平面向量的概念与线性运算(原卷版)

考点34平面向量的概念与线性运算中考电详解【命题解读】平面向量是高考考查的重点、热点.往往以选择题或填空题的形式出现.常以平面图形为载体，考查线性运算、数量积、夹角、垂直的条件等问题【基础知识回顾】.向量的有关概念(1)零向量：长度为0的向量叫零向量，其方向是不确定的.(2)平行(共线)向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行外.我们规定零向量与任一向量平行.(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量.(4)相等向量：长度相等且方向相同的向量.(5)相反向量：与向量a长度相等，方向相反的向量叫做a的相反向量..向量的线性运算(1)向量加法满足交换律a+b=b+a，结合律(a+b)+c=a+(b+c).向量加法可以使用三角形法则，平行四边形法则.(2)向量的数乘：实数丸与向量a的积是一个向量，记作丸a，它的长度和方向规定如下：①|入a|=|川|a|；②当丸＞0时，入a与a方向相同;当丸＜0时，入a与a方向相反;当a=0时，入a=0；当为=0时，入a=0.(3)实数与向量的运算律：设九，u£R，a，b是向量，则有：①入aa)=(九/)a；®(A+〃)a=丸a+〃a；③入(a+b)=Aa+Ab..向量共线定理：如果有一个实数入，使b=Aa(aW0)，那么b与a是共线向量；反之，如果b与a(aW0)是共线向量，那么有且只有一个实数入，使b=Aa.步热.训练1、已知下列各式：①aB+BC+CA；①AB+Mb+BO+OM；①OA+OB+BO+CO；①AB—AC+BD—CD,其中结果为零向量的个数为( )A.1B.2C.3D.42、设a,b是非零向量，则a=2b是a|=看成立的()A.充要条件B.A.充要条件C.C.必要不充分条件D.既不充分又不必要条件TOC\o"1-5"\h\z3、已知前）=4©1+2©2，PQ=2e1+1e2，若M、P、Q三点共线，则t=（ ）A.1B.2C.4D.-14、（2019秋•如皋市期末）（多选题）在梯形ABCD中，AB//CD,AB=2CD,E,F分别是AB,CD的中点，AC与BD交于M，设罚=a,AD=b，则下列结论正确的是（ ）,一1一二 „— 1一； „—1一27——• 1一二A.AC=-a+b B.BC=——a+b C.BM=——a+-bD.EF=——a+b2 2 3 3 45、（多选题）设点M是口ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是（）A.若AM=2AB+2AC，则点M是边BC的中点B.若AM=2AB-AC，则点M在边BC的延长线上C.若AM=-bM-CM,则点M是口ABC的重心D.若AM=xAB+yAC，且x+y=g,则口MBC的面积是口ABC面积的26、在^abc中，|>vBl=|ACl=lAB-ACl，则nbac=.建典鲤剖析考向一平面向量的有关概念例1、（2019年徐州开学初考试）给出下列四个命题：①若|a|=|b|,则a=b；②若A,B,C,D是不共线的四点，则“AB=关”是“四边形ABCD为平行四边形〃的充要条件;③若a=b,b=c，则Ua=c；④a=b的充要条件是|a|=|b|且allb.其中正确命题的序号是（）A.②③ B.①② C.③④ D.②④变式1、.（多选）给出下列命题，不正确的有（ ）A.若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同B.若A,B,C,D是不共线的四点，且AB=DC，则ABCD为平行四边形a=b的充要条件是|a|=|b且a口bD.已知九〃为实数，若筋=曲，则a与b共线变式2、给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；

