陕西省商洛市2021-2022学年高二上学期理数期末考试试卷（含答案）

陕西省商洛市2021-2022学年高二上学期理数期末考试试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、单选题1．命题“所有正数的立方都是正数”的否定是（）A．所有正数的立方都不是正数B．存在一个正数，它的立方不是正数C．存在一个非正数，它的立方不是正数D．不存在一个正数，它的立方是正数2．若1aA．a>0>b B．a>b>0C．0>b>a D．无法判断a，3．已知数列1，A．−18 B．−116 C．4．“x−1x≤0”是“A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．某学习小组研究一种卫星接收天线（如图①所示），发现其曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点处（如图②所示）．已知接收天线的口径（直径）为3.6m，深度为0.6m，则该抛物线的焦点到顶点的距离为（）A．1.35m B．2.05m C．2.7m D．5.4m6．在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，点P在A．34 B．1 C．54 7．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯.”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，问塔的顶层灯的盏数为（）A．1 B．2 C．3 D．48．椭圆x28+y2A．6 B．10 C．6或18 D．10或189．在△ABC中，|CA|=|CB|=2，|AB|=3，D为A．224 B．114 C．22210．若数列{an}满足(n−1)anA．28 B．29 C．30 D．3111．3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术，如图所示的塔筒为3D打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为10的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为4cm，下底直径为6cm，高为9cm，则喉部（最细处）的直径为（）A．928cm B．423cm C．92二、多选题12．如图，△ABC和△DBC所在平面垂直，且AB=BC=BD=2，A．直线AD与直线BC所成角的大小为9B．直线AB与直线CD所成角的余弦值为3C．直线AD与平面BCD所成角的大小为4D．三棱锥A−BCD的体积为3三、填空题13．若变量x，y满足约束条件2x−y+1⩾0，x+y−1⩽0，14．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.现有一道和书中内容类似的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得面包个数成等差数列，且较多的三份面包个数之和的13是较少的两份面包个数之和，则最少的一份面包个数为15．若满足B=π3，AC=6，BC=m16．抛物线y2=−24x上有一动点P，其焦点为F，A(−9，四、解答题17．已知椭圆C的中心在坐标原点，且C过点(3（1）求椭圆C的标准方程；（2）抛物线M的顶点在坐标原点，以椭圆C的上顶点作为抛物线M的焦点，求抛物线M的标准方程.18．已知命题p：对任意x∈(0，+∞)，x+a（1）如果p是真命题，求a的取值范围；（2）如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求a的取值范围.19．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d≠0，（1）求{a（2）求数列{1anan+120．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为（1）求角B；（2）若△ABC的面积为1534，周长为15，求21．如图，在棱长为4的正方体OABC−O'A（1）证明：A'（2）当三棱锥B'−BEF的体积取得最大值时，求平面22．已知F1，F2分别是椭圆C：x2（1）求椭圆C的短轴长；（2）过原点的直线l与椭圆C交于A，B两点，点P是椭圆C上的一点，若△PAB为等边三角形，求

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】命题“所有正数的立方都是正数”可以改写为：任意一个正数，它的立方是正数，则否定为：存在一个正数，它的立方不是正数，故答案为：B.

【分析】根据全称命题的否定是特称命题可得答案.2．【答案】A【解析】【解答】解：因为1a所以，1a所以，ab<0，a>b所以a>0>b.故答案为：A

【分析】由题意可得1a−1b=3．【答案】B【解析】【解答】由已知条件得∵数列1=120，−1=−221∴an则a故答案为：B.

