平面向量的概念、运算及平面向量基本定理

.05—平面向量的概念、运算及平面向量基本定理突破点(一)平面向量的有关概念知识点：向量、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、相反向量考点 |平面向量的有关概念… 一…，一，一一一一人［八， -ab -［典例］(1)设a,b都是非零向量，下列四个条件中，使同=西成立的充分条件是()A.a=—b B.a〃b Ca=2b D.a〃b且|a|=|b|(2)设a0为单位向量，下列命题中：①若a为平面的某个向量，则a=|a|・a0；②若a与a0平行，则a=|a|a0；③若a与a0平行且|a|=1,则a=a0.假命题的个数是()A.0B.1C.2D.3ab且同=ab且同=|b|，所以a，故a=2b是' =a 2b b|O|=两=a 2b b|O|=两=|b|向量a与向量b方向相同，故可排除选项A,B,D.当a=2b时，b|b|成立的充分条件.(2)向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a=-|a|a0,故②③也是假命题.综上所述，假命题的个数是3.［答案］(1)C(2)D［易错提醒］1 (1)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小；(2)大小与方向是向量的两个要素，1|分别是向量的代数特征与几何特征；(3)向量可以自由平移，任意一组平行向量都可以移到同一直线上. |突破点(二)平面向量的线性运算.向量的线性运算：加法、减法、数乘.平面向量共线定理：向量b与a(a工0)共线的充要条件是有且只有一个实数人使得b=Aa.考点一平面向量的线性运算[例1]⑴在^考点一平面向量的线性运算[例1]⑴在^ABC中，AB=c,1 2A.3b+3c5 2B.3c—3bAC=b.若点D满足BD=2DC,则AD=()2 1 2 1C.3b—3c>3b+3cTOC\o"1-5"\h\z1 2„(2)在4ABC中，N是AC边上一点且AN=2NC,p是bn上一点，若AP=mAB+9AC,则实数m的值是.2——2［解析］(1)由题可知BC=AC—AB=b—c,VBD=2DC,ABD=3BC=3(b—c),则ADJ J———— 2 2 1=AB+BD=c+3(b—c)=3b+3c,故选D.(2)如图，因为AN=2NC,所以AN=3AC,所以AP=mAB+9AC= /，、：.；：mAB+2AN.因为B,p,N三点共线，所以m+3=1,则m=1. 二 1［答案］(1)D(2)3［方法技巧］1 1.平面向量的线性运算技巧：(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解.(2)含图形的情况：将它们转化到||三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解.|| 2.利用平面向量的线性运算求参数的一般思路：(1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置.(2)利用平行四|［边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式.(3)比较，观察可知所求. ］考点二平面向量共线定理的应用

考点二平面向量共线定理的应用［例2］设两个非零向量a和b不共线.(1)若AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a一b).求证：A,B,D三点共线.(2)试确定实数k,使ka+b和a+kb共线.［解］(1)证明：因为AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a—b),所以BD=BC+CD=2a+8b+3(a—b)=5(a+b)=5AB,所以AB,BD共线.又AB与BD有公共点B,所以A,B,D三点共线.(2)因为ka+b与a+kb共线，所以存在实数儿使ka+b=A(a+kb),\k=儿.解解得k=±1.即k=1或一1时，ka+b与a+kb共线.1=入k，［方法技巧］平面向量共线定理的三个应用（1）证明向量共线：对于非零向量a,b，若存在实数A，使a=Ab，则a与b共线.（2）证明三点共线：若存在实数A,使AB=入AC,AB与AC有公共点A，则A,B,c三点共线.（3）求参数的值：利用向量共线定理及向量相等的条件列方程（组）求参数的值. ［提醒］证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点.突破点（三）平面向量基本定理平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面的两个不共线向量，那么对于这一平面的任意向量a,有且只有一对实数A1,A2,使a=A1e1+A2e2.其中，不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面所有向量的一组基底.考点一 |基底的概念［例1］如果e1,e2是平面一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面所有向量的一组基底的是（）A.e1与e1+e2 B.e1—2e2与e1+2e2Ce1+e2与e1-e2 D.e1+3e2与6e2+2e1〜 ［1=A,［解析］选项A中，设e1+e2=Ae1，贝”1=0无解；选项B中，设e1—2e2=A（e1+2e2），则-1=A-1=A，-2=2A无解；选项C中，设e1+e2=A(e1—e2)，则［1=A， 11=—入无解；选项D中，e1+3e2=2(6e?+2e1)，所以两向量是共线向量，不能作为平面所有向量的一组基底.［答案］D__.„［易错提醒1_______ _ _ _某平面所有向量的一组基底必须是两个不共线的向量，不能含有零向量.考点二平面向量基本定理的应用［例2］（2016•二模）如图，在△ABC中，设AB考点二平面向量基本定理的应用［例2］（2016•二模）如图，在△ABC中，设ABAC=b,AP的中点为Q,BQ的中点为R1 1A.2a+2bCR的中点恰为P,则AP=（2 4C.7a+7b4 2D.7a+7b［解析］如图，连接BP，则AP=AC+CP=b+PR，①AP=AB+BP=a+RP—RB，②①+②，得2AP=a+b—RB，③——1-1 1(RB=2QB=2(AB—AQ)=21，将④代入③，得2AP=a+b—1-2 4―解得AP=7a+7b.［答案］C［方法技巧］a-1AP平面向量基本定理的实质及解题思路I(i)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.(2)用向量基i

