专题06 五大常考相似模型（原卷版）

专题06五大常考相似模型一、【知识回顾】模型一：A字模型模型二：8字模型模型三：子母模型（射影定理）模型四：一线三等角模型模型五：手拉手模型（旋转模型）二、【考点类型】考点1：A字模型典例1：（2021秋·安徽安庆·九年级安庆市石化第一中学校考期中）图，，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB＝2，CD＝3，求GH的长．【变式1】（2022·广东深圳·深圳市华胜实验学校校考一模）如图，在⊙O中，，CD⊥AB于点F，交⊙O于点D，AO的延长线交CD于点E．(1)求证：AE⊥BC；(2)求证：DF＝EF；(3)若，求的值．【变式2】（2023春·安徽六安·九年级校联考阶段练习）如图，在中，，平分交于点，的垂直平分线交于点，以点为圆心，以长为半径作⊙，交于点．(1)求证：是⊙的切线；(2)已知，，求⊙的半径．【变式3】（2023·全国·九年级专题练习）如图，在中，，D是上一点，点E在上，连接交于点F，若，则＝__________．考点2：8字模型典例2：（2021秋·重庆·九年级校联考期末）如图与交于，且．（1）求证：∽．（2）若，，，求的长．【变式1】39．（2021春·全国·九年级专题练习）已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，点F在边AB上，BC2=BF•BA，CF与DE相交于点G．（1）求证：DF•AB=BC•DG；（2）当点E为AC中点时，求证：2DF•EG=AF•DG．【变式2】（2023·山西太原·山西实验中学校考一模）如图所示，在中，两条弦相交于点E，连接，则下列说法中错误的是（

）A． B． C． D．考点3：子母模型（射影定理）典例3：（2022·辽宁营口·一模）如图，，是的直径，为的切线，为切点，连接，过点作于点，延长交于点，交于点，交于点，连接．(1)求证：；(2)若半径为，，求的长．【变式1】（2022·陕西西安·西北大学附中校考模拟预测）如图，是的内接三角形，过点作的切线交的延长线于点，于点，交于点．(1)求证：；(2)若，，求线段的长．【变式2】（2022·江苏·九年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且＝．（1）求证△ACD∽△ABC；（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的长．考点4：一线三等角模型（重点）典例4：（2020秋·宁夏银川·九年级校考阶段练习）将一副三角尺如图①摆放，在中，；在中，，点为的中点，交于点，经过点．（1）求的度数；（2）如图②，将绕点顺时针方向旋转角（），此时的等腰直角三角尺记为，交于点，交于点，试判断的值是否随着的变化而变化？如果不变，请求出的值；反之，请说明理由．【变式1】（2023春·广东佛山·九年级校考阶段练习）如图，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD＝60°，2BP＝3CD，BP＝1．（1）求证△ABP∽△PCD；（2）求△ABC的边长．【变式2】（2023·全国·九年级专题练习）如图，四边形是矩形，点P是对角线AC上一动点（不与A、C重合），连接，过点P作，交于点E，已知，．设的长为x．(1)___________；当时，求的值；(2)试探究：是否是定值?若是，请求出这个值；若不是，请说明理由；(3)当是等腰三角形时，请求出的值．【变式3】（2020春·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考阶段练习）如图，点是正两边上的点，将沿直线翻折，点的对应点恰好落在边上，当时，的值是（

）A． B． C． D．考点5：手拉手模型（重点）典例5：（2023春·湖北襄阳·九年级统考阶段练习）（1）问题探究：如图1，，均为等边三角形，连接、，求证：．（2）类比延伸：如图2，在和中，，，连接、，求证：．（3）拓展迁移：如图3，在四边形中，，且，，若将线段绕点D按逆时针方向旋转得到，连接，求线段的长．【变式1】（2021秋·重庆渝北·九年级统考期末）如图，在等边三角形中，点，分别是边，上的点．将沿翻折，点正好落在线段上的点处，使得．若，则的长度为（

