专题06 分式与分式方程【考点精讲】（原卷版）

专题06分式与分式方程一、分式分式概念形如eq\f(A,B)(A、B是整式，且B中含有字母，B≠0)的式子叫做分式．有意义的条件因为0不能做除数，所以在分式eq\f(A,B)中，若B≠0，则分式eq\f(A,B)有意义；若B＝0，那么分式eq\f(A,B)没有意义．值为0在分式eq\f(A,B)中，当A＝0且B≠0时，分式eq\f(A,B)的值为0分式的基本性质分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于零的整式，分式的值不变．用式子表示是：eq\f(A,B)＝eq\f(A×M,B×M)，eq\f(A,B)＝eq\f(A÷M,B÷M)(其中M是不等于0的整式)约分将分子、分母中的公因式约去，叫做分式的约分通分将几个异分母的分式化为同分母的分式，这种变形叫分式的通分二、分式运算分式运算分式加减同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减，即eq\f(a,c)±eq\f(b,c)＝eq\f(a±b,c).异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后相加减，即eq\f(a,b)±eq\f(c,d)＝eq\f(ad±bc,bd).分式乘除分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母，即eq\f(a,b)·eq\f(c,d)＝eq\f(ac,bd).分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即eq\f(a,b)÷eq\f(c,d)＝eq\f(a,b)·eq\f(d,c)＝eq\f(ad,bc)分式的混合运算在分式的加减乘除混合运算中，应先算乘除，进行约分化简后，再进行加减运算，遇到有括号的，先算括号里面的．运算结果必须是最简分式或整式．三、分式方程分式方程定义分母中含有未知数的方程叫做分式方程解法（1）解分式方程的基本思路：将分式方程化为整式方程.（2）常用方法：①去分母;②换元法.（3）去分母法的步骤：①去分母,将分式方程转化为整式方程;②解所得的整式方程;③验根作答.（4）换元法的步骤：①设辅助未知数;②得到关于辅助未知数的新方程,求出辅助未知数的值;③把辅助未知数的值代回原式中,求出原来未知数的值;④检验作答.（5）解分式方程时,在把分式方程转化为整式方程时,有时可能产生不适合原方程的根(我们把这个根叫做方程的增根),所以解分式方程时要验根.运用解分式方程应用题的关键是把握题意,找准等量关系,列出分式方程,最后要验根【考点1】分式的概念及有意义的条件【例1】（2022·湖南怀化）代数式x，，，x2﹣，，中，属于分式的有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【例2】分式的值为零，则x的值为（）A.2B.﹣2C.±2D.任意实数分式有意义、无意义和值为零的条件（1）若分式eq\f(A,B)有意义，则B≠0（2）若分式eq\f(A,B)无意义，则B=0（3）若分式eq\f(A,B)=0，则A=0且B≠01．（2022·四川凉山）分式有意义的条件是（

）A．x＝－3 B．x≠－3 C．x≠3 D．x≠02．（2021·江苏扬州市·中考真题）不论x取何值，下列代数式的值不可能为0的是（）A． B． C． D．3．（2022·湖北黄冈）若分式有意义，则x的取值范围是________．4．（2022·广西）当______时，分式的值为零．5．（2021·浙江）一种盐水，将m克盐完全溶解于n克水后仍然达不到所需的含盐质量分数，又加入了5克盐完全溶解后才符合要求．则要配制的盐水的质量分数为________．【考点2】分式的基本性质【例3】如果把分式中的x和y都缩小到原来的一半，则分式的值（）A．缩小到原来的B．缩小到原来的C．不变D．扩大到原来的2倍【例4】（2021·福建三明·八年级期末）下列分式中，属于最简分式的是（）A． B． C． D．分式约分的关键是确定分子和分母的公因式.1．分子、分母均为单项式.确定公因式的步骤2．分子或分母是多项式时,需要先将多项式因式分解,再求公因式.1．（2021·广西岑溪·七年级期末）下列分式中，把x，y的值同时扩大2倍后，值不变的是（）A． B． C． D．2．（2021·辽宁沈河·八年级期末）下列各式从左到右的变形一定正确的是（）A．＝B．＝x﹣yC．＝D．＝3．（2021·湖北武汉·八年级期末）下列分式中，是最简分式的是（）A． B． C． D．4．（2021·湖南长沙·八年级期末）将分式与通分，那么最简公分母为________．5．（2021·贵州八年级月考）对分式通分后，的结果是（）A．B．C．D．【考点3】分式运算与化简【例5】先化简，再求值：（＋2－x）÷，其中x满足x2－4x＋3=0.在运算过程中去括号时，括号前面是“﹣”，去掉括号和它前面的“﹣”号，括号里面的每一项都要改变符号分式混合运算应注意的七点1．注意分式混合运算的顺序.2．进行分式与整式的加减运算时,可将整式视为分母为1的代数式,然后与分式进行通分,再依照运算法则进行运算.3．除法运算一定要转化为乘法后再运算,如果分子、分母是多项式,可先将分子、分母因式分解,再进行运算.4．分式的混合运算中,若有“A(B+C)”这种形式,且A·B,A·C均可约分时,可利用乘法分配律简化运算.5．进行分式的加减运算时,注意与分式方程的解法区别开来,不要“去分母”.6．化简结果要最简.7．代入求值时,尽可能用“整体代入法”求值,且代入的值不能使原式中的分式和化简过程中出现的分式的分母为0.1．化简的结果是（）A． B． C． D．2．计算：__________．3．先化简，再求值：，其中．4．（2022·四川成都）已知，则代数式的值为_________．5．（2022·新疆）先化简，再求值：，其中．6．（2022·湖南邵阳）先化简，再从－1，0，1，中选择一个合适的值代入求值．．【考点4】分式方程的定义【例6】下列关于的方程中，不是分式方程的是（）A．B．C．D．1．已知方程：①；②；③；④．这四个方程中，分式方程的个数是（）A． B． C． D．2．下列关于x的方程中，属于分式方程的是（）A． B． C． D．【考点5】解分式方程【例7】（2022·四川成都）分式方程的解是_________．解分式方程的有关要点（1）解分式方程的基本思想是要设法将分式方程转化为整式方程，再求解.（2）解分式方程时，方程两边同乘最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根.（3）分式方程的检验方法：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解.1．（2021·陕西莲湖·八年级期末）已知是分式方程的解，则的值为（）A． B．1 C．3 D．2．（2022·湖南常德）方程的解为________．3．（2022·广西玉林）解方程：．4．（2022·广西梧州）解方程：【考点6】含参的分式方程【例8】（2021·内蒙古呼伦贝尔市·中考真题）若关于x的分式方程无解，则a的值为（）A．3 B．0 C． D．0或3【例10】（2021·黑龙江齐齐哈尔市·中考真题）若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是_________．分式方程无解两种情形（1）分式方程化为整式方程后所得整式方程无解，则原程无解；（2）整式方程有解，但所求得的解经检验是增根，此时分式无解。1．（2021·广西贺州市·中考真题）若关于的分式方程有增根，则的值为（）A．2 B．3 C．4 D．52．（2021·四川宜宾市·中考真题）若关于x的分式方程有增根，则m的值是（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣23．（2022·四川德阳）关于x的方程的解是正数，则a的取值范围是（）A．a＞－1B．a＞－1且a≠0C．a＜－1D．a＜－1且a≠－24．（2022·四川遂宁）若关于x的方程无解，则m的值为（

