专题02 常用逻辑用语-2025年高考数学二轮复习考点突破(解析)

高中数学精编资源2/2专题02常用逻辑用语3题型分类1．充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇏pp是q的必要不充分条件p⇏q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇏q且q⇏p2．全称量词与存在量词（1）全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．（2）存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．3．全称量词命题和存在量词命题名称全称量词命题存在量词命题结构对M中任意一个x，p(x)成立存在M中的元素x，p(x)成立简记∀x∈M，p(x)∃x∈M，p(x)否定∃x∈M，﹁p(x)∀x∈M，﹁p(x)（一）充分、必要条件的判定1．充分条件与必要条件（1）判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p⇒q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件（2）充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件．2．充分条件、必要条件的判定方法．（1）定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题．（2）集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题．题型1：充分、必要条件的判定1-1．（2024高二下·四川内江·阶段练习）已知向量，，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】若，由得出，若，由平行向量的坐标公式得出，从而得出答案.【详解】若，则，所以；若，则，解得，得不出．所以“”是“”的充分不必要条件．故选：A．1-2．（2024·浙江·模拟预测）已知直线平面，则“直线平面”是“平面平面”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】若“直线平面”成立，设，且，又平面，所以平面，又，所以“平面平面”成立；若“平面平面”成立，且直线平面，可推出平面或平面，所以“直线平面”不一定成立.综上，“直线平面”是“平面平面”的充分不必要条件.故选：A.1-3．（2024·浙江·模拟预测）已知，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】D【分析】通过反例可说明充分性和必要性均不成立，由此可得结论.【详解】当，时，满足，此时；当，时，满足，此时；，，“”是“”的既不充分也不必要条件.故选：D.1-4．（2024高一下·湖北孝感·期中）“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】由求得，从而判断出充分、必要条件.【详解】，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B1-5．（2024·北京房山·二模）已知函数则“”是“在上单调递减”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】求得在上单调递减时的取值范围，从而判断出充分、必要条件.【详解】若在上单调递减，则，解得.所以“”是“在上单调递减”的必要而不充分条件.故选：B1-6．（2024·安徽合肥·三模）已知，为实数，则使得“”成立的一个充分不必要条件为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据“充分必要条件”的定义逐项分析.【详解】对于A，如果，例如，则，不能推出，如果，则必定有，既不是充分条件也不是必要条件，错误；对于B，如果，根据对数函数的单调性可知，但不能推出，例如，不是充分条件，如果，则，是必要条件，即是的必要不充分条件，错误；对于C，如果，因为是单调递增的函数，所以，不能推出，例如，如果，则必有，是必要不充分条件，错误；对于D，如果，则必有，是充分条件，如果，例如，则不能推出，所以是充分不必有条件，正确.故选：D.（二）充分、必要条件的应用1．充分、必要条件与对应集合之间的关系若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即p：A={x|p（x）}，q：B={x|q（x）}，则（1）若A⊆B，则p是q的充分条件．（2）若B⊆A，则p是q的必要条件．（3）若A⫋B，则p是q的充分不必要条件．（4）若B⫋A，则p是q的必要不充分条件．（5）若A=B，则p是q的充要条件．2．求参数问题的解题策略．（1）把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．（2）要注意区间端点值的检验．题型2：充分、必要条件的应用2-1．（2024·山东潍坊·二模）若“”是“”的一个充分条件，则的一个可能值是.【答案】（只需满足即可）【分析】解不等式，可得出满足条件的一个的值.【详解】由可得，则，所以，，解得，因为“”是“”的一个充分条件，故的一个可能取值为.故答案为：（只需满足即可）.2-2．（2024·云南昆明·模拟预测）若“”是“”的必要不充分条件，则的值可以是.（写出满足条件的一个值即可）【答案】（答案不唯一，满足即可）【分析】根据必要不充分条件列不等式，由此求得的可能取值.【详解】由于“”是“”的必要不充分条件，所以，所以的值只需小于即可.故答案为：（答案不唯一，满足即可）2-3．（2024·福建三明·模拟预测）已知集合，.(1)若，求；(2)是的___________条件，若实数的值存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.（请在①充分不必要；②必要不充分；③充要；中任选一个，补充到空白处）注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.【答案】(1)或(2)条件选择见解析，答案见解析【分析】（1）求出集合、，利用补集和的交集的定义可求得结果；（2）求出集合，根据所选条件可得出集合、的包含关系，可得出关于实数的不等式组，解之即可得出结论.【详解】（1）解：由不等式，解得，可得当时，不等式，解得，即，可得或，所以或.（2）解：由不等式，解得，所以.若选择条件①，则集合是的真子集，得，解得.当时，，，合乎题意；若选择条件②，则集合是的真子集，得，解得.当时，，则，合乎题意；若选择条件③，则集合，得无解，所以不存在满足条件③的实数.（三）全称量词与存在量词1．量词与命题（1）存在量词命题：含有存在量词的命题．“∃x0∈M，有p（x0）成立”简记成“∃x0∈M，p（x0）”．（2）全称量词命题：含有全称量词的命题．“∀x∈M，有p（x）成立”简记成“∀x∈M，p（x）”．2．全称量词命题与存在量词命题（1）全称量词命题的否定是存在量词命题．（2）存在量词命题的否定是全称量词命题．3．含量词命题的解题策略．（1）判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；要判定存在量词命题是真命题，只要找到一个成立即可．当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假．（2）由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是可利用等价命题求参数的范围．题型3：全称量词与存在量词3-1（2024·四川成都·三模）命题“”的否定是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据题意，由全称命题的否定是特称命题即可得到结果.【详解】由题意可得，“”的否定是，故选：B3-2．（2024·贵州贵阳·模拟预测）已知命题，不是素数，则为（

