2024年北京三十五中高二（上）10月月考数学试题及答案

2024北京三十五中高二10月月数 学2024.10行政班 教学班 姓名 学号 试卷说明：试卷分值共120分，考试时间90分钟．一.选择题(10440分．每小题只有一个正确选项，请选择正确答案填在答题纸相应的题号处)m，n表示平面，下列说法正确的是A.若m//,n//,则m//n B.若m，n，则mnC.若m，mn，则n// D.若m//，mn，则n下列说法正确的是（）任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底空间的基底有且仅有一个两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底p在基底abc下的分解式与在基底e,fg下的分解式相同3.若直线l的方向向量为a(1,2,3),平面的法向量为n(3,6,9),则A.l

B.l// C.l

D.l与相交ABCABaACbc.MN与BC的中点，则MN（）1a1c2 2

1 1 11ab1ab1c 2 2 2 2 2

D.1a1c2 25.已知空间三点A1,3,2,B2,5,1,Cp1,7,q共线，则p和q的值分别是（）A.3，6 B.2，4 C.1，4 D.2，6在正方体ABCD中，P为的中点，则直线PB与所成的角为（ ）π π π πA. B. C. D.2 3 4 6棱长为2的正四面体ABCD中，点E是AD的中点，则BACE（ ）3A.1 B.－1 C.3

D.3已知长方体ABCD中，2，AD1，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）3 3

2

6 D.13 22ABCDEFM上的一(02)NMEN的距离为（）A. 2B. A. 22 35在棱长为1的正方体ABCD中，M,N分别为,的中点，点P在正方体的表面上运动，且满足MPCN，则下列说法正确的是（ ）A.点P可以是棱的中点 B.线段MP的最大值为 25C.点P的轨迹是正方形 D.点P轨迹的长度为2+5二.填空题(共6个小题，每题5分，共30分．请将正确答案填在答题纸相应的题号处)已知点P5，则该点关于yOz平面的对称点坐标为 .12.若a(2,b(2,c4,2)，则a(b2c)，若kab与c互相垂直，实数k.ABCDAD12.

，正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为3，则侧面与底面所成二面角的余弦值为 PABCDABCDPAABCDPAAB2，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点，平面AEF与平面PBC 填“垂直”或不垂直的面积的最大值为 ．

△AEFABCDPABCD及其内部运动，点Q在矩形ABEF及其内部运动．设AB2,AF1，给出下列四个结论：PQPQ3；②存在PQ，使CQ//EP；③到直线AD和EF的距离相等的点P有无数个；④若PAPE，则四面体PAQE体积的最大值为1．3其中所有正确结论的序号是 ．三、解答题(共3个小题，共50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请将正确答案填在答题纸相应的题号处)如图，在四棱锥 PABCDPAABBC2AD2.

中， PA 平面

ABCD,ABAD,AD//BC ，MABADPM；PBPCD所成角的正弦值;APDC的余弦值．ABCABCABACABACM为线段A1C1上的一点．求证//ABC；所成角的余弦值；ABBCMπABCM的距离．1 4 119.设nn2为正整数，若x1,x2,,xn满足：①xi0,1,,n1，i1,2,,n；②对于1ijnxj.则称En.对于x2,xny1y2,,yn，定义集合T,ttxiyi,i1,2,,n.（1）设0,1,2，若具有性质E3，请写出一个及相应的T,；（2）设0,124E5，满足T4；（3）设0,16E7，使得T？若存个数的奇偶；若不存在，请说明理由.参考答案一.选择题(10440分．每小题只有一个正确选项，请选择正确答案填在答题纸相应的题号处)【答案】B【详解】试题分析：线面垂直，则有该直线和平面内所有的直线都垂直，故B正确.考点：空间点线面位置关系．【答案】C【分析】借助空间向量基底定义与性质逐项判断即可得.AABB错误；CCDD错误.故选：C.【答案】C【分析】由已知得a n，从而得到l⊥．la3平面n369，∴a1n，∴a n，3∴l．故选C．【点睛】本题考查直线与平面的位置关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．【答案】D【分析】结合图形，根据空间向量的线性运算即可得到答案. 【详解】因为ANABBNAB1BCAB1ACAB1AC1AB1b1a AMAM1AC1ACCC1ACAA1b1c2121212 2，MNANAM1b1a1b1c1a1c.2 2 2 2 2 2 故选：D.【答案】B【分析】得到AB，AC后借助空间向量共线计算即可得.AB3ACpq2，12

