平面向量复习课件

精选精选平面向量复习基本知识点及经典结论总结1、向量有关概念：(1)向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？(向量可以平移)。(2)零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的；uuur uuur(3)单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB共线的单位向量是±番)；|AB|(4)相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；(5)平行向量(也叫共线向量)：方向相同或相反的非零向量〃、b叫做平行向量，记作：a〃b，规定零向量和任何向量平行。提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概数两个向量平行包含两个向量共线r但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！(因为有0)；④三点A、B、C共线=AB、AC共线；—fc- -b-(6)相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a的相反向量是一a。2、向量的表示方法：(1)几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB,注意起点在前，终点在后;-b —ft —fc-(2)符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a,b,c等；(3)坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与％轴、J轴方向相同的两个单位向量i,j为基底，则平面内的任一向量a可表示为rrra=xi+yj=(X,y),称(x,y)为向量a的坐标，a=(x,y)叫做向量a的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。3.平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量访有且只有一对实数入、入，使a=九q+九e,。TOC\o"1-5"\h\z1 2 11 22b i4、实数与向量的积：实数九与向量a的积是一个向量，记作九a,它的长度和方向规定如下：(1\ rr\1)入a=|X|a卜(2)当九>0时，入a的万向与a的万向相同，当九<0时，入a的万向与a的万向相反，当九rr ,=0时，入a=0,注意：入aW0。5、平面向量的数量积：5、平面向量的数量积：. .uuuruurr(1)两个向量的夹角：对于非零向量a,b，作0A=a,OB=b,ZAOB=0兀-a,b反向，当0=二时，a,2(0«0«兀)称为向量a,b的夹角，当0兀-a,b反向，当0=二时，a,2b垂直。rr .(2)平面向量的数量积：如果两个非零向量a,b,它们的夹角为0,我们把数量IaIIbIcos0叫做ar rr rr rr与b的数量积(或内积或点积)，记作：a•b,即a•b=abcos0。规定：零向量与任一向量的数量积是0,注意数量积是一个实数，不再是一个向量。一_ rb在a上的投影为IbIcos0,它是一个实数，但不一定大于0。r.a•b的几何意义：数量积a•b等于a的模IaI与b在a上的投影的积。向量数量积的性质：设两个非零向量a,b,其夹角为0，则:①a±boa•b=0；②当a,b②当a,b同向时，frrra•b=ab,特别地，ra2—* T —fe- T当a与b反向时，a•b=r. rr当r. rr当0为锐角时，a•b>0,且a、b不同向，- -.rr时，a•b<0,且a、b不反向，rra•b>0是0为锐角的必要非充分条件；当0为钝角rra•b<0是0为钝角的必要非充分条件;

rra•brr.rr.③非零向量a,b夹角0的计算公式：cos6=-rr-；@Ia•bl<laIIbl。aibi6、向量的运算：(1)几何运算：①向量加法：利用“平行四边形法则”进行温s；平行四边形法则”只适用于不共线的向量，如此之外，向量加法还可利用“三角形法则”：设AB=a,BC=b,那么向量AC叫做a与b的和，即rruuntuutrumra+b=AB+BC=AC.uuuruurrrruuauuruur②向量的减法：用“三角形法则”：设AB=a,AC=b，那么a—b=AB—AC=CA，由减向量的终点指向被减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。(2)坐标运算：设a=(x,y),b=(x,y)，则:riri22①向量的加减法运算：a土b=(5土x2,yi±y)。②实数与向量的积：入a=1(x,y)=(1x,九y)。uUu1 1 1③若A(x,y),B(x,y)，则AB=(x—x,y—y),即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段1 1 2 2 2 1 2 1的终点坐标减去起点坐标；丫④平面向量数量积：a•b=xx+yy。r 1r2r~2⑤向量的模：Ial=«x2+y2,a2=laI2=x2+y2。⑥两点间的距离：若A(x⑥两点间的距离：若A(x,y),B(x,y)，则IABl二丘 -11 2r2rrr (2r)1 r7、向量的运算律：(1)交换律：a+b=b+a,1*a7=(X^)a，一y产2r1r,a•brrr(rr)rrrrr(rr) (r)r(rr)r(r)a+b+c=a++b/+c,a一b一c=a一%+c), 1ay•b=1Q•b)=a•1bb)；rrr(rr)rr(rr)rrrrr+pja=1a+日a,1a+b==1a+1b,a+b••c=a•c+b•crr=b•a；(2)结合律:(3)分配律：如下列命题中：①rraa•b⑦ka2r