）A．，是素数 B．，是素数C．，是素数 D．，是素数【答案】D【分析】由全称量词命题的否定可得出结论.【详解】命题为全称量词命题，该命题的否定为，是素数.故选：D.3-3．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）若命题“”为假命题，则实数x的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】等价于“”为真命题．令，解不等式即得解.【详解】解：命题“”为假命题，其否定为真命题，即“”为真命题．令，则，即，解得，所以实数x的取值范围为.故选：C3-4．（2024·江西九江·二模）已知命题：，，若p为假命题，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先由为假命题，得出为真命题，即，恒成立，由，即可求出实数a的取值范围．【详解】因为命题：，，所以：，，又因为为假命题，所以为真命题，即，恒成立，所以，即，解得，故选：D．3-5．（2024高三上·全国·阶段练习）已知命题“，”为假命题，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先得出题设假命题的否命题“，”，则等价于，，求最小值即可.【详解】因为命题“，”为假命题，则命题的否定“，”为真命题，所以，．易知函数在上单调递增，所以当时，取最小值，所以．所以实数a的取值范围为．故选：D．一、单选题1．（2024高三·安徽合肥·阶段练习）设非空集合，满足，则下列选项正确的是（

）A．，有 B．，有C．，使得 D．，使得【答案】B【分析】利用元素与集合的关系和集合间的包含关系对选项逐一判断即可．【详解】，，当⫋时，，使得，故A错误；，，必有，即，必有，故B正确；由B正确，得，必有，，使得错误，即C错误；当时，不存在，使得，故D错误，综上只有B是正确的．故选：B．2．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知，下列四个命题：①，，②，，③，，④，．其中是真命题的有（

）A．①③ B．②④ C．①② D．③④【答案】C【分析】作商并结合单调性判断①；作差并结合对数函数性质、对数换底公式判断②；利用指数函数单调性比较判断③；在给定条件下，借助“媒介”数比较判断作答.【详解】对于①，由得：，，，则，①正确；对于②，，，即，则，②正确；对于③，函数在上为减函数，而，则，即，，③错误；对于④，当时，，，即，④错误，所以所给命题中，真命题的是①②．故选：C3．（2024·贵州毕节·模拟预测）直线，直线，给出下列命题：①，使得；

②，使得；③，与都相交；

④，使得原点到的距离为.其中正确的是（

）A．①② B．②③ C．②④ D．①④【答案】C【分析】利用两直线平行可得出关于的等式与不等式，解之可判断①；利用两直线垂直可求得实数的值，可判断②；取可判断③；利用点到直线的距离公式可判断④.【详解】对于①，若，则，该方程组无解，①错；对于②，若，则，解得，②对；对于③，当时，直线的方程为，即，此时，、重合，③错；对于④，直线的方程为，若，使得原点到的距离为，则，整理可得，，方程有解，④对.故选：C.4．（2024·天津河东·一模）命题“有一个偶数是素数”的否定是（

）A．任意一个奇数是素数 B．任意一个偶数都不是素数C．存在一个奇数不是素数 D．存在一个偶数不是素数【答案】B【分析】根据存在量词命题，否定为，即可解得正确结果.【详解】由于存在量词命题，否定为.所以命题“有一个偶数是素数”的否定是“任意一个偶数都不是素数”.故选：B5．（2024高一上·湖南·阶段练习）若命题“”是假命题，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本题首先可根据题意得出命题“，”是真命题，然后分为、、三种情况进行讨论，结合二次函数性质即可得出结果.【详解】因为命题“，”是假命题，所以命题“，”是真命题，若，即或，当时，不等式为，恒成立，满足题意；当时，不等式为，不恒成立，不满足题意；当时，则需要满足，即，解得，综上所述，的范围是，故选：B.6．（2024高三·全国·专题练习）“为整数”是“为整数”的（