3 p2q4.p 4故选：B.

q2【答案】D【分析】平移直线AD1至BC1，将直线PB与AD1所成的角转化为PB与BC1所成的角，解三角形即可.【详解】如图，连接BC1,PC1,PB，因为AD1∥BC1，所以PBC1或其补角为直线PB与AD1所成的角，因为平面 ，所以，又，，所以PC1平面PBB1，所以PC1PB，2设正方体棱长为2，则BC22,PC1DB ，21 1 2 11sin

PC11，所以PBC.1 1 故选：D

2【答案】ABACEBACAAEBACABAAE求解即可．【详解】CECAAE，所以BACEBACAAEBACEBACAAEBACABAAE2故选：A．【答案】C【分析】根据D1C1平面BCC1B1找到线面角，进而求出答案.，所以所成的角，1

2,BD

，所以22222226

6261 126故选：C.

3【答案】DD为原点，DAx轴，DCy轴，DD1z轴，建立空间直角坐标系，D1EFnMD1EFNEM中点即可求解D为原点，DAx轴，DCy轴，DD1z轴，建立空间直角坐标系，M（2，，2，1，0，，（2，01，F（2，211＝（﹣2，，1，EF＝（，2，，EM＝（0，λ，nE12xz01EFn＝（x，y，，则

nEF2y0

x＝n＝（10，∴点M到平面D1EF的距离为：d＝|EMn|225，N为EM中点，所以N到该面的距离为 5故选：D．

|n| 5 5 5【点睛】本题考查利用向量法求解点到平面距离，建系法与数形结合是解题关键，属于中档题【答案】DABCDDDADCxyzMPCNP的轨迹，在逐项判断，即可得出结果.【详解】ABCDDDADCxyz轴正方向，建立空间直角坐标系，因为该正方体的棱长为1MN的中点，D00M111N1C0，222 2 所以CN1,0,1，设Px,y,z，则MPx1,y1,z1，2

2 2 2 因为MPCN，所以1x1z10，2x4z30，当x1时，z1；当x0时，z3；2 2 2 4 4 1133444，41133444，4连接EF，FG，GH，HE，则EFGH0,1,0，EHFG1,0,1， 2 所以四边形EFGH为矩形，EHE则EFCN0，EHCN0，即EFCN，EHCNEHEEF

EFEFGHEHEFGH，所以CN平面EFGH，EM111 111又 , , ， , , ，所以M为EG中点，则M平面EFGH， 224 224MPCNPEFGHP在正方体的表面上运动，PEFGH，EHFG52EFEHFG52EFEH

GH

1，

，所以

，则点P的轨迹不是正方形；且矩形EFGH的周长为22

522

5，故C错，D正确；MEGMEFGHME和点G的距离相等，且最大，所以线段MP的最大值为3，故B错.4故选：D.【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量的方法，由MPCN，求出动点轨迹图形，即可求解.二.填空题(共6个小题，每题5分，共30分．请将正确答案填在答题纸相应的题号处)11.【答案】3,1,5yOzxyzP5计算即可得.【详解】求一个点关于平面yOz的对称点坐标，xyzP5yOz平面的对称点坐标为5.5.12.【答案】 ①.1 ②.312得到方程，解出即可.【详解】空1：b2c8,8,7，则a(b2c)2838171；2kabk2232k3kk3，kab与c互相垂直，则kabc0，32k212k2k30，k3.5故答案为：1；3.5【答案】 ①.

