四川省成都市蓉城名校联盟2025届高三第一次联合诊断性考试数学试题及答案

四川省高三年级第一次联合诊断性考试数学考试时间120分钟，满分150分注意事项：1．答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、考籍号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”．2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效．3．考试结束后由监考老师将答题卡收回．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合，，则（）．A． B．C． D．2．在复平面内，复数对应的点位于第二象限，则实数a的取值范围为（）．A． B． C． D．3．已知，设甲：；乙：，则甲是乙的（）．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件4．已知平面向量，，则在上的投影向量为（）．A． B． C． D．5．在2024年巴黎奥运会上，我国网球选手郑钦文历经6场比赛，勇夺巴黎奥运会女子网球单打冠军，书写了中国网球新的历史．某学校有2000名学生，一机构在该校随机抽取了800名学生对郑钦文奥运会期间6场单打比赛的收看情况进行了调查，将数据分组整理后，列表如下：观看场次0123456观看人数占调查人数的百分比15％5％5％m％10％15％％从表中数据可以得出的正确结论为（）．A．表中m的数值为15B．观看场次不超过3场的学生的比例为30％C．估计该校观看场次不超过2场的学生约为400人D．估计该校观看场次不低于4场的学生约为1300人6．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（）．A． B． C． D．7．设双曲线的离心率为，实轴长为2，则双曲线C上任意一点到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积为（）．A． B． C． D．8．已知函数，且为偶函数，则满足不等式的实数m的取值范围为（）．A． B． C． D．二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9．已知函数，则（）．A．的最小正周期为B．在上单调递增C．的图象关于直线对称D．的图象可由的图象向左平移个单位得到10．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与椭圆E相交于P，Q两点，则（）．A．以椭圆E的长轴为直径的圆的方程为B．以为直径的圆与椭圆E有且仅有2个公共点C．以为圆心，为半径的圆与椭圆E有3个公共点D．以为直径的圆与直线相离11．如图，在正方体中，O是线段的中点，点P在棱上运动，则（）．A．点P在平面上的射影不可能是点OB．点P在平面上的射影到B，D两点的距离相等C．当点P与顶点A重合时，直线与平面所成角的正切值为D．当点P与顶点重合时，点P到平面的距离等于三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知，且，则__________．13．甲、乙、丙、丁、戊5人站成两排照相，前排站2人，后排站3人，其中甲和乙须左右相邻，丙不站前排，则不同的站法共有__________种（用数字作答）．14．人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题，牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法，如图，在横坐标为的点处作的切线，该切线与x轴的交点为；在横坐标为的点处的切线与x轴的交点为；一直继续下去，得到，，，…，，它们越来越逼近的零点r．在一定精确度下，用四舍五入法取值，当，近似值相等时，该值可作为函数的一个零点r．用“牛顿法”求方程的近似解r，可以构造函数，若，得到该方程的近似解r约为__________（精确到0.1）．四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……设各层球数构成一个数列．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和．16．（15分）已知某学校为提高学生课外锻炼的积极性，开展了丰富的课外活动，为了解学生对开展的课外活动的满意程度，该校随机抽取了350人进行调查，整理得到如下列联表：性别课外活动合计满意不满意男150100250女5050100合计200150350（1）根据小概率值的独立性检验，能否认为该校学生对课外活动的满意情况与性别因素有关联？（2）从这350名样本学生中任选1名学生，设事件A＝“选到的学生是男生”，事件B＝“选到的学生对课外活动满意”，比较和的大小，并解释其意义，附：0.10.050.012.7063.8416.63517．（15分）如图，在几何体中，四边形是梯形，，，与相交于点N，平面，，H是的中点，，．（1）点P在上，且，证明：平面；（2）求二面角的余弦值．18．（17分）已知F为抛物线的焦点，过点F的直线与抛物线E相交于，两点．（1）证明：是常数；（2）过点F作直线的垂线l与抛物线E的准线相交于点P，与抛物线E相交于C，D两点（点C的横坐标小于点D的横坐标）．①求的值；②是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由．19．（17分）已知函数．（1）若，求函数的极值；（2）若，，求实数a的取值范围；（3）若，且，证明：．

