高一数学上下册知识点总结

必修1各章知识点总结第一章集合与函数概念一、集合有关概念1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。2、集合的中元素的三个特性：说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。(2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合(3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。2.集合的表示方法：列举法与描述法。注意啊：常用数集及其记法：非负整数集(即自然数集)记作：N正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实数集R关于“属于”的概念集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A记作a∈A，相反，a不属于集合A记作a?A列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x?R|x-3>2}或{x|x-3>2}反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA实例：设A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同”结论：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，即：A=B①任何一个集合是它本身的子集。AíA②真子集:如果AíB,且A1B那就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)④如果AíB同时BíA那么A=B规定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。三、集合的运算1.交集的定义：一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,交集.记作A∩B(读作”A交B”)，即A∩B={x|x∈A，且x∈B}.2、并集的定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集。记作：A∪B(读作”A并B”)，即A∪B={x|x∈A，或x∈B}.3、交集与并集的性质：A∩A=A,A∩φ=φ,A∩B=B∩A，A∪A=A,A∪φ=A,A∪B=B∪A.4、全集与补集成的集合，叫做S中子集A的补集(或余集)作一个全集。通常用U来表示。(3)性质：⑴CU(CUA)=A⑵(CUA)∩A=Φ⑶(CUA)∪A=U二、函数的有关概念1.函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B值域.2如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合;定义域补充能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式等式组的解集即为函数的定义域。)构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域再注意：(1)构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等(或为同一函数)(2)两个函数相等当且仅当它们的量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法：①表达式相同;②定义域一致(两点必须同时具备)值域补充(1)、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应它是求解复杂函数值域的基础。与任意平行与Y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。B、图象变换法(请参考必修4三角函数)常用变换方法有三种，即平移变换、伸缩变换和对称变换1、直观的看出函数的性质;2、利用数形结合的方法分析解题的思路。提高解题的发现解题中的错误。一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射。记作“f：AB”给定一个集合A到B的映射，如果a∈A,b∈B.且元素a和元素b对应，那么，我说明：函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应，①集合A、B及对应法则f是确定的;②对应法则有“方向性”，即强调从集合A到集合B的对应，它与从B到A的对是同一个;(Ⅲ)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原1函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断代表性，应能反映定义域的特征.注意啊：解析法：便于算出函数值。列表法：便于查出函数值。图象法：便于量出补充一：分段函数在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况.(1)分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数;(2)分段函数值域是各段值域的并集.补充二：复合函数设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，注意：1函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质;2必须是对于区间D内的任意两个自变量x1有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.注意：1、函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在一注意：1函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体2由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.总结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：1首先确定函数的定义域，并判断其注意啊：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看函数的定用定理，或借助函数的图象判定.9、函数的解析表达式要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.(2).求函数的解析式的主要方法有：待定系数法、换元法注意元的取值范围;当已知表达式较简单时，也可用凑配法;若已知抽象函数表达式，则常用第二章基本初等函数一、指数函数当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.此时，的次方当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.此时，正数的正的次方正数的分数指数幂的意义，规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂.函数的定义域为R.注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1.