）条件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要【答案】A【分析】用充分条件、必要条件的定义判断.【详解】由为整数能推出为整数，故“为整数”是“为整数”的充分条件，由,为整数不能推出为整数，故“为整数”是“为整数”的不必要条件，综上所述，“为整数”是“为整数”的充分不必要条件，故选：A.7．（2024高三上·上海杨浦·期中）设，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解.【详解】因为可得：当时，，充分性成立；当时，，必要性不成立；所以当，是的充分不必要条件.故选：A.8．（2024·北京）设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】设等差数列的公差为，则，利用等差数列的通项公式结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.【详解】设等差数列的公差为，则，记为不超过的最大整数.若为单调递增数列，则，若，则当时，；若，则，由可得，取，则当时，，所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”；若存在正整数，当时，，取且，，假设，令可得，且，当时，，与题设矛盾，假设不成立，则，即数列是递增数列.所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”.所以，“是递增数列”是“存在正整数，当时，”的充分必要条件.故选：C.9．（2024·广西南宁·一模）有下列四个命题，其中是假命题的是（

）A．已知，其在复平面上对应的点落在第四象限B．“全等三角形的面积相等”的否命题C．在中，“”是“”的必要不充分条件D．命题“，”的否定是“，”【答案】B【分析】对于A项，利用复数的几何意义来判定；对于B项，利用原命题与否命题的关系判定；对于C项，利用充分必要条件的定义来判定；对于D项，利用全称命题的否定的定义来判定.【详解】对于A：，所以对应的点为，在第四象限，故A正确；对于B：“全等三角形的面积相等”的否命题是，不全等三角形的面积不相等，这显然是假命题．对于C：在中，，由，可得，所以“”是“”的必要不充分条件．故C正确；对于D：命题“，”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，所以命题“，”的否定是：“，”．故D正确；故选：B10．（2024·安徽黄山·三模）“”是“函数在区间上单调递增”的（

）A．充分不必要条件 B．充要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】结合对数复合函数的单调性及充分条件、必要条件的定义，即可得答案.【详解】令，，若在上单调递增，因为是上的增函数，则需使是上的增函数且，则且，解得.因为⫋，故是的必要不充分条件，故选：C.11．（2024·重庆·三模）将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，则“”是“函数为偶函数”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据题意求出函数的解析式，然后通过函数是偶函数求出的取值范围，最后与进行对比，即可得出“”与“为偶函数”之间的关系．【详解】因为函数的图像向右平移个单位长度后得到函数的图像，所以，因为为偶函数，所以，即，当时，可以推导出函数为偶函数，而函数为偶函数不能推导出，所以“”是“为偶函数”的充分不必要条件.故选：A12．（2024·新疆乌鲁木齐·三模）定义表示不超过的最大整数，.例如：，.①；②存在使得；③是成立的充分不必要条件；④方程的所有实根之和为，则上述命题为真命题的序号为（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①④【答案】D【分析】易于判定①正确，②错误，③错误，④不易判定，可以绕开，利用排除法得到只有答案正确.也可用分离函数法，借助于数形结合思想判定④正确.【详解】,故①正确；由可知，可知，所以，故②错误，故AC错误；,,，故③错误，故B错误；对于，显然不是方程的解，可化为，考察函数和的图象的交点，除了(-1,0)外，其余点关于点(0,1)对称，从而和为零，故总和为，故④正确.故D正确.故选：D【点睛】选择题中有些问题不易确定时，常常要尝试使用排除方法，本题就是一个典型的例子.13．（黑龙江省哈尔滨市第三中学校2023届高三三模数学试题）命题：“，”的否定是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】全称量词命题的否定是特称量词命题，把任意改为存在，把结论否定.【详解】“，”的否定是“，”.故选：C14．（2024·天津河北·二模）若，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据充分条件、必要条件的定义即可得解.【详解】若，令，满足，但；若，则一定成立，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B15．（2024·上海浦东新·三模）设等比数列的前项和为，设甲：，乙：是严格增数列，则甲是乙的（

