平面向量知识点总结

#必修四平面向量一、向量的相关概念：1.向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量注意：1。数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.2、向量的表示方法：几何表示法：①用有向线段表示；②用字母3、b等表示；③用有向线段的起点与终点字母：AB；坐标表示法：a=xi+yj=（x,y）.3、向量的模：向量AB的大小一一长度称为向量的模，记作|AB|.4、特殊的向量：①长度为0的向量叫零向量，记作0.0的方向是任意的,②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向.5、相反向量：与a长度相同、方向相反的向量.记作-a6、相等的向量：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.向量a与b相等，记作a=a；7、平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作a//a.平行向量也称为共线向量.规定零向量与任意向量平行。8、两个非零向量夹角的概念：已知非零向量a与a，作OA=a,ob=a，则/AOB=。（0<6"兀）叫a与a的夹角.兀说明：（1）当6=0时，a与b同向；（2）当0=兀时，a与a反向；（3）当6=方时，a与b垂直，记a±a；规定零向量和任意向量都垂直。（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的*范围0OW6W180。9、实数与向量的积：实数人与向量a的积是一个向量，记作九方，它的长度与方向规定如下：(II)当九,0时，九日的方向与日的方向相同；当九＜0时，九日的方向与日的方向相反；当x=0时，入方=0，方向是任意的10、两个向量的数量积：已知两个非零向量o与°，它们的夹角为e，则0-0=|01-।01cos0叫做0与0的数量积(或内积)规定°-°=0二、重要定理、公式：1、平面向量基本定理：0,久是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"2一向量，有且仅有一对实数\,七,使0八0+入e1 2 11 22.平面向量的坐标表示如图，在直角坐标系内，我们分别取与了轴、j轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底•任作一个向量a,由平面向量基本定理知，有且只有一对实数了、j，使得—> ―»a=xi+jj我们把(x,j)叫做向量a的(直角)坐标，记作其中X叫做a在X轴上的坐标，j叫做a在j轴上的坐标，②式叫做向量的坐标表示.与a相等的向量的坐标也为(X,j)•・ ・・・・・・・・・・特别地，i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).(2)若A(x,j),B(x,j)，则AB=(x—x,j—j)1 1 2 2 2 1 2 1一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.2、两个向量平行的充要条件向量共线定理：向量方与非零向量日共线的充要条件是：有且只有一个非零实数入，使3=九乙TOC\o"1-5"\h\z设a=(X,y),3=(X,y)，则日//芯02=入区o%y—%y=01 1 2 2 12 213、两个向量垂直的充要条件设a=(x,y),a=(x,y)，贝Ua，a0a刃=0oxx+yy=01’1 2’2 12 124、平面内两点间的距离公式(1)设a=(x,y)，则Ia|2=x2+y2或|a1=t％2+y2.也称a的模。-a(2)如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为A(x,y)、B(x,y)，那么1 1 2 2IABI=&-x1+(y-、］(平面内两点间的距离公式)1 2 1 25、两向量夹角的余弦(o<o<k) cos0=a•)=Xj2+\y2IaI•IaI\X2+y2+、：X2+y21 1 2 2三、向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量(内积)及其各运算的坐标表示和性质a=(x,y),b=(x,y)11 22运算类型几何方法坐标方法运算性质向量的加法.平行四边形法则.三角形法则(首尾相接，首尾连)a+a=(x+x,y+y)1212a+b=bb+a(a+a)+c=a+(a+c)Ab+bc=ac向量的减法三角形法则(首首相接，尾尾相连，指向被减)a-1--(x-x,y-y)1212a-b=a+(-b)AB--BA而-CA-Ab

向量的乘法实数人与向量£的积是一个向量，记作：九a(1)入a=闪日(2)九,0时，九a与a同向；当x<0时，九a与a异向；一6 -一r、aa 、…，.k~a=(Xx,ky)九(日3)=(k^)b6+日)b='b+日b入(b+b)=Xb+入力b//b0b=xb当人=0里,八a=0。任意方向.a-E=IaI-1bIcos0,b-b=b-b(九b)-b=b-(九b)=X(b-b)向量的(0<0<k),1.a=0或b=0时，a-b=xx+yy12 12向量的数量积的几何意义：数量积a-a等于a的(b+b)-b=b-b+b-b一一2一; IaI2=a或Ia1=、:x2+y2数量积a7=02.a手0且b中0时，长度与b在a方向上投影1bI-cos0的乘积.ib-bi<b11b1b±b0b-b=0ai^=iaIIaIcos<a,b>△ b-bCOS0一ibi-1bi特别注意：(1)结合律不成立:a-(万/)中(a.万)-c；(2)消去律不成立a.C=a-c不能得到a=c(3)a%=0不能得到a=0或b=0乘法公式成立：TOC\o"1-5"\h\z2 2-(a+b)(a一b)=a一b=1a|2一|bI2-2 2-(a±b)2=a±2a-b+b=IaI2±2a-b+1bI2线段的定比分点公式：设点P分有向线段PP所成的比为入，即PP=入PP,则12 1 2

x+入X11,九2,1+. （线段定比分点的坐标公式）y+-y—.1人1当入=1时，得中点公式：0P=—(op+op)或＜X+XX= 22y+yy=—i 22正弦定理其中R表示三角形的外接圆半径）:(1)sinAsinBsinCa=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinCab.sinA=——,sinAB=——,sin2R 2R余弦定理C二亲(1)b2=a2+c2-2accosB(2)(3)b2+c2—a2cosA= 2bc面积公式S=a,h