二、对数函数—对数式)说明：1注意底数的限制，3注意对数的书写格式.对数式与指数式的互化对数式指数式对数底数←→幂底数对数←→指数真数←→幂注意：换底公式注意：1对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如都不是对数函数，而只能称其为对数型函数.2对数函数对底数的限制：函数图象都在y轴右侧函数的定义域为(0，+∞)非奇非偶函数函数的值域为R图象逐渐上升图象逐渐下降1、幂函数定义：一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数.2、幂函数性质归纳.(2)时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数.特别地，当时，幂函数的(3)时，幂函数的图象在区间上是减函数.在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴.第三章函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。2、函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点.2(几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点.二次函数.1)△>0，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点.2)△=0，方程有两相等实根(二重根)，二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点.3)△<0，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点高中数学必修二?第二章?直线与?空间点、直线、平面之间的位置关系??—??空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系??定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x轴直线的斜率?①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜?1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为半径。?若利用圆的标准方程，?需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F；?另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点高中数学必修3知识点第一章算法初步?(2)确定性：算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果，而不应当(3)顺序性与正确性：算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，每一个步骤只能有一个确定的后继步骤，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行下一步，并且每一步(5)普遍性：很多具体问题，都可以设计合理的算法去解决，如心算、计算器计算都要经过直观地表示算法的图形。大多数流程图符号只有一个进入点和一个退出点。判断框具有超过一个退出点的唯一符号。4、判断框分两大类，一类判断框“是”与“否”两分支的判断，而且有且仅有两个结果；另一类是多分支判断，有几种不同的结果。5、在图形符号（三）、算法的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结1、顺序结构：顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间，框与框之间是按从上到下的顺序进行的，它是由若干个依次执行的处理步骤组成的，它是任何一个算法都离不开的一种基本算法结构。顺序结构在程序框图中的体现就是用流程线将程序框自上而?下地连接起来，按顺序执行算法步骤2、条件结构：?条件结构是指在算法中通过对条件的判断?根据条件是否成立而选择不条件P是否成立而选择执行A框或B框。无论P条件是否成立，只能执行A框或B框之一，不可能同时执行A框和B框，也不可能A框、B框都不执行。一个判断结构可以有多个判断框。?3、循环结构：在一些算法中，经常会出现从某处开始，按照一定条件，反复执行某一处理步骤的情况，这就是循环结构，反复执行的处理步骤为循环体，显然，循环结构中一定包含（1）、一类是当型循环结构，如下左图所示，它的功能是当给定的条件P成立时，执行A框，A框执行完毕后，再判断条件P是否成立，如果仍然成立，再执行A框，如此反复执行A框，直到某一次条件P不成立为止，此时不再执行A框，离开循环结构。（2）、另一类是直到型循环结构，如下右图所示，它的功能是先执行，然后判断给定的条件P是否成立，如果P仍然不成立，则继续执行A框，直到某一次给定的条件P成立为止，此时不再执行A框，离开循环结构注意：1循环结构要在某个条件下终止循环，这就需要条件结构来判断。因此，循环结构中一定包含条件结构，但不允许“死循环”。2在循环结构中都有一个计数变量和累加变量。计数变量用于记录循环次数，累加变量用于输出结果。计数变量和累加变量一般是同步执行的，累加一次，计数一次。?输入、输出语句和赋值语句?（2）赋值语句的作用是将表达式所代表的值赋给变量3）赋值语句中的“＝”称作赋值号，与数学中的等号的意义是不同的。赋值号的左右两边不能对换，它将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变量4）赋值语句左边只能是变量名字，而不是表达式，右边表达式可以是一个数据、常量或算式5）对于一个变量可以多次赋值。?注意：①赋值号左边只能是变量名字，而不能是表达式。如：2=X是错误的。②赋值号左右不能对换。如“A=B”“B=A”的含义运行结果是不同的。③不能利用赋值语句进行代数式的演算。（如化简、因式分解、解方程等）④赋值号“=”与数学中的等号意义不同。?分析：在IF—THEN—ELSE语句中，“条件”表示判断的条件，“语句1”表示满足条件时执行的操作内容；“语句2”表示不满足条件时执行的操作内容；END??IF表示条件语句的结束。计算机在执行时，首先对IF后的条件进行判断，如果条件符合，则执行THEN后面的语句1；若条件不符合，则执行ELSE后面的语句辗转相除法与更相减损术??大的数m除以较小的数n得到一个商0S和一个余数0R2若0R＝0，则n为m，n的最大公约数；若0R≠0，则用除数n除以余数0R得到一个商1S和一个余数1R3若1R=0，则1R为m，n的最大公约数；若1R≠0，则用除数0R除以余数1R得到一个商2S和我国早期也有求最大公约数问题的算法，就是更相减损术。在《九章算术》中有更相减损术求最大公约数的步骤：可半者半之，不可半者，副置分母?子之数，以少减多，更相减损，用2约简；若不是，执行第二步。（2以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数。3、辗转相除法与更相减损术的区别：?（1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。?（2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为0则得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到??