2024-2025学年人教版九年级数学上学期复习：圆的综合解答题 压轴题型专项训练（30道题）

圆的综合解答题专项训练（30道）

1.如图，/C是。。的直径，尸/切。。于点A,点8是。。上的一点，且NA4c=30。,

NAPB=60°.

（i）求证：依是oo的切线；

⑵若。。的半径为2,求弦48及尸/,尸8的长.

2.如图1,四边形45。内接于。。，4C是的直径，过点A的切线与8的延长线相

交于点P,且NA4C=2N/CD.

PP

图1图2

（1）求证：2P=ZBCP；

⑵过图1中的点。作。E44C,垂足为£（如图2）,当3c=3,4E=1时，求OE.

图1

(1)如图1,求证：NABD=NACB；

(2)如图2,改变点A的位置，延长BD依次交/C,。。于点£,F,若NABC=2NC,求证:

BF=AC；

⑶在(2)的条件下，连接尸。并延长，交2。边于点若C£=5,AE=3,求线段O”

的长.

4.如图，4B为。。的弦，CD为。。的直径，4B与CO相交于点E,连接ZC,BC,

BD,过点3作AF1NC于点尸.

⑴求证：NABF=NBCD；

⑵当/BCD=乙4CD时，求证：ABCD■,

⑶在(2)的条件下，若48=6,乙如=22.5。，求图中阴影部分的面积.

5.定理证明:

A

图1图2

(1)如图1,PA,总是。。的两条切线，切点分别为A,B,求证：PA=PB；

定理应用：

(2)如图2,△48。是的内接等腰二角形，AB=AC=2,ZD=60°,0c是OO的切

线，若DA〃BC,求四边形的面积.

6.如图，内接于。O,2C为。。的直径，点A是弧MC的中点，CD交。。于M,

CD交AB于E,DB=DE.

(1)求证：是。。的切线；

⑵求证：ND=2N4CD；

(3)若。8=6,DC=10,求Affi的长.

7.如图1,C,。是半圆NCB上的两点，点P是直径4B上一点，且满足=

/CPD是无的"幸运角"；

(2)如图3,若直径池=2,肱CE工AB,无的“幸运角”为90。，求CD的长.

8.如图，在。。中，42为。。的直径，C为。。上一点，4。为—CN2的平分线交。。于

点、D,连接OD交于点£,过点/作。。的切线交3c延长线于点尸，过点。作

DG//AF,交48于点G.

⑴求证：OD〃/C;

(2)连接CD,若4/C=60。，请判断四边形/CD。的形状，并证明你的结论;

⑶若47=4CE=2,求DG的长.

9.如图，已知。。是△/8C的外接圆，4B是。。的直径，P是4B的延长线上的点，弦CE

交48于点。.ZPOE=2ZCAB,NP=ZE.

(1)求证：CEJ.AB；

(2)求证：PC是。。的切线；

(3)若=PB=9,求。。的半径.

10.如图，。。是△4BC的外接圆，以4B为边作等边三角形48。，且点。和点C在48的

两侧，连接。C.

(2)在(1)的条件下，若乙1BC=15。，则R;=;

AC

(3)如图2,CD交4B于点M,交。。于点N,若ZABC=90。,AB=BC=2,直接写出MV

的长度：MN=.

11.如图1,E点为x轴正半轴上一点，0E交x轴于43两点，交了轴于C、D两点,P

点为劣弧前上一个动点，且4(-1,0)、£(1,0).

⑴如图1,连结尸C,取尸。中点G,连结。G,则0G的最大值为；

(2)如图2,连接NC、AP,CP、CB.若平分”CD交P4于。点，求工。的长；

PC+PD

⑶如图3,连接尸4尸。，当尸点运动时(不与5、C两点重合)，求证：一本二为定值,

PA

并求出这个定值.

12.如图1,五边形/3CDE是。。的内接五边形，AB=AE,对角线于点尸.

(1)①若ZACB=40°,贝I]NBDE=；

②猜想/8/E和NC8D的数量关系，并证明；

(2)如图2,当AD经过圆心O时，若BF=2,AF=4,求DE；

(3)作OGL/C于点G,求=7的值.

13.如图，四边形N8CZ)是。。的内接四边形，48=40=6,4840=90。，点E在弦4D上

(不与端点重合)，NCBE=45°,过点C作CF，/。，垂足尸在么。延长线上，连接CE.

⑴求。。的半径长；

⑵若NDCF=NABE,求证：直线CF是。。的切线；

⑶过点。作。G1/。交。。于点G,交5c于点7/,连接猜想a4E//和乙4班有怎样

的数量关系，请证明你的结论.

14.如图，已知48为。。的直径，尸为。。上一点，/C平分48/斤且交。。于点C,过点

C作CD_LN尸于点。，延长48,。。交于点E,连接3C,C厂.

(1)若5C=5,NC=12,求。。的半径；

(2)求证：CD是。。的切线；

⑶是否存在常数屋使得ABC-AF=k,若存在，求出左的值，若不存在，请说明理由.