）A． B． C． D．【变式2】（2020·江苏常州·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，△AOB中，∠AOB＝90°，∠ABO＝30°，顶点A在反比例函y＝（x＞0）上运动，此时顶点B也在反比例函数y＝上运动，则m的值为(

)A．-9 B．-12 C．-15 D．-18巩固训练一、单选题1．（2021·山东临沂·三模）如图，在△ABC中，DE∥BC，若AE＝2，EC＝3，则△ADE与△ABC的面积之比为（

）A．4：25 B．2：3 C．4：9 D．2：52．（2023·全国·九年级专题练习）如图，，，分别交于点G，H，则下列结论中错误的是（

）A． B． C． D．3．（2013·海南·中考真题）直线l1∥l2∥l3，且l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，把一块含有45°角的直角三角形如图放置，顶点A，B，C恰好分别落在三条直线上，AC与直线l2交于点D，则线段BD的长度为A． B． C． D．4.（2023·河北秦皇岛·统考一模）如图，在中，，点D为线段上一动点（不与点B，C重合），连接，作，交线段于点E．下面是某学习小组根据题意得到的结论：甲同学：；乙同学：若，则；丙同学：当时，D为的中点．则下列说法正确的是（

）A．只有甲同学正确 B．乙和丙同学都正确C．甲和丙同学正确 D．三个同学都正确5.（2023秋·河南平顶山·九年级统考期末）如图，已知点A，B，C，D，E均在方格纸的格点上，则与的面积比为（

）A． B． C． D．6．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在中，，，直线，与之间距离是1，与之间距离是2，且，，分别经过点A，B，C，则边的长为（）A． B． C． D．7．（2022·广东深圳·深圳市大鹏新区华侨中学校考二模）如图，已知D、E分别是中、边上的点，且，的周长2，则的周长为（）A．4 B．6 C．8 D．188．（2023秋·安徽六安·九年级统考期末）如图，在中，为上一点，且，则（

）A． B． C． D．9．（2023·贵州遵义·校考一模）如图，在中，是边上的点，，，则与的面积比是（）A． B．1：2 C．1：3 D．1：410．（2022秋·四川遂宁·九年级统考期末）如图，矩形的四个顶点分别在直线，，，上，若直线且间距相等，，则的值为（

）A． B． C． D．11.（2020秋·广西桂林·九年级校考阶段练习）如图，正方形ABCD中，△绕点A逆时针转到，，分别交对角线BD于点E，F，若AE=4，则的值为（

）A．8 B．12 C．16 D．2012．（2022秋·九年级单元测试）如图，在平行四边形ABCD中，E为边AD的中点，连接AC，BE交于点F．若△AEF的面积为2，则△ABC的面积为()A．8 B．10 C．12 D．1413．（2021·江苏无锡·九年级专题练习）如图，正方形的对角线、相交于点，是的中点，交于点，若，则等于A．3 B．4 C．6 D．814．（2022·浙江·九年级专题练习）如图，扇形AOB中，∠AOB＝90°．在扇形内放一个Rt△EDF，其中DE＝10，DF＝9，直角顶点D在半径OB上，OD＝2DB，点E在半径OA上，点F在弧上．则半径OA的长为（

