2025届高考数学一轮知能训练第八章立体几何第2讲空间几何体的表面积和体积含解析

PAGE6-第2讲空间几何体的表面积和体积1．祖暅是南北朝时代的宏大数学家，5世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，假如截面面积都相等，那么这两个几何体的体积肯定相等．现有以下四个几何体(图X8­2­1)：图①是从圆柱中挖去一个圆锥所得的几何体，图②、图③、图④分别是圆锥、圆台和半球，则满意祖暅原理的两个几何体为()①②③④图X8­2­1A．①②B．①③C．②④D．①④2．(2024年新课标Ⅰ)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图X8­2­2.若该几何体的表面积为16＋20π，则r＝()图X8­2­2A．1B．2C．4D．83．(2024年新课标Ⅲ)设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为9eq\r(3)，则三棱锥D­ABC体积的最大值为()A．12eq\r(3)B．18eq\r(3)C．24eq\r(3)D．54eq\r(3)4．(多选)如图X8­2­3，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF＝eq\f(1,2)，则下列结论中正确的是()图X8­2­3A．AC⊥BEB．EF∥平面ABCDC．△AEF的面积与△BEF的面积相等D．三棱锥A­BEF的体积为定值5．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是________寸．(注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸)6．如图X8­2­4所示，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝CC1＝3.P是BC1上一动点，若一小虫沿其表面从点A1经过点P爬行到点C，则其爬行路程的最小值为________．图X8­2­47．(2024年天津)已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，除面ABCD外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图X8­2­5)，则四棱锥M­EFGH的体积为________．图X8­2­58．(2024年浙江)某几何体的三视图如图X8­2­6(单位：cm)，则该几何体的表面积是________cm2，体积是________cm3.图X8­2­69．(2024年天津)已知四棱锥的底面是边长为eq\r(2)的正方形，侧棱长均为eq\r(5).若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为________．10．(2024年天津)如图X8­2­7，已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，则四棱柱A1­BB1D1D的体积为________．图X8­2­711．(2024年新课标Ⅱ)如图X8­2­8，长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4.过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；(2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．图X8­2­812．(2024年新课标Ⅱ)如图X8­2­9，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E，F分别在AD，CD上，AE＝CF，EF交BD于点H，将△DEF沿EF折到△D′EF的位置．(1)求证AC⊥HD′；(2)若AB＝5，AC＝6，AE＝eq\f(5,4)，OD′＝2eq\r(2)，求五棱锥D′­ABCFE的体积．图X8­2­9第2讲空间几何体的表面积和体积1．D解析：设截面与底面的距离为h，则①中截面内圆的半径为h，则截面圆环的面积为π(R2－h2)；②中截面圆的半径为R－h，则截面圆的面积为π(R－h)2；③中截面圆的半径为R－eq\f(h,2)，则截面圆的面积为π(R－eq\f(h,2))2；④中截面圆的半径为eq\r(R2－h2)，则截面圆的面积为π(R2－h2)．∴①④中截面的面积相等，故其体积相等．故选D.2．B解析：如图D198，该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体，球的半径为r，圆柱的底面半径为r，高为2r，则表面积S＝eq\f(1,2)×4πr2＋πr2＋4r2＋πr·2r＝(5π＋4)r2.又S＝16＋20π，∴(5π＋4)r2＝16＋20π，∴r2＝4，r＝2.故选B.图D1983．B解析：设球心为O，△ABC的中心为O1，明显当D，O，O1三点共线时，三棱锥D­ABC体积最大，△ABC为等边三角形且其面积为9eq\r(3)，eq\f(\r(3),4)|AB|2＝9eq\r(3)，∴|AB|＝6，|OO1|＝eq\r(|OA|2－|O1A|2)＝eq\r(42－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)×\f(\r(3),2)×6))2)＝2.∴|DO1|＝4＋2＝6.则三棱锥D­ABC体积的最大值为eq\f(1,3)×9eq\r(3)×6＝18eq\r(3).4．ABD5．3解析：如图D199，由题意可知，天池盆上底面半径为14寸，图D199下底面半径为6寸，高为18寸．∵积水深9寸，∴水面半径为eq\f(1,2)(14＋6)＝10寸．则盆中水的体积为eq\f(1,3)π×9(62＋102＋6×10)＝588π(立方寸)．∴平地降雨量等于eq\f(588π,π×142)＝3(寸)．6.eq\r(73)解析：由题意知，把面BB1C1C沿BB1绽开与面AA1B1B在一个平面上，如图D200所示，连接A1C即可，则A1，P，C三点共线时，CP＋PA1最小，图D200∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝C1C＝3，∴A1B1＝AB＝eq\r(42＋32)＝5，∴A1C1＝5＋3＝8，∴A1C＝eq\r(82＋32)＝eq\r(73).故CP＋PA1的最小值为eq\r(73).7.eq\f(1,12)解析：由题意可得，底面四边形EFGH为边长为eq\f(\r(2),2)的正方形，其面积SEFGH＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2＝eq\f(1,2)，顶点M究竟面四边形EFGH的距离为d＝eq\f(1,2)，则四棱锥M­EFGH的体积为eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,12).8．8040解析：由三视图知该组合体是一个长方体上面放置了一个小正方体，S表＝6×22＋2×42＋4×2×4－2×22＝80，V＝23＋4×4×2＝40.9.eq\f(π,4)解析：如图D201，正四棱锥P­ABCD的底面边长为eq\r(2)，侧棱长为eq\r(5)，点E，F，G，H分别为线段PA，PB，PC，PD的中点，O为底面中心，AB＝eq\r(2)，AO＝eq\f(\r(2),2)AB＝1，OP＝eq\r(AP2－AO2)＝eq\r(5－1)＝2，故圆柱的高为1.设EG与OP交于点I，则I为正方形EFGH外接圆的圆心，IE＝eq\f(1,2)OA＝eq\f(1,2)，以点O，I为上下底面圆心的圆柱的体积V＝π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2×1＝eq\f(π,4).图D201图D20210.eq\f(1,3)解析：如图D202所示，连接A1C1，交B1D1于点O，很明显A1C1⊥平面BDD1B1，则A1O是四棱锥的高，且A1O＝eq\f(1,2)A1C1＝eq\f(\r(2),2)，S＝1×eq\r(2)＝eq\r(2)，结合四棱锥体积公式可得其体积为：V＝eq\f(1,3)×eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(1,3).11．解：(1)交线围成的正方形EHGF如图D203.图D203(2)作EM⊥AB，垂足为M，则AM＝A1E＝4，EB1＝12，EM＝AA1＝8.∵四边形EHGF为正方形，∴EH＝EF＝BC＝10.于是MH＝eq\r(EH2－EM2)＝6，AH＝10，HB＝6.∵长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱，∴其体积的比值为eq\f(9,7)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,9)也正确)).12．(1)证明：由已知，得AC⊥BD，AD＝CD.又由AE＝CF，得eq\f(AE,AD)＝eq\f(CF,CD).故AC∥EF.由此，得EF⊥HD.折后EF与HD保持垂直关系，即EF⊥HD′，∴AC⊥HD′.(2)解：由EF∥AC，得eq\f(OH,DO)＝eq\f(AE,AD)＝eq\f(1,4).由AB＝5，AC＝6，得DO＝BO＝eq\r(AB2－AO2)＝4.∴OH＝1，D′H＝DH＝3.于是OD′2＋OH2＝(2eq\r(2))2＋12＝9＝D′H2.故OD′⊥OH.由(1)知，AC⊥HD′，又AC⊥BD，BD∩HD′＝H，∴AC⊥平面BHD′.于是AC⊥OD