）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件【答案】D【分析】举出反例得到充分性和必要性均不成立.【详解】不妨设，则，满足，但是严格减数列，充分性不成立，当时，是严格增数列，但，必要性不成立，故甲是乙的既非充分又非必要条件.故选：D16．（2024·北京）若，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】解法一：由化简得到即可判断；解法二：证明充分性可由得到，代入化简即可，证明必要性可由去分母，再用完全平方公式即可；解法三：证明充分性可由通分后用配凑法得到完全平方公式，再把代入即可，证明必要性可由通分后用配凑法得到完全平方公式，再把代入，解方程即可.【详解】解法一：因为，且，所以，即，即，所以.所以“”是“”的充要条件.解法二：充分性：因为，且，所以，所以，所以充分性成立；必要性：因为，且，所以，即，即，所以.所以必要性成立.所以“”是“”的充要条件.解法三：充分性：因为，且，所以，所以充分性成立；必要性：因为，且，所以，所以，所以，所以，所以必要性成立.所以“”是“”的充要条件.故选：C17．（2024·天津）已知，“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】B【分析】根据充分、必要性定义判断条件的推出关系，即可得答案.【详解】由，则，当时不成立，充分性不成立；由，则，即，显然成立，必要性成立；所以是的必要不充分条件.故选：B18．（2024高三·全国·专题练习）设，是两个平面，直线与垂直的一个充分条件是（

）A．且 B．且 C．且 D．且【答案】D【分析】结合空间线面以及面面的位置关系，判断各选项中条件能否推出直线与垂直，即可判断出答案.【详解】A，当且时，则或或，不能得出一定是，A错误，B，当且时，则或，不能得出，B错误，C，当且时，则或或或与相交不垂直，不能得出一定是，C错误，D，当且时，则，故“且”是直线与垂直的一个充分条件，D正确，故选：D．19．（2024高一上·山东烟台·期中）设，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可.【详解】求解二次不等式可得：或，据此可知：是的充分不必要条件.故选：A.【点睛】本题主要考查二次不等式的解法，充分性和必要性的判定，属于基础题.20．（2024·浙江）已知空间中不过同一点的三条直线m，n，l，则“m，n，l在同一平面”是“m，n，l两两相交”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】将两个条件相互推导，根据能否推导的结果判断充分必要条件.【详解】依题意是空间不过同一点的三条直线，当在同一平面时，可能，故不能得出两两相交.当两两相交时，设，根据公理可知确定一个平面，而，根据公理可知，直线即，所以在同一平面.综上所述，“在同一平面”是“两两相交”的必要不充分条件.故选：B【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查公理和公理的运用，属于中档题.21．（2024·广东揭阳·二模）下列结论正确的是（

）①“”是“对任意的正数x，均有”的充分非必要条件．②随机变量服从正态分布，则③线性回归直线至少经过样本点中的一个．④若10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有A．③④ B．①② C．①③④ D．①④【答案】D【分析】对①：当时，利用均值不等式可得成立；反之，对任意的正数x，均有成立，不一定成立；根据充分必要条件的定义即可判断正确；对②：由正态分布的定义知②不正确；对③：线性回归直线不一定经过样本点中的一个知③不正确；对④：由平均数，中位数，众数定义，计算可判断正确.【详解】解：①当时，由基本不等式得；但对任意的正数x，均有时，不一定成立，所以“”是“对任意的正数x，均有”的充分非必要条件，故①正确；②因为，所以②不正确；③线性回归直线不一定经过样本点中的一个，所以③不正确；④因为平均数为，中位数为15，众数为17，所以，故④正确．所以正确的为①④．故选:D．22．（2024·江苏南通·三模）1943年深秋的一个夜晚，年仅19岁的曹火星在晋察冀边区创作了歌曲《没有共产党就没有中国》，毛主席得知后感觉歌名的逻辑上有点问题，遂提出修改意见，将歌名改成《没有共产党就没有新中国》，今年恰好是建党100周年，请问“没有共产党”是“没有新中国”的（

）条件．A．充分 B．必要 C．充分必要 D．既非充分又非必要【答案】A【分析】直接利用充分条件的定义进行判断即可.【详解】记条件p:“没有共产党”，条件q：“没有新中国”，由歌词知，p可推出q，故“没有共产党”是“没有新中国”的充分条件.故选：A.23．（高考广西桂林、崇左市2022届高三5月联合模拟考试数学（文）试题）设为两个不同的平面，则的一个充分条件可以是（

