第07章 二次函数的最值问题-假期晋级利器之初升高数学衔接教材（解析版）

第7章二次函数的最值问题【知识衔接】————初中知识回顾————二次函数的增减性当时，在对称轴左侧，y随着x的增大而减少；在对称轴右侧，y随着x的增大而增大；当时，在对称轴左侧，y随着x的增大而增大；在对称轴右侧，y随着x的增大而减少．二次函数的最值一般二次函数求最值根据最值公式计算即可，或把对称轴代入表达式，对应的函数值就是最值。————高中知识链接————给定自变量取值范围求二次函数的最值①如果给定的范围在对称轴的一侧，只需要计算两个端点的函数值，两个值中最大的为最大值，最小的为最小值。②如果给定的范围包含对称轴，需要计算两个端点的函数值和顶点的纵坐标，三个值中最大的为最大值，最小的为最小值。具体归纳如下：1、一元二次函数时，2、一元二次函数在区间[m,n]上的最值。1°当，2°当，3°当时，4°时，3、一元二次函数在区间[m,n]上的最值类比2可求得。【经典题型】初中经典题型1．如菱形OABC的顶点A在x轴正半轴△BCD的最大值．【答案】．2．已知当x1=a，x2=b，x3=c时，二次函数对应的函数值分别为y1，y2，y3，若正整数a，b，c恰好是一个三角形的三边长，且当a＜b＜c时，都有y1＜y2＜y3，则实数m的取值范围是．【答案】．3．已知二次函数（b，c为常数）．（Ⅰ）当b=2，c=-3时，求二次函数的最小值；（Ⅱ）当c=5时，若在函数值y=1的情况下，只有一个自变量x的值与其对应，求此时二次函数的解析式；（Ⅲ）当c=b2时，若在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为21，求此时二次函数的解析式．【答案】（Ⅰ）二次函数取得最小值-4．（Ⅱ）或．（Ⅲ）或．（Ⅲ）当c=b2时，二次函数的解析式为，它的图象是开口向上，对称轴为的抛物线．分三种情况进行讨论，①对称轴位于b≤x≤b+3范围的左侧时，即＜b；②对称轴位于b≤x≤b+3这个范围时，即b≤≤b+3；③对称轴位于b≤x≤b+3范围的右侧时，即＞b+3，根据列出的不等式求得b的取值范围，再根据x的取值范围b≤x≤b+3、函数的增减性及对应的函数值y的最小值为21可列方程求b的值（不合题意的舍去），求得b的值代入也就求得了函数的表达式．（Ⅲ）当c=b2时，二次函数的解析式为．它的图象是开口向上，对称轴为的抛物线．①若＜b时，即b＞0，在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，与其对应的函数值y随x的增大而增大，故当x=b时，为最小值．∴，解得，（舍去）．②若b≤≤b+3，即-2≤b≤0，当x=时，为最小值．∴，解得（舍去），（舍去）．高中经典题型1．二次函数的图象如图所示，当﹣1≤x≤0时，该函数的最大值是（）A．3．125 B．4 C．2 D．0【答案】C．2．已知函数，存在，使得，则的取值范围是__________．【答案】【解析】根据题意，，由图象可知，，，，故答案为．3．已知函数，其中为常数．(1)若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围；(2)若，都有，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】分析：(1)根据二次函数性质得对称轴不在区间内，解不等式可得实数的取值范围，(2)根据二次函数图像得得在x轴上方，即，解得实数的取值范围．详解：(1)因为开口向上，所以该函数的对称轴是因此，解得所以的取值范围是．(2)因为恒成立，所以，整理得解得因此，的取值范围是．4．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．若点P是线段AC上方的抛物线上一动点，当△ACP的面积取得最大值时，点P的坐标是（）A．（4，3）B．（5，）C．（4，）D．（5，3）【答案】C．【分析】连接PC、PO、PA，设点P坐标（m，），根据S△PAC=S△PCO+S△POA﹣S△AOC构建二次函数，利用函数性质即可解决问题．