第13章 函数的单调性与最值-假期晋级利器之初升高数学衔接教材（解析版）VIP

第13章函数的单调性与最值【知识衔接】————初中知识回顾————正比例函数和一次函数：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；反比例函数：当时，函数图像的两个分支分别在第一、三象限。在每个象限内，y随x的增大而减小。当时，函数图像的两个分支分别在第二、四象限。在每个象限内，随x的增大而增大。二次函数：如果自变量的取值范围是，那么，首先要看是否在自变量取值范围内，若在此范围内，则当x=时，；若不在此范围内，则需要考虑函数在范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当时，，当时，；如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当时，，当时，。学科-网————高中知识链接————函数的单调性（1）增函数：若对于定义域内的某个区间上的任意两个自变量、，当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数；（2）减函数：若对于定义域内的某个区间上的任意两个自变量、，当时，都有，那么就说函数在区间上是减函数．函数的最值1．最大值：一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：（1）对于任意的，都有；（2）存在，使得．那么，我们称是函数的最大值．2．最小值：一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：（1）对于任意的，都有；（2）存在，使得．学*科网那么，我们称是函数的最小值．【经典题型】初中经典题型1．下列函数中，对于任意实数，，当时，满足的是（）A．y=﹣3x+2B．y=2x+1C．y=2x2+1D．y=﹣【答案】A∴当x＞0时，y随x的增大而增大，当x＜0时，y随x的增大而减小，则对于任意实数x1，x2，当x1＞x2时，足y1不一定大于y2，故选项C错误，∵y=﹣，∴y随x的增大而增大，则对于任意实数x1，x2，当x1＞x2时，满足y1＞y2，故选项D错误，故选：A．点睛：本题考查二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确一次函数和二次函数图象的变化特点．2．下列函数的图像在每一个象限内，值随值的增大而增大的是（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】A选项：对于一次函数y=-x+1，k＜0，函数的图象在每一个象限内，y值随x值的增大而减小，故本选项错误；