）A．内有无数条直线与平行 B．垂直于同一条直线C．平行于同一条直线 D．垂直于同一个平面【答案】B【分析】利用线面，面面平行垂直的判定或性质对各个选项进行分析即可得到答案.【详解】对于A，内有无数条直线与平行不能得出两个平面可以相交，故A错；对于B，垂直于同一条直线可以得出，反之当时，若垂直于某条直线，则也垂直于该条直线，正确；对于C，平行于同一条直线，则两个平面可以平行也可以相交，故错误；对于D，垂直于同一平面的两个平面可以平行也可以相交，故错误；故选：B．24．（2024·浙江嘉兴·二模）若，，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用基本不等式结合充分条件和必要条件的定义即可得出答案.【详解】解：当时，，当且仅当，即时，取等号，所以，当时，，此时，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.25．（2024·广东湛江·二模）已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，且，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据充分必要条件的定义判断．【详解】，，只有一条垂直直线，不能得出，不充分，当时，由于，则有，是必要的，因此是必要不充分条件．故选：B．26．（天津市第四中学2022届高三下学期线上检测数学试题）设，则“”是“”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】先求出两个不等式的解集，然后根据充分条件和必要条件的定义判断即可【详解】由，得，解得，由，得，得，因为当时，一定成立，而当时，不一定成立，所以“”是“”的充分不必要条件，故选：A27．（2024·北京通州·一模）若a，，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用重要不等式即可由“”推出“”；“”成立时，“”不一定成立，举反例证明.【详解】，当且仅当时，取等号，当，时，，但，故“”是“”的充分不必要条件故选：A28．（2024·山东枣庄·一模）命题“，”的否定为（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】直接根据全称命题的否定求解即可.【详解】命题“，”的否定为“，”.故选：D.29．（2024·江西九江·二模）已知命题p：，，则为（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】由否定定义求解即可.【详解】由否定的定义可知，为，.故选：D30．（2024高三下·湖南衡阳·开学考试）下列有关命题的说法正确的是(

)A．若，则B．“”的一个必要不充分条件是“”C．若命题：，，则命题：，D．、是两个平面，、是两条直线，如果，，，那么【答案】C【分析】A：根据向量加法的性质即可判断；B：根据充分条件的概念即可判断；C：根据含有一个量词的命题的否定的改写方法判断即可；D：根据空间线面关系即可判断.【详解】A：若，则方向相反且，故A错误；B：若，则，故“”是“”的充分条件，故B错误；C：命题：，，则其否定为：，，故C正确；D：如果，，，则无法判断α、β的位置关系，故D错误.故选：C.31．（重庆市2022届高三上学期1月调研数学试题）命题的否定为“，使得”，则命题为（

）A．B．，使得C．D．，使得【答案】C【分析】把所给的命题否定可得命题【详解】因为命题的否定为“，使得”，所以命题为“”，故选：C32．（2024·全国）等比数列的公比为q，前n项和为，设甲：，乙：是递增数列，则（

）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】B【分析】当时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当是递增数列时，必有成立即可说明成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案．【详解】由题，当数列为时，满足，但是不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．若是递增数列，则必有成立，若不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则成立，所以甲是乙的必要条件．故选：B．【点睛】在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过程．33．（2024·山东）已知，若集合，，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可求解.【详解】当时，集合，，可得，满足充分性，若，则或，不满足必要性，所以“”是“”的充分不必要条件，故选：A.34．（2024·北京）已知，则“存在使得”是“”的（