四川省高三年级第一次联合诊断性考试数学参考答案及评分标准评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制定相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．12345678DABBDCBC1．【命题意图】本小题设置课程学习情境，设计集合运算问题，主要考查一元一次不等式的解法，集合的交集运算等基础知识；考查运算求解能力；考查数学运算等数学核心素养．【答案】D【解析】由，所以．2．【命题意图】本小题设置课程学习情境，设计复数的几何意义，不等式组的解法等基础知识；考查运算求解能力，数形结合思想；考查直观想象等数学核心素养．【答案】A【解析】复数，其对应的点在第二象限，则，解得．3．【命题意图】本小题设置课程学习情境，设计充分条件与必要条件等问题，主要考查充分条件与必要条件、三角函数的图象和性质等基础知识；考查逻辑推理等数学能力；考查数学抽象、逻辑推理等数学核心素养．【答案】B【解析】由，得，，则x不一定满足；反之，当时，一定有．故甲是乙的必要不充分条件．4．【命题意图】本小题设置课程学习情境，设计平面向量问题，主要考查平面向量的几何意义与投影向量等基础知识；考查推理论证等数学能力；考查直观想象等数学核心素养．【答案】B【解析】依题意，，，所以在上的投影向量为．5．【命题意图】本小题设置生活实践情境，设计统计问题，考查概率、平均数等统计量的计算，样本估计总体等相关知识；考查统计概率思想；考查运算求解能力和应用能力；考查数据分析等数学核心素养．【答案】D【解析】由表可知，15％＋5％＋5％＋m％＋10％＋15％％＝1，解得，选项A错误；观看场次不超过3场的学生的比例为15％＋5％＋5％＋10％＝35％，选项B错误；观看场次不超过2场的学生的比例为15％＋5％＋5％＝25％，则观看场次不超过2场的学生约为％＝500人，选项C错误；观看场次不低于4场的学生的比例为10％＋15％＋40％＝65％，则观看场次不低于4场的学生约为％＝1300人，选项D正确．6．【命题意图】本小题设置课程学习情境，设计解三角形问题，主要考查正弦定理、余弦定理，特殊角的三角函数等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力；考查数学运算素养、逻辑推理素养．【答案】C【解析】由，根据正弦定理有，所以，有，根据余弦定理，有，由，所以．7．【命题意图】本小题设计数学学习情境，设计双曲线的相关问题，考查双曲线的标准方程、离心率、渐近线及点到直线的距离等基础知识；考查化归与转化等数学思想；考查数学运算等数学核心素养．【答案】B【解析】由已知，，，所以，，则．设为双曲线C上任意一点，则，即．而双曲线C的渐近线为，所以点M到两条渐近线的距离之积为．8．【命题意图】本小题设置课程学习情境，设计函数性质与不等式等问题，主要考查指数式的运算、函数考查逻辑推理等数学能力；考查数学抽象、逻辑推理等数学核心素养．【答案】C【解析】依题意，，令，由于为偶函数，故只需为奇函数，由，得，由此可以验证为奇函数．又由为偶函数，得，故的图象关于直线对称．，当时，与单调递增且均大于0，易知单调递增（或由时，，可知，当时，单调递增），则时，单调递减．原不等式即为，等价于，即，解得．二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．91011ACABDBCD9．【命题意图】本小题设置课程学习情境，设计三角函数图象与性质问题，主要考查两角和的正弦公式，正弦型函数的周期、单调性，图象的对称性、图象平移变换等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，抽象概括能力；考查数学运算、直观想象、逻辑推理等数学核心素养．【答案】AC【解析】由，所以最小正周期，选项A正确；当时，，此时先减后增，选项B错误；的图象关于直线对称，当时，，选项C正确；的图象向左平移个单位得到的图象，选项D错误．10．【命题意图】本小题设置数学课程学习的综合情境，以椭圆和圆的关系设置问题，主要考查圆的方程、椭圆的标准方程及其性质等基础知识，考查数与形结合、函数与方程、化归与转化等数学思想；考查数学运算、逻辑推理等数学核心素养．【答案】ABD【解析】以椭圆E的长轴为直径的圆的半径为，圆心为原点，其方程为。选项A正确；以为直径的圆的方程为，与椭圆E有且仅有2个公共点，选项B正确；由于椭圆E上的任意一点H与左焦点的距离（H为左顶点时取“＝”），故以为圆心，为半径的圆与椭圆E只有一个公共点，选项C错误；设M为线段的中点，过点P，Q，M作直线l的垂线，垂足分别为点，，，则，即以为直径的圆的圆心到直线l的距离大于该圆的半径，选项D正确．11．【命题意图】本小题设置数学课程学习情境、探索创新情境，设计正方体中的问题，体现基础性和创新性，主要考查点在平面上的射影、点到平面的距离、直线和平面所成的角等基础知识；考查数与形结合、特殊与一般、化归与转化等思想方法，以及探索性、创新性的思维品质；考查直观想象、数学运算和逻辑推理等核心素养．【答案】BCD【解析】连接，易知直线，，所以直线平面．