【解析】连接PC、PO、PA，设点P坐标（m，）令x=0，则y=，点C坐标（0，），令y=0则，解得x=﹣2或10，∴点A坐标（10，0），点B坐标（﹣2，0），∴S△PAC=S△PCO+S△POA﹣S△AOC==，∴x=5时，△PAC面积最大值为，此时点P坐标（5，）．故选C．【实战演练】————先作初中题——夯实基础————A组1．已知二次函数（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（）A．1或﹣5B．﹣1或5C．1或﹣3D．1或3【答案】B．【分析】由解析式可知该函数在x=h时取得最小值1、x＞h时，y随x的增大而增大、当x＜h时，y随x的增大而减小，根据1≤x≤3时，函数的最小值为5可分如下两种情况：①若h＜1≤x≤3，x=1时，y取得最小值5；②若1≤x≤3＜h，当x=3时，y取得最小值5，分别列出关于h的方程求解即可．2．一次函数与二次函数交于x轴上一点，则当时，二次函数的最小值为（）A．15B．-15C．16D．-16【答案】D【解析】分析：首先根据一次函数得出与x轴的交点坐标，从而得出二次函数的解析式，根据二次函数的增减性得出函数的最值．详解：根据一次函数解析式可得与x轴的交点坐标为(－5，0)，将(－5，0)代入二次函数可得：25－10－b=0，解得：b=15，∴二次函数的解析式为：，∴在中当x=－1时，函数的最小值为－16，故选D．点睛：本题主要考查的是二次函数的性质以及一次函数与x轴的交点坐标问题，属于中等难度题型．解决这个问题的关键就是得出一次函数与x轴的交点，从而得出二次函数解析式．3．二次函数y＝x2－2x－3，当m－2≤x≤m时函数有最大值5，则m的值可能为___________【答案】0或4【解析】分析：根据二次函数的图像和解析式，判断出函数的最值的自变量x的值，然后根据m的范围求出m的值即可．详解：令y=5，可得x2－2x－3=5，解得x=-2或x=4所以m-2=-2，m=4即m=0或4．故答案为：0或4．点睛：此题主要考查了二次函数的最值，求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图像直接得出，第二种配方法，第三种公式法，此题关键是根据最值构造一元二次方程求解．4．如图，点A，B的坐标分别为（1，4）和（4，4），抛物线y=a(x+m)2+n的顶点在线段AB上，与x轴交于C，D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为﹣3，则点D的横坐标的最大值为______．【答案】8【解析】分析：当C点横坐标最小时，抛物线顶点必为A（1，4），根据此时抛物线的对称轴，可判断出CD间的距离；当D点横坐标最大时，抛物线顶点为B（4，4），再根据此时抛物线的对称轴及CD的长，可判断出D点横坐标最大值．详解：当点C横坐标为−3时,抛物线顶点为A(1,4)，对称轴为x=1，此时D点横坐标为5，则CD=8；当抛物线顶点为B(4,4)时,抛物线对称轴为x=4,且CD=8,故C(0,0),D(8,0)；由于此时D点横坐标最大，故点D的横坐标最大值为8；故选：D．点睛：本题主要考查二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析式，用直接开平方法解一元二次等知识点，理解题意并根据已知求二次函数的解析式是解此题的关键．5．已知二次函数，当时，函数值的最小值为，则的值是________．【答案】或【解析】分析：将二次函数配方成顶点式，分m<-1、m>2和-1≤m≤2三种情况，根据y的最小值为-2，结合二次函数的性质求解可得．详解：y=x²−2mx=(x−m)²−m²，①若m<−1，当x=−1时，y=1+2m=−2，解得：m=−；②若m>2，当x=2时，y=4−4m=−2，解得：m=<2(舍)；③若−1⩽m⩽2,当x=m时,y=−m2=−2，解得：m=或m=−<−1(舍)，∴m的值为−或，故答案为：−或．点睛：本题主要考查了二次函数的最值，根据二次函数的增减性分类讨论是解答本题的关键．6．若实数a，b满足a+b2=1，则2a2+7b2的最小值是_____．【答案】2【解析】分析：根据得到代入所求式子，用配方法即可求出最小值．详解：∵∴，∴∵∴∴当，即b=0时，的值最小．∴最小值是2．7．