）A． B．2 C． D．15．（2020·海南省直辖县级单位·统考模拟预测）如图，将正方形纸片ABCD沿EF折叠，折痕为EF，点A的对应点是点A′，点B的对应点是点B′，点B′落在边CD上，若CB′:CD=1:3，且BF＝10，则EF的长为（）A． B． C． D．二、填空题16．（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级校考期中）如图，中，点在上，，若，，则线段的长为___________．17．（2022春·九年级课时练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，已知AD＝，那么BC＝_______．18.（2020·海南海口·统考二模）如图，在中，，，，点在边上，与边、分别切于点、，则的值为__________．19．（2022秋·江苏扬州·九年级统考期末）如图，在边长为6的等边△ABC中，D是边BC上一点，将△ABC沿EF折叠使点A与点D重合，若BD:DE=2:3，则CF=____．20．（2020秋·福建泉州·九年级福建省南安市侨光中学校考阶段练习）如图，是直角三角形，，，点A在反比例函数的图象上．若点B在反比例函数的图象上，则k的值为______21．（2019·辽宁沈阳·统考中考真题）如图，正方形ABCD的对角线AC上有一点E，且CE＝4AE，点F在DC的延长线上，连接EF，过点E作EG⊥EF，交CB的延长线于点G，连接GF并延长，交AC的延长线于点P，若AB＝5，CF＝2，则线段EP的长是_____．22．（2019秋·浙江杭州·九年级期末）如图，已知和是等边三角形，连接，连接并延长交于点，交于点，，，那么的长为______．23．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，正方形ABCD中，点F是BC边上一点，连接AF，以AF为对角线作正方形AEFG，边FG与AC相交于点H，连接DG．以下四个结论：①∠EAB＝∠BFE＝∠DAG；②△ACF∽△ADG；③；④DG⊥AC．其中正确的是_____．（写出所有正确结论的序号）24．（2021春·全国·九年级专题练习）已知正方形DEFG的顶点F在正方形ABCD的一边AD的延长线上，连结AG，CE交于点H，若，，则CH的长为________.25．（2023秋·湖北襄阳·九年级统考期末）如图，在中，，点D在边上，，则的长为_____．三、解答题26．（2023秋·安徽六安·九年级校考期末）如图，在中，、分别是、边上的高．求证：．27.（2022·江苏·九年级专题练习）如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，直线OB交⊙O于点E、D，连接EC、CD．（1）试判断直线AB与⊙O的位置关系，并加以证明；（2）求证：；（3）若，⊙O的半径为3，求OA的长．28．（2022秋·北京房山·九年级统考期中）如图，AD与BC交于O点，，，，，求CD的长．29．（2018·湖北武汉·统考一模）如图，以AD为直径的⊙O交AB于C点，BD的延长线交⊙O于E点，连CE交AD于F点，若AC＝BC．（1）求证：；（2）若，求tan∠CED的值．30．（2021秋·广东佛山·九年级佛山市第十四中学校考阶段练习）在矩形ABCD中，E为DC边上一点，把沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F．（1）求证：；（2）若AB＝2，AD＝4，求EC的长．31．（2020·河南商丘·校考模拟预测）如图，的一边经过的圆心，另一边与交于点，作的平分线与交于点，过点作的切线，交的延长线于点．（1）求证：（2）若．①若，则的长为______；②的最大值为______．32．（2023·全国·九年级专题练习）【问题发现】（1）如图1，在中，，D为边上一点（不与点B、C重合）将线段绕点A顺时针旋转90°得到，连接，则线段与的数量关系是，位置关系是；【探究证明】（2）如图2，在和中，将绕点A旋转，当点C，D，E在同一直线时，与具有怎样的位置关系，并说明理由；【拓展延伸】（3）如图3，在中，，将绕顺时针旋转，点C对应点E，设旋转角为（），当点C，D，E在同一直线时，画出图形，并求出线段的长度．33．（2023·全国·九年级专题练习）某校数学活动小组探究了如下数学问题：(1)问题发现：如图1，中，，．点P是底边BC上一点，连接AP，以AP为腰作等腰，且，连接CQ、则BP和CQ的数量关系是______；(2)变式探究：如图2，中，，．点P是腰AB上一点，连接CP，以CP为底边作等腰，连接AQ，判断BP和AQ的数量关系，并说明理由；(3)问题解决：如图3，在正方形ABCD中，点P是边BC上一点，以DP为边作正方形DPEF，点Q是正方形DPEF两条对角线的交点，连接CQ．若正方形DPEF的边长为，，求正方形ABCD的边长．34．（2023·全国·九年级专题练习）一次小组合作探究课上，老师将两个正方形按如图所示的位置摆放（点E、A、D在同一条直线上），发现且．小组讨论后，提出了下列三