第16章 三角形的“四心”-假期晋级利器之初升高数学衔接教材（原卷版）

第16章三角形的“四心”【知识衔接】————初中知识回顾————1、重心：三角形的三条中线交点．2、外心：是三角形三边中垂线的交点．3、内心：是三角形的三内角平分线的交点．4、垂心：是三角形三条高的交点．————高中知识链接————1、重心：它到顶点的距离等于它到对边中点的距离的2倍，重心和三顶点的连线将△ABC的面积三等分，重心一定在三角形内部．2、外心：它到各顶点的距离相等，锐角三角形的外心在三角形内，直角三角形的外心是斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形外．3、内心：它到三边的距离相等，内心一定在三角形内．4、垂心：垂心和三角形的三个顶点，三条高的垂足组成六组四点共圆，锐角三角形的垂心在三角形内，直角三角形的垂心为直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形外．【经典题型】初中经典题型例1：求证三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为2：1．已知：D、E、F分别为三边BC、CA、AB的中点，求证：AD、BE、CF交于一点，且都被该点分成2：1．例2：已知的三边长分别为，I为的内心，且I在的边上的射影分别为，求证：．例3：已知：O为的重心和内心，求证：为等边三角形．例4：已知：中，AD与BE交于H点．求证：．学科！网高中经典题型1、已知三角形的三边长分别为5，12，13，则其垂心到外心的距离为，重心到垂心的距离为．2、已知三角形的三边长为5，12，13，则其内切圆的半径＝．3、在△ABC中，∠A是钝角，O是垂心，AO＝BC，则cos（∠OBC+∠OCB）=．4、设G为△ABC的重心，且AG＝6，BG＝8，CG＝10，则△ABC的面积为．5、若，那么以、、为三边的△ABC的内切圆，外接圆的半径之和为．A、 B、C、 D、【实战演练】————先作初中题——夯实基础————A组1．在三角形内部，到三角形三边距离相等的点是（）A．三条中线的交点B．三条高线交点C．三个内角平分线交点D．三边垂直平分线交点2．已知等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6，G是△ABC的重心，那么AG=_____．3．如图，点G是△ABC的重心，AG的延长线交BC于点D，过点G作GE∥BC交AC于点E，如果BC＝6，那么线段GE的长为______．4．已知点G是△ABC的重心，AG=8，那么点G与边BC中点之间的距离是________．5．如图，等腰直角的中线、相交于点，若斜边的长为，则线段的长为_______．6．．如图，在△ABC中，AB=AC，AB边的垂直平分线DE交AC于点D．已知△BDC的周长为14，BC=6，则AB=___．学*科网7．阅读下面材料：如图，AB是半圆的直径，点C在半圆外，老师要求小明用无刻度的直尺画出△ABC的三条高．小明的作法如下：（1）连接AD，BE，它们相交于点P；（2）连接CP并延长，交AB于点F．所以，线段AD，BE，CF就是所求的△ABC的三条高．请回答，小明的作图依据是________．8．如图，在中，，平分，于，如果，那么等于_________cm．9．中，点是内一点且到三边的距离相等，，则_________．10．两个城镇与一条公路，一条河流的位置如图所示，某人要修建一避暑山庄，要求该山庄到的距离必须相等，到和的距离也必须相等，且在的内部，请画出该山庄的位置．(不要求写作法，保留作图痕迹．)————再战高中题——能力提升————B组1、在锐角△ABC中，内角为A、B、C三边为a、b、c，则内心到三边的距离之比为，重心到三边的距离为，外心到三边的距离之比为，垂心到三边的距离之比为．2、如图，锐角△ABC的垂心为H，三条高的垂足分别为D、E、F，则H是△DEF的．AAFBDCEH3、如图，D是△ABC的边BC上任一点，点E、F分别是△ABD和△ACD的重心连结EF交AD于G点，则DG：GA＝．AABCEGFMDN4、设△ABC的重心为G，GA＝，，，则＝．5、若H为△ABC的重心，AH＝BC，则∠BAC的度数是（