）．A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据充分条件，必要条件的定义，以及诱导公式分类讨论即可判断.【详解】(1)当存在使得时，若为偶数，则；若为奇数，则；(2)当时，或，，即或，亦即存在使得．所以，“存在使得”是“”的充要条件.故选：C.【点睛】本题主要考查充分条件，必要条件的定义的应用，诱导公式的应用，涉及分类讨论思想的应用，属于基础题.35．（甘肃省甘南藏族自治州合作第一中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学（文）试题）“x=1”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】将代入可判断充分性,求解方程可判断必要性,即可得到结果.【详解】将代入中可得,即“”是“”的充分条件；由可得,即或,所以“”不是“”的必要条件,故选:A【点睛】本题考查充分条件和必要条件的判定,属于基础题.36．（2024高三上·四川绵阳·阶段练习）“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】结合函数定义域和单调性得到不等式组，求出所满足的的取值范围，进而判断出结果.【详解】因为定义域为，且为增函数，又，所以，解得：，因为，而，故“”是“”的充分不必要条件.故选：A37．（2024·全国·模拟预测）“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】直接利用充分条件和必要条件得定义判断即可【详解】由已知条件得，则“”“”，“”“”，即“”是“”的必要不充分条件，故选：.38．（2024·山东临沂·一模）已知圆C：，点，，则“”是“直线AB与圆C有公共点”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】A【分析】先求出圆心C到直线AB的距离为，利用定义法判断.【详解】圆C：的圆心为,半径R.由点，求出直线AB的方程为：.所以圆心C到直线AB的距离为.充分性：时，有，所以直线直线AB与圆C相交，有公共点，故充分性满足；必要性：“直线AB与圆C有公共点”，则有，即“”，故必要性不满足.所以“”是“直线AB与圆C有公共点”的充分不必要条件.故选：A.39．（山东省淄博市2023-2024学年高三模拟考试（一模）数学试题）若向量，，则“”是“向量，夹角为钝角”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】由向量，夹角为钝角可得且，不共线，然后解出的范围，然后可得答案.【详解】若向量，夹角为钝角，则且，不共线所以，解得且所以“”是“向量，夹角为钝角”的必要不充分条件故选：B40．（2024·河北·模拟预测）“”是“圆上有四个不同的点到直线的距离等于1”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据直线和圆的位置关系求出，然后利用充分条件和必要条件的定义进行判断.【详解】∵圆的半径，若圆C上恰有4个不同的点到直线l的距离等于1，则必须满足圆心到直线的距离，解得.又，∴“”是“圆上有四个不同的点到直线的距离等于1”的充分不必要条件.故选：A.41．（2024·山东·模拟预测）“”是“过点有两条直线与圆相切”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】先由已知得点在圆外，求出的范围，再根据充分条件和必要条件的定义分析判断【详解】由已知得点在圆外，所以，解得，所以“”是“过点有两条直线与圆相切”的必要不充分条件，故选：B42．（2024·北京西城·模拟预测）设p：，q：，则p是q成立的（

）A．充分必要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】解不等式化简命题q，再利用充分条件、必要条件的定义直接判断作答.【详解】解不等式得：，即，显然，所以p是q成立的必要不充分条件.故选：C43．（2024·山东潍坊·一模）已知，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】对的取值进行分类讨论，结合指数函数的单调性解不等式，利用集合的包含关系判断可得出结论.【详解】若，由可得，此时；若，则，不合乎题意；若，由可得，此时.因此，满足的的取值范围是或，因为或，因此，“”是“”的必要不充分条件.故选：B.44．（2024·全国·模拟预测）已知向量，，则“”是“与的夹角为钝角”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】先求出与的夹角为钝角时k的范围，即可判断.【详解】当与的夹角为钝角时，，且与不共线，即所以且.故“”是“与的夹角为钝角”的必要不充分条件.故选B.45．（2024·全国·模拟预测）已知，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由及对数函数的单调性可得；将变形化同构，进而构造函数，利用导数讨论函数的单调性可得，即可得解．【详解】由，得．由，得．记函数，则，所以函数在R上单调递增，又，则，所以．因此“”是“”的充分不必要条件．故选：A．46．（2024·黑龙江·一模）已知a，，则“”的一个必要条件是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用否定ACD选项，进而得答案.【详解】解：对于A选项，当时，，此时，故不是的必要条件，故错误；对于B选项，当时，成立，反之，不成立，故是的必要条件，故正确；对于C选项，当时，，但此时，故不是的必要条件，故错误；对于D选项，当时，，但此时，故故不是的必要条件，故错误.故选：B二、多选题47．（2024·全国·模拟预测）设m，n是空间中两条不同直线，，是空间中两个不同平面，则下列选项中错误的是（

）A．当时，“”是“”的充要条件．B．当时，“”是“”的充要条件．C．当时，“”是“”的充分不必要条件．D．当时，“”是“”的必要不充分条件．【答案】AD【分析】根据线面之间的位置关系结合充分条件和必要条件逐一判断即可.【详解】对于A，当时，若，则或或m，相交,若，则或或m，相交，故不是的充分条件，也不是必要条件，故A错误；对于B，根据面面平行的性质B正确；对于C，当时，若，由面面垂直的判定定理得，若，则或或m，相交，故C正确；对于D，当时，若，则m，n平行或异面，若，则或，所以不是的充分条件也不是必要条件，故D错误．故选：AD．48．（2024·全国·模拟预测）下列四个条件中，是的一个充分不必要条件的是（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】利用特殊值法可判断AD选项；利用不等式的基本性质结合充分条件、必要条件的定义可判断BC选项.【详解】对于A选项，取，，则，但，A不满足条件；对于B选项，由可知，，由不等式的性质可得，所以，，因为，但，所以，是的一个充分不必要条件，B满足条件；对于C选项，若，则，由不等式的性质可得，另一方面，若，取，则，所以，，，所以，是的一个充分不必要条件，C满足条件；对于D选项，取，，则，则，但，D不满足条件.故选：BC.49．（2024·湖南·一模）下列选项中，与“”互为充要条件的是（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】先求出的范围，再逐项求出对应的范围，从而可得正确的选项.【详解】的解为，对于A，因为为的真子集，故A不符合；对于B，因为等价于，其范围也是，故B符合；对于C，即为，其解为，故C符合；对于D，即，其解为，为的真子集，故D不符合，故选：BC.50．（2024·湖南邵阳·一模）给出下列命题，其中正确的命题有（

