数学课堂探究：合情推理

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂探究探究一归纳推理归纳推理是发现新事物的推理方法，归纳的方法是获得数学结论的一条重要途径,运用不完全归纳推理，通过观察、试验、从特例中归纳出一般结论,哥德巴赫猜想就是典型归纳推理的应用，它能在某种程度上推动数学的发展．【典型例题1】已知数列{an｝满足an＋1＝an－an－1(n≥2），a1＝a，a2＝b，设Sn＝a1＋a2＋…＋an，则下列结论正确的是（)A．a100＝－a,S100＝2b－a B．a100＝－b，S100＝2b－aC．a100＝－b，S100＝b－a D．a100＝－a,S100＝b－a解析:∵a1＝a，a2＝b，a3＝b－a，a4＝a3－a2＝－a，a5＝a4－a3＝－b，a6＝a5－a4＝a－b,a7＝a，a8＝b，……可得数列具有周期性，每连续6项为一个周期．∴a100＝a4＝－a,S100＝S4＝2b－a。答案：A点评解答选择题时，根据题干提供的条件，用演绎推理或计算很难确定选项时，我们可以通过考查符合条件的某个(或某些）特殊情形，并归纳猜想出一般性结论的选项,从而否定另一些结论的选项，轻松确定正确选项．探究二类比推理进行类比推理，关键是明确出两类事物在某些方面的类似特征,类比推理也是获得数学结论的一条重要途径，尤其在学习过程中,学习新知识，要充分联系以前学过的旧知识,具有共性的知识是一脉相承的，这其实就是类比推理在实践中的运用．【典型例题2】已知椭圆具有性质：若M，N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点,当直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值．试对双曲线eq\f（x2，a2)－eq\f（y2，b2)＝1写出具有类似特性的性质，并加以证明．思路分析:充分运用类比推理可知在双曲线中kPM·kPN为定值，然后利用解析法证明即可．解：类似的性质为：若M1,N1是双曲线eq\f（x2，a2)－eq\f（y2,b2)＝1上关于原点对称的两个点，点P1是双曲线上任意一点，当直线P1M1，P1N1的斜率都存在，并记为kP1M1，kP1N1时，那么kP1M1与kP1N1之积是与点P1的位置无关的定值．设点M1，P1的坐标为(m，n)，(x,y)，则N1（－m，－n)．因为点M1（m，n)在已知的双曲线上，所以n2＝eq\f（b2，a2）m2－b2.同理,y2＝eq\f（b2,a2)x2－b2.则kP1M1·kP1N1＝eq\f（y－n，x－m)·eq\f（y＋n,x＋m)＝eq\f（y2－n2，x2－m2）＝eq\f(b2，a2）·eq\f（x2－m2，x2－m2）＝eq\f（b2，a2）(定值）．点评在学习双曲线这节内容时，要注意与椭圆的知识进行类比，以便找出它们之间的共性．探究三推理的综合应用合情推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程，归纳、类比是合情推理常用的思维方法．在解决问题的过程中，合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养．当然对于结论正确与否，要进行严格证明才行．【典型例题3】有一个雪花曲线序列,如图：其产生规则是:将正三角形P0的每一边三等分，并以中间的那一条线段为一底边向外作等边三角形,再擦去中间的那条线段，便得到第1条雪花曲线P1；再将P1的每条边三等分，按照上述规则，便得到第2条雪花曲线P2；……;把Pn－1的每条边三等分，按照上述规则,便得到第n条雪花曲线Pn(n＝1，2,3，4，…)．(1)设P0的周长为L0，求Pn的周长；（2）设P0的面积为S0，求Pn的面积．解：（1)雪花曲线序列中，前后两条曲线之间的基本关系如下图所示，易得Ln＝eq\f(4,3）Ln－1，n∈N＋，所以Ln＝eq\f（4,3)Ln－1＝…＝eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(4,3）)）nL0，n∈N＋.(2)由雪花曲线的构造规则比较P0和P1，易得P1是P0在每条边增加了一个小等边三角形，其面积为eq\f(S0，32),而P0有3条边，故有S1＝S0＋3·eq\f（S0,32）＝S0＋eq\f(S0,3).再比较P2与P1，可知P2是P1在每条边上增加了一个小等边三角形,其面积为eq\f（1,32）·eq\f(S0，32)，而P1有3×4条边，故有S2＝S1＋3×4×eq\f（S0,34）＝S0＋eq\f（S0,3)＋eq\f(4S0，33）.类似地，有S3＝S2＋3×42×eq\f（S0,36)＝S0＋eq\f（S0,3)＋eq\f(4S0，33）＋eq\f(42S0，35)，故可猜想Sn＝S0＋eq\f（S0,3)＋eq\f（4S0，33）＋eq\f(42S0，35）＋eq\f（43S0,37)＋…＋eq\f(4n－1S0,32n－1）＝S0＋eq\f(\f(1，3)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（4，9）)）n）),1－\f（4，9）)S0＝eq\b\lc\[\rc\]（\a\vs4\al\co1（\f(8,5）－\f（3,5）\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（4,9)））n））S0.探究四易错辨析易错点：在进行类比推理时，由于类比的相似性少或被一些表面现象所迷惑从而导致类比结论的错误．解决此类问题的关键是先充分认识两个系统的相同(或相似)之处,充分考虑其中的本质联系，再进行类比．【典型例题4】请用类比推理完成下表：平面空间三角形的面积等于任意一边的长度与该边上高的乘积的eq\f(1,2)三棱锥的体积等于任一底面的面积与该底面上高的乘积的eq\f（1,3）三角形的面积等于其内切圆半径与三角形周长乘积的eq\f(1，2)错解一：三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥各棱长之和的乘积的eq\f(1,3)。错解二:三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥各面面积之和的乘积的eq\f(1，2).错因分析：错解一“三角形周长”的类比错误，错解二“eq\f(1,2)”的类比错误．三角形的周长“a＋b＋c”应类比为三棱锥各面面积的和“S1＋S2＋S3＋S4”；“eq