）A．0 B．4或6 C．6 D．0或45．（2021·四川雅安市·中考真题）若关于x的分式方程的解是正数，则k的取值范围是______．【考点7】分式方程的实际运用：行程【例11】（2022·四川乐山）第十四届四川省运动会定于2022年8月8日在乐山市举办，为保证省运会期间各场馆用电设施的正常运行，市供电局为此进行了电力抢修演练．现抽调区县电力维修工人到20千米远的市体育馆进行电力抢修．维修工人骑摩托车先行出发，10分钟后，抢修车装载完所需材料再出发，结果他们同时到达体育馆，已知抢修车是摩托车速度的1.5倍，求摩托车的速度．1.（2021·黑龙江虎林·八年级期末）随着生活水平的提高，小林家购置了私家车，这样他乘坐私家车上学比乘坐公交车上学所需的时间少用了15分钟，现已知小林家距学校8千米，乘私家车平均速度是乘公交车平均速度的2.5倍，若设乘公交车平均每小时走x千米，根据题意可列方程为_________．2．（2021·上海市卢湾中学期末）小王步行的速度比跑步的速度慢，跑步的速度比骑车的速度慢．如果他骑车从城到城，再步行返回城共需要两小时，那么小王跑步从城到城需要____分钟．3．（2022·重庆）在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐，甲、乙两骑行爱好者约定从地沿相同路线骑行去距地30千米的地，已知甲骑行的速度是乙的1.2倍．（1）若乙先骑行2千米，甲才开始从地出发，则甲出发半小时恰好追上乙，求甲骑行的速度；（2）若乙先骑行20分钟，甲才开始从地出发，则甲、乙恰好同时到达地，求甲骑行的速度．4．（2022·四川自贡）学校师生去距学校45千米的吴玉章故居开展研学活动，骑行爱好者张老师骑自行车先行2小时后，其余师生乘汽车出发，结果同时到达；已知汽车速度是自行车速度的3倍，求张老师骑车的速度．【考点8】分式方程的实际运用：工程【例12】（2022·江西）甲、乙两人在社区进行核酸采样，甲每小时比乙每小时多采样10人，甲采样160人所用时间与乙采样140人所用时间相等，甲、乙两人每小时分别采样多少人？设甲每小时采样x人，则可列分式方程为__________．1．（2021·四川宣汉·八年级期末）宣汉到达州要铺设一条长35千米的管道，为了尽量减少施工对周边居民生活造成的影响，实际施工时，每天铺设管道的长度比原计划增加20%，结果提前7天完成．设原计划每天铺设管道的长度为千米，则可列方程为（）A．B．C．D．2．（2021·贵州初二月考）2020年2月22日深圳地铁10号线华南城站试运行，预计今年6月正式开通．在地铁的建设中，某段轨道的铺设若由甲乙两工程队合做，12天可以完成，共需工程费用27720元；已知乙队单独完成这项工程所需时间是甲队单独完成这项工程所需时间的1.5倍，且甲队每天的工程费用比乙队多250元．（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？（2）若工程管理部门决定从这两个队中选一个队单独完成此项工程，从节约资金的角度考虑，应选择哪个工程队？请说明理由．3．（2022·江苏扬州）某