B选项：对于二次函数y=x2-1，当x＞0时，y值随x值的增大而增大，当x＜0时，y值随x值的增大而减小，故本选项错误；

C选项：对于反比例函数y＝，k＞0，函数的图象在每一个象限内，y值随x值的增大而减小，故本选项错误；

D选项：对于反比例函数y＝−，k＜0，函数的图象在每一个象限内，y值随x值的增大而增大，故本选项正确．

故选D．3．已知反比例函数y=﹣，当﹣3＜x＜﹣2时，y的取值范围是（）A．0＜y＜1B．1＜y＜2C．2＜y＜3D．﹣3＜y＜﹣2【答案】C【解析】分析：由题意易得当﹣3＜x＜﹣2时，函数的图象位于第二象限，且y随x的增大而增大，再计算出当x=-3和x=-2时对应的函数值，即可作出判断了．4．反比例函数的图象如图所示，以下结论：①常数m＜﹣1；②在每个象限内，y随x的增大而增大；③若A（﹣1，h），B（2，k）在图象上，则h＜k；④若P（x，y）在图象上，则P′（﹣x，﹣y）也在图象上．其中正确的是（）A．①②B．②③C．③④D．①④【答案】C【解析】∵反比例函数的图象位于一三象限，∴m＞0故①错误；学科！网当反比例函数的图象位于一三象限时，在每一象限内，y随x的增大而减小，故②错误；将A（﹣1，h），B（2，k）代入得到h=﹣m，2k=m，∵m＞0∴h＜k故③正确；将P（x，y）代入得到m=xy，将P′（﹣x，﹣y）代入得到m=xy，故P（x，y）在图象上，则P′（﹣x，﹣y）也在图象上故④正确，故选：C．5．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，与x轴交点的横坐标分别为-1、3，则下列说法错误的是（）A．对称轴是直线x=1B．方程ax2+bx+c=0的解是x1=-1，x2=3C．当x＜1，y随x的增大而增大D．当-1＜x＜3时，y＜0【答案】C【解析】A．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交点的横坐标分别为-1、3,∴对称轴是直线，故正确；B．∵抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)与x轴交点的横坐标分别为−1、3,∴方程ax²+bx+c=0的根是x₁=−1,x₂=3，故正确；C．根据图象得抛物线对称轴为x=1，而抛物线开口方向向上，∴当x<1时，y随x的增大而减小，故错误；D．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，∴当-1＜x＜3时，y＜0，故正确；故选C．6．若A（﹣4，y1），B（﹣3，y2），C（1，y3）为二次函数y=x2+4x﹣m的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2D．y1＜y3【答案】B7．下列关于二次函数y=x2+2x+3的最小值的描述正确的是（）A．有最小值是2B．有最小值是3C．有最大值是2D．有最大值是3【答案】A【解析】试题解析：∵y=x2+2x+3=（x+1）2+2中，a＞0，∴二次函数y=x2+2x+3的最小值是2，故选A．【点睛】根据顶点式得到它的顶点坐标是（-1，2），即可求出函数的最大值．8．当－2≤x≤l时，二次函数有最大值4，则实数m的值为（）(A)(B)或(C)2或(D)2或或【答案】C【解析】试题分析：∵当－2≤x≤l时，二次函数有最大值4，∴二次函数在－2≤x≤l上可能的取值是x=－2或x=1或x=m．当x=－2时，由解得，此时，它在－2≤x≤l的最大值是，与题意不符．当x=1时，由解得，此时，它在－2≤x≤l的最大值是4，与题意相符．当x=m时，由解得，此时．对，它在－2≤x≤l的最大值是4，与题意相符；对，它在－2≤x≤l在x=1处取得，最大值小于4，与题意不符．综上所述，实数m的值为2或．故选C．高中经典题型1．若函数f(x)满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)”，则f(x)的解析式可以是()A．B．C． D．【答案】C【解析】根据条件知，f(x)在(0，＋∞)上单调递减．对于A，在(1，＋∞)上单调递增，排除A；对于B，在(0，＋∞)上单调递增，排除B；对于C，在(0，＋∞)上单调递减，C正确；对于D，在(0，＋∞)上单调递增，排除D．2．若函数f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝(a＋1)1－x在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是()A．(－1,0) B．(－1,0)∪(0,1][来源:学,科,网Z,X,X,K]C．(0,1) D．(0,1]【答案】D3．函数f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x－log2(x＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________．【答案】3【解析】由于在R上单调递减，在[－1,1]上递增，所以f(x)在[－1,1]上单调递减，故f(x)在[－1,1]上的最大值为f(－1)＝3．4．求函数的单调区间【解析】∵其图象如图所示，所以函数的单调递增区间为和；单调递减区间为和。