!本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.!突破点(四)平面向量的坐标表示.平面向量的坐标运算：(1)向量加法、减法、数乘的坐标运算及向量的模；(2)向量坐标的求法.平面向量共线的坐标表示考点一平面向量的坐标运算［例1］已知A(—2,4),B(3,—1),C(—3,—4).设AB=a,BC=b,CA=c,且CM=3c,CN=—2b，⑴求3a+b—3c；(2)求满足a=mb+nc的实数m,n；(3)求M,N的坐标及向量MN的坐标.［解］由已知得a=(5,—5),b=(—6,—3),c=(1,8).一m=—1,解得|“=-1.(1)3a+b—3c=3(5,—5)+(—6,—3)—3(1,8)=(15—6—3,—15—3一m=—1,解得|“=-1.(2)Vmb+nc=(—6(2)Vmb+nc=(—6m+n,—3m+8n),—3m+8n=—5,即所数m的值为一1,n的值为一1.(3)设0为坐标原点，VCM=OM—OC=3c,；.OM=3c+OC=(3,24)+(—3,—4)=(0,20),即M(0,20).又VCN=ON—OC=—2b,.\ON=—2b+OC=(12,6)+(—3,—4)=(9,2),即N(9,2).；.MN=(9,—18).［方法技巧］一一一一一一一一一一一一由面向量坐标运算的技巧一一一一一一一一一一……(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标.(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解.考点二 平面向量共线的坐标表示［例2］已知a=(1,0),b=(2,1).(1)当k为何值时，ka—b与a+2b共线；⑵若AB=2a+3b,BC=a+mb，且A,B,C三点共线，求m的值.［解］(1)Va=(1,0),b=(2,1),・・・ka—b=k(1,0)—(2,1)=(k—2,—1),, , 1a+2b=(1,0)+2(2,1)=(5,2),Vka—b与a+2b共线，・，・2(k—2)—(—1)x5=0,,\k=—2.(2)AB=2a+3b=2(1,0)+3(2,1)=(8,3),BC=a+mb=(1,0)+m(2,1)=(2m+1,m).VA,B,C三点共线，・•・AB//BC,.・.8m—3(2m+1)=0,Am=3.［方法技巧］……一一一一一一一-向量共线的坐标表示中的乘积式和比例式—一一一一一一”

! ⑴若a= （x1 , y1） ,b= （x2 , y2），则a||b。x1y2! ⑴若a= （x1 , y1） ,b= （x2 , y2），则a||b。x1y2- x2y1 =0,这是代数运算，用它解决平面向量共线问题的优点在于不!j需要引入参数“劣”，从而减少了未知数的个数，而且它使问题的解决具有代数化的特点和程序化的特征.（2）当x2y/0时，jjaHb。x1=y1，即两个向量的相应坐标成比例，这种形式不易出现搭配错误.（3）公式x1y2-x2y1=0无条件x2y2N0的限制，jI便于记忆；公式x1=y2有条件x2y/0的限制，但不易出错.所以我们可以记比例式，但在解题时改写成乘积的形式. i［检验高考能力］一、选择题3——3__=1.设M是^ABC所在平面上的一点，且MB+2MA+］MC=0,D是AC的中点则凹的则|BM严值为（）1 1A.3 叼D.2解析：选A丁D是AC的中点，如图，延长MD至£,使得DE=MD，，四边形MAEC为平行四边形， 1 1 ・•.MD=2ME=1(MA+MC),.・.MA+MC=2MD.:一3一3—— 3一MB+2MA+2MC=0,・・.MB=—](MA+MC)=-3MD，,BM=3MD,.|MD| |MD|二'|BM|=|3MD|=3，故选A.2.在△ABC中，BD=3DC,若AD=入1AB+入2AC,则A1K2的值为(3 1 10B.行 C-2 D-v1A.16解析：选B・.・儿=4入2=74,3.— —__ _3—— 3 1——3——由题意得，AD=AB+BD=AB+4BC=AB+4(AC—AB)=4AB+4AC,3..儿入2=16.F分别是△ABC的三边BC,CA,AB上的点，且DC=2BD,CE=2EA,AF=2FB,则AD+BE+CF与BC(A.C.反向平行