）A．“”是“”的必要不充分条件B．已知命题：“，”，则：“，”C．若随机变量，则D．已知随机变量，且，则【答案】BCD【分析】选项A：利用充分条件和必要条件的概念，并结合同角或终边相同的角的三角函数值相同即刻判断；选项B：利用特称命题的否定的概念即可判断；选项C：利用二项分布的期望公式即可求解；选项D：利用正态曲线的对称性即可求解.【详解】选项A：若，则；若，则，，从而“”是“”的充分不必要条件，故A错误；选项B：由特称命题的否定的概念可知，B正确；选项C：因为，所以，故C正确；选项D：结合已知条件可知，正态曲线关于对称，又因为，从而，解得，故D正确.故选：BCD51．（2024高三上·湖北·阶段练习）关于充分必要条件，下列判断正确的有（

）A．“”是“”的充分不必要条件B．“”是“，，成等比数列”的充分不必要条件C．“的图象经过点”是“是幂函数”的必要不充分条件D．“直线与平行”是“直线与的倾斜角相等”的充要条件【答案】BC【分析】按照必要不充分条件的定义容易判断A；求出的等价结论，即可判断B；根据幂函数的定义可以判断C；考虑直线是否重合可以判断D.【详解】因为“”是“”的必要不充分条件，所以A错误；因为（，，均大于0），所以“”是“，，成等比数列”的充分不必要条件，所以B正确；幂函数的图象都经过点，反之不成立，比如：，所以C正确；若直线与平行，则直线与的倾斜角相等；若直线与的倾斜角相等，则直线与平行或重合，所以D错误.故选：BC.52．（2024·辽宁沈阳·二模）下列四个选项中，是的充分必要条件的是（

）．A．， B．，C．， D．，【答案】ABC【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断.【详解】A．由，，可得，，反之也成立，∴是的充分必要条件；B．由，，可得，；反之也成立，∴是的充分必要条件；C．由，，可得，；反之也成立，∴是的充分必要条件；D．由，，可得，；反之不成立，例如取，．∴是的必要不充分条件．故选：ABC．53．（2024·重庆九龙坡·二模）下列说法正确的是（

）A．是的充分不必要条件B．幂函数在区间上单调递减C．抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合D．函数的最大值为2【答案】ABD【分析】由相等向量的定义和充分条件、必要条件的判定方法，可判定A正确；根据幂函数的定义和性质，可判定B正确；根据抛物线和椭圆的性质，可判定C不正确；根据三角函数的性质，可判定D正确.【详解】对于A中，由，可得成立，反之：若，但向量与的方向不一定相同，所以向量与不一定相等，所以是的充分不必要条件，所以A正确；对于B中，由幂函数，可得，即，所以函数在区间上单调递减，所以B正确；对于C中，抛物线的焦点坐标为，椭圆的右焦点的坐标为，可得抛物线的焦点与椭圆的右焦点不重合，所以C不正确；对于D中，由三角函数的性质，可得，当时，可得，所以当时，函数取得最大值2，所以D正确.故选：ABD.54．（2024·山东·模拟预测）下列说法正确的是（

）A．若，则B．“”是“直线与直线垂直”的充分条件C．已知回归直线方程，且，，则D．函数的图象向左平移个单位，所得函数图象关于原点对称【答案】AB【分析】选项A.由指数对数互化可得，由均值不等式可判断;选项B.根据两直线垂直得出的值，再根据充分、必要条件的判断方法可判断；选项C.根据回归直线一定过样本中心点可判断；选项D.先由函数图像平移得出平移后的解析式，再判断其奇偶性可判断.【详解】A.由，得，，，，，，所以(由于所以等号不成立)，故A正确.B.由两直线垂直，可得，解得或；所以“”是“直线与直线垂直”的充分条件，故B正确.C.回归直线一定过样本中心点，，；故C不正确.D.将的图象向左平移个单位，可得，函数，由，所以，所以不是奇函数，其图像不关于原点对称，所以D不正确.故选：AB.55．（2024·湖南常德·一模）下列说法正确的是（