5．的递增区间是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】解不等式得或，因此函数的定义域为，令，，由于内层函数在上单调递增，外层函数为单调递减函数，由复合函数得单调性可知，函数的递增区间是，故选A．6．函数的单调递增区是（）A．B．C．和D．【答案】D【实战演练】————先作初中题——夯实基础————A组1．正比例函数y＝(2k＋1)x，若y随x增大而减小，则k的取值范围是()A．k＞－B．k＜－C．k＝D．k＝0【答案】B【解析】由题意得，，．故选B．2．已知二次函数y=﹣（x﹣h）2（h为常数），当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为﹣1，则h的值为（）A．3或6B．1或6C．1或3D．4或6【答案】B【解析】【分析】分h＜2、2≤h≤5和h＞5三种情况考虑：当h＜2时，根据二次函数的性质可得出关于h的一元二次方程，解之即可得出结论；当2≤h≤5时，由此时函数的最大值为0与题意不符，可得出该情况不存在；当h＞5时，根据二次函数的性质可得出关于h的一元二次方程，解之即可得出结论．综上即可得出结论．【详解】如图，当h＜2时，有﹣（2﹣h）2=﹣1，解得：h1=1，h2=3（舍去）；当2≤h≤5时，y=﹣（x﹣h）2的最大值为0，不符合题意；当h＞5时，有﹣（5﹣h）2=﹣1，解得：h3=4（舍去），h4=6，综上所述：h的值为1或6，故选B．3．一次函数与二次函数交于x轴上一点，则当时，二次函数的最小值为（）A．15B．-15C．16D．-16【答案】D4．一次函数若随的增大而增大，则的取值范围是_______．【答案】m＞﹣2【解析】【分析】根据图象的增减性来确定（m+2）的取值范围，从而求解．【详解】∵一次函数y=（m+2）x+1，若y随x的增大而增大，∴m+2＞0，解得，m＞﹣2，故答案为：m＞﹣2．【点睛】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的增减性质是解题的关键．函数值y随x的增大而减小⇔k＜0；函数值y随x的增大而增大⇔k＞0．5．在一次函数中，如果的值随自变量的值增大而增大，那么的取值范围是________．【答案】k＞1【解析】分析：先根据一次函数的性质：y随着x增大而增大得出关于k的不等式，求出k的取值范围即可．详解：在一次函数中，∵的值随自变量的值增大而增大，∴，解得k＞1．故答案为：k＞1．6．已知反比例函数的图像经过点（-2017，2018），当时，函数值y随自变量x的值增大而_________．（填“增大”或“减小”）【答案】增大【解析】∵反比例函数的图像经过点（-2017，2018），∴k=-2017×2018<0，∴当x>0时，y随x的增大而增大．故答案为：增大．7．二次函数y＝x2－2x－3，当m－2≤x≤m时函数有最大值5，则m的值可能为___________【答案】0或4【解析】分析：根据二次函数的图像和解析式，判断出函数的最值的自变量x的值，然后根据m的范围求出m的值即可．详解：令y=5，可得x2－2x－3=5，解得x=-2或x=4所以m-2=-2，m=4即m=0或4．故答案为：0或4．点睛：此题主要考查了二次函数的最值，求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图像直接得出，第二种配方法，第三种公式法，此题关键是根据最值构造一元二次方程求解．8．下列关于函数的四个命题：①当时，有最小值10；②为任意实数，时的函数值大于时的函数值；③若，且是整数，当时，的整数值有个；④若函数图象过点和，其中，，则．其中真命题的序号是（）A．① B．② C．③ D．④【答案】C．【解析】试题解析：∵y=x2-6x+10=（x-3）2+1，∴当x=3时，y有最小值1，故①错误；当x=3+n时，y=（3+n）2-6（3+n）+10，当x=3-n时，y=（n-3）2-6（n-3）+10，∵（3+n）2-6（3+n）+10-[（n-3）2-6（n-3）+10]=0，∴n为任意实数，x=3+n时的函数值等于x=3-n时的函数值，故②错误；∵抛物线y=x2-6x+10的对称轴为x=3，a=1＞0，∴当x＞3时，y随x的增大而增大，当x=n+1时，y=（n+1）2-6（n+1）+10，当x=n时，y=n2-6n+10，（n+1）2-6（n+1）+10-[n2-6n+10]=2n-4，∵n是整数，∴2n-4是整数，故③正确；∵抛物线y=x2-6x+10的对称轴为x=3，1＞0，∴当x＞3时，y随x的增大而增大，x＜0时，y随x的增大而减小，∵y0+1＞y0，∴当0＜a＜3，0＜b＜3时，a＞b，当a＞3，b＞3时，a＜b，当0＜a＜3，b＞3时，a，b的大小不确定，故④错误；故选C．————再战高中题——能力提升————B组1．下列函数中，在区间(0，＋∞)内单调递减的是()A．y＝eq\f(1,x)－x B．y＝x2－xC．y＝lnx－x D．y＝ex－x【答案】A2．定义在R上的奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)上递增，且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(