【分析】依据前五项的规律写出数列的项项公式，由通项公式求出数列第8项即可.4．【答案】A【解析】【解答】解：解不等式x(x−1)≤0得0≤x≤1，x−1x≤0等价于x(x−1)≤0x≠0因为{x|0<x≤1}是{x|0≤x≤1}的真子集，所以{x|0<x≤1}是{x|0≤x≤1}的充分不必要条件，所以，“x−1x≤0”是“故答案为：A

【分析】解不等式x(x−1)≤0得0≤x≤1，解不等式x−1x≤0得5．【答案】A【解析】【解答】如图所示，在接收天线的轴截面所在平面上建立平面直角坐标系xOy，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点O重合，焦点F在x轴上．设抛物线的标准方程为y2由已知条件可得，点A(0.所以1.2p=1.因此，该抛物线的焦点到顶点的距离为1.35m，故答案为：A.

【分析】根据题意由抛物线的简单性质结合抛物线的定义，把数值代入计算出P的取值，结合已知条件即可得出答案。6．【答案】C【解析】【解答】如图，

AP==3所以x=3所以x+y+z=5故答案为：C.

【分析】根据空间向量的加法、减法、数乘运算即可求出答案.7．【答案】C【解析】【解答】解：设顶层的灯数是a1，则每一层灯数形成以2为公比的等比数列{所以，由题可得S7=a所以，塔的顶层的灯数是3.故答案为：C.

【分析】由题意可知每一层灯数形成以2为公比的等比数列{an}8．【答案】C【解析】【解答】解：当椭圆x28+y2则8−(m−2)8=(当椭圆x28+y2则(m−2)−8m−2=(故答案为：C

【分析】对椭圆的焦点位置分两种情况讨论，解方程即可求出m的值.9．【答案】C【解析】【解答】在△ABC中，由余弦定理得cosA=在△ABD中，由余弦定理得BD所以BD=22故答案为：C.

【分析】利用余弦定理求解即可得答案.10．【答案】A【解析】【解答】解：由(n−1)an=(n+1)所以a因为an<870，所以n2故答案为：A

【分析】由题意利用累乘法可得an=n11．【答案】D【解析】【解答】该塔筒的轴截面如图所示，以C为喉部对应点，设A与B分别为上、下底面对应点，以双曲线的对称中心为原点，焦点所在轴为x轴建立如图所示的坐标系.由题意可知xA=2，xB设A(2，m)，则设双曲线的方程为x2∵双曲线的离心率为10=1+(b方程可化简为9x将A和B的坐标代入(*)式可得36−m2=9则喉部的直径2a=8故答案为：D

【分析】作该塔筒的轴截面图像并以双曲线的对称中心为原点，焦点所在轴为x轴建立坐标系，根据双曲线的性质求出实轴长即可得答案.12．【答案】B,C【解析】【解答】如下图所示，过点B在平面BCD内作BE⊥BC交CD于点E，过点B在平面ABC内作BF⊥BC交AC于点F，因为平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC，BF⊥BC，BF⊂平面ABC，所以BF⊥平面BCD，因为BE，BC⊂平面所以BF⊥BE，所以，BE，所以，以点B为坐标原点，BE、BC、BF所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，因为AB=BC=BD=2，所以，A(0，−1，3)、B(0对于A选项，AD=(3，0，−3故直线AD与直线BC所成角的大小为90对于B选项，AB=(0，1cos<所以，直线AB与直线CD所成角的余弦值为34对于C选项，AD=(3，0，cos<所以，直线AD与平面BCD所成角的大小为45对于D选项，由题知点A到平面BCD的距离为3，S△BCD=12BC⋅BD⋅故答案为：BC

【分析】过点B在平面BCD内作BE⊥BC交CD于点E，过点B在平面ABC内作BF⊥BC交AC于点F，证明出BE，BC，BF两两垂直，进而以点B为坐标原点，BE、BC、BF所在直线分别为x、13．【答案】-7【解析】【解答】画出可行域及y=−34x，可得到当z=3x+4y联立x−2y−1=02x−y+1=0，得到A(−1故zmin故答案为：-7

【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案.14．【答案】10【解析】【解答】设每人所得的面包个数从小到大依次为a−2d，a−d，a，a+d，a+2d，则a−2d+a−d+a+a+d+a+2d=5a=100，所以a=20.因为a−2d+a−d=13(a+a+d+a+2d)，所以40−3d=所以最少的一份面包个数为a−2d=10.故答案为：10

