,解得x≥83又μ+σ=83,且P(μσ<X<μ+σ)=0.6827,由正态分布的性质,得P(