b

=r;aa•(力-~c)=a.力一日•c；②a•(力•c)=(a.力)•c；③rraa•b⑦ka2r

b

=r;a- 一4 3a一一 rrrrrrrr-21aI•I bI+IbI2；④若a•b =0,则|a =0或b=0 ；⑤若a•b=c•b,则a=c ；⑥[a2=a2rrrrrrrrrr⑧(a•b)2=a2•b2；⑨(a一b)2=a2-2a•b+b2。其中正确的是(答：①⑥⑨)提醒：(1)向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；(2)向量的“乘法”不满足结合律，即a(b•c)牛(a•b)c,为什么？rrrrrrrr8、向量平行(共线)的充要条件：a//b。a=1b。(a•b)2=(IaIIbl)2。xy—yx=0。TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"rr rrrrrr 12 129、向量垂直的充要条件：a±boa•b=0oIa+bl=la一bI。xx+yy=0.特别地uua uur uua uur 1212/aBB AC x /aBB ACxIinmr-k7〃〃p 1 1 inmr—7〃〃p1^U/Ur' ^U/u/I' ^U/Ur' ^U/U/I'.)。AB AC AB AC10.线段的定比分点：(1)定比分点的概念：设点P是直线PP上异于P、P的任意一点，若存在一个实数1，使uuruuur 皿12 1 2uuur 〜PP=1PP,则1叫做点P分有向线段PP所成的比，P点叫做有向线段PP的以定比为1的定比分点；1 2 12 12(2)1的符号与分点P的位置之间的关系：当P点在线段PP上时O1>0；当P点在线段PP的12 uuu；12延长线上时o1<—1；当P点在线段pP的延长线上时0-1<1<0；若点P分有向线段PP所成的2 1 12

uuur 1比为九，则点uuur 1比为九，则点P分有向线段P2P所成的比为其。

mum(3)线段的定比分点公式：设P(x,y)、P(x,y),P(羽y)分有向线段PP所成的比为九,则x+入xX= —^21+九y+入y，y=——1+九特别地当九=1时，就得到线段p1p2的中点公式112X+XX=-A 22y+y。在使用定比分点的坐y= 22标公式时，应明确(X,y)，(x,y)、(X,y)的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标。在具体计算时应11 22根据题设条件，灵活地确定起点，分点和终点，并根据这些点确定对应的定比九。r11.平移公式：如果点P(x,y)按向量a=(h,k)平移至P(x:y')，则[x=x+h；曲线f(x,y)=0按向r [y'=y+k量a=(h,k)平移得曲线f(x—h,y—k)=0.注意：(1)函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系？(2)向量平移具有坐标不变性，可别忘了啊!12、向量中一些常用的结论：⑴一个封闭图形首尾连接而呼的向量和为零向rsr要注意运用；rrrr(2)IIaI-Ib11<1a土b1<1aI+IbI，特别地，当a、b同向或有0OIa+b1=1aI+IbIrrrrrr rrrrrrrrrrr>IIaI-1bII=Ia-bI；当a、b反向或有0OIa-bI=IaI+1bI>IIaI-1bII=Ia+bI；当a、b不共线rrrrrrOIIaI-IbII<Ia±bI<IaI+IbI(这些和实数比较类似).(3)在AABC中，①若A(x,y),B(x,y),C(x,y)，则其重心的坐标为1 1 2 2 3 3(x+x+xv+v+v、umr4uuuuuruumG-^—2一3,y1*y3 。②PG=3(PA+PB+PC)OG为AABC的重心，特别地I3 3 ) 3uuruuruurrPA+PB+PC=0OP为AABC的重心；uuuuuruurmummumuur，③PA-PB=PB-PC=PC-PAOP为AABC的垂心；uurumr④向量九(JAL+JUC-)(九丰0)所在直线过AABC的内心(是/BAC的角平分线所在直线)；IABIIACIuumumrumuuuruuruuur⑤IABIPC+IBCIPA+ICAIPB=0oPAABC的内心；mum uuumuuum(3)若P分有向线段PP所成的比为九，点M为平面内的任一点，则M=邛+'叫，特别地P为TOC\o"1-5"\h\z12 1+九uumruuummurmp+mpPP的中点oMP=一1 2；12 2uuruuuumr 1mmmm 1m(4)向量PA、PB、PC中三终点A、B、C共线o存在实数a、P使得PA=aPB+PPC且平面向量部分常见的题型练习类型(一)：向量的夹角问题 1T T 一 一十 fT.平面向量a,b，满足口=1,b|=4且满足a.b=2，则a与b的夹角为—F—F- —i.—a..已知非零向量a,b满足a=b，bKb-2a)，则a与b的夹角为—*■f .T.■ I-I !"■I f—■.已知平面向量a,b满足(a-b).(2a+b)=-4且a|=2，b|=4且，则a与b的夹角为类型(二)：向量共线问题TOC\o"1-5"\h\z--^+- ——fc1,已知平面向量a=(2,3x)，平面向量b=(—2,—18),若a〃b，则实数x.设向量a=(2,1),b=(2,3)若向量九0+b与向量c=(一4，一7)共线，则九二.已知向量a=(1,1),b=(2,x)若a+b与4b—2a平行，则实数x的值是( )A．-2B．0 C．1 D．24已知向量OA=(k,12),OB=(4,5),OC=(—k,10),且A,B,C三点共线，则Uk= .已知A(1,3),B(—2,—3),C(x,7),设AB=a,BC=b且a〃b,则x的值为()(A)0 (B)3 (C)15 (D)18类型(三):向量的垂直问题TOC\o"1-5"\h\z-H- —¥•.已知向量a=(x,1),b=(3,6)且a1b，则实数x的值为.已知向量a=(1,n),b=(—1,n)，若2a一b与b垂直，则a=・ 1 一 i.已知a=(1,2),b=(-3,2)若ka+2b与2a-4b垂直，求实数k的值.已知|a|=2,|b|=4，且a与b的夹角为巳，若ka+2b与ka—2b垂直，求k的值。类型(四)投影问题Hl一「一 c2兀 二 一=5,b=4,,a与b的夹角9=—，则向量b在向量a上的投影为.在Rt△ABC中，/C=-,AC=4,则AB.AC=2-b— —►-b —I* -K.关于ab=a.c且a丰0，有下列几种说法：①a1(b—c)；②b1c;③a.(b—c)=0④b在a方向上的投影等于c在a方向上的投影：⑤b二九a=⑥b=c其中正确的个数是( )(A)4个(B)3个(C)2个(D)1个类型(五)求向量的模的问题1,已知零向量a=(2,1),a.b=10,a+b=5、⑵则b=

2.已知向量a,b满足a=1,|b|=2,a-b3.4．已知向量a=(1,\；3)2.已知向量a,b满足a=1,|b|=2,a-b3.4．已知向量a=(1,sin°),b=(1,cos。),则a—b的最大值为类型(六)向量积问题uuuruuuuruuuruuuruuur等于( )4A.94B.34C.-34D.-91、(2009陕西卷文)在AABC中,M是BC的中点，AM=1,点P在AM上且满足学PA等于( )4A.94B.34C.-34D.-9类型(六)平面向量基本定理的应用问题1.若a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1-2),则1.若a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1-2),则c等于(3・1,(C)2a-2b1-33(B)-2a--b3--1/(D)-2a+2b2.已知a=(1,0),b=(1,1),c=(-1,0),求求口4的值，使c=Xa+Rb.设e,e是平面向量的一组基底，则当X=1211.下列各组向量中,可以作为基底的是()(A)e=(0,0),e=(1,-2)(B)e=(-1,2),e=(5,7)(C)e=(3,5),e=(6,10)(D)e=(2,-3),e125.a=(1,1),b=(—1,1),c=(4,2)，则Jc=()3a+b3a-b (C)-a+3b(D)a+3b兀■6已知3,|b|=2,a与b的夹角为—,c=a+2b,d=ma-6b(mgR)6已知(1)当m