【分析】设每人所得的面包个数从小到大依次为a−2d，a−d，a，a+d，a+2d，然后结合题意可建立关于a，d的方程，求出a，d，即可求解出答案.15．【答案】(【解析】【解答】设AB=c，在△ABC中，由余弦定理得AC即6=c整理为关于c的一元二次方程c2根据题意，该一元二次方程有两个不相等的正实数根，所以Δ=m2−4故答案为：(6

【分析】设AB=c，利用余弦定理可得6=c2+m2−mc，可得关于16．【答案】15【解析】【解答】由题可知，抛物线焦点为F(−6，0)过P作准线的垂线为PC交准线为点C，根据抛物线的定义可知|PF|=|PC|，所以|PF|+|PA|=|PC|+|PA|，因为P为抛物线上的动点，所以当P为点P'|PF|+|PA|=|PC|+|PA|取到最小值为AB=6−(故答案为：15.

【分析】根据抛物线的定义得到|PF|+|PA|=|PC|+|PA|，进而结合几何图形可得|PF|+|PA|的最小值.17．【答案】（1）解：设椭圆方程为mx因为椭圆过点过点(3所以3m=194m+n=1所以椭圆方程为：y2（2）解：由（1）知椭圆的上顶点为(0所以抛物线的焦点为(0所以p2=2，【解析】【分析】（1）设椭圆方程为mx2+ny2=1(18．【答案】（1）解：因为命题p：对任意x∈(0，所以，对任意x∈(0，所以，对任意x∈(0，所以，当x>0时，a>[−所以，如果p是真命题，a的取值范围(4（2）解：命题q：方程x所以，a(a−6)<0，解得0<a<6，因为p∨q为真命题，p∧q为假命题，所以，p，当p真q假时，a∈(4，当p假q真时，a∈(−∞，所以，a的取值范围是(0，【解析】【分析】（1）由题意可知对任意x∈(0，+∞)，x2−4x+a>0恒成立，分离参数进行求解即可得a的取值范围；

（2）当命题q为真时，0<a<6，再根据题意分p真q假和19．【答案】（1）解：由题意知a因为d≠0，所以d=6所以an（2）解：因为1所以T【解析】【分析】（1）根据等比数列的性质结合等差数列的通项公式列出方程组，求解出首项和公差，进而得{an}的通项公式；

（2）由（1）得1anan+120．【答案】（1）解：根据正弦定理可得b=2RsinB因为asin2B+bsinA=0，所以2Rsin因为sinA>0，所以2cosB+1=0又A∈(0，所以B=（2）解：因为△ABC的面积为153所以S△ABC=1因为B=2π所以，由余弦定理得b因为△ABC的面积的周长为15，即a+b+c=15，所以，a+c=15−b所以，b2=(15−b)2−15所以b的值为7【解析】【分析】（1）根据正弦定理边角互化得cosB=−12，进而得角B的值；

（2）由三角形面积得ac=15，进而根据余弦定理得b2=21．【答案】（1）证明：以O为原点，OA，OC，OO'的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系设AE=BF=m(0≤m≤4)，则E(4，m，0)，C'所以A'F=(−m因为A'所以A'F⊥（2）解：由（1）知VB当且仅当m=2时，等号成立，此时E(4，2，因为B'(4，4，设平面B'EF的法向量为则m令x=2，得m=(2取平面BEF的一个法向量n=(0设平面B'EF与平面BEF的夹角为则cosθ=|即平面B'EF与平面BEF夹角的余弦值为【解析】【分析】(1)以O为原点，OA，OC，OO'的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系O−xyz，求得两条直线的方向向量，结合方向向量即可证得A'F⊥C'E22．【答案】（1）解：因为∠F1M又因为|MF1|+|MS△所以b=1，则椭圆C的短轴长为2.（2）解：若△PAB为等边三角形，应有|OP|=32|AB|当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方