）A．命题的否定B．二项式的展开式的各项的系数和为32C．已知直线平面，则“”是”的必要不充分条件D．函数的图象关于直线对称【答案】AD【分析】根据特称命题的否定求解方法可判断A；令代入二项式即可求得各项的系数和，可判断B；由于直线与的关系不确定故能判断C；判断是否等于，就能判断D是否正确．【详解】解：对于A：命题的否定，故A正确；对于B：二项式的展开式的各项的系数和为，故B错误；对于C：已知直线平面，由于直线与的关系不确定，故“”是”的既不必要不充分条件，故C错误；对于D：由于关于的对称点为，故，满足，故函数的图象关于直线对称，故D正确.故选：AD．56．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）下列说法不正确的是（）A．等比数列，，则B．抛物线的焦点C．命题“”的否定是：“”D．两个事件，“与互斥”是“与相互对立”的充分不必要条件.【答案】ABCD【分析】根据等比中项的性质判断选项A；根据抛物线的性质判断选项B；根据全称命题和特称命题的关系判断选项C；根据互斥事件、对立事件的关系判断选项D；【详解】A.等比数列，，所以，则，又，所以，故A错误；B.抛物线化成标准式得：，所以其焦点，故B错误；C.命题“”的否定是：“”,故C错误；D.两个事件，若与互斥，则与不一定相互对立，但若与相互对立，则与一定互斥，故“与互斥”是“与相互对立”的必要不充分条件，故D错误.故选：ABCD;【点睛】本题中有一些易错知识点，比如抛物线的焦点在哪个坐标轴上，需要把抛物线化成标准形式再进行判断，再比如事件相互互斥和相互对立间的关系等等，在平时备考中要清楚这些易错点，谨防出错.57．（2024·山东淄博·三模）下列说法正确的是（

）A．某高中为了解在校学生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取一个容量为60的样本，已知该校高一、高二，高三年级学生之比为，则应从高二年级中抽取20名学生B．线性回归方程对应的直线至少经过其样本数据点中的一个点C．命题“，”的否定是“，"D．方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小，方差越大，数据的离散程度越大，方差越小，数据的离散程度越小【答案】ACD【分析】根据分层抽样计算公式即可判断A；根据线性回归方程定义即可判断B；根据全称命题的否定原理即可判断C；根据方差定义即可判断D．【详解】对于A，高二年级中抽取为，正确；对于B，线性回归方程对应的直线不一定经过其样本数据点中的点，故错误；对于C，否定是“，"正确；对于D，方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小，方差越大，数据的离散程度越大，方差越小，数据的离散程度越小，正确．故选：ACD58．（2024·湖南岳阳·一模）下列叙述正确的是（

）A．命题“，”的否定是“，”B．“”是“”的充要条件C．的展开式中的系数为D．在空间中，已知直线满足，，则【答案】AC【分析】对于A运用全称命题否定形式的相关知识判断；对于B根据对数函数相关知识判断；对于C根据二项式展开式相关知识即可判断；对于D直观想象即可得出直线和的位置关系.【详解】对于A，命题“，”为全称命题，其否定是“，”，故A正确.对于B，充分性：当时，显然不成立，故充分性不满足；必要性：当时，，显然此时成立，故必要性满足.所以“”是“”的必要不充分条件，故B错误.对于C，的展开式中的系数为，故C正确.对于D，若在空间中直线满足，，则和相交或异面或平行，故D错误.故选：AC59．（2024·海南·模拟预测）已知函数，设，则成立的一个充分条件是（

）A． B．C． D．【答案】CD【分析】根据函数的单调性和奇偶性可知函数为偶函数，且在上单调递增，所以在上单调递减，结合可得，然后根据充分条件、必要条件的判定逐项分析即可判断.【详解】函数的定义域为R，则函数，所以函数是偶函数，当时，，，所以在上单调递增，所以在上单调递减.若，则，即.A：若，满足，但，故A错误；B：若，满足，但，故B错误；C：由可得，即，故C正确；D：由，故D正确.故选：CD60．（2024·重庆渝中·一模）下列命题中，正确的有（）A．线性回归直线必过样本点的中心B．若平面平面，平面平面，则平面平面C．“若，则”的否命题为真命题D．若为锐角三角形，则【答案】AD【分析】直接利用回归直线方程和中心点的关系，面面垂直的性质定理，命题真假的判定，三角形形状的判定的应用判定A、B、C、D的结论．【详解】解：线性回归直线必过样本点的中心，所以A正确；若平面⊥平面，平面⊥平面，则平面与平面也可能相交，所以B不正确；“若，则”的否命题为：若，则，显然不正确，如，，所以C不正确；