DF

15.如图，OO是矩形的外接圆，NA4D的角平分线交DC的延长线于点

E,交。。于点尸.连结2。，BF,DF,已知40=2.

⑴证明：△8D尸为等腰直角三角形.

⑵若点C平分弧DP,求△公厅的面积.

⑶当尸的某一边的长度是E尸的2倍时，求8的长.

16.如图1,点G为等边△/8C的重心，点。为2C边的中点，连接GZ）并延长至点。，使

得DO=DG,连接G5,GC,OB,OC.

⑴求证：四边形80CG为菱形.

（2汝口图2,以。点为圆心，OG为半径作。。

①判断直线N5与。。的位置关系，并予以证明；

②点M为劣弧8c上一动点（与点5、点C不重合）,连接BM并延长交NC于点E,连接CM

并延长交4B于点尸，求证：4E+N尸为定值.

17.如图，ZUBC是。。的内接三角形，是。。的直径，ZA=30°,BC=4,弦CDLAB

于尸，点E是48延长线上一点，且//=£尸，连接DE.

(1)填空：ZSCZ)=_°；

⑵判断DE与。。的位置关系，并说明理由；

⑶取C8的中点连接求图中阴影部分的面积.

18.已知：如图1,△4BC内接于(DO,NM是。。的直径，月刊平分N54C.

图1图2图3

(1)求证：AMLBC-

(2)如图2,分别在弧期、弧CM上取点。和E,连接40、AE交BC于点、F、G,连接

DE,求证：NBGE+N4DE=180°；

(3)如图3,在(2)的条件下，连接加，若BG=AD,ZABD-ZBAE=^ZAFG,

AC-BD=5,/G=3厢，求NC的长.

19.如图，/C是。。的直径，弦助交NC于点E,就=2而，连结48，AD.

图3

(1)如图1,若/。=50。，求/C4。的度数.

⑵如图2,点N在弦/。上，作MN，AD,&W分别交弦48,/C于点M,P,

MN=BE,过8作3尸〃跖V交/C于点尸.

①求证：BF=MN.

②如图3,连接ME,若BM=4,ME=2后,求NP,PE的长.

20.如图，A48c内接于O。，A8是。。的直径，BC=BD，DE_L/C于点E,DE交BF

于点下，交4B于点G,/BOD=2/F,连接BD.

F

(1)求证：3尸是。。的切线；

⑵判断AOGB的形状，并说明理由;

⑶当AD=2时，求/G的长.

21.已知：点E是正方形48cD外一点，连接DE,BE±DE.

E

图3

(1)如图1,若BE=2,DE=20,求的长；

(2)如图2,过点A作"_LAE1于点尸.求证：DE=2DF+BE；

(3)如图3,连接EC并延长至点G,使得CG=CE,连接。G,当。G=DC时，请直接写出

22.如图，在半径为5的半圆。中，48是它的直径，点C是半圆上异于43点，过点C

作且点E是半径0c的中点，8E的延长线交/。于点G,交8的

延长线于点尸.

⑴求证：/C平分/0CD；

(2)求证：4D是。。的切线；

⑶若4c尸=2//BC,半圆。内(包含边界)存在点H,使NAHF=NADF,求£77的取

值范围.

23.如图，。。的直径48为10cm,弦NC为6cm,N2C5的平分线交O。于点。.

⑴求的长；

⑵试探究◎、CB、CD之间的等量关系，并证明你的结论；

⑶连接OD，P为半圆403上任意一点，过P点作尸£，。。于点E,设AOPE的内心为

当点P在半圆上从点3运动到点A时，求内心M所经过的路径长.

24.如图，△4BC中，4B=/C,点。为8c边上一点，以8。为直径作。。，/C是。。的

切线，过点3作8EL/C交C/的延长线于点E,交。。于点尸，连接/月.

(1)求证△48尸之△/(?£>；

⑵请你添加一个条件使四边形/F5。为菱形.

⑶在(2)的条件下，若。=1,求的长.

25.已知：ZUBC内接于O。，过点A作8C的垂线交。。于点。，垂足为点E,连接50.

(2汝口图2,连接CO,延长。。交40于点尸，若AF=BD,求证：AC=BC

⑶如图3,在(2)的条件下，BO交AD于点、G,过点A作。。的切线交C8的延长线于点

H,且4?/=280,FG=3,求线段2H的长.

26.如图，直径ZN13C,垂足为点连接03、AC,K为线段上一点，连接CK,

180°-NCKO=2NC4O.

(1)如图1,求证:CK〃8O；

(2)如图2,。为弧48上一点，DE1BC,垂足为点G,连接OD交5c于点。，Q为H3

中点，求证:。£=4。〃.

27.如图，48为。。直径，尸为48延长线上一点，过点尸作。。切线，切点为C,

CD1AB,垂足为D,连接/C和3C.

(1)如图1,求证：CB平分NPCD；

⑵在上取点E,使得/4CE=2NPCB；

①如图2,£为下方。。上一点，连接