这样，把n次多项式的求值问题转化成求n个一次多项式的值的问题。?叫做总体容量．?为了研究总体的有关性质，一般从总体中随机抽取一部分研究，我们称它为样本．其中个体的个数称为样本容量．?2．简单随机抽样，也叫纯随机抽样。就是从总体中不加任何分组、划类、排队等，完全随?），个单位完全独立，彼此间无一定的关联性和排斥性。简单随机抽样是其它各种抽样形式的基础。通常只是在总体单位之间差异程度较小和数目较少时，才采用这种方法。?3．简单随机抽样常用的方法：?在简单随机抽样的样本容量设计中，主要考虑：①总体变异情况；②允许误差范围；③概率保证程度??（3）对样本中的每一个个体进行测量或调查?把总体的单位进行排序，再计算出抽样距离，然后按照这一固定的抽样距离抽取样本。第一个样本采用简单随机抽样的办法抽取。?K（抽样距离）=N（总体规模）/n（样本规模）?前提条件：总体中个体的排列对于研究的变量来说，应是随机的，即不存在某种与研究变量如果有明显差别，说明样本在总体中的分布承某种循环性规律，且这种循环和抽样距离重合。?实施也比较简单。更为重要的是，如果有某种与调元按辅助变量的大小顺序排队的话，使用系统抽样可以大大提高估再在各个类型或层次中采用简单随机抽样或系用抽样的办法抽取一个子样本，最后，将这些两种方法：?（1先以分层变量将总体划分为若干层，再按照各层在总（2先以分层变量将总体划分为若干层，再将各层的元素按分层的顺序整齐排列，最后用系统抽样的方法抽取样本。?2．分层抽样是把异质性较强的总体分成一个个同质性较强的子总体，再抽取不同的子总体中的样本分别代表该子总体，所有的样本进而代表总体。分层标准1）以调查所要分析和研究的主要变量或相关的变量作为分层的标准。?（2）以保证各层内部同质性强、各层之间异质性强、突出总体内在结构的变量作为分层变量。?3．分层的比例问题：???（1）按比例分层抽样：根据各种类型或层次中的单位数目占总体单位数目的比重来抽取子样本的方法。???（2）不按比例分层抽样：有的层次在总体中的比重太小，其样本量就会非常少，此时采用该方法，主要是便于对不同层次的子总体进行专门研究或进行相互比较。如果要用样本资料推断总体时，则需要先对各层的数据资料进行加权处理，调整样本中各层的比例，使数据恢复到总体中各层实际的比例结构。.3用样本估计总体时，如果抽样的方法比较合理，那么样本可以反映总体的信息，但从样本得到的信息会有偏差。在随机抽样中，这种偏差是不可避免的。?虽然我们用样本数到的分布、均值和标准差并不是总体的真正的分布、均值和标准差，而只是一个估计，但这种估计是合理的，特别是当样本量很大时，它们确实反映了总体的信息。?如果把一组数据中的每一个数据乘以一个共同的常数k，标准差变为原来的k倍?（3）一组数据中的最大值和最小值对标准差的影响，区间)数量关系?因变量Y）进行估计，即可得到个体Y值的容许区间。???????（3）利用回归方程进行统计控制规定Y值的变化，通过控制x的范围来实现统计控制的目标。如已经得到了空气中NO2的浓度和汽车流量间的回归方程，即可通过控制汽车流量来控制空气中NO2的浓度。?4．应用直线回归的注意事项?1、基本概念：?（1）必然事件：在条件S下，一定会发生的事件，叫相对于条件S的必然事件；?（2）不可能事件：在条件S下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S的不可能事件；?（3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S的确定事件；?（4）随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S的随机事件；?（5）频数与频率：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数；称事件A出现的比例fn(A)=nnA为事件A出现的概率：对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P（A称为事件A的概率。?（6）频率与概率的区别与联系：随机事件的频率，指此事件发生的次数nA与试验总次数n的比值nnA，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小。我们把这个常数叫做随机事件的概率，概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率?概率的基本性质?1、基本概念1）事件的包含、并事件、交事件、相等事件?（2）若A∩B为不可能事件，即A∩B=ф,那么称事件A与事件B互斥；?（3）若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件；?（4）当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A∪B)=?P(A)+?P(B)；若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事件，所以P(A∪B)=?P(A)+?P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)??2）当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A∪B)=?P(A)+?P(B)；?3）若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事件，所以P(A∪B)=?P(A)+?P(B)=1，于是有4）互斥事件与对立事件的区别与联系，互斥事件是指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生，其具体包括三种不同的情形1）事件A发生且事件B不发生2）事件A不发生且事件B发生3）事件A与事件B同时不发生，而对立事件是指事件A?与事件B有且仅有一个发生，其包括两种情形1）事件A发生B不发生2）事件B发生事件A不发生，对立事件互斥事件的特殊情形。??—古典概型及随机数的产生?的解题步骤；?①求出总的基本事件数；②求出事件A所包含的基本事件数，然后利用公式P（A）=—几何概型及均匀随机数的产生?1、基本概念：?（1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）P（A）=基本事件出现的可能性相等高中数学必修4知识点1、正弦定理：在ΔABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，R为ΔABC的外接圆的半径，则有.a3、三角形面积公式：SΔABC=bcsinA=absinC=acsin22o.7、数列：按照一定顺序排列着的一列数.8、数列的项：数列中的每一个数.11、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数12、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数14、摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列.15、数列的通项公式：表示数列{an}的第n项与序号n之间的关系的公式.等差数列，这个常数称为等差数列的公差.18、由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则A称为a与b的等a+c则称b为a与c的等差中项.{}23、等差数列的前n项和的性质：①若项数为，则S2,,奇=na.奇偶n1（其中偶n奇偶n1（其中偶nn偶偶等比数列，这个常数称为等比数列的公比.n1=