在平面直角坐标系中，一次函数y=x+3的图象与x轴交于点A，二次函数y=x2+mx+n的图象经过点A．（1）当m=4时，求n的值；（2）设m=﹣2，当﹣3≤x≤0时，求二次函数y=x2+mx+n的最小值；（3）当﹣3≤x≤0时，若二次函数﹣3≤x≤0时的最小值为﹣4，求m、n的值．【答案】（1）3（2）-15（3）m=2，n=-3【解析】分析：（1）根据一次函数与x轴的交点，求出A点的坐标，然后把A点坐标和m的值代入可求出n的值；（2）表示出二次函数的对称轴，由m的值以及二次函数的图像与性质得到二次函数的最值；（3）根据函数的对称轴的位置，分类讨论即可求出m、n的值．详解：（1）当y=x+3=0时，x=﹣3，∴点A的坐标为（﹣3，0）．∵二次函数y=x2+mx+n的图象经过点A，∴0=9﹣3m+n，即n=3m﹣9，∴当m=4时，n=3m﹣9=3．（2）抛物线的对称轴为直线x=﹣，当m=﹣2时，对称轴为x=1，n=3m﹣9=﹣15，∴当﹣3≤x≤0时，y随x的增大而减小，∴当x=0时，二次函数y=x2+mx+n的最小值为﹣15．（3）①当对称轴﹣≤﹣3，即m≥6时，如图1所示．在﹣3≤x≤0中，y=x2+mx+n的最小值为0，∴此情况不合题意；②当﹣3＜﹣＜0，即0＜m＜6时，如图2，有，解得：或（舍去），∴m=2、n=﹣3；③当﹣≥0，即m≤0时，如图3，有，解得：（舍去）．综上所述：m=2，n=﹣3．点睛：此题主要考查了二次函数与一次函数的综合，正确判断二次函数的对称轴，以及函数的图像与性质，利用二次函数的图像与性质判断其最值是关键，解题时应用到分类讨论思想和方程思想．8．如图,已知抛物线经过A（-2，0）、B（4，0）、C（0，4）三点．（1）求此抛物线的解析式；（2）此抛物线有最大值还是最小值？请求出其最大或最小值；（3）若点D（2，m）在此抛物线上，在y轴的正半轴上是否存在点P，使得△BDP是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由．学科-网【答案】（1）；（2）最大值为；（3）符合条件的点的坐标为或．【解析】分析：（1）将A（-2，0）、B（4，0）、C（0，4）代入y=ax2+bx+c，运用待定系数法即可求出此抛物线的解析式；（2）由于二次项系数a=-＜0，所以抛物线有最大值，最大值为，代入计算即可；（3）先将点D（2，m）代入（1）中所求的抛物线的解析式，求出m的值，得到点D的坐标，然后假设在y轴的正半轴上存在点P（0，y）（y＞0），使得△BDP是等腰三角形，再分三种情况进行讨论：①PB=PD；②BP=BD；③DP=DB；每一种情况都可以根据两点间的距离公式列出关于y的方程，解方程即可．详解：（1）将A（-2，0）、B（4，0）、C（0，4）代入y=ax2+bx+c，得，解得：，所以此抛物线的解析式为y=-x2+x+4；（2）∵y=-x2+x+4，a=-＜0，∴抛物线有最大值，最大值为；（3）∵点D（2，m）在抛物线y=-x2+x+4上，∴m=-×22+2+4=4，∴D（2，4），∵B（4，0），∴BD=．假设在y轴的正半轴上存在点P（0，y）（y＞0），使得△BDP是等腰三角形，分三种情况：①如果PB=PD，那么42+y2=22+（y-4）2，解得y=，所以P1（0，）；②如果BP=BD，那么42+y2=20，解得y=±2（负值舍去），所以P2（0，2）；③如果DP=DB，那么22+（y-4）2=20，解得y=0或8，y=0不合题意舍去，y=8时，（0，8）与D，B三点共线，不合题意舍去；学=科网综上可知，所有符合条件的P点的坐标为P1（0，），P2（0，2）．点睛：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求抛物线的解析式，抛物线的最值的求法，等腰三角形的性质等知识，难度适中．运用分类讨论、方程思想是解题的关键．————再战高中题——能力提升————B组1、函数在区间上的最小值是（）A、－7 B、－4 C、－2 D、22、已知函数在闭区间[0,m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是（）A、 B、[0,2] C、[1,2] D、3、如果函数对任意实数都有，那么（）A、 B、C、 D、4、若，且，那么的最小值为