互相垂直）B.同向平行D.既不平行也不垂直解析：选A由题意得AD=AB+BD=AB+1BC,BE=BA+AE=BA+1AC,CF=J JCB+BF=CB+1BA,因此AD+BE+CF=CB+1(BC+AC—AB)=CB+3BC=-J J JBC,故AD+BE+CF与BC反向平行.4.已知点。为^ABC外接圆的圆心，且OA+OB+CO=0,则5BC的角A等于（30°45°60° D30°45°60° D.90°解析：选解析：选A由OA+OB+CO=0,得OA+OB=OC,由。为^ABC外接圆的圆心，可得|OA|=|OB|=|OC|.设OC与AB交于点D,如图，由OA+OB=OC可知D为AB的中点，所以OC=2OD,D为OC的中点.又由|OA|=|OB|可知OD±AB,即OC±AB,所以四边形OACB为菱形，所以△OAC为等边三角形，即NCAO=60°,故A=30°.5.xAB,已知点G5.xAB,已知点G是^ABC的重心，过点G作一条直线与AB,AC两边分别交于M,N两点，且AM=AN=A.yAC，则x+y的值为（）13B.3C.2D,2解析：选B由已知得M,G,N三点共线，所以AG=入AM+(1—川AN=AxAB+(1—川yAC.「，121 1 JAx=3，TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"•・•点G是匕ABC的重心，・•.AG=f2(AB+AC)=3(AB+AC),“ 1即1A=3X，,、1l1—入1A=3X，,、1l1—入=3y，\o"CurrentDocument"1 1 11 x+y xy1得3X+3y=1，即x+y=3，通分得-xy=3，；・x+y=3.6.若点M是^ABC所在平面的一点，且满足5AM=AB+3AC,则4ABM与^ABC的面积的比\o"CurrentDocument"值为()12 3 4A弓氏5C-5.5解析：选C设AB的中点为D,如图，连接MD,MC,由5AM=AB解析：选C设AB的中点为D,23即5+5=1,故C,M,D\o"CurrentDocument"得5AM=2AD+3AC①，即AM23即5+5=1,故C,M,D三点共线，又AM=AD+DM②，①②联立，得5DM=3DC,即在^ABM与3 3△ABC中，边AB上的高的比值为5,所以△ABM与^ABC的面积的比值为宁二、填空题.在△ABC中，点P在BC上，且BP=2PC,点Q是AC的中点，若PA=(4,3),PQ=(1,5),则bC=.解析：AQ=PQ—PA=(1,5)—(4,3)=(—3,2),AAC=2AQ=2(—3,2)=(—6,4).PC=PA+AC=(4,3)+(—6,4)=(—2,7),ABC=3PC=3(—2,7)=(—6,21).答案：(一6,21).已知向量AC,AD和AB在正方形网格中的位置如图所示，若AC=入AB+UAD,则入口=.N=A+U—2=2A解析：建立如图所示的平面直角坐标系xAy,则AC=(2,—2)N=A+U—2=2A=(1,0),由题意可知(2,—2)=A(1,2)+u(1,0),即所以Au=—3.答案：一3是两个向量集合，则PAQ等于.P={a|a=(一1,1)+m(1,2),m£R},Q={b|b=是两个向量集合，则PAQ等于fm=—12,J[n=—7.,—1+m=1+2n,解析：p中，户(―1+mJ+2m)”中，b=(1+2n，―2+3n).则J1fm=—12,J[n=—7.此时a=b=(—13,—23).答案：[(-13,-23)}.在梯形ABCD中，已知AB//CD,AB=2CD,M,N分别为CD,BC的中点.若AB=AAM+〃AN,则A+u=.—— 1 1,解析：由AB=入AM+2AN，得AB=入2(AD+AC)+p泛(AC+AB),则+2+paC=0,彳:+G+2Xad+1AD)=0,得g入+%