当P为线段的中点时，，此时点O是点P在平面上的射影，选项A错误；连接，，，易证平面平面，为这两平面的交线，于是点P在平面上的射影在直线上，显然为线段的中垂线，选项B正确；显然直线与平面所成的角等于直线与平面所成的角（等于），而，选项C正确；由上述可知，点C到平面的距离等于，所以点P到平面的距离等于，选项D正确．三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12．【命题意图】本小题设置课程学习情境，设计三角函数求值问题，主要考查同角三角函数关系，诱导公式，两角和的正弦公式，特殊角的三角函数值等基础知识；考查运算求解、推理论证能力；考查数学运算等数学核心素养．【答案】【解析】由且得，则．13．【命题意图】本小题设计生活实践情境，设计排列组合相关问题，考查分类加法和分步乘法计数原理；考查分类与整合等数学思想及应用能力；考查数学抽象、逻辑推理等数学核心素养．【答案】20【解析】当甲和乙站前排，丙站后排时，不同站法有（种）；当甲和乙站后排，丙站后排时，不同站法有（种），所以不同的站法共有（种）．14．【命题意图】本小题设置探索创新情境，设计函数与导数相关问题，主要考查导数的几何意义，函数零点等基础知识；考查化归与转化、数形结合，函数与方程等数学思想，考查数学抽象、逻辑推理，直观想象，数学建模等数学核心素养．本小题是根据选择性必修二探究与发现（牛顿法——用导数方法求方程的近似解）编制而成．【答案】3.3【解析】由，得．当时，，，则过点的切线方程为，令，得．又，，则过点的切线方程为，令，得，此时与近似值相等，故近似解r约为3.3．四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．【命题意图】本小题在数学文化背景下，设置数学课程学习情境、探索创新情境，设计数列问题，体现基础性和创新性，主要考查数列通项、前n项和的求法、等差数列与等比数列的综合应用等基础知识：考查特殊与一般、化归与转化等思想方法，以及探索性、创新性的思维品质；考查数学抽象、数学运算和逻辑推理等核心素养．【解析】（1）由题意可知，，，，……，（2分）数列的一个递推关系为，，当时，利用累加法可得，，（5分）将代入得，满足，所以数列的通项公式为，．（7分）注：学生若根据示意图，得到，，，进而得到．（只给5分）（2）由（①）知，，（9分）则．（13分）16.【命题意图】本小题设置生活实践情境，设计统计与概率等问题，主要考查条件概率与全概率公式、列联表与独立性检验等基本知识；考查统计基本思想以及抽象概括、数据处理等能力和应用意识；考查数学运算、数学建模、数据分析等数学核心素养．【解析】（1）提出零假设：该校学生对课外活动的满意情况与性别因素无关联，（1分）根据表中数据，得到，（5分）所以根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，即认为该校学生对课外活动的满意情况与性别因素无关联．（7分）（2）方法1依题意得，，（9分）．（11分）方法2依题意得，，，（9分），，（10分）所以，，（11分）则．（13分）意义：男生对课外活动满意的概率比女生对课外活动满意的概率大；或者男生对课外活动满意的人数比女生对课外活动满意的人数多等等．（15分）17．【命题意图】本小题设置课程学习情境，设计立体几何问题，主要考查空间线面平行、线面垂直、空间角等基础知识；考查空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力；考查数学抽象素养、逻辑推理素养、直观想象素养和数学运算素养．【解析】（1）方法1：依题意可知，直线，，两两垂直，以点A为坐标原点，直线，，分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，依题意得，，，，（2分）因为，所以，所以，又，所以，（5分）又，，从而得，所以向量，，共面，（7分）又平面，平面，平面，所以平面．（8分）方法2：如图，在，上取点M，Q，且满足，，连接，，，因为，，有，所以，且，（3分）又因为，，，所以，有，所以，且，（5分）又，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面．（8分）（2）由（1）方法1可知，，，，（9分）设平面的法向量为，则，即，取得平面的一个法向量为，（11分）设平面的法向量为，则，即．取得平面的一个法向量为，（13分）则，由图知二面角为钝角，故二面角的余弦值为．（15分）18．【考查意图】本小题设置数学学习情境、探索创新情境，设计直线与抛物线相关的开放性问题，主要考查直线的方程、抛物线的方程及基本性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识；考查函数与方程、化归与转化及数形结合等思想方法，考查直观想象、数学运算及逻辑推理等数学核心素养．【解析】（1）由已知，点F的坐标为，且可设直线的方程为，联立方程组，消去x，得（*），（2分）因为，所以，为方程（*）的两个实根，且，因为点A，B在抛物线E上，所以，为常数．（5分）（2）在题设条件下，直线，都不与坐标轴平行且，由（1）可知直线l的方程为：，①因为抛物线E的准线方程为，代入l的方程可得点P的坐标为，由（1）可知，，，，，因此，，（7分），（10分）即的值为0．②存在最小值，（11分）设点C，D的坐标分别为，，因为点A，B，C，D均在抛物线E上，所以，，，，由，有，即，变形可得，则（**），同理，，（13分）根据抛物线的定义可知，，，，，所以．（