②.1【分析】建立空间直角坐标系，利用向量减法、模和数量积的坐标运算，求得所求的结果.【详解】以D为原点建立空间直角坐标系如下图所示，则C0,2,0,C10,2,1,B1,2,0,D10,0,1,A12,0,1.1405所以CC10,0,1,BD11,2,1,CA12,1405

0

，0,0,12,1.51）5

（2）1【点睛】本小题主要考查空间向量的减法、模和数量积的计算，属于基础题.【答案】 24【分析】利用正四棱锥的性质可得EFO为侧面与底面所成二面角的平面角，在直角三角形EFO中即求．EABCDABCD中心OABF，EOEF、OF，EOABCDOFABEFAB，所以EFO为侧面与底面所成二面角的平面角，因为正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为3，1221AD122cosEFOOF 2AE2AE2AF2故答案为： 2．4

1 2，3232123【答案】 ①.垂直 ②.3【分析】根据线面垂直的的性质定理，判定定理，可证AE平面PBC，根据面面垂直的判定定理，即可得证.分析可得，当点F位于点C时，面积最大，代入数据，即可得答案.PAABCDBCABCD，PABC，ABCDABBC，又AB PAA，AB,PA平面PAB，BCPABAEPAB，又PAAB2，所以PABEPBAEPB，又BCPBB，BC,PB平面PBC，所以AE平面PBC，因为AE平面AEF，所以平面AEF与平面PBC.AEPBCEF，所以当EF最大时，△AEF的面积的最大，EB2BC663当F位于点C时，EF最大且EB2BC663所以△AEF的面积的最大为12

2 .3故答案为：垂直；3【答案】①③④【分析】建立适当空间直角坐标系后，借助空间向量研究位置关系，结合距离公式、三棱锥体积公式逐项判断即可得.【详解】建立如图所示空间直角坐标系AFBD，则有𝐴(0,0,0)F0B00D02、C02E0，P0mnQst0，其中0mnt20s1，Q s2tm2Q s2tm2n2PQ144当s1，tnPQ144故存在点P,Q，使PQ3，故①正确；sn2CQst2EP1mn，若CQ//EP，则有sm2t2sn2

，3，由0mnt20s1sn2s1n2，m2t2mt4mt2，此时Q与E重合，P与C重合，故不存在点P,Q，使CQ//EP，故②错误；n2对③：点P到直线AD的距离为m，点Pn2

，即m2n21，由0mn2，PAP0mnEP1mn，PAPEmm2n20n21m2,，又S

1S21

1121，21 1故VPAQE3SAQEn3113，故④正确.故答案为：①③④.【点睛】关键点点睛：第④个结论的关键点在于借助四面体的体积公式，分别求出高与底面三角形的最大值.三、解答题(共3个小题，共50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，请将正确答案填在答题纸相应的题号处)（1）证明见解析（2） 33（3） 66【分析】（1）由线面垂直的判定定理和性质定理可得AD平面PAB，即可证明ADPM；PBPCD的法向量，利用向量夹角公式求结论；APD的法向量，利用向量夹角公式求结论；【小问1详解】PAABCD,ADABCDPAAD，PAABABPAB，ADPABMABPMPABADPM.【小问2详解】因为PA平面ABCD,ABAD，所以以点A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，因为PAABBC2AD2，A00D0B20C20P02，因为PB2,0,2,DC2,1,0,PD0,1,2，PCDnx,y,z，则nDC2xy0，nPDy2z03y2xz1n12,1，PBPCD所成角的大小为，3所以sincosPB,n

PB

4 ，PBn

226 3直线PB和平面PCD所成角的正弦值 3.3【小问3详解】平面APD的法向量为m1,0,0,设二面角APDC的平面角大小为，所以cosn

mn1 6，mn 6 6因为二面角APDC的平面角为钝角，所以二面角APDC的余弦值 6.6（1）证明见解析（2）01（3）3【分析】（1）借助线面平行的性质定理推导即可得；弦值；M位置，再结合空间点到面距离公式进行求解即可.【小问1详解】ABC////ABC；【小问2详解】ABCABACABCABACABAC，故AB,AC,AA1两两垂直，故可建立如图所示的空间直角坐标系Axyz：0),0C(0,10),，由BC1AB11110110，故BC1AB1，故直线BC与直线AB所成角的余弦值为cosπ0；1 1 2【小问3详解】M(0a