②2a=0(2为实数)，则2必为零；③2,〃为实数，若2a=〃b,则Ua与b共线.TOC\o"1-5"\h\z其中错误的命题的个数为( )A．0 B．1C．2 D．3变式3、(山东泰安一中2019届高三模拟)给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；②Aa=0(A为实数)，则人必为零；③A,从为实数，若Aa="b,则I」a与b共线.其中错误的命题的个数为( )B.1D．3B.1D．3C．2变式4、如图所示，已知正六边形ABCDEF,0是它的中心.(1)与AB相等的向量有；(2)与CB相等的向量有；(3)与BC共线的向量有.答案：(1)ED,FO,OC；(2)OAEFD⑶CB,OA^aAO)o历,DO,而DA,E,FE方法总结：向量有关概念的关键点(1)向量定义的关键是方向和长度．(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反,长度没有限制．(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等．(4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度．(5)零向量的关键是长度是0,规定零向量与任意向量共线．考向二向量的线性运算例2、(1)(2019・安徽合肥二模)在^ABC中，BD=1BC，若AB=a,AC=b，则AD=( )A.3ac1B.A.3ac1B.3aC.；C.；a-3bD.3a—3b（2）（一题多解）（2020・广东一模）已知A,B,C三点不共线，且点O满足16OA—12OB—3OC=0,则（ ）A.OA=12AB+3AC B.OA=12AB—3ACOA=—OA=—12AB+3ACOA=—12AB—3ACA.§b+3c2 1A.§b+3c2 1变式1、（山西平遥中学2019届期末）在4ABC中，—y=c,~A^=b，若点D满足—4=2万/，则—？等于（）5 2B.3c—3b3b+3c变式2、（2019•衡水中学五调）如图所示，在正方形ABCD中，E为BC的中点，F为AE的中点，则Df=（ ）变式3、1.在口ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB等于（a，4Ab-4ACC，4AB+4AC2.如图，在等腰梯形ABCD中，DC=2AB,BC=CD=DA,DE①AC于点E，则DE等于（ ）A.2AB—2ACCC.1AB-4ACC变式4、（2019无锡区期末）如图，在平行四边形ABCD中，下列计算错误的是（ ）

A．AB+AD=ACAC+CA．AB+AD=ACAC+CD+DO=0AAB+AC+CD=ADD.AC+BA+DA=O变式5、（2019宿迁期末）如图所示，四边形ABCD为梯形，其中AB//CD,AB=2CD,M,N分别为AB,CD的中点，则下列结论正确的是（ ）方法总结：向量的线性运算，即用几个已知向量表示某个向量，基本技巧为：一般共起点的向量求和用平方法总结：向量的线性运算，即用几个已知向量表示某个向量，基本技巧为：一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则.考向三共线定理的应用例3、如图，在^ABO中，（5C=4oA，（5D=1（5b，ad与BC相交于点M，设OA=a，Ob=b.试用a和b表示必.RR变式1、（2019•河南郑州第一次质量预测）已知/,B,C是直线l上不同的三个点，点O不在直线l上，则使等式x2OA+xOB+BC=0成立的实数x的取值集合为（）TOC\o"1-5"\h\zA.{0} B.0C.{11} D.{0,—1}变式2、（2019秋•清远期末）等边三角形ABC中，~BD^DC,EC=2AE,AD与BE交于F，则下列结论正确的是（ ）,—，1—»—» ——>2—>1—>A.AD=-（A5+AC） B.BE=-BC+-BA2 33

e > 1 ' 1 CAF=-AD

2D.CAF=-AD

22 3变式3、设两个非零向量a与b不共线.(1)AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a—b),求证：A,B,D三点共线;(2)试确定实数k，使ka+b和a+kb共线.方法总结：利用共线向量定理解题的方法(1)a〃boa=油(b=0)是判断两个向量共线的主要依据.注意待定系数法和方程思想的运用.(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.即A,B,C三点共线02B,―色共线.⑶若a与b不共线且Aa=〃b,则A=〃=0.(4)—%=A—#+〃—2(A,〃为实数)，若A,B,C三点共线，则A+〃=1.存优"提升・实战演练1、在①ABC中，点G满足GA+GB+GC=0.若存在点。使得OG=1BC，且OA=mOB+nOC，则m—n等于()A.2B.—2C1D.—12、A,B,C是圆O上不同的三点，线段CO与线段AB交于点。(点O与点D不重合)，若OC=XOA+从OB(九〃口区)，贝I」2+〃的取值范围是() 『一一JTOC\o"1-5"\h\zA.(0,1) B.(1,+s) .? .C(1,V2] D.(—1,0) ' 13、【2018年高考全国I卷理数】在^ABC中，AD为BC边上的中线，E为 . AD的中点，则砺二1.3—B1.3—B.—-B--AC

4 4A.—AB--AC

4 4

3,1.c3,1.c.—AB+-AC441»3»D—AB+-AC444、.在口ABC中，下列命题正确的是（ ）a.AB-Ac=bcAAAB.AAB＋BAC＋CAA=0仁若（AB+AC）•（AB-AC）=0，则口ABC为等腰三角形D.若AC-AB〉0,则OABC为锐角三角形5、（2020届山东省泰安市高三上期末）如图，在四边形ABCD中，AB//CD,AB±AD,AB=2AD=2DC,E为A.BC边上一点，且前=3EC,F为AE的中点，则（ ）A.5C=--A5+AD2B.cB.c.D.TOC\o"1-5"\h\z3 3. 2.1.BF=——AB+4D3 3CF^-AB--Al56 36、【江苏卷】在^ABC中，AB=4,AC=3,ZBAC